CONTRATTI A INCENTIVI E GESTIONE DI FONDI D’INVESTIMENTO
POLITECNICO DI MILANO
Facolta`
di Ingegneria Industriale e dell’Informazione
Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica
CONTRATTI A INCENTIVI E GESTIONE DI FONDI D’INVESTIMENTO
Relatore: Xxxx. Xxxxxxx Xxxxxxxxx
XXXXX XXXXXX
Matricola 853488
Anno Accademico 2016/2017
Sommario
Il lavoro svolto mira ad analizzzare e replicare l’articolo “Incentive Con- tracts and Hedge Fund Management”1 degli autori Xxxxx X. Xxxxxx e Xxxx Xxxxxxx Xxxxxxxxx, attraverso una implementazione ex novo della procedura di risoluzione ivi descritta.
L’oggetto in esame `e la strategia d’investimento di un gestore di un hedge
fund, con orizzonte temporale di uno o piu` anni. Si modellizza il gestore
come un’ottimizzatore di utilita` attesa, con utilit`a potenza, e si introduce, con un approccio realistico, la possibilit`a di chiudere e liquidare il fondo volontariamente in itinere. Implementando un algoritmo di ottimizzazione in Matlab otterremo dei risultati da cui si potranno evincere strategie di investimento molto diverse e sensibili al valore del fondo, che analizzeremo anche al variare di determinati parametri di modello.
1JOURNAL OF FINANCIAL AND QUANTITATIVE ANALYSIS Vol. 42, No. 4, Dec. 2007, pp. 811–826.
Indice
Introduzione iv
1 Il modello matematico 1
2 Il modello base monoperiodale 4
2.1 Il modello stocastico 4
2.2 Lo shutdown esogeno 5
2.3 Il processo di ottimizazione 5
2.4 Risultati 6
3 La chiusura endogena 9
4 Il caso multiperiodale 12
5 Dipendenza dai parametri 15
5.1 La tecnologia di investimento: µ e σ 16
5.2 Il tasso di interesse: r 17
5.3 La funzione di utilit`a del gestore: γ 21
5.4 La quota di proprieta` del gestore: a 23
6 Conclusioni 25
Appendices 29
A La griglia 30
B Le probabilit`a di transizione 31
C I valori ai bordi 33
D Gestione della path dependency 34
E Codici Matlab 35
i
Elenco delle figure
2.1 | Caso monoperiodale | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 7 |
3.1 | Caso monoperiodale | con shutdown endogeno . . . . . . . . . . | 10 |
4.1 | Caso multiperiodale | con shutdown endogeno: anno 2, con | |
maturity T = 3 anni | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 14 | |
4.2 | Caso multiperiodale maturity T = 3 anni | con shutdown endogeno: anno 1, con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 14 |
5.1 Shutdown esogeno 17
5.2 Shutdown endogeno 17
5.3 Multiperiodale: anno 1 di 3 17
5.4 Multiperiodale: anno 2 di 3 17
5.5 Shutdown esogeno 18
5.6 Shutdown endogeno 18
5.7 Multiperiodale: anno 1 di 3 18
5.8 Multiperiodale: anno 2 di 3 18
5.9 Shutdown esogeno 19
5.10 Shutdown endogeno 19
5.11 Multiperiodale: anno 1 di 3 19
5.12 Multiperiodale: anno 2 di 3 19
5.13 Shutdown esogeno 20
5.14 Shutdown endogeno 20
5.15 Multiperiodale: anno 1 di 3 20
5.16 Multiperiodale: anno 2 di 3 20
5.17 Shutdown esogeno 21
5.18 Shutdown endogeno 21
5.19 Multiperiodale: anno 1 di 3 21
5.20 Multiperiodale: anno 2 di 3 21
5.21 Shutdown esogeno 22
5.22 Shutdown endogeno 22
ii
ELENCO DELLE FIGURE iii
5.23 Multiperiodale: anno 1 di 3 22
5.24 Multiperiodale: anno 2 di 3 22
5.25 Shutdown esogeno 24
5.26 Shutdown endogeno 24
5.27 Multiperiodale: anno 1 di 3 24
5.28 Multiperiodale: anno 2 di 3 24
B.1 Distribuzioni discrete per i valori estremi di k 32
Introduzione
L’ottica sotto cui ci si pone `e quella di un soggetto interessato ad investire denaro in un hedge fund con la prospettiva di guadagni interessanti a fronte di un’esposizione al rischio ragionevole. In genere un fondo di investimento `e un’opzione importante perch`e possiede una cosiddetta “tecnologia di investi- mento” competitiva rispetto alla media di mercato: essa rappresenta tutte le conoscenze, i software e le informazioni di mercato di cui il fondo pu`o disporre per elaborare strategie ottime di allocazione della ricchezza. Naturalmente ogni fondo `e molto riservato riguardo alle proprie strategie d’investimento e, pur dovendo rispettare delle politiche di trasparenza verso enti di supervisio- ne, fa in modo che non diventino pubbliche e quindi replicabili. Da questo nasce il problema di un potenziale investitore di sapere a priori, almeno con un dato sintetico, quali scelte verranno fatte dal gestore del fondo.
La tesi punta a descrivere l’insieme di queste scelte attraverso un unico fattore: la propensione o avversione al rischio. Si suppone quindi che tutto si riduca alla scelta del gestore di quanto investire del valore del fondo in un ipotetico titolo rischioso contro un ipotetico titolo privo di rischio; si ag- giunge la complicazione di una potenziale chiusura del fondo dovuta a fattori esterni (di solito un fondo viene chiuso o il gestore licenziato facilmente se performa molto male) oppure alla volont`a del gestore stesso di licenziarsi e cercare opportunit`a migliori. Nel complesso una corretta e precisa predizio- ne di questi fattori congiunti, obbiettivo che Xxxxxx and Jackwerth (2007) insieme ad altri contribuiscono a raggiungere, dovrebbe offrire all’investitore un’idea di cosa aspettarsi dal proprio gestore e di quali condizioni vadano evitate.
Quando si parla di allocazione ottima in letteratura non si pu`o non men- zionare la soluzione di Xxxxxx (1969), che offre un punto di riferimento as- soluto, in un contesto molto semplificato, ma che ha garantito una soluzione in formula chiusa. In tale contesto si modellizza un ottimizzatore di utilit`a attesa (consideriamo il caso utilit`a potenza come in Hodder and Jackwerth
iv
INTRODUZIONE v
(2007)) che divide la propria ricchezza tra un titolo rischioso che evolve come un moto browniano geometrico e un titolo privo di rischio con tasso d’inte- resse costante. Come sappiamo ci`o che ha ottenuto Xxxxxx (1969) `e che la soluzione ottima `e un’allocazione costante sia nel tempo che nella ricchezza, proporzionale allo spread tra rendimento medio rischioso e tasso d’interesse privo di rischio, e inversamente proporzionale al coefficiente di avversione al rischio e alla volatilit`a. Xxx Xxxxxx l’ottimizzatore detiene direttamente la ricchezza che investe, ragion per cui l’utilit`a `e funzione direttamente della ricchezza stessa, mentre quando la gestione viene affidata ad un fondo, chi sceglie la strategia ottiene una retribuzione che potrebbe essere nonlineare nella ricchezza ed avere quindi una soluzione ottima differente. Questo `e il nodo gordiano da sciogliere: una retribuzione nonlineare potrebbe dare vita, almeno in alcune condizioni, ad una sorta di “conflitto di interessi” tra il ge- store e l’investitore, per il quale si pu`o assumere come abbastanza realistica la soluzione di Xxxxxx. Da questo punto la letteratura si `e evoluta pren-
dendo in considerazione casi piu` realistici come quello di una chiusura del
fondo ( si veda per esempio Xxxxxxxxx, Xxxxxxxxx, and Xxxx (2003)), oppure un payoff nonlineare appunto (si citano Xxxxxxxxx (2000) e Basak, Xxxxxxx, and Xxxxxxx (2007)), che arricchiscono il panorama delle soluzioni in modo assolutamente non banale.
Hodder and Jackwerth (2007) si inserisce in questo ramo di letteratura in un framework dominato da un payoff particolare, molto diffuso presso i contratti di remunerazione degli hedge fund, definito high water mark: esso ha una componente nonlineare di tipo Call Option con l’ulteriore complicazione di “aggiornare” il proprio strike di anno in anno se l’opzione viene esercitata. Il valore aggiunto `e dunque una soluzione numerica, il cui costo computaziona- le scala linearmente nel tempo, di un problema di ottimizzazione nonlineare con path dependency.
Nell’elaborato si descrive innanzitutto il modello matematico del gestore, con definizione del payoff, dell’utilit`a attesa e del processo stocastico che guida il titolo rischioso, oltre a definire matematicamente alcuni aspetti, gi`a ci- tati, come la potenziale chiusura del fondo. Successivamente si definiscono dei parametri di riferimento per il modello (gli stessi usati da Xxxxxx and Jackwerth (2007)) e si adotta un approccio “additivo” alla complicazione del problema: prima si descrive il processo di ottimizzazione nel caso monoperio- dale con chiusura esogena (i.e. fissata a priori); poi si aggiunge la condizione di chiusura endogena (volontaria del gestore) ed infine si considera il caso multiperiodale. Durante la costruzione del modello si presentano e si com- mentano i risultati relativi ad ogni caratteristica aggiunta.
Completano la trattazione altri risultati ottenuti negli stessi framework ma variando alcuni parametri significativi.
