GEOMETRIA TOPOLOGICA A CONSTRUCTIILOR MECANICE
UNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS” DIN GALAŢI
Nr. contract: 738/2009 Proiect ID_791/2009
GEOMETRIA TOPOLOGICA A CONSTRUCTIILOR MECANICE
- Sinteza pe anul 2009 (01.01 – 30.10) –
Activitatea de cercetare în cadrul CONTRACTULUI ID 791/2009 în anul 2009, a avut două etape, cu următoarele obiective:
1. Dezvoltarea conceptului de geometrie topologică a construcţiilor mecanice.
2. Identificarea (modelarea) structurilor topologice.
3. Elaborarea unor principii de proiectare topologică a construcţiilor mecanice.
OBIECTIVUL I. DEZVOLTAREA CONCEPTULUI DE GEOMETRIE TOPOLOGICĂ A CONSTRUCŢIILOR MECANICE
1.1. Modelarea topologică a suprafeţelor
Literatura de specialitate evidenţiază faptul că nu există o abordare unitară privind generarea, inspectarea şi tolerarea suprafeţelor din punctul de vedere al poziţionării acestora în ansamblul din care fac parte.
Din aceste motive putem afirma că standardele actuale referitoare la abaterile dimensionale şi de poziţie nu mai corespund evoluţiilor recente în domeniul proiectării şi fabricării maşinilor-unelte.
Concluzia este că, în determinarea abaterilor de formă, poziţie şi dimensiuni, conform standardelor în vigoare, sunt introduse o serie de erori a căror mărime şi natură nu pot fi determinate şi care influenţează rezultatele măsurătorilor.
Drept urmare, ar fi necesar un sistem de standarde care să definească mai corect, din punct de vedere matematic, modul de interpretare al norilor de puncte culese de pe suprafaţa reală prelucrată.
Putem afirma că, un model, mai aproape de realitate al geometriei reperelor, este cel bazat pe modelarea topologică a geometriei reperelor prin care se propune înlocuirea modelării individuale a suprafeţelor elementare cu modelarea ansamblurilor de suprafeţe, care formează interfeţele între reperele din componenţa unui ansamblu. Prin acest mod de a privi suprafeţele reperelor, se minimizează eroarea apărută la identificarea acestora.
1.2. Metodologia de abordare a problematicii privind modelarea suprafeţelor prin algoritmi genetici, reţele neuronale şi prin metoda circulaţiei parametrilor
Pentru modelarea topologică a suprafeţelor se porneşte de la stabilirea modelului matematic al suprafeţei elementului ce trebuie modelat şi al erorilor acestuia. Acest model poate fi extins la ansambluri de suprafeţe ce intră în componenţa reperului. Pasul următor al modelării îl constituie modelarea matematică a ansamblurilor de elemente şi a erorilor acestor ansambluri, modele care vor constitui construcţia mecanică modelată.
Modelarea geometriei, a cinematicii şi a dinamicii reperului se realizează prin descrierea discretă a realităţii.
1.3. Modelarea topologică a geometriei construcţiilor mecanice
Forma geometrică efectivă a oricărei suprafeţe prelucrate este întotdeauna diferită faţă de forma nominală. Pentru a determina calitatea suprafeţelor prelucrate, se realizează o inspecţie a suprafeţei, în urma căreia se aleg punctele care urmează a fi procesate, conform unui anumit algoritm, care să permită verificarea condiţiilor stabilite de proiectant.
Aceste condiţii tehnice impun restricţii privind anumiţi parametri ai modelului. Nu vor fi restricţionate toate abaterile ci numai acelea considerate importante pentru îndeplinirea rolului funcţional al reperului.
