Mérések
Mérések
3. Előadás
A mérőműszerek (alkalmazási) karakterisztikái
Normális feltételek meghatározzák a mért nagyság határait, amelyek között a berendezés alkalmazható.
Határfeltételek a mért nagyság azon határértékei amelyeknél a műszer még nem károsodik (degradálódik)
Referenciafeltételek pontosan megadott feltételek amelyek mellett kell a méréseket-hitelesítéseket elvégezni
A mérőműszerek metrológiai tulajdonságai
A mérőműszerek metrológiai tulajdonságai elvileg: a mérési folyamatba kapcsolt műszer képességeinek és korlátainak kvalitatív és kvantitatív mutatói.
a metrológiai jellemzők feloszthatók:
• STATIKUS KARAKTERISZTIKÁK és állandó, vagy lassan változó nagyságok
• DINAMIKUS KARAKTERISZTIKÁK. gyorsanváltozó nagyságok esetén
Mérési tartomány
A mérési tartomány azoknak a mérendő mennyiség értékeknek az összesége, amelyeknél a mérőeszköz
hibájának az előírt határok között kell lennie.
A dinamikus mérési tartomány meghatározható mint a legnagyobb és legkisebb mérhető érték viszonya.
Például, ha a minimális érték 1 mA, a maximális pedig
1 A akkor Imax/Imin = 1000. Ez a tartomány kifejezhető dB (decibelben), azaz 20 log (Imax/Imin ). Esetünkben a mérési tartomány 60 dB.
A mérőeszközök statikus karakterisztikái
• Egy mérőeszköz statikus karkterisztikái statikus kalibrációval határozhatók meg (egy mérési folyamattal) amit periódikusan meg kell ismételni. A kalibráció alatt, ismert és állandó bemenő jel mellett, megfigyeljük az eredményezett válaszfüggvényt.
• A mérőeszköz statikus karakterisztikái: pontosság, precizitás, felbontóképesség, linearitás, érzékenység, érzéktelenségi küszöb, stabilitás, ismételhetőség, hiszterézis, bemenő és kimenő impedancia.
Pontosság Tačnost (accuracy)
A mérőeszköz pontossága a mérőeszköznek az a tulajdonsága, hogy a mérendő mennyiség valódi értékéhez közeli értékmutatást vagy választ szolgáltat.
Általában a pontos értéket nem ismerjük, így konvencionális valódi, vagyis gyakran megegyezés alapján elfogadott értéket használjuk.
Az utóbbi időben a pontosság helyett a mérési bizonytalanságot definiáljuk. (measurement uncertainity)
Mérési bizonytalanság
A mérési eredményhez társított paraméter, amely a mérendő mennyiségnek megalapozottan tulajdonítható értékek szóródását jellemzi.
Míg a pontosság az ideális statikus karakterisztikáktól való eltérést definiálja, a mérési bizonytalanság magába foglalja a rendszeres és a véletlen hibákat is
Precizitás
A mérőeszköz precizitása a mérőeszköz azon tulajdonsága, hogy egymáshoz közeli értékeket mutasson.
A precizitás legjobb mutatója a szórás. A szórás statisztikai mértékmutatója a mérés megismétel- hetőségének és a következő a definiciója:
1
n
∑
n
(
x
i
− x
)
2
i =1
σ =
Amint az ábrán is látható, fontos különbséget tenni a pontosság és a precizitás között.
Felbontóképesség
(értékmutató szerkezeté)
Az értékmutató szerkezet által megjelenített és egyértelműen megkülönböztethető értékmutatások legkisebb különbsége.
A felbontóképesség a mérőeszköz azon tulajdonsága, hogy meg tud egymáshoz közeli értékeket különböztetni.
Analóg műszer esetén a legkisebb skálabeosztás a felbontóképesség, digitális értékmutató szerkezet esetén ez az utolsó értékes jegy egységnyi megváltozásának megfelelő változás az értékmutatásban.
Fontos dolog a felbontást a méréstartományhoz viszonyítva definiálni, például 1 mV, U = 135 V-hoz viszonyítva. Gyakran ezt az arányt mint a legkisebb érték és a méréstartomány arányát definiálják, illetve a minimális elmozdulást mint a skála százalékát. Digitális műszereknél az utolsó számjegy mértékegysége a számjegyek számához viszonyítva.