Capitolo 1
Il modello matematico
Prima di tutto introduciamo il piano di remunerazione del gestore che pre- senta una andamento in funzione del rendimento non lineare: ci`o, vedremo, influenzer`a notevolmente i risultati. Il contratto (payoff) `e composto da tre fattori:
•
Share : quota di azioni del fondo direttamente posseduta dal gestore (a = 10%)
•
Management fee : quota annua proporzionale al valore del AUM (b = 2%)
•
Incentive fee : quota proporzionale al sovrarendimento rispetto ad un valore di riferimento, detto High Water Mark (c = 20%)
Proprio quest’ultimo rappresenta la caratteristica chiave dell’analisi, intro- ducendo una non linearit`a e una path-dependency assolutamente non banali, per cui approfondiamo questo meccanismo. Inizialmente l’high water mark (Ht d’ora in poi) `e pari al valore inziale del fondo (X0 = 1 per semplicit`a). Alla fine dell’anno T = 1 il payoff risulta essere
W1 = aX1 + (1 − a)bTX1 + (1 − a)c[X1 − H0]+ (1.1)
dove H0 = X0 = 1.
Ora se per t = 1 abbiamo Xt ≤ H0, allora H1 = H0 = 1. Altrimenti se X1 > H0 allora H1 = X1, ovvero Ht viene ridefinito alla fine di ogni anno se effettivamente il fondo ha superato tale soglia. Di fatto `e analiticamente molto simile al payoff di una Opzione Call, con strike che cambia se alla fine dell’anno l’opzione era “In the Money”.
Come noto, e come sottolineato in Hodder and Jackwerth (2007), lo studio di questo particolare tipo di contratto `e di grande interesse perch´e rappresen- ta uno standard affermato nel mondo degli hedge funds e perch´e la quantit`a
1
di risorse investite in hedge funds nel mondo `e dell’ordine delle migliaia di miliardi di dollari.
E` importante, per ottenere un modello realistico e significativo, tener
conto di svariati fattori:
•
L’orizzonte temporale: per vari motivi un gestore potrebbe porsi in un ottica di breve periodo, per esempio la presenza di altre opportu- nit`a lavorative, oppure avere ragionevoli aspettative di gestire un fon- do per molti anni. Questo come vedremo cambier`a nettamente la sua strategia.
•
Chiusura esogena del fondo: spesso un fondo che performa male viene chiuso o il gestore licenziato; questo rappresenta un fattore esterno al modello e viene introdotto attraverso un “effetto barriera”, ovvero si assume che il fondo venga liquidato e chiuso se raggiunge un certo livello negativo rispetto al valore iniziale.
•
Chiusura endogena del fondo: `e possibile che in ogni caso il gestore decida di liquidare e chiudere il fondo, o licenziarsi, di fronte alla pro- spettiva di ottenere una differente posizione lavorativa piu` remunera- tiva; questo richiede l’introduzione di un fattore aggiuntivo nella otti- mizzazione, che ad ogni passo confronti l’utilit`a attesa della strategia d’investimento migliore con l’utilit`a della offerta di lavoro alternativa.
In questo contesto si ottengono risultati assai piu` complessi della classica so- luzione costante di Xxxxxx (1969), anche se ritroveremo dei comportamenti analoghi in alcune circostanze particolari, per esempio per valori del fondo molto lontani dai punti di “trigger” come l’high water mark o vicini al punto di chiusura del fondo stesso.
Nel primo caso infatti avremo che per valori del fondo appena sotto la soglia di Ht si assumer`a un rischio decisamente piu` alto mentre si abbasser`a appena sopra tale soglia, perch`e il gestore ha una prospettiva di forte guada- gno se l’opzione finisce “In the Money”; chiameremo questo punto Option Ridge.
Questo comportamento sar`a molto marcato con un orizzonte di un solo anno, ma si ridurr`a fino a sparire allungando la prospettiva a piu` anni. In
Xxxxxx and Jackwerth (2007) gli autori propongono uno studio di Xxxxx, Xxxxxxxxx, and Park (2001) come limitata prova che un simile comporta- mento sia consistente con la realt`a, mostrando come fondi che sovraperfor- mano nella prima met`a dell’anno tendono ad una piu` limitata volatilit`a nella seconda met`a e viceversa. Tuttavia spesso fondi che sottoperformano vengo- no chiusi: introducendo quindi una condizione di “Shutdown” esogena (i.e. Xt minore di una soglia prefissata) il gestore eviter`a sempre di finire contro questa soglia e il fattore di rischio verr`a ridotto sempre piu` fino ad arrivare ad un investimento puramente riskless in prossimit`a di esso. Questo risultato
`e in perfetta analogia con Xxxxxxxxx, Xxxxxxxxx, and Xxxx (2003).
Purtroppo questo risultato `e incompatibile con la frequenza di chiusu- ra dei fondi di investimento nella realt`a (si veda Xxxxxxxxx, Lo, and Mei
(2004)), che `e molto piu` alta: si rende necessario quindi un approccio piu`
realistico rappresentato dalla possibilit`a di uno shutdown endogeno, in cui
il gestore in ogni momento puo` di un guadagno alternativo.
decidere di liquidare tutto con la prospettiva
Questo significa che il gestore ha a disposizione una scelta di tipo “Ame- rican Call Option”. Una caratteristica singolare di questa situazione `e che in prossimit`a dei “valori di chiusura” del fondo si ottiene una strategia mol- to piu` rischiosa del caso di chiusura esogena sia nel caso mono- che multi- periodale, poich`e in quella circostanza il gestore ha molto da guadagnare e relativamente poco da perdere. A sostegno di ci`o gli autori citano il ri- sultato, ottenuto pero` in un contesto di “fondo comune”, di Hu, Kale, and Xxxxxxxxxxx (2005) che da evidenza di una maggiore propensione al rischio al crescere delle probabilit`a di chiusura del fondo.
Daremo a questo fenomeno il nome di Decision Ridge.
In sostanza abbiamo che le caratteristiche di questa tecnica di remunerazio- ne inducono comportamenti decisamente piu` propensi al rischio in condizioni particolari mentre si appiattiscono verso strategie piu` costanti “alla Xxxxxx” lontano dai punti critici; in generale tutti questi “picchi” si assottigliano in un framework multiperiodale.
Andiamo ora ad esaminare nel dettaglio il modello e le tecniche di riso- luzione adottate, relegando per semplicit`a alcune tecnicalit`a alla Appendice.
Capitolo 2
Il modello base monoperiodale
Iniziamo introducendo il modello con il caso piu` semplice: orizzonte tempo- rale di un anno (quindi non si deve gestire la path dependency) e shutdown esogeno (chiusura a soglia prefissata).
2.1 Il modello stocastico
Il fondo ha una ricchezza iniziale di X0 che pu`o, in tempi discreti, essere riallocata dividendola tra due soli titoli: titolo privo di rischio con interesse annuo r, e titolo rischioso rappresentante la tecnologia d’investimento pro- prietaria del fondo, che si assume non replicabile dal momento che in genere le strategie d’investimento non vengono rese pubbliche. Il rendimento di que- st’ultimo viene modellizzato come un moto browniano geometrico con media
dell’esponenziale µ e volatilit`a σ. In virtu` di questo l’incremento in dt del
log-rendimento totale del fondo risulta essere una v.a. gaus√siana con para-
2
metri µk,dt = [kµ +(1 − k)r − 1 k2σ2]dt e volatilit`a σk,dt = kσ dt, dove dt `e il
passo di discretizzazione temporale e k `e la percentuale di ricchezza investita nel titolo rischioso1.
Il processo verr`a discretizzato in step temporali equispaziati e verr`a trattato come una Catena di Markov con spazio di stato dato da una discretiz- zazione equispaziata del log-valore del fondo x = ln(X). Le probabilit`a di transizione vengono quindi approssimate da una distribuzione gaussiana di- screta con i parametri definiti sopra (si veda l’Appendice per i dettagli).
Il processo di scelta ottima della k, step-by-step, viene fatta discretizzando k (da 0.2 a 5, si veda l’Appendice) e calcolando il massimo dell’utilit`a attesa futura in base ad una distribuzione di probabilit`a precalcolata, dipendente
1NB: ´e possibile (e anzi frequente) che k > 1, ovvero che il fondo investa piu` della propria ricchezza nella tecnologia d’investimento e vada corto sul titolo privo di rischio.
4
da k.
Gli autori hanno optato per questo approccio per due fondamentali ragio- ni: precisione e costo computazionale. Naturalmente preallocare dei valori per le probabilit`a risparmia i calcoli richiesti da una routine di ottimizza-
zione ad ogni passo e, piu` importante, il suddetto metodo fornisce sempre
il risultato ottimo globale anche per funzioni di utilit`a non concave, mentre una tecnica di ottimizzazione locale potrebbe bloccarsi in un massimo locale. D’altronde un metodo basato sul gradiente incontrerebbe difficolt`a a causa della discontinuit`a delle derivate.
2.2 Lo shutdown esogeno
Nel caso il fondo abbia performance ragionevolmente buone rester`a in vita fino alla fine dell’anno, garantendo al gestore una parte a dei rendimenti in virtu` della quota posseduta direttamente, una percentuale b del valore totale del fondo sotto forma di management fee, e una incentive fee c dell’eccesso di rendimento rispetto all’high water mark H0, come in (1.1). Per rappresentare l’eventualit`a di una chiusura prematura, l’approccio piu` semplice `e fissare una proporzione del high water mark ad inizio anno (φ = 50%) raggiunta la quale il fondo venga automaticamente liquidato, come nel gi`a citato Xxxxxxxxx, Xxxxxxxxx, and Xxxx (2003).
Si trascurano tutti gli attriti finanziari e legali, per cui in questo scenario il gestore otterr`a un guadagno, al tempo di chiusura τ pari a
Wτ = aXτ + (1 − a)bτ Xτ (2.1)
≤ ≤
per 0 τ T .
