Contract

2.1 경xx 수

동일한 조건에서 반복할 수 있으며 xx에 의해서 결정되는 실험xx 관찰을 행하는 것을 임의xx(random trial)이라 하고, 어떤 임의xx에서 일어날 수 있는 결과 전체의 집합을 표본공간(sample space), 표본공간의 부분집합을 사건(event)이라 한다.

기본 개념 2.1.1 경xx 수

임의xx에서 어떤 사건이 일어날 수 있는 가짓수를 xx의 수라 한다. 사건 A가 일어날 경xx 수를 n(A)롤 표시한다.

경xx 수는 xx하지 않고 빠짐없이 헤아려야 하므로 사전식xxxx 수형도를 xxx다. 사전식xx은 모든 가능한 xx를 사전의 단어순서 xx처럼 하는 것이고, 수형도는 나뭇가 지가 나누어진 모양으로 나타낸 xx이다.

xx 2.1.1

1, 2, 3, 4를 한번 씩만 xx하여 네 자리 xx alaZa3a4를 만든다. 단

ai ≠i i  lZ34 가 되도록 할 때 나타날 수 있는 경xx 수를 구하라.

▸▸▸ 풀이 사전식xx로 나타내면 2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312, 4321이므

로 경xx 수는 9이다.

연습xx 2.1.2

위 xx를 수형도를 xxx여 구하라.

기본 개념 2.1.2 합의 법칙

두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경xx 수는 n(A∪B )  n(A ) + n(B ) 이다.

합의 법칙x x 개 이상의 사건에 대해서도 xx한다. 그러나, 두 사건이 동시에 일어나는 xx가 있는 xx에는 n(A∪B )  n(A ) + n(B )— n(A∩B )이다.

xx 2.1.3

서로 다른 두 개의 주사위를 던져 눈의 합이 3이거나 6이 나올 경xx 수

를 구하라.

▸▸▸ 풀이 두 주사위의 눈의 합이 3인 사건을 A, 6인 사건을 B라 하면, n(A )  Z n(B )  

이므로 n(A∪B )  n(A ) + n(B )  Z +   7이다.

연습xx 2.1.4

주사위를 던져 홀수가 나올 사건을 A, 짝수가 나올 사건을 B, 3이상의 수 가 나올 사건을 C라고 할 때 다음을 구하라.

(1) n(A ) n(B ) x(X )

(0) x(XxX ) n(B∩C ) n(C∩A )n(A∩B∩C )

(3) n(A∪B ) n(B∪C ) n(C∪A )n(A∪B∪C )

기본 개념 2.1.3 곱의 법칙(multiplication principle)

두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어난 xx의 수가 n(A )이고, 그 각각에 대 하여 사건 B가 일어날 xx의 수가 n(B )이면, 사건 A와 사건 B가 함께 일어나 는 경xx 수는 n(A∩B )  n(A ) × n(B )이다.

xx 2.1.5

대구에서 서울로 직접 가는 경xx 수는 n(A )=4, 광주에서 서울로 직접 가는 경xx 수는 n(B )=3, 대구에서 광주로 직접 가는 경xx 수는 n(C )=2라고 할 때 다 음 물음에 답하라.

(1) 대구에서 광주를 거쳐 서울로 가는 경xx 수.

(2) 대구에서 서울로 가는 모든 경xx 수.

▸▸▸ 풀이

(1) n(C∩B )  n(C ) × n(B )  6.

(2) n(A∪(C∩B ))  n(A ) + n(C∩B )  n(A ) + n(C ) × n(B )  l0.

xx 2.1.6

1에서 52까지의 숫자가 적혀 있는 52장의 카드 중에서 한 장을 뽑을 때, 다음 물음에 답하라.

(1) 2의 xx 또는 5의 xx가 적힌 카드가 뽑히는 경xx 수.

(2) 52의 xx가 적힌 카드가 뽑히는 경xx 수.

(3) 52와 서로소인 수가 적힌 카드가 뽑히는 경xx 수.

▸▸▸ 풀이

(1) 2의 xx가 적힌 카드x x n(A )  Z6 , 5의 xx가 적힌 카드x x n(B )  l0, 이때 A∩B 는 2와 5의 xxx, 즉 10의 xx가 적힌 카드x x이므로 n(A∩B )  , 따라서 n(A∪B )  n(A ) + n(B )— n(A∩B )  Z + l0 —   30 (가지)이다.