Linearitás
A mérőműszer azon tulajdonsága hogy a válaszfüggvényt mint a bemeneti jel lineáris funkcióját generálja.
A kimenő jel bemenő jeltől való viszonyától függően a következő fajta linearitásokat sorolhatjuk fel:
• a bemenő jeltől független linearitás
• a bemenő jellel arányos linearitás és
• a bemenő jellel részben arányos linearitás.
12
A linearitás hibája a mérőeszköz válaszfüggvényének maximális eltérése az optimális egyenestől, melyet a kalibrációs pontokon keresztül húztunk meg.
A linearitási hiba definiciója:
Gi =
max
yi − (axi
y
+ b)
∗100
max
ahol yi a válaszfüggvény i-edik lemért értéke xi bemenet esetén, ymax a válaszfüggvény maximális mérhető értéke,
a és b az optimális egyenes függvényének álandói.
Érzékenység
A mérőeszköz kimenőjelének megváltozása osztva a bemenőjel megfelelő megváltozásával.
Az így definiált érzékenységet statikus érzékenységnek nevezzük, és a statikus kalibráció adataiból határozható meg. Az érzékenységet a kalibrációs görbe meredeksége képviseli, ha a koordináták valós mértékegységekben adottak. Ha a kalibrációs görbe lineáris, a K érzékenység állandó, viszont amennyiben a bemenő és a kimenő jel viszonya nem lineáris, az érzékenység a bemenő jel függvényében változik.
A mérőeszköz érzékenysége a kimenőjel megváltozása osztva a bemenőjel megfelelő megváltozásával.
K = Δy
Δx
Érzéktelenségi küszöb
A bemenőjel lehetséges legnagyobb lassú és monoton változása, amely még nem idéz elő érzékelhető változást a mérőeszköz kimenőjelében.
Mennyiségileg az érzéktelenségi küszöb definiálható mint a felbontás és a legkisebb mérési tartomány szorzata. Például 4 számjegyes digitális votmérőnél melynél a legkisebb mérőtartomány 100 mV, a felbontás 1/10000, az érzéktelenségi küszöb 100 mV/10000 = 0,01 mV.
Stabilitás
A mérőeszköznek az a képessége, hogy metrológiai jellemzőit időben folyamatosan megőrzi.
A berendezés stabilitása definiálható különböző változások függvényében, de mindenek előtt az időbeni változásokra vonatkozik. Léteznek hosszútávú és rövidtávú stabilitási hibák. Például 2·10-8 évente, vagy a rövidtávú hiba 1·10-10 tíz másodpercre.
Ismétlőképesség (mérőeszközé)
A mérőeszköznek az a képessége, hogy azonos mérendő mennyiséget azonos feltételek között ismételten megmérve egymáshoz közeli értékmutatásokat ad.
Az ismétlőképesség elemzésekor azt a kimeneti hibát elemezzük amit akkor kapunk, amikor a bemenetre precizen ugyanazt az értéket vezetjük.
A megismételhetőségi hibát a válaszfüggvény maximális és minimális értéke közötti különbségként definiáljuk, ugyanannak a bemenőjelnek, legalább ötszöri, egymásutáni alkalmazásakor. Az egész mérési tartományra vonatkoztatva.
Gp (%) =
xM − xm
x
⋅100
max
ahol:
xM -a válaszfüggvény maximális értéke
xm -a válaszfüggvény minimális értéke, és a
xmax-a mérési taromány teljes értéke, teljes skálaérték.
Hiszterézis
A mérőeszköz hiszterézise a mérőeszköz olyan tulajdonsága, hogy a bemenőjelre adott válaszfüggvény függ az előző bemenőjelek sorrendjétől.
A hiszterézis egy olyan jelenség amely a műszer (előnytelen) hibás értékmutatásához vezet a mért bemenőnagyság változásának módjától függően a mérés alatt. A hiszterézis mértéke, a kapott kimenőjelek közötti maximális különbség ugyanarra a bemenőjelre.