Il gestore recupera la propria quota del fondo al suo valore di mercato (si noti che non abbiamo sostituito Xτ con φH perch`e in un contesto a tempo discreto in τ si pu`o avere un valore strettamente inferiore) e una management fee proporzionale a τ , ovvero la frazione di anno trascorsa.
2.3 Il processo di ottimizazione
Il processo si sviluppa partendo da un’utilit`a attesa in funzione del payoff finale WT come in (1.1) calcolato per ogni valore della griglia. La funzione di utilita` `e di tipo potenza, con un coefficiente relativo di avversione al rischio costante (CRRA) pari a γ:
T
U (WT ) =
W (1−γ) − 1
1 − γ
(2.2)
Poi per ogni passo dt, si procede backward in time: per ogni valore di x si calcola l’utilit`a attesa indiretta Jx,T−dt in base alla distribuzione di proba- bilit`a gia` definita e all’utilit`a del passo precedente, per ogni valore di k; si sceglie quindi il valore di k che massimizza tale risultato. Si ripete il proce- dimento fino all’inizio dell’anno.
Riassumendo le equazioni di ricorsione sono
Jx,T = U (WT ); Jx,t = xxx Xx[Jx,t+dt] (2.3)
k
2.4 Risultati
Per i test numerici sono stati usati i valori di riferimento considerati in Hodder and Jackwerth (2007), che riportiamo in tabella.
Maturity | T | 1 |
Capitale iniziale | X0 | 1 |
Passi discretizzazione log-valori | 1800 | |
Passi temporali per anno | n | 50 |
dx | ln(1/0.5)/600 = 0.001155 | |
Coefficiente di avversione al rischio | γ | 4 |
High water mark iniziale | H | 1 |
Soglia di liquidazione | φ | 0.50 |
Quota share posseduta | a | 0.10 |
Management fee | b | 0.02 |
Incentive fee | c | 0.20 |
Tasso di interesse privo di rischio | r | 0.0578 |
Media rendimenti | µ | 0.0778 |
Volatilit`a rendimenti | σ | 0.05 |
∗ −
La discretizzazione di x `e tale per cui ci sono 600 valori tra X0 = 1 e φ = 0.5 e 1200 sopra X0, per un totale di 1800; quindi dx `e scelto in modo tale che 600 dx = ln(1) ln(0.5).
Xxxxxx and Jackwerth (2007) hanno scelto i valori del rendimento in modo tale da ottenere uno Xxxxxx Ratio di 0.40, in analogia al caso in Xxxxx, Xxxxxxxxx, and Xxxxxxxx (1999). Si noti inoltre che in questo contesto ha senso tenere a mente il risultato importante di Xxxxxx (1969), anche se esso `e riferito ad un contesto in tempo continuo, che vuole la scelta di investimento
ottima costante
k = µ − r = 2 (2.4)
γσ2
Ecco infine i risultati ottenuti dalla nostra simulazione: la curva rappresenta la scelta di investimento kx,t.
Figura 2.1: Caso monoperiodale
Analizziamo la Figura 2.1 da sinistra a destra, ovvero al crescere del va- lore del fondo: si nota che per valori prossimi allo shutdown la posizione si sposta rapidissimamente verso il titolo privo di rischio. Si definisce questo punto Valley of Prudence, poich`e l’ottimizzatore cercher`a di evitare a tut- ti i costi la chiusura del fondo la quale comporterebbe sia l’impossibilit`a di opportunit`a di fortuna successive sia una retribuzione inferiore (si noti che la management fee dipende proporzionalmente dal tempo).
Interessante constatare che per valori ragionevolmente lontani dalla soglia di chiusura la strategia si attesta su un valore costante, proprio quello della soluzione alla Xxxxxx: i Xxxxxx Flats. Infatti qui il payoff `e lineare come in Xxxxxx (1969) e il valore del fondo sufficientemente lontano dai “valori di trigger”. L’aspetto ora piu` notevole `e quello che gli autori definiscono Op- tion Ridge, ovvero che appena sotto al valore di high water mark (H0 = 1) si ha una presa di rischio enorme, in particolare allo scadere della maturity (ricordiamo che k = 5 `e il massimo valore testato). Infatti l’ottimizzatore cerca di massimizzare la probabilit`a che l’incentive fee finisca “In the Mo- ney” perch`e ci`o garantisce guadagni notevoli rispetto alla zona con payoff lineare; al contrario appena superata la soglia la presa di rischio crolla imme- diatamente fino a valori persino inferiori all’ottimo di Xxxxxx. Questo si pu`o spiegare pensando che il gestore, appena superato l’high water mark, cerchi di evitare di andare “Out of the Money”. Comincia cos`ı la Ramp-up to
Xxxxxx Flats, che sale lentamente allontanandosi dall’Option Ridge fino ad arrivare (in un punto fuori dalla figura) di nuovo alla condizione costante.
La letteratura sull’argomento `e ricca, per i motivi citati all’inizio, e ci sono alcuni articoli che Hodder and Jackwerth (2007) trovano interessante mettere in relazione col proprio, come Xxxxxxxxx (2000) e Xxxxx, Xxxxxxx, and Xxxxxxx (2007) che si concentrano proprio su questi aspetti in casi di mutual funds, oppure Xxxxxxxxx, Xxxxxxxxx, and Xxxx (2003) che si concen- trano sulla valutazione di claims generali (tra cui possibili management fees) relativi agli asset di un fondo di investimento. Tutte queste trattazioni hanno tuttavia alcune sottili differenze con l’articolo di riferimento che portano a risultati differenti sotto alcuni aspetti.
Xxxxxxxxx (2000) prende in considerazione un payoff di tipo Call Option con strike pari ad un benchmark di riferimento del tutto analogo al nostro high water mark, ma a cui viene aggiunta una retribuzione fissa anzich`e la management fee lineare. In Basak, Xxxxxxx, and Xxxxxxx (2007) `e simile ma al posto della Call Option c’`e una Call binaria “asset or nothing” ed `e presente una quota del fondo direttamente posseduta dal gestore. Entrambi trovano un’esposizione al rischio enorme vicino al punto di esercizio dell’opzione, come l’Option Ridge, che crolla appena essa va “In the Money” e tende a risalire lentamente per valori del fondo tanto grandi da offrire scarse probabilit`a di uscire da tale zona. Tuttavia, al di sotto del valore di esercizio, in Basak, Xxxxxxx, and Xxxxxxx (2007) la strategia si assesta sull’ottimo di Xxxxxx per qualsiasi valore (entrambi questi casi non presentano uno shutdown), mentre in Xxxxxxxxx (2000) l’esposizione al rischio cresce all’infinito per valori del fondo che tendono a zero. Questo `e dovuto all’assenza nel secondo caso sia di una “share position” sia di un vincolo di chiusura, per cui si `e spinti solo dall’incentivo di aumentare le probabilit`a di ritornare “In the Money”.
Per un confronto sul caso di possibile shutdown si consideri Xxxxxxxxx,
Xxxxxxxxx, and Xxxx (2003), dove viene fissata una soglia di chiusura che se raggiunta porta a zero il payoff (Call Barriera Down&Out). Esattamente come nel nostro caso la barriera viene evitata ad ogni costo portando k a zero in prossimit`a della soglia.
Capitolo 3
La chiusura endogena
Confrontandosi con il dato reale appare subito evidente che il tasso di chiusu- ra dei fondi `e decisamente significativo e non pu`o essere spiegato dal modello visto finora, che di fatto vede ridurre a zero la probabilita` di chiusura. A prova di ci`o Hodder and Jackwerth (2007) citano Xxxxxxxxx, Lo, and Xxx (2004), che riportano un tasso di attrito medio annuo del 8.8% per i fondi nel database TASS nel periodo 1994 - 2003. Questo tasso include una notevole variet`a di casistiche, ma `e chiaro che una buona parte di tali fondi viene rimosso dal database perch`e viene chiuso.
Per spiegare questo fenomeno si lascia la possibilit`a al gestore di chiudere volontariamente, con la prospettiva di guadagni alternativi. Prima di tutto Xxxxx, Xxxxxxxxx, and Xxxxxxxx (1999) suggeriscono che la volont`a di chiu- dere sorga dalle scarse probabilit`a, in un orizzonte temporale ragionevole, di ottenere l’incentive fee se il fondo sta performando male e che i costi fissi sia- no gravosi rispetto alla semplice management fee; inoltre si pu`o facilmente immaginare che il gestore abbia la possibilit`a di chiudere il fondo per aprirne uno nuovo oppure trovare possibilit`a d’impiego altrove. Certamente questa eventualit`a viene comunque evitata se possibile perch`e il gestore potrebbe volere investire una parte dei propri risparmi nella tecnologia di investimen- to del fondo (nel nostro caso a = 10%) che `e molto remunerativa e non pu`o farlo se il fondo viene chiuso. Questo sistema conferisce al nostro problema l’aspetto di una Opzione Americana, in cui ad ogni passo l’ottimizzatore deve confrontare l’utilit`a massima attesa indiretta delle strategie di investimento con l’utilit`a attesa di chiusura del fondo. Modellizziamo tutti gli aspetti sud- detti in modo molto semplice ma efficace: sintetizziamo tutte le alternative con un ipotetico rendimento annuo (es. stipendio) L che si somma al payoff ottenuto in caso di chiusura al tempo τ .
Wτ = aXτ + (1 − a)bτ Xτ + L(T − τ ) (3.1)
9
Investimento ottimo con opzione di chiusura e retribuzione annua L = 0.018.
≤ ≤
Figura 3.1: Caso monoperiodale con shutdown endogeno per 0 τ T .
Come prima si ottiene la quota detenuta e la management fee proporziona- le a τ , con l’aggiunta di un termine proporzionale alla “time to maturity”. Nel nostro processo “backward in time” dovremo dunque confrontare l’utilit`a attesa del payoff in (3.1) con l’utilit`a attesa corrispondente alla kx,t ottima calcolata come sopra.