(2) 52를 소인수분해하면 Z  ZZ × l3이고, 이때 ZZ 의 xx는 Z0 Zl ZZ 이고 13의 xx는

l30 l3l이므로, 곱의 법칙에 의하여 Z × 3  6 (가지)이다.

(3) 52와 서로소인 수는 2, 13과 서로소인 수이므로 2, 13의 xx가 아닌 수가 적힌 카드x x를 구하면 된다. n(A )  Z6, 13의 xx는 n(C )  4 , 2와 13의 xxxx x n(A∩C )  Z

이므로 n(A∪C )  n(A ) + n(C )— n(A∩C )  Z6 + 4 — Z  Z8 이다. 그러므로 구하는 경xx

수는 Z — n(A∪C )  Z — Z8  Z4(가지)이다.

xx 2.1.7

100원, 500원, 1000원짜리를 사용할 수 있는 자판기에서 300원짜리 음료 8 개를 꺼내려고 한다. 거스름돈 없이 자판기에 돈을 넣는 경xx 수를 구하라(단, 세 종xx 돈을 xx xxxxx 한다).

▸▸▸ 풀이

1000원, 500원, 100원을 각각 x개, y개,  개 사용할 때 l000x + 00y + l00  Z700, 즉 l0x + y +   Z7 을 만족하는 자연수 xy의 순서쌍 (xy )의 개수를 구하면 된다. x x 우에는 xx의 수가 가장 큰 xx를 xx으로 경xx 수를 고려한다.

x  l인 xx에는 y +   l7이므로 (y )  (llZ) (Z 7 ) (3 Z)이고, x  Z인 xx에는

y +   7이므로 (y )  (lZ)이다. 그러므로 구하는 경xx 수는 3 + l  4(가지)이다.

xx 2.1.8

두 집합 X  lZ 3 Y  absd에 대하여 다음 물음에 답하라.

(1) X 에서 Y 로의 함수의 개수.

(2) X 에서 Y 로의 일대일함수의 개수.

▸▸▸ 풀이

(1) X 에서 Y 로의 함수가 되려면 X 의 원소 lZ 3에는 각각 Y 의 원소 absd 중 xx가 대응할 수 있다. 그러므로 곱의 법칙에 의하여 4 × 4 × 4  64이다.

(2) X 에서 Y 로의 일대일함수가 되려면 X 의 원소 1에는 Y 의 원소 absd 중 xx가 xx 할 수 있고, X 의 원소 2에는 1에 xx한 원소를 제외한 나머지 3개 중에 xx가 대응할 수

있으며, X 의 원소 3에는 1, 2에 xx한 원소를 제외한 나머지 2개 중에 xx가 대응할 수 있다. 그러므로 곱의 법칙에 의하여 4 × 3 × Z  Z4이다.

xx 2.1.9

빨강, xx, xx, 초록색을 xxx여 xx xx의 각 영역을 구분하여 칠 하는 경xx 수를 구하라.

A	C	D	E
B

▸▸▸ 풀이

C부터 색x x한다고 하면 C는 4가지, A는 C에 칠한 색을 제외한 3가지, B는 A, C를 제외 한 2가지, D는 C를 제외한 3가지, E는 D를 제외한 3가지이므로, 구하는 경xx 수는 4 × 3 × Z × 3 × 3  Zl6이다.

연습xx 2.1.10

빨강, xx, xx, 초록색을 xx xxx여 xx xx의 각 영역을 구분하여

A B C D

칠하는 경xx 수를 구하라.

2.2 xx

기본 개념 2.2.1 xx, xxx x nPr , n의 xx n

(1) xx: 서로 다른 n개에서 xx 없이 r개를 택하여 xx로 xx하는 것을 n개 에서 r개를 택하는 xx(permutation)이라 한다.

(2) xxx x: n개에서 r개를 택하는 xxx x를 nPr 로 나타내고,

nPr  n × (n — l) × (n — Z) × ... × (n — r + l), (단, 0  r ≤ n).