GH =
yg − yd y
⋅100
max
ahol xx és yd a kimenőjel lemért értékei ugyanarra a bemenőjelre.
A mérőeszköz bemenő impedanciája
egy komplex terhelés, mely a bemenetre kapcsolt feszültség és a bemeneten befolyó áram hánydosával egyenlő. Ez az adat az adott mérőeszközt jellemzi a mért vagy kivizsgált hálózatban.
Számunkra a mérőeszköz bemeneti impedanciája és a mérték kimenő impedanciája a szükséges adat.
Dinamikus karakterisztikák
Ha egy mérőelem a vezérlőrendszer része, általában nem elegendő leírni csak a statikus karakterisztikáival, figyelembe kell venni a dinamikus karakterisztikákat is.
A műszer modellje, azaz a matematikai kifejezés, amely összeköti a bemenetet a kimenettel, közelíthető a bemenőjel differenciálhányadosainak lineáris kombinációjával.
n d i y
∑ai
i=1
dti
= b0 x
n azt határozza meg hanyadrendű az átviteli funkció
A nulladik rendű rendszer nem visz be semilyen hibát a mérésbe függetlenül a bemeneti jel változásának gyorsaságától. Más szavakkal, a kimenőjelnek nincs semilyen késése, sem pedig torzulása összehasonlítva a bemenő jellel.
n = 0 nulladik rendű, azaz:
y = b0 x
a0
a b0/a0 koeficienst statikus érzékenységnek nevezzük.
Ha n = 1, elsőrendű átviteli funkciót kapunk, azaz:
a1 dy + y = b0 x a0 dx a0
Ha n = 2, másodrendű rendszert figyelhetünk meg (gyakori eset a méréseknél), így:
+
d 2 y
a2 dt 2
dy a1 dt
+ y =
b0 x
A méréseredmények statisztikai feldolgozása
Egy állandó értékű fizikai nagyságon elvégzett méréssorozat eredményeinek feldolgozásakor a feladat többszörös:
• megbecsülni a mért nagyság valódi érétékét,
• megbecsülni a korrigált érték mérési bizonytalanságát.
A mérési átlag mentesítése (korrigálása) az ismert rendszeres hibáktól, azaz a hibák rendszeres komponensének meghatározása, a mérési tapasztalatok alapján, valamint a mérőeszköz kalibrálásával történik.
Ugyanazon, állandó fizikai nagyság azonos feltételek mellett történő sorozatos mérésekor, olyan műszerrel melynek elég nagy a felbontása, egymástól eltérő eredményeket kapunk. Ha feltételezhetjük hogy a rendszeres hibákat teljesen kiküszöböltük, statisztikai elemzéssel megkapható a mért nagyság legvalószínűbb valódi (pontos) értéke, és a mérési bizonytalanság. A következő fogalmakat kell definiálni:
• a mérési sorozat átlaga,
• a szórás,
• a méréssorozat átlagértékének a szórása.
A mérési sorozat eredményeinek átlaga
Ha a mérési sorozat eredményeit mentesítjük a durva, és a rendszeres hibáktól, akkor az egyes méréseredmények között jelentkező különbségek a véletlen hibák következménye. Ha az egyes eredményeket:
x1 ,
x2 ,...,
xi ,...,
xn−1 ,
xn ,
jelöljük, csak annyit állapíthatunk meg hogy a mérendő nagyság valódi értéke x0 valahol a sorozat legkisebb és a legnagyobb értéke között helyezkedik el.
Amennyiben az egyes mérések hibáját Δxi -el jelöljük:
Δxi
= xi
− x0
akkor az adott méréssorozatban a következő, véletlenszerű, abszolút értékű hibák sorozatát kapjuk:
Δx1
= x1
− x0
Δx2
...
Δxn
= x2
= xn
− x0
− x0
Az egyenletek bal és jobb oldalait összeadva a következő egyenletet kapjuk:
Δx1
+ Δx2
+ ... +
Δxn
= x1 + x2
+ ... + xn
− n ⋅ x0
ahonnan a mért nagyság valódi értéke
x0 =
(x1
1
n
+ x2
+ ... +
xn ) −
(Δx1
1
n
+ Δx2
+ ... +
Δxn )
Az egyenlőségjel jobb oldalán az első tag a mérési sorozat átlagával egyenlő tehát:
x = 1
n
(x1
+ x2
+ ... +
xn )
azaz
x = 1
n
n
∑xi
i=1
Ezekután felírható hogy a mért nagyság valódi értéke:
Illetve
x0 =
x − 1
n
n
∑
i=1
Δxi
x0 = x − ε
ahol ε az egyes méréseknél jelentkező abszolút hibák értékének átlaga.