Il risultato in Figura 3.1 rimane identico per quanto riguarda l’Option Ridge e per i valori del fondo superiori al high water mark, ma compare un nuovo picco tra l’Option Ridge e il punto di chiusura esogena, seguito da un crollo immediato a zero: battezziamolo Decision Ridge. Di fatto con i valori scelti non si raggiunge mai la condizione di chiusura forzata perch`e avviene prima la chiusura volontaria del gestore, non appena le probabilit`a di ritornare alla regione “In the Money” dell’incentive fee diventano troppo bas- se. Il picco precedente la chiusura `e dovuto al fatto che si cerca di aumentare sempre le probabilit`a di ottenere l’incentive fee e non si ha molto da perdere ad assumersi rischi perch`e, in caso di chiusura, la retribuzione alternativa si comporta da “paracadute” garantendo comunque un’utilit`a significativa.
Lo studio di questo punto critico `e importante per un potenziale investitore di un fondo che desidera naturalmente che esso rimanga in vita e non chiuda prematuramente: infatti in caso di chiusura per basse performance gli inve- stitori perdono la possibilit`a di veder gestito il proprio capitale mantenendo
basse probabilit`a di dover pagare l’incentive fee a fine anno, mentre passando ad un altro fondo l’high water mark viene resettato. Poter valutare a priori il punto di liquidazione endogena sarebbe dunque una cosa di grande inte- resse per gli investitori che altrimenti si possono trovare in situazioni in cui soffrono di alte prese di rischio per l’option ridge e si vedono poi chiuso il fondo per valori di poco inferiori al high water mark.
Capitolo 4
Il caso multiperiodale
Estendendo l’orizzonte temporale del gestore a piu` anni il suo comportamen- to assume caratteristiche sensibilmente diverse che discuteremo nei risultati;
`e perci`o molto importante trattare efficacemente questo caso. In particolare si noti la principale complicazione: dato il possibile resetting del high water mark si crea una path-dependency che va gestita in modo computazional- mente sostenibile. Come in Xxxxxxxxx (2000) e Basak, Xxxxxxx, and Xxxxxxx (2007), le scelte d’investimento ottime tendono ad essere molto piu` “modera- te” dal fatto che non solo prenda in considerazione il payoff alla fine dell’anno corrente ma anche le opportunit`a di payoff degli anni futuri e ci`o rende piu` appetibile la prospettiva di mantenere in vita il fondo anche in regime di ren- dimenti bassi. Analiticamente Hodder and Jackwerth (2007) notano che in una opzione Call, la “gamma” (convessit`a) `e una funzione decrescente della Time To Maturity e decresce molto rapidamente per valori del sottostante prossimi al “At the Money”: questo comporta che per valori del fondo appe- na sotto l’high water mark, con grande orizzonte temporale, la componente non lineare tende a comportarsi come una “quota share” e dunque contribui- sce a moderare le strategie rischiose. A supporto di ci`o si cita Xxxxxxxx and Xxxxxxxxx (2008) che ottengono, pur in un framework un po’ diverso, che la scelta ottima in caso multiperiodale diventa sostanzialmente una allocazione costante; si noti che nel caso citato siamo in un contesto a tempo e spazio di stato continui e inoltre le condizioni di shutdown sono esogene ma di tipo aleatorio (l’attimo di chiusura `e definita da una Poisson).
L’implementazione di questo modello pu`o essere complessa, poich´e du- rante la nostra backward recursion dobbiamo, alla fine di ogni anno, aggiun- xxxx l’utilit`a attesa dell’anno corrente all’utilita` relativa al payoff dell’anno precedente; purtroppo l’utilit`a attesa futura dipende dal fatto che alla fine dell’anno precedente abbia superato l’high water mark oppure no. Se alla
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fine dell’anno Xt < Ht−1 allora la soglia rimane inalterata all’anno successi- vo e quindi l’utilit`a attesa `e semplicemente l’utilit`a attesa indiretta calcolata con valore iniziale Xt. Al contrario se Xt > Ht−1 allora l’high water mark si aggiorna e gli autori propongono una soluzione semplice ed elegante per gestire questo caso: l’utilit`a attesa indiretta `e l’utilit`a nel caso si parta da Xt = Ht−1, riscalata (moltiplicata) per il rapporto tra il valore effettivo di Xt e Ht−1. Ci`o `e reso possibile dall’ipotesi di funzione di utilit`a potenza, che ci assicura che le scelte ottime del gestore non cambiano se scalo dello stesso fattore sia high water mark che payoff finale (cio`e se parto con Xt = Ht = 2 ho utilit`a attesa doppia rispetto a partire con Xt = Ht = 1).
Per capire graficamente cosa succede analizziamo il caso in cui si ha un orizzonte temporale di T di 3 anni e osserviamo la soluzione anno per anno. In Figura 4.1 e Figura 4.2 possiamo vedere, rispettivamente, le strategie di rischio nel secondo e primo anno di attivit`a, mentre non riportiamo l’ultimo anno poich`e, ovviamente, si ottiene una figura esattamente identica alla Fi- gura 3.1, quando ormai l’orizzonte temporale si `e ridotto ad un solo anno. Ricordiamo che, se il fondo non viene liquidato, il gestore ottiene una ma- nagement fee ed eventualmente una incentive fee alla fine di ogni anno ed in tal caso l’high water mark si aggiorna; al contrario se il fondo viene chiuso si suppone che ottenga una retribuzione annua di L fino alla fine dell’orizzonte temporale. Appare subito evidente che al secondo anno l’option ridge c’`e ma decisamente ridotto rispetto al caso prima e al primo anno esso scompare qua- si completamente. Abbiamo ottenuto il risultato sospettato: in un orizzonte di lungo periodo le scelte di rischio piu` estreme non sono ottimali perch`e si `e spinti a “resistere” di piu` anche quando le cose vanno male, in vista di occa- sioni future. Tuttavia spostando l’attenzione all’altra caratteristica notevole della nostra curva, il decision ridge, si vede che con l’allungarsi di T il picco massimo di rischio si alza ma contemporaneamente il punto di liquidazione si abbassa. Anche questo pu`o essere spiegato con le stesse argomentazioni, per cui il gestore tiene il fondo in vita piu` a lungo sperando in una ripresa futura, anche se, con la prospettiva di una retribuzione alternativa, `e comun- que propenso ad assumere sempre piu` rischio avvicinandosi alla barriera. In Hodder and Jackwerth (2007) gli autori portano anche l’attenzione sul fatto che gi`a con orizzonte di tre anni la variazione nel tempo (all’interno dello stesso anno) della curva si riduce enormemente. Procedendo con esempi di orizzonti sempre piu` lunghi (fino a 30 anni) il decision ridge si avvicina sem- pre piu` alla barriera di shutdown per poi scomparire e portare di nuovo ad una rampa che parte dalla barriera e si alza fino a raggiungere una Xxxxxx Flat costante per valori del fondo superiori all’high water mark.
Figura 4.1: Caso multiperiodale con shutdown endogeno: anno 2, con maturity T = 3 anni
Figura 4.2: Caso multiperiodale con shutdown endogeno: anno 1, con maturity T = 3 anni
Capitolo 5
Dipendenza dai parametri
Per completare la trattazione vediamo se e come cambiano le soluzioni trova- te al variare dei parametri di modello piu` significativi: questa analisi ulteriore pu`o essere importante perch`e esistono una vastit`a e variet`a notevoli all’in- terno del mondo degli hedge funds, per cui non tutti i gestori sono uguali e, anzi, sono possibili scenari molto differenti per caratteristiche di contratto, orizzonte temporale e parametri di mercato. Ho deciso di concentrare l’anali- si proprio su quest’ultimi: la dipendenza rispetto alle “variabili di mercato” `e interessante perch`e su tali parametri si possono dare stime a priori piuttosto significative (per esempio sul tasso d’interesse risk free oppure sul rendimento atteso del fondo) e, a condizione di sapere quali valori dei parametri portano
al risultato piu` allettante per l’investitore, `e possibile fare una scelta ocu-
lata del gestore e sapere in anticipo (almeno a grandi linee) quali saranno le sue strategie di rischio. Un altro fattore da tenere a mente `e che i valori utilizzati da Hodder and Jackwerth (2007) sono riferiti ad uno scenario di mercato antecedente il 2007, quindi piuttosto datati e fuori scala rispetto a quelli attuali, in particolare il tasso di rendimento privo di rischio, oggi molto vicino allo zero.
D’altro canto non si toccano i parametri numerici di discretizzazione n`e le probabilit`a di transizione (se non per come dipendono da µk,dt e σk,dt) perch`e tutti i grafici ottenuti offrono gi`a una buona precisione e qualit`a.
Si rammenta che, in cascun caso trattato, vengono sempre utilizzati i valori riportati nel Capitolo 2.4 salvo per le variazioni sui parametri espressamente indicate di volta in volta.
15
5.1 La tecnologia di investimento: µ e σ
Per iniziare studiamo cosa succede se il fondo utilizza una tecnologia di in- vestimento che riflette un profilo particolarmente aggressivo (speculativo), quindi con un rendimento medio piu` alto ma anche con volatilit`a piu` alta,
oppure piu` prudente, viceversa rendimento e volatilit`a bassi. Mantenendo
inalterato r, settiamo µ = 0.0978 (raddoppia lo spread tra r e µ) e definiamo
σ
σ in modo tale da ottenere lo stesso Xxxxxx Ratio µ−r
= 0.40 di Hod-
der and Jackwerth (2007) e Xxxxx, Xxxxxxxxx,and Xxxxxxxx (1999); quindi σ = 0.10. La scelta di mantenere inalterato lo Xxxxxx Ratio e di ottenere di conseguenza un ottimo di Xxxxxx differente `e che il primo `e un parametro di- rettamente legato ai valori di mercato (`e un indice del premio per il rischio) mentre il secondo `e legato alla funzione di utilit`a del gestore e rappresen- ta la soluzione di un problema particolare ottenuto sotto ipotesi particolari. Detto ci`o, la soluzione di Xxxxxx (1969) `e sempre un importante punto di riferimento e notiamo che con questi valori risulta essere kM = 1.