1.4. Geometria topologică a construcţiilor funcţionale
Xxxxx afirma că prin modelarea topologică a unei structuri se realizează modelarea acesteia privită ca un unic element geometric complex. Acest mod de a privi un reper mecanic se bazează pe trei motivaţii principale:
• piesa este caracterizată de existenţa unei interfeţe cu restul construcţiei mecanice. La rândul său, această interfaţă este compusă dintr-o serie de suprafeţe care, din punct de vedere geometric, se comportă şi lucrează ca o unică suprafaţă complexă, aflată în relaţie de tip formă-contraformă
cu o altă suprafaţă complexă aparţinând structurii mecanice;
• toleranţele din specificaţiile tehnice, de obicei, se referă la mai mult de o singură suprafaţă, unele dintre aceste suprafeţe fiind suprafeţe tolerate şi altele suprafeţe de referinţă. În cazurile reale şi aceste suprafeţe de referinţă au, inevitabil, erori care vor afecta suprafeţele modelate.
Algoritmul propus pentru determinarea geometriei topologice funcţionale presupune parcurgerea a trei etape:
1. gruparea acelor suprafeţe ale reperului care vor fi în contact cu un alt grup de suprafeţe aparţinând construcţiei mecanice în care se asamblează piesa, formând un ansamblu de suprafeţe de tip formă-contraformă. Acest grup de suprafeţe va reprezenta structura topologică;
2. culegerea unui nor ordonat de puncte pe fiecare dintre suprafeţele care formează structura topologică;
3. procesarea acestor date pentru a se calcula valorile abaterilor, care sunt tolerate în prescripţiile tehnice, pentru a se putea determina corespondenţa piesei cu modelul CAD.
Fiecare dintre suprafeţele structurii topologice este caracterizată de model şi de parametrii de conformitate, care descriu similitudinea dintre suprafaţa piesei reale şi model (parametrii p1,
p2, ... pn, vezi figura 1).
Un parametru de conformitate reprezintă o restricţie de formă, poziţie sau dimensiune, legată de una dintre suprafeţele componente ale structurii topologice.
Fiecare dintre parametrii pi dintre cei prevăzuţi în prescripţiile tehnice au semnificaţia unei toleranţe, reprezentând limitele de variaţie ale dimensiunii respective.
În figura 1, este reprezentată o structură topologică, selectată pe baza acestui criteriu şi compusă din două suprafeţe teoretice St1 şi St2. Se consideră că, datorită erorilor de prelucrare, se obţin suprafeţele reale Sr1 şi Sr2, poziţia acestor
Fig. 1. Abaterile suprafeţelor structurii topologice
suprafeţe fiind determinată de parametrii p1, p2, p3
şi, respectiv, p4, p5 şi p6.
Presupunând că în specificaţiile tehnice au fost restricţionate poziţiile relative între cele două suprafeţe, prin parametrii p7, p8 şi p9, prezintă interes dacă valorile acestor parametri se află sau nu în interiorul câmpurilor de toleranţă. Fiecare dintre restricţiile de formă, poziţie şi dimensiune, stabilite în etapa de proiectare, va fi unul dintre parametrii de conformitate ai structurii topologice.
1.5. Geometria topologică a construcţiilor tehnologice
În figura 2, este reprezentat un exemplu de structură topologică tehnologică.
Să presupunem că, în cadrul operaţiei respective se prelucrează suprafeţele plane P şi Q şi alezajele cilindrice cu diametrele D1 şi respectiv D2.
În urma procesului de prelucrare este posibil să se observe că, abaterile de la poziţiile relative între cele două suprafeţe plane, cele între poziţiile alezajelor precum şi cele referitoare la înclinarea axelor alezajelor, tind să se apropie de limitele de toleranţe impuse de proiectant.
Fig. 2. Structura topologică tehnologică
Din punct de vedere topologic, conformitatea modelului teoretic cu modelul obţinut prin măsurarea unui exemplar de piesă este dată de funcţia obiectiv — abaterea minimă pătratică a distanţelor punctelor măsurate faţă de modelul teoretic.