Az egyenlet a következő alakban írható:
x0 = x ± ε
Tanulmányozva a véletlen hibák hatását a mérés eredményére, Xxxxx véletlen hibákról szóló elmélete szerint, a következő, axiómáknak is tekinthető, feltevésekből kell kiindulni.
1. Ha a méréssorozat nagyszámú mérésből áll, egyenlő valószínűséggel jelennek meg azonos abszolút értékű de ellentétes előjelű hibák.
2. A kisebb hibák megjelenésének valószínűsége nagyobb a nagy hibák megjelenésének valószínűségénél.
Az első feltételezés alapján megállapítható hogy elegendő nagy számú mérés esetén ε nullához közelít.
lim
n →∞
ε→0
amiből az következik, hogy:
x0 ≈ x
és ez azt jelenti hogy a méréssorozat átlaga a mért nagyság legvalószínűbb értéke. Tehát, megállapítható, hogy a méréssorozat átlaga, a mért nagyság pontos értékének legjobb közelítése.
A populáció és minta átlaga
A méréssorozat átlaga a megfigyelt, vagy mért nagyság egy meghatározott számú értékre vonatkozik, két definiciót ismerünk.
Az első esetben ha ez a szám nagyon nagy, elméletileg, ha a méréssorozat a mért nagyság végtelen sokszor megismételt mérésének eredményeit tartalmazza, akkor populációról beszélünk. Ha az aritmetikai középérték definicióját populációra alkalmazzuk, akkor a populáció aritmetikai középértékéről beszélünk.
A populáció-alapsokaság, olyan vizsgálni kívánt egyedek, objektumok, tárgyak vagy más tetszőleges elemek véges vagy végtelen összessége, amelynek közös megfigyelhető jellemzői vannak. A kutatás célja, hogy jellemezzük és következtetéseket vonjunk le róla.
A második esetben a méréssorozat korlátozott számú eleme csak a populáció mintáját képezi.
A minta a populáció relative kis méretű kiragadott része valamilyen előírás szerint válogatva, úgy hogy teljes egészében képviselje a populációt és annak minden jellemzőjét. Az ilyen reprezentativ mintát véletlen mintavételezéssel biztosítjuk. A méréssorozat méréseinek száma ezáltal korlátozott, legtöbb esetben néhányszor tíz.
Ha az átlagot mintára alkalmazzuk a minta átlagáról beszélünk.
A statisztika feladata hogy a minta matematikai feldolgozásával megbecsülje a populáció jellemzőit, amelyből a minta származik, azaz ismert minta alapján megbecsülni a populáció ismeretlen paraméterének értékét.
A 6.1 képen a méréshibák ábrázolása látszik, feltételezve a véletlen hibák normális eloszlását.
1. A hibák ábrázolása a rendszeres hibák jelenlétében,
2. A hibák ábrázolása a rendszeres hibák (kiküszöbölése)eltávolítása után
Az első esetben a mért nagyság valódi értéke nem egyezik meg a populáció átlagával, a rendszeres hibával tér el tőle. Az egyes mérések hibája egyenlő a rendszeres-, és a véletlen hiba összegével.
Szórás (standardna devijacija)
A mérés precizitásának becslésére a szórást használjuk, más néven szórási paraméter, vagy a négyzetes eltérések átlagértéke.
Definició:
A szórás az a hiba, amely, ha méréssorozat összes n mérésénél jelentkezne, ugyanazt a hibanégyzet összeget adná mint a valódi hibák négyzetének összege.