In Figura 5.1 appare evidente che anche in questo caso per valori di X compresi tra il punto di liquidazione e l’high water mark la soluzione ottima si assesta al valore dell’ottimo di Xxxxxx; in prossimit`a della liquidazione k tende a zero e appena sotto H0 si ha l’Option Ridge. Tutta la figura risulta uguale al caso base ma “riscalata” per il valore di kM , che `e la met`a rispetto al riferimento. Anche le Figure 5.2, 5.3, 5.4 risultano topologicamente analoghe alle corrispettive gi`a analizzate, ma con tutti i valori dimezzati: si noti per esempio il punto raggiunto dal Decision Ridge nel caso multiperiodale ( circa 2 in Figura 5.3, contro circa 4 in Figura 4.2). I valori di X di shutdown endogeno sono gli stessi.
Anche per il caso di tecnologia di investimento piu` prudente, con µ =
0.0728 e σ = 0.0375 (sempre Xxxxxx Ratio di 0.40), abbiamo un risultato uguale: considerando che l’ottimo di Xxxxxx `e kM = 2.6667, le Figure 5.5 -
5.8 hanno le stesse caratteristiche (Option e Decision Ridge, Xxxxxx Flats) ma i relativi valori di k della curva sono piu` grandi, riscalati del rapporto tra kM = 2.6667 e k = 2 di Hodder and Jackwerth (2007).
Dai precedenti risultati possiamo capire che, in accordo al modello descrit- to nell’elaborato, i profili di investimento in titoli rischiosi variano rispetto ai valori di mercato proporzionalmente rispetto alla variazione della soluzione di Xxxxxx (1969), ma le caratteristiche topologiche delle curve (picchi, pianure, punti di shutdown) rimangono inalterate; per cui tutte le criticalit`a spiega- te nei capitoli precedenti rimangono indipendentemente dal rendimento del fondo rispetto al mercato (mantenendo ovviamente una volatilit`a consona al maggior/minor rendimento atteso).
Figura 5.1: Shutdown esogeno Figura 5.2: Shutdown endogeno
Figura 5.3: Multiperiodale: anno 1 di 3 Figura 5.4: Multiperiodale: anno 2 di 3
5.2 Il tasso di interesse: r
Andiamo ora a manipolare il valore di r, in particolare andiamo a studiare
casistiche con tassi di interesse molto piu` bassi, in accordo con condizioni
−
di mercato decisamente piu` attuali. Anche qui prendiamo in considerazione la possibilit`a di un fondo con caratteristiche piu` moderate, quindi con uno spread rendimento rischioso / rendimento privo di rischio inferiore al riferi- mento (in Hodder and Jackwerth (2007): µ r = 0.02), e un fondo invece piu` aggressivo. Per avere un valore di r aggiornato e ragionevole osserviamo
Figura 5.5: Shutdown esogeno Figura 5.6: Shutdown endogeno
Figura 5.7: Multiperiodale: anno 1 di 3 Figura 5.8: Multiperiodale: anno 2 di 3
il rendimento del Bund tedesco a 10 anni riportato da “Il Sole 24 Ore”1 al giorno 13/11/2017: r = 0.0042, decisamente su un ordine di grandezza in meno rispetto a Xxxxxx and Jackwerth (2007).
Nel primo esempio manteniamo lo stesso spread di 0.02 tra r e µ e la stessa volatilit`a (sempre stesso Xxxxxx Ratio).
In Figura 5.9 vediamo lo stesso identico risultato di Figura 2.1, sintomo che le scelte ottime (in assenza di shutdown endogeno) dipendono esclusiva- mente dal suddetto spread e dalla volatilit`a; si noti infatti anche che kM = 2. Al contrario le cose cambiano significativamente in Figura 5.10: il Decision Ridge si `e accorciato di molto, perch`e il punto di shutdown endogeno si `e al- zato fino ad essere molto vicino al high water mark. Questo `e dovuto al fatto che l’utilit`a di continuazione `e diminuita perch`e sia l’investimento rischioso
1xxxx://xxxxxxx-xxxxxxx.xxxxxx00xxx.xxx/xxxxxxxxxx.xxx?XXXXXxXXXXX00X.XXX
Soluzioni per r = 0.0000 , x = 0.0242 e σ = 0.05
Figura 5.9: Shutdown esogeno Figura 5.10: Shutdown endogeno
Figura 5.11: Multiperiodale: anno 1 di 3 Figura 5.12: Multiperiodale: anno 2 di 3 che quello privo di rischio danno rendimenti molto inferiori, mentre l’utilit`a
di liquidazione `e rimasta la stessa; `e comprensibile, in effetti, che in un regime di bassi rendimenti un gestore trovi piu` appetibile un salario fisso L piuttosto che la gestione di un fondo con basse probabilit`a di finire oltre il valore del high water mark. In questo esempio ho lasciato invariato il valore di L perch`e esso rappresenta le opportunit`a del gestore di lavori alternativi, che possono essere gestire un nuovo fondo piuttosto che trovare un lavoro dipendente: di fatto anche in un mercato dai tassi di interesse molto bassi i salari del lavoro dipendente rimangono fondamentalmente uguali e il gestore preferir`a questi ultimi ogni volta che sia piu` conveniente. Nelle attuali condizioni di merca- to si prospetta dunque per l’investitore uno scenario decisamente spiacevole: una fortissima presa di rischio appena il fondo sottoperforma e, non appena il fondo scende ancora di valore e la presa di rischio si abbassa, l’hedge fund
viene liquidato persino prima di scendere sotto l’ottimo di Xxxxxx.
Anche il caso multiperiodale ne risente, come si vede nelle Figure 5.11 e 5.12 dove non solo il punto di liquidazione endogena `e piu` alto ma, a differenza dei casi precedenti, anche con una prospettiva temporale piu` lunga l’Option Ridge `e presente e ben distinguibile. Possiamo immaginare che l’ottimizza- tore cerchi di aumentare le probabilit`a di finire in the money dando meno peso alla prospettiva di guadagni negli anni successivi perch`e i rendimenti bassi diminuiscono la probabilita` di tornare in the money in futuro: in un certo senso possiamo dire che tassi inferiori rendono la gestione del capitale piu` “miope”.
Aggiungo anche il caso con r = 0.0042 e un fondo piu` speculativo, con
µ = 0.0442 e σ = 0.10 (sempre Xxxxxx Ratio di 0.40 e kM = 1). Soluzioni per r = 0.0000 , x = 0.0442 e σ = 0.10
Figura 5.13: Shutdown esogeno Figura 5.14: Shutdown endogeno
Figura 5.15: Multiperiodale: anno 1 di 3 Figura 5.16: Multiperiodale: anno 2 di 3 I risultati sono ancora gli stessi dell’esempio precedente ma, come gi`a
visto, riscalati per l’inferiore valore di kM .
5.3 La funzione di utilit`a del gestore: γ
Nella scelta di un gestore anche l’ipotetica conoscenza della sua funzione di utilit`a (quindi del suo fattore di avversione al rischio) pu`o rivelarsi impor- tante; anche se questo `e molto difficile si pu`o in ogni caso avere una idea approssimativa della sua avversione al rischio attraverso l’analisi delle stra- tegie del fondo negli anni passati. Quindi trovo interessante vedere come γ influenza la forma della soluzione: proviamo raddoppiando o dimezzando il fattore di avversione al rischio (lo Xxxxxx Ratio rimane come sempre costante, mentre abbiamo kM = 1 e kM = 4 rispettivamente).
Soluzioni per γ = 8
Figura 5.17: Shutdown esogeno Figura 5.18: Shutdown endogeno
Figura 5.19: Multiperiodale: anno 1 di 3 Figura 5.20: Multiperiodale: anno 2 di 3
Come prevedibile un fattore di avversione al rischio piu` alto induce prese di rischio inferiori riflesse nei valori complessivamente piu` bassi di k per ogni curva, ma esso influisce anche in modo un po’ meno evidente anche sulla forma della soluzione. Nelle Figure 5.18, 5.19 e 5.20 il punto di shutdown endogeno `e leggermente piu` alto del riferimento e nelle Figure 5.19 e 5.20, nei valori di X tra lo shutdown e l’high water mark, la curva ha un abbassamen- to piu` rapido rispetto al riferimento dove declinava come una rampa quasi costante. Osserviamo per questo che una γ alta tende a portare la strategia
molto piu` velocemente lontano dai punti critici verso regimi di rischio piu`
bassi e stabili (i Xxxxxx Flats); inoltre porta a preferire piu` rapidamente una soluzione alternativa con guadagni costanti (shutdown) se il fondo sottoper- forma.
Soluzioni per γ = 2
Figura 5.21: Shutdown esogeno Figura 5.22: Shutdown endogeno
Figura 5.23: Multiperiodale: anno 1 di 3 Figura 5.24: Multiperiodale: anno 2 di 3
Nelle Figure 5.21 - 5.24 osserviamo il caso opposto. Per γ molto basso i va- lori di k salgono globalmente e i punti di liquidazione scendono sensibilmente. In particolare facciamo notare il caso multiperiodale perch`e, nell’anno 1 di 3, la forma della curva `e decisamente piu` liscia e piatta rispetto a qualsiasi altra trovata finora ed `e scomparso il punto di shutdown endogeno, sceso sotto a φ: mediamente la curva si assesta su valori molto alti perch`e c’`e poca avversione al rischio, ma perde tutti i picchi e si avvicina alla soluzione costante “al- la Xxxxxx” che abbiamo assunto essere quella preferibile per un investitore. In sostanza una bassa avversione al rischio unita ad un orizzonte temporale lungo permettono contemporaneamente al gestore di assumersi ampi rischi e quindi essere poco incline a chiudere il fondo, ma anche molto sensibile alle prospettive di guadagni futuri a discapito di quelli a breve termine, e quindi poco propenso a repentini cambi di strategia.