Tendinţă de ieşire din limitele de toleranţă echivalează cu creşterea valorii funcţiei obiectiv, care tinde spre valoarea limită admisibilă, definită de proiectant.
Readucerea acestei funcţii obiectiv la o valoare cât mai apropiată de zero
presupune, în mod evident, modificarea traiectoriilor programate ale sculelor cu care se
realizează prelucrarea.
1.6. Geometria topologică a construcţiilor metrologice
Este propusă o metodă constând în identificarea ambelor suprafeţe, cea generată şi cea de referinţă, în raport cu sistemul de referinţă propriu al maşinii-unelte şi, apoi, transformarea coordonatelor din sistemului de referinţă global al maşinii, în
coordonatele sistemului de referinţă propriu piesei. În acest mod, se obţine modelul matematic al suprafeţei reale, în raport cu suprafaţa de referinţă.
Identificarea suprafeţei generate se face prin introducerea în programul maşinii cu comandă numerică a unei secvenţe de măsurare, în cadrul căreia se realizează explorarea suprafeţei prelucrate după o traiectorie stabilită. Această explorare se efectuează cu ajutorul unui dispozitiv de măsurare fixat pe maşina-unealtă.
Metoda modelării on-line a geometriei maşinilor-unelte bazate pe abordarea topologică a metrologiei suprafeţelor presupune parcurgerea a trei etape importante: constituirea structurilor topologice; modelarea
Fig. 3. Etapele identificării on-line pe baza
topologiei suprafeţelor
neuronală a structurilor; controlul (conducerea) dimensional al procesului (vezi figura 3).
Constituirea structurilor topologice se face pe baza criteriului conform căruia, toate elementele unei structuri au restricţii privind
forma, dimensiunile sau poziţia lor relativă. Trebuie subliniat faptul că o structură topologică nu
este limitată numai la suprafeţele prelucrate în operaţia respectivă.
Parametrii structurii topologice pot fi clasificaţi în parametri constanţi şi parametri variabili.
Parametrii constanţi nu influenţează hotărâtor comportarea în exploatare a structurii topologice.
Parametrii variabili sunt acei parametri ale căror abateri sunt importante pentru comportarea în exploatare şi sunt restricţionaţi prin specificaţiile tehnice. Aceştia se măsoară şi devin variabilele modelului.
Se pot defini:
- structura topologică ţină, ca fiind structura topologică ce se urmăreşte a fi realizată;
- structura topologică programată, structura topologică ce se defineşte prin programul piesă şi care include corecţiile efectuate pentru a se ajunge la structura topologică ţintă;
- structura topologică reală, care se obţine efectiv în urma prelucrării.
Tuturor acestor structuri topologice le corespund modele matematice obţinute în urma aplicării uneia dintre metodele propuse (metoda algoritmilor genetici, metoda circulaţiei parametrilor, metoda bazată pe reţele neuronale etc.).
Parametrii care se modifică sunt de două tipuri: programabili şi neprogramabili.
Parametrii programabili sunt acei parametri care se pot modifica prin programul piesă şi asupra cărora se poate interveni direct în procesul de corecţie.
Parametrii neprogramabili sunt acei parametri variabili care nu pot fi programaţi şi care apar ca urmare a proceselor de prelucrare (de exemplu deformaţiile termice, uzura sculelor etc.)
OBIECTIVUL II. IDENTIFICAREA (MODELAREA) STRUCTURILOR TOPOLOGICE
2.1. Descrierea topologică a geometriei construcţiilor mecanice
În ceea ce urmează, se vor prezenta două exemple numerice aplicate pentru identificarea bazată pe abordarea topologică a structurilor mecanice.
Exemplele numerice sunt bazate pe softuri specializate dezvoltate de către autori pe baza programului MatLab, versiunea 7.
2.1.2. Modelarea unei structuri topologice complexe, utilizând metoda reţelelor neuronale
În figura 4, ca suprafeţe