2
2
2
2
Így definiáljuk a szórást nagy számban megismételt méréssorozatra, melyre állíthatjuk hogy a mérések száma végtelen felé tart, σ-val jelöljük és az előbbi definició alapján érvényes a következő összefüggés:
nσ 2
= (x1
− x0 )
+ (x2
− x0 )
+ ... +
(xn
− x0 )
n
= ∑(xi
i =1
− x0 )
i
2
Ahonnan:
σ 2 =
1
n
∑
n i=1
(xi
− x0 )
= 1
n
∑
n i=1
Δx2
A σ2 -tel jelölt fogalmat szórásnégyzetnek hívjuk. A szórásnégyzet (varijansa ili disperzija) a statisztika egyik leggyakoribb mérőszáma, “kvadratikus középérték”. A középértéktől való eltérések négyzetének középértéke .
A szórást a következő képlettel számíthatjuk:
1
n
∑
n
(x − x )
2
i
0
i=1
1 ∑
n
n
Δx2
i
i=1
σ = =
melynek jelentős előnye a szórásnégyzettel szemben hogy a mért nagysággal megegyező a mértékegysége, másfelől a szórásnégyzet aditivitása miatt előnyt élvez a számításoknál.
Hogy definiálhassuk a szórást azon adatokkal amelyeket a mérési folyamat alatt begyüjthetünk, kapcsolatot kell
találni a valódi méréshibák, Δxi = xi - x0, és a látszólagos méréshibák, között melyeket a következőképpen
definiálunk:
ν i = xi − x
a szórás képlete s, ugynazon nagyság n elemű méréssorozatára.
1
n −1
∑
n
ν
2
i
i=1
s =
1
n −1
∑
n
(
x − x)
2
i
i=1
illetve:
s =
A gyakorlatban, igen praktikus az alábbi képlet használata a szórás meghatározására:
1
⎡
n −1 ⎢⎣
⎢
∑
i=1
n
x −
2
1 ⎛
i
n
⎜∑ x ⎟ ⎥
n
⎞2 ⎤
⎝ i=1
i
⎠
⎦
s =
A populáció és a minta szórása
(Standardna devijacija populacije i uzorka)
Gyakran találkozunk az “egy mérés szórása” kifejezéssel helyesen: A mérési sorozat egy mérésének szórása mely vonatkozik úgy a σ, mint az s képletére is. Ezzel azt szeretnék kihangsúlyozni hogy ezen statisztikai érték egy mérésre vonatkozik illetve hogy minden egyes elvégzett mérés jellemzője. Ez az elnevezés azonban kétértelmű és zavaró mivel a szórás éppen egy méréssorozat jellemzője és nem az egyedi méréseké! A szórás egy méréssel nem határozható meg, a meghatározás csak méréssorozattal érhető el. A szórás azt a mérést írja le amit majd elvégezünk, vagy valamely már elvégezett mérésre vonatkoztatható.
A populáció szórását a következő képlettel definiáljuk:
1
N
∑
N
(x − μ)
2
i
i=1
σ =
amelyben a mérések száma N nagyon nagy és statisztikailag közelít a végtelenhez, a mért nagyság valódi értéke x0, helyett a populáció átlagával μ.
rendelkezünk.
A minta szórását a következő képlettel definiáljuk:
s =
1
n −1
∑
n
(
x − x)
2
i
i=1
ahol a minta átlaga képezi mérések eredményének átlagát ami statisztikailag ugyanaz.
A középérték szórása
(Standardna devijacija aritmetičke sredine)
Tudvalévő a mérések átlagáról, hogy az különbözik a mért nagyság pontos értékétől x0 a mérés hibájával ε.
Ismerve a véletelen hibák természetét, nyilvánvaló, hogy ez a hiba a mérések n számának növekedésével csökkeni fog. Bár máris kijelenthető hogy a méréseredmények aritmetikai középértékének mérési bizonytalansága kisebb bármely egyenkénti mérés bizonytalanságától, ez a becslés levezethető.
s
Feltételezve hogy az egyes abszolút hibák nagyon kicsik, felírható:
n
x0 = x −
látható hogy az átlag hibája a mérések számának n-nek négyzetgyökével csökken.
Ezt a hibát az átlag szórásának nevezzük
1 ∑ (x − x )
n
2
n(n − 1)
i
0
i =1
s
=
=
s
n
x
x0 = x ±
n
s
s
x
= x ±