5.4 La quota di propriet`a del gestore: a
Un altro fattore importante che pu`o influenzare la strategia d’investimento `e la percentuale di fondo che il gestore possiede personalmente: ci aspettiamo che piu` la quota share `e alta (a alta) piu` il gestore sia sensibile al valore del fondo e indotto a prese di rischio piu` moderate e costanti; tutto perch`e il fat- tore non lineare del high water xxxx xxxx di meno rispetto a quello lineare, e la soluzione dovrebbe avvicinarsi a Xxxxxx. In Hodder and Jackwerth (2007) si prende in esame il caso di un hedge fund di medie dimensioni, in cui `e ra- gionevole supporre che il gestore possieda una quota significativa (a = 0.10), per cui andiamo a studiare cosa succede in un fondo di grandi dimensioni in cui a `e vicina a zero.
Nelle Figure 5.25 - 5.28 si nota che tutti i picchi si “acuiscono”: i cambi di strategia sono piu` sensibili rispetto al valore del fondo e molto condizionati dai punti di trigger. In Figura 5.26 il Decision Ridge si avvicina drasticamen- te all’Option Ridge, fino a far scomparire il Xxxxxx Flat; inoltre per X > H0 la presa di rischio si abbassa enormemente e cresce lentamente in un regime molto inferiore a kM , aspetto che perdura anche nel caso multiperiodale. Se a diventa troppo piccolo il payoff WT diventa dominato completamente dal high water mark, molto piu` alto del management fee: questo comporta che il gestore sia interessato esclusivamente a portare il fondo In the Money con prese di rischio enormi appena sotto H0 per aumentarne le probabilit`a, un’e- sposizione molto bassa appena superata la soglia per impedire a X di andare Out of the Money e una liquidazione improvvisa se il fondo sottoperforma.
Soluzioni per a = 0.02
Figura 5.25: Shutdown esogeno Figura 5.26: Shutdown endogeno
Figura 5.27: Multiperiodale: anno 1 di 3 Figura 5.28: Multiperiodale: anno 2 di 3
Capitolo 6 Conclusioni
L’articolo di Xxxxxx and Jackwerth (2007) ha lo scopo di analizzare le stra- tegie ottime di un fondo di investimento, soprattutto dalla prospettiva di un potenziale investitore in tale fondo che vuole, ragionevolmente, sapere
quali comportamenti adottera` il proprio gestore. In particolare assumiamo
che un investitore preferirebbe una gestione quanto piu` costante e moderata possibile e vorrebbe evitare da un lato prese di rischio eccessive e repentine e dall’altro la chiusura prematura del fondo, per le ragioni che abbiamo gi`a spiegato.
Il risultato piu` preoccupante in tal senso `e l’Option Ridge nel caso monope- riodale: con orizzonte temporale di un solo anno il gestore si trova di fronte ad un conflitto di interessi causato dalla non linearit`a del payoff, ovvero dal- l’incentive fee. L’high water mark lo porta verso un profilo di rischio elevato che contrasta con le aspettative (molto piu` avverse al rischio generalmente) degli investitori. Tuttavia questo effetto drammatico svanisce rapidamente con un orizzonte temporale pluriennale, situazione decisamente piu` comune per i fondi di investimento. In ogni caso si riscontra sempre un aumento del rischio in caso il fondo abbia rendimenti scarsi e si avvicina alle condizioni estreme che portano alla liquidazione; questo perdura anche con gli orizzonti
piu` lunghi. In tutto ci`o gioca un ruolo importante la potenziale chiusura
endogena che aiuta a spiegare l’alto tasso con cui, statisticamente, i fondi nella realt`a vengono chiusi.
Il complesso panorama di strategie che Xxxxxx and Jackwerth (2007) mette in evidenza arricchisce la letteratura gi`a presente, di cui vengono citati
alcuni esempi, perch`e introduce vari aspetti di modellazione piu` realistica
del problema (chiusura endogena) e riesce a risolvere in modo semplice ma efficace il caso multiperiodale, in cui il problema della path-dependency `e assolutamente non banale.
25
CAPITOLO 6. CONCLUSIONI 26
Xxxxxx and Jackwerth (2007) concludono sottolineando l’importanza per gli investitori di comprendere questi fenomeni e la possibilit`a di controllarli attraverso limiti all’operato dei gestori, come vincoli sui fattori di rischio o sulla leva finanziaria.
Bibliografia
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27
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Appendices
29
Appendice A La griglia
In accordo con Xxxxxxx and Xxxxxx (1992) gli autori scelgono, per risolvere il problema proposto di controllo stocastico, un modello di tipo “Catena di Markov” dove la variabile aleatoria evolve su una griglia di stato secondo delle probabilit`a di transizione. Si cita l’implementazione di Xxxxxx and Ku- shner (1996), dove il drift del processo `e lineare nella variabile di controllo e la diffusione `e costante; nel nostro caso tuttavia il drift e la diffusione so- no, rispettivamente, quadratico e lineare rispetto al controllo k, che risulta inoltre essere dipendente sia dal tempo che dallo stato (k = kX,t). La griglia che determina il valore del fondo dal tempo t = 0 fino alla maturity viene costruita nel seguente modo: dt = 1/50 (in anni) ovvero circa una settimana, dx viene determinato tale che dx = (ln(X0) − ln(φ))/600; la griglia divide lo spazio di stato in 1800 steps (600 sotto il valore iniziale X0 = 1 e 1200 sopra) e copre valori compresi tra 0,5 e 4. Da notare che in questo modo la griglia risulta coprire in un anno il valore che il fondo raggiungerebbe se adottasse una strategia totalmente risk free (k = 0 per ogni dt).
30
Appendice B
Le probabilit`a di transizione
Ad ogni passo temporale il valore del fondo pu`o spostarsi al massimo di 60 celle verso l’alto e 60 verso il basso, con probabilit`a di transizione descritte da una gaussiana discretizzata, che approssima la gaussianit`a degli incrementi
del moto browniano.
E` importante notare che il processo di ottimizzazione
basato sulla variabile di controllo k `e tale che le probabilit`a di transizione non dipendono da Xt (ma da dx) n´e da t (ma da dt), e dipendono solamente da k. Dunque, fissati i parametri di discretizzazione, per ogni scelta di k abbiamo
che media e varianza della gaussiana sono µk,dt = [kµ + (1 − k)r − 1 k2σ2]dt
√ 2
e σk,dt = kσ dt. Calcoliamo le probabilit`a di transizione pk per valori
discreti di k, compresi tra 0,2 e 5 equispaziati di 0,01 e aggiungendo a parte il caso k = 0; le probabilit`a sono calcolate a priori e le memorizziamo in una matrice, per risparmiare costo computazionale. Questo approccio efficiente
`e reso possibile dal fatto che pk non dipendano dal tempo o dallo stato. Dalla cella corrispondente al valore x possiamo spostarci alle celle x + idx per i = −60 : +60:
√ 1 EXP [ − 1 (idx−µk,dt )2]
pi,k,dt =
2πσk,dt
60
2 σk,dt
(B.1)
2πσk,dt
2
Σ √ 1
j=−60
EXP [ − 1 (jdx−µk,dt )2]
σk,dt
La scelta dei limiti al valore di k `e funzione della bont`a dell’approssimazione
delle probabilit`a di transizione, infatti per valori di k troppo piccoli la qualit`a peggiora perch`e la griglia dx non ha passi abbastanza piccoli (risultato: una campana troppo stretta e non definita), per k troppo grandi non abbiamo abbastanza valori di i per allocare le code della distribuzione (risultato: una campana troncata).
Per assicurarsi di avere una approssimazione ragionevole gli autori con- frontano i primi dieci momenti standardizzati della distribuzione discreta
31
APPENDICE B. LE PROBABILITA` DI TRANSIZIONE 32
Figura B.1: Distribuzioni discrete per i valori estremi di k.
µˆj con quelli della gaussiana standard µj, in particolare si basano sul test statistico di Xxxxxx and Ord (1987) p.322
1 Σ10
µˆj
− µj
2
!
(B.2)
j=1
n
j
j−1
10 1 (µ2j − µ2 + j2µ2µ2 − 2jµj−1µj+1)
dove definiamo n = 1 e µ0 = 0.
La ricorsione backward procede quindi partendo dall’utilit`a del payoff al momento finale U (WT ), calcoliamo l’utilit`a indiretta attesa E[U (WT−dt)] al momento T −dt usando le probabilita` sopra calcolate per ogni possibile valo- re di k e registrando il valore massimo JX,T−dt (oltre al valore corrispondente di k rappresentato in tutte le curve riportate nell’elaborato.).