(3) n의 xx: l부터 n까지의 자연수를 차례로 곱한 것을 n의 xx n이라 한 다.

n  n × (n — l) × ... × Z × l (n은 n의 xx 또는 n 팩토리얼(factorial)로 부른 다)

xxx x n Pr 은 다음 xx 같이 각 칸에 올 수 있는 경xx 수를 고려하여 곱의 법칙을 적용하면 n Pr  n × (n — l) × (n — Z) × ... × (n — r + l)이 된다.

n n-1 n-2 ... n-r+ 1

예를 들어 서로 다른 absd를 xx 없이 3개를 택하여 xx하는 xx을 xx 나타내면,

abs abd asbasdadbads basbadbsabsdbdabds sabsadsbasbdsdasdb dabdasdbadbsdsadsb

이고, 이때 경xx 수는 곱의 법칙에 의해 4 × 3 × Z  Z4 이다.

4 3 2

기본xx 2.2.2

(1) nPn  n

(2) P 

n r

n

(n — r)

(3) 0  l

xx 2.2.1

알파벳 absd에 대하여 다음 물음에 답하라.

(1) 세 개를 뽑아 만들 수 있는 단어x x는 몇 개인가?

(2) xx xx하여 만들 수 있는 단어x x는 몇 개인가?

(3) 위 (1)에서 만약 xx을 허락 한다면 만들 수 있는 단어x x는 몇 개인가?

▸▸▸ 풀이

(1)

P3 

  Z

 × 4 × 3 × Z × l   × 4 × 3  60



Z × l



(2)    × 4 × 3 × Z × l  lZ0

(3) 곱의 법칙에 의하여  ×  ×   lZ.

연습xx 2.1.2

다음을 xx하라.

l0P4

(1) l0Pl0 (2) l0Pl (3) l0P3 (4) 4

기본 개념 2.2.2 xx xx

(1) xx xx: 서로 다른 n개에서 xx을 허락하여 r개를 택하여 xx로 xx하 는 것을 n개에서 r개를 택하는 xxxx(permutation with repitation)이라 한 다.

(2) xxxxx x: n개에서 r개를 택하는 xxxxx x를 nvr 로 나타내고,

nvr  n × n × n × ... × n  n

r

xx 2.2.3

서로 다른 휴대폰 전화번호 010-oooo-xxxx는 몇 개 있는가? 만약 국번호 oooo의 첫 자리에는 0과 1은 제외되어야 한다면 몇 개 있는가?

▸▸▸ 풀이 0000이 l04 개 있고, xxxx가 l04 개 있으므로, 곱의 법칙에 의하여 l04 × l04  l08

개 있다.

oooo의 첫 자리에는 0과 1을 제외한 8개가 있으므로 8 × l07 개 있다.

기본 개념 2.2.3 같은 것을 포함하는 xxx x

k

전체 n개의 원소에 같은 것이 nl nZ...nk 개, 단 ni  n, 있을 때 나열하는 방

i  l

법x x는 

n

nlnZ...nk

개 있다.

xx 2.2.4

단어 scrolllock으로 나타낼 수 있는 단어x x는?

▸▸▸ 풀이 scrolllock 을 ssl rollllZl3oZsZk로 나타내고 나열하는 방법xx는 l0가지 있다. 그런데 ‘oloZ ’,

‘o o ’은 같은 ‘oo’이므로 Z로 나누어야 하고, 마찬가지로 l 과 s 에 대하여도 적용하면 구하는 값은

l0 개가

Z l Z3Z

된다.

연습xx 2.1.5

xx 3명과 xx 4명에 대하여 다음 물음에 답하라.

(1) xx로 세우는 방법x x. 7

(2) xx 교대로 세우는 방법x x. 4 × 3

(3) xx에 앉게 하는 방법x x. (7-1)!=720

(4) xx에 앉는데 xx는 이웃하지 않게 하는 방법x x. (4-1)!× 4C3 × 3  l44

연습xx 2.1.6

3개의 빨강, 4개의 xx 구슬이 있다(단, 구슬의 크기와 모양은 같다).

(1) 나열하는 방법x x.

7

34

(2) 원으로 나열하는 방법x x. 5

(3) 염주를 만드는 방법x x. 3