Appendice C
I valori ai bordi
−
La griglia presenta criticalit`a che vanno gestite sia per il bordo superiore che quello inferiore, perch`e ricordiamo che per calcolare le utilit`a attese al valore x abbiamo bisogno dei valori da x 60dx a x + 60dx, che escono dalla griglia per i 60 valori piu` alti e piu` bassi. Estendiamo quindi la griglia di ulteriori 60 valori sia in alto che in basso e calcoliamo l’utilit`a attesa a maturity anche per quei valori. Nel procedere backward utilizziamo due metodi diversi per gli estremi; gestire il bordo inferiore `e infatti semplice perch`e se il valore del fondo raggiunge o oltrepassa la barriera φ = 0.50 allora
si ha uno shutdown e l’utilita` in tal caso non dipende dai valori di utilit`a
·
attesa futura ma `e la U (Wτ ) come definita nella formula (3.1). Per risolvere il problema dell’utilit`a attesa per il bordo superiore Hodder and Jackwerth (2007) suggeriscono di moltiplicare, tra uno step e l’altro, il valore di utilit`a attesa allo step precedente per un fattore basato sulla soluzione di Xxxxxx (1969) nel caso privo di consumo: molt = exp[dt(µ − r)2(1 − γ)/(2γσ2)], risulta quindi U (Wt−dt) = U (Wt) molt. La soluzione proposta non `e perfetta ma risulta in una buona approssimazione per tutti i valori sotto le 30-70 celle dal bordo e affligge prevalentemente i passi piu` indietro nel tempo, a detta degli autori.
33
Appendice D
Gestione della path dependency
1
1
Per semplicit`a partiamo con un caso a due anni. Con H0 = X0 = 1 abbiamo che se, alla fine del primo anno, X1 < 1 allora l’high water mark non si resetta e il secondo anno comincer`a con H1 = H0 = 1. Allora l’utilit`a attesa indi- retta sar`a J1,X1 , ovvero l’utilit`a attesa partendo da X1 con un anno di oriz- zonte rimasto. Convertiamo dunque tale valore nel suo equivalente certo U−1(J1,X ) e lo sommiamo al payoff ottenuto alla fine del primo anno W1(X), per poi ricalcolare l’utilita` totale come UTOT = U [W1(X) + U−1(J1,X )]. In pratica lanciamo il nostro algoritmo monoperiodale dal secondo anno per ottenere J1,X1 relativo ad ogni valore di X della griglia e calcoliamo, nelle celle relative a X1 < 1, l’utilita` attesa totale per poi procedere di nuovo con l’algoritmo monoperiodale fino a t = 0.
H0
Per calcolare l’utilita` attesa relativa ai valori X1 > 1 si cambia com- pletamente approccio: si cancellano i valori di utilit`a attesa indiretta J1,X1 ottenuti con l’algoritmo monoperiodale e si sostituiscono con il valore di uti- lit`a attesa indiretta relativo al caso X1 = 1, ovvero J1,1, trasformato nel suo equivalente certo e riscalato per il rapporto tra il valore effettivo di X1 e il vecchio high water mark di 1. In formule, per X1 > 1, ho l’equivalente certo della continuazione pari a [U−1(J1,1) · X1 ], quindi un utilit`a totale di
U = U [W (X) + U− (J ) · ].1 1,1
TOT 1 X1
H0
Ci`o `e possibile perch`e con utilit`a potenza sappiamo che le scelte di gestione
non variano se si parte da un high water mark superiore a 1; quindi l’equiva- lente certo `e lo stesso ma riscalato per il valore piu` alto del fondo (le shares e il management fee valgono di piu`, proporzionalmente a X1). Si pu`o ripetere lo stesso procedimento per tutti gli anni precedenti per casi con T > 2.
34
Appendice E Codici Matlab
Allego i codici Matlab utilizzati che producono i risultati descritti nella tesi; sono presenti solo i codici relativi ai test con il set di dati presenti in Hodder and Jackwerth (2007), per i test con i parametri variati basta modificare i dati nella sezione INPUTS con i valori indicati nel capitolo “Dipendenza dai parametri”. Il test sulla qualit`a della distribuzione gaussiana discreta `e eseguito soltanto nel primo codice perch`e le probabilit`a di transizione sono assolutamente le stesse in tutti i framework.
1 %%%%% Incentive contracts and hedge fund management %%%%
%%%%%% Numerical tests %%%%%%
3 clear all
%% INPUTS
5 T = 1; % years
gamma = 4; % coeff. of utility power function
7 Nsteps = 50; % time steps per year
H = 1; % H_0
9 X0 = 1;
x0 = log( X0 );
11 phi = 0.50* H; % barrier exogenous shutdown
a = 0.10; c = 0.20; b = 0.02; % payoff parameters
13 dx = log( X0 / phi )/600; % 600 steps between X0 and phi
r = 0.0578;
15 mu = 0.0778;
sigma = 0.05;
17 k = 0 .2 :0 .01 :5 ; % k=0 is treated separately
dt = 1/ Nsteps;
19 nodes = 60* 2+1; % Normal approx
Ngrid = 1800;
21
buffer_mult = exp (( dt*( mu - r)^2 * (1 - gamma ))/(2* gamma *...
35
23 sigma ^2));
% see Hodder and Jackwerth (2007) p.825
25
%% Transition probabilities
27 P = zeros( nodes , length ( k));
mu_k = ( k* mu + (1 - k)* r - 1/2* k.^2* sigma ^2 )* dt;
29 % see Xxxxxx and Jackwerth (2007) p.814
sigma_k = k * sigma * sqrt( dt);
31 % gaussian discretization
for i= -60:60
33 P( i+61 ,:) = (1./( sqrt (2* pi)* sigma_k )) .* exp ( -1/2*... ((- i* dx - mu_k )./ sigma_k ).^2);
35 % dim( k)- by- nodes matrix
end
37 % normalize and set the first column ( k=0)
tmp = 61==(1: nodes );
39 P = [ tmp ’, P];
% all zeros and 1 in cell correspondent to i=1
41 P = P./ sum ( P); k = [0 , k];
43
%% Check: Approx VS theorical distribution
45 val = ( -60:60) * dx;
m = val * P; v = diag ((( ones( length ( k),1) * val - m ’)...
47 .^2) * P)’;
std_moments = zeros (10 , length ( k));
49 for i=1: length ( k)
std_val = ( xxx - x( x))/ xxxx( x( x));
51 for j=1:10
std_moments(j, i) = std_val .^j * P(:, i);
53 end
end
55 % statistical estimator
for j=1:20
57 th_moments( j) = mod (j-1 ,2)* prod (1:2: j);
% theorical moments
59 end
statistic = zeros (1 , length ( k));
61 for i=1: length ( k)
statistic( i)= ( std_moments (1 , i) - th_moments (1))^2;
63 % first addendum
for j=2:10
65 add = (( std_moments(j, i) - th_moments( j))/...
( th_moments (2* j)- th_moments( j)^2+ j^2*...
67 th_moments (2)* th_moments(j -1)^2 -...
2* j* th_moments(j -1)* th_moments( j+ 1 )))^2 ;
69 statistic( i) = statistic( i) + add ; end
71 statistic( i)= statistic( i)/10;
% see Hodder and Jackwerth (2007) p.825
73 end
% plots in extreme cases
75 figure (1) plot( P (: ,2))
77 title (’k=0.2 ’)
figure (2)
79 plot( P(:, end )) title (’k=5 ’)
81 %% Backward in time
K = zeros( Ngrid , Nsteps ); % grid of the optimal choices ,
83 % the last column ( in T) is irrilevant
U= zeros( Ngrid +120 , Nsteps +1); % grid of indirect utilities ,
85 % added 60 points as upper buffer and 60 as lower buffer
W = @(x, t) a* x + (1 - a)* b* x* t + (1 - a)* c* max(0 ,x- H);
87 % the input variable is the fund value , not its logarithm
u = @( w) ( x .x(0 - xxxxx ) - 0)/(0 - xxxxx );
89 x = log( phi) + dx*( Ngrid +60: -1: -59) ;
U(:, end ) = u( W( exp ( x), T)); % final step , over the upper
91 % barrier follow the increment dx
% below the lower barrier cap at U( W( phi))
93 U (1:60 ,1: end -1) = U (1:60 , end )* buffer_mult .^( Nsteps : -1:1);
% indirect utilities in the upper buffer strip
95 for t=1: Nsteps
U( end -59: end , end - t) = u( W( exp ( x( end -59: end )), dt *...
97 ( Nsteps - t)));
% indirect utilities below phi
99 for s=61: Ngrid +60
tmp = U(s -60: s+60 , end - t+1)’ * P;
101 % utility based on k
[ U(s, end - t), index] = max( tmp );
103 K(s-60 , end - t+1) = k( index ); end
105 end
%% Plot
107 figure (3)
[ coordx , coordy] = meshgrid ( linspace (0 ,1 , Nsteps ),...
109 exp ( x(61: end -60))); xxxx0 ( xxxxxx , xxxxxx ,X)
111 grid on , axis ij , axis ([0 1 0.5 1.7 0 5]) xlabel(’ Tempo ’), ylabel(’ Valore . fondo ’), ...
113 zlabel(’%. Inv.. rischioso ’)
Rispetto al caso precedente, per introdurre lo shutdown endogeno il co- dice `e pressoch`e identico; viene aggiunta nella backward recursion il calcolo dell’utilita` di liquidazione U (Wτ ), come in (3.1), e confrontata con l’utilit`a attesa di continuazione per la k ottima.
1 %%%%% Incentive contracts and hedge fund management %%%%
%%%%%% Numerical tests %%%%%%
3 clear all
%% INPUTS
5 T = 1; % years
gamma = 4; % coeff. of utility power function
7 Nsteps = 50; % time steps per year
H = 1; % H_0
9 X0 = 1;
x0 = log( X0 );
11 phi = 0.50* H; % barrier exogenous shutdown
a = 0.10; c = 0.20; b = 0.02; % payoff parameters
13 dx = log( X0 / phi )/600; % 600 steps between X0 and phi
r = 0.0578;
15 mu = 0.0778;
sigma = 0.05;
17 k = 0 .2 :0 .01 :5 ; % k=0 is treated separately
dt = 1/ Nsteps;
19 nodes = 60* 2+1; % Normal approx
Ngrid = 1800;
21 L=0.018; % annual alternative retribution
23 buffer_mult = exp (( dt*( mu - r)^2 * (1 - gamma ))/(2* gamma *... sigma ^2));
25 % see Hodder and Jackwerth (2007) p.825
27 %% Transition probabilities
P = zeros( nodes , length ( k));
29 mu_k = ( k* mu + (1 - k)* r - 1/2* k.^2* sigma ^2 )* dt;
% see Hodder and Jackwerth (2007) p.814
31 sigma_k = k * sigma * sqrt( dt);
% gaussian discretization
33 for i= -60:60
P( i+61 ,:) = (1./( sqrt (2* pi)* sigma_k )) .* exp ( -1/2*...
35 ((- i* dx - mu_k )./ sigma_k ).^2);
% dim( k)- by- nodes matrix
37 end
% normalize and set the first column ( k=0)
39 tmp = 61==(1: nodes );
P | = | [ tmp ’, P]; % all zeros and 1 in cell correspondent to i=1 | |
41 | P | = | P./ sum ( P); |
43 | k | = | [0 , k]; |
%% Backward in time
45 K = zeros( Ngrid , Nsteps ); % grid of the optimal choices ,
% the last column ( in T) is irrilevant
47 U = zeros( Ngrid +120 , Nsteps +1); % grid of indirect utilities ,
% added 60 points as upper buffer and 60 as lower buffer
49 W = @(x, t) a* x + (1 - a)* b* x* t + (1 - a)* c* max(0 ,x- H);
% the input variable is the fund value , not its logarithm
51 W_shut = @(x, t) a* x + (1 - a)* b* x* t + L*( T- t);
% wealth in case of shutdown
53 u = @( w) ( x .x(0 - xxxxx ) - 0)/(0 - xxxxx ); x = log( phi) + dx*( Ngrid +60: -1: -59) ;
55 U(:, end ) = u( W( exp ( x), T));
% final step , over the upper barrier follow the increment dx
57 % below the lower barrier cap at U( W( phi))
U (1:60 ,1: end -1) = U (1:60 , end ) * buffer_mult .^( Nsteps : -1:1);
59 % indirect utilities in the upper buffer strip
for t=1: Nsteps
61 U( end -59: end , end - t) = u( W_shut( exp ( x( end -59: end )) ,... dt*( Nsteps - t))); % indirect utilities below phi
63 for s=61: Ngrid +60
tmp = U(s -60: s+60 , end - t+1)’ * P;
65 % utility based on k
[ utility_cont , index] = max ( tmp );
67 utility_shut = u( W_shut( exp ( x( s)), dt*( Nsteps - t))); U(s, end - t) = max( utility_cont , utility_shut );
69 K(s-60 , end - t+1) = k( index) * ... ( utility_cont > utility_shut );
71 % k is set to 0 if the fund is closed
end
73 end
%% Plot
75 [ coordx , coordy] = meshgrid ( linspace (0 ,1 , Nsteps ),... exp ( x(61: end -60)));
00 xxxx0 ( xxxxxx , xxxxxx ,X)
grid on , axis ij , axis ([0 1 0.5 1.7 0 5])
79 xlabel(’ Tempo ’), ylabel(’ Valore . fondo ’), ... zlabel(’%. Inv.. rischioso ’)
Nella backward recursion del caso multiperiodale c’`e invece una ovvia complicazione che aumenta il costo computazionale dell’algoritmo, ovvero un terzo ciclo for annidato: il codice di fatto richiama, per ogni anno, lo stesso algoritmo monoperiodale per poi modificare il payoff finale dell’iterazione successiva in funzione dell’utilit`a attesa appena calcolata. Questo risultato (la crescita lineare del costo computazionale rispetto agli anni) non `e scontata perch`e il problema presenta una path dependency, ed `e frutto della soluzione proposta da Hodder and Jackwerth (2007), che ci permette di trattare ogni anno come una catena di Markov a s´e stante che `e influenzata dagli anni successivi solo per il valore del payoff alla fine dell’anno stesso.
%%%%% Incentive contracts and hedge fund management %%%%
2 %%%%%% Numerical tests %%%%%%
clear all
4 %% INPUTS
T = 3; % years
6 gamma = 4; % coeff. of utility power function
Nsteps = 50; % time steps per year
8 H = 1; % H_0
X0 = 1;
10 x0 = log( X0 );
phi = 0.50* H; % barrier exogenous shutdown
12 a = 0.10; c = 0.20; b = 0.02; % payoff parameters
dx = log( X0 / phi )/600; % 600 steps between X0 and phi
14 r = 0.0578;
mu = 0.0778;
16 sigma = 0.05;
k = 0 .2 :0 .01 :5 ; % k=0 is treated separately
18 dt = 1/ Nsteps;
nodes = 60* 2+1; % Normal approx
20 Ngrid = 1800;
L=0.018; % annual alternative retribution
22
buffer_mult = exp (( dt*( mu - r)^2 * (1 - gamma ))/(2* gamma *...
24 sigma ^2));
% see Hodder and Jackwerth (2007) p.825
26
%% Transition probabilities
28 P = zeros( nodes , length ( k));
mu_k = ( k* mu + (1 - k)* r - 1/2* k.^2* sigma ^2 )* dt;
30 % see Hodder and Jackwerth (2007) p.814
sigma_k = k * sigma * sqrt( dt);
32 % gaussian discretization
for i= -60:60
34 P( i+61 ,:) = (1./( sqrt (2* pi)* sigma_k )) .* ...
exp ( -1/2*(( - i* dx - mu_k )./ sigma_k ).^2);
36 % dim( k)- by- nodes matrix
end
38 % normalize and set the first column ( k=0)
tmp = 61==(1: nodes );
40 P = [ tmp ’, P];
% all zeros and 1 in cell correspondent to i=1
42 P = P./ sum ( P); k = [0 , k];
44
%% Backward in time
46 K = zeros( Ngrid , Nsteps* T); % grid of the optimal choices ,
% the last column ( in T) is irrilevant
48 U = zeros( Ngrid +120 , Nsteps* T +1); % grid of indirect utilities ,
% added 60 points as upper buffer and 60 as lower buffer
50 W = @(x, t) a* x + (1 - a)* b* x* t + (1 - a)* c* max(0 ,x- H);
% the input variable is the fund value , not its logarithm
52 u = @( w) ( x .x(0 - xxxxx ) - 0)/(0 - xxxxx );
u_inv = @( u) ((1 - gamma ).* u +1).^(1/(1 - gamma ));
54 x = log( phi) + dx*( Ngrid +60: -1: -59) ; U(:, end ) = u( W( exp ( x) ,1)); % final step
56 for year=T:-1:1
for t=1: Nsteps
58 U( end -59: end , year* Nsteps +1 - t) = u( W( exp (... x( end -59: end )),1 - t* dt) + L*( t* dt+T- year ));
60 % indirect utilities below phi
% L is gained for all next years , the management fee if
62 % gained only w. r. t. the fraction of the current year
U (1:60 , year* Nsteps +1 - t)= U (1:60 , year* Nsteps +2 - t)...
64 * buffer_mult;
% indirect utilities in the upper buffer strip
66 for s=61: Ngrid +60
tmp = U(s -60: s+60 , year* Nsteps +2 - t)’ * P;
68 % utility based on k
[ utility_cont , index] = max ( tmp );
70 utility_shut = u( W( exp ( x( s)),1 - t* dt) +... L*( t* dt+T- year ));
72 U(s, year* Nsteps +1 - t) = max( utility_cont ,... utility_shut );
74 K(s-60 , year* Nsteps +1 - t) = k( index )*(... utility_cont > utility_shut );
76 % k is set to 0 if the fund is closed
end
78 end
cert_equiv (1 :1261 ) = u_inv( U (1261 ,( year -1)*...
80 Nsteps +1)).* max( exp ( x(1:1261) ’)/ H ,1);
% see Hodder and Jackwerth (2007) p.826
82 cert_equiv (1262: length ( x))= u_inv( U (1262: length ( x),... ( year -1)* Nsteps +1));
84 U(:,( year -1)* Nsteps +1) = u( cert_equiv ’ + ... W( exp (x’),1) - a* exp (x ’));
86 % add only the management and incentive fee
end
88 %% Plots
figure (1)
90 [ coordx , coordy] = meshgrid ( linspace (0 ,1 , Nsteps), exp (... x(61: end -60)));
00 xxxx0 ( xxxxxx , xxxxxx ,X (:,1: Nsteps )) grid on , axis ij , axis ([0 1 0.5 1.7 0 5])
94 xlabel(’ Tempo ’), ylabel(’ Valore . fondo ’), ... zlabel(’%. Inv.. rischioso ’)
96 title (’ Anno . 1 ’) figure (2)
98 [ coordx , coordy] = meshgrid ( linspace (0 ,1 , Nsteps ),... exp ( x(61: end -60)));
000 xxxx0 ( xxxxxx , xxxxxx ,X(:, Nsteps +1:2* Nsteps )) grid on , axis ij , axis ([0 1 0.5 1.7 0 5])
102 xlabel(’ Tempo ’), ylabel(’ Valore . fondo ’), ... zlabel(’%. Inv.. rischioso ’)
104 title (’ Anno . 2 ’) figure (3)
106 % this will be the same as the uniperiodal case
[ coordx , coordy] = meshgrid ( linspace (0 ,1 , Nsteps ),...
108 exp ( x(61: end -60)));
xxxx0 ( xxxxxx , xxxxxx ,X (:,0* Nsteps +1:3* Nsteps ))
110 grid on , axis ij , axis ([0 1 0.5 1.7 0 5]) xlabel(’ Tempo ’), ylabel(’ Valore . fondo ’), ...
112 zlabel(’%. Inv.. rischioso ’) title (’ Anno . 3 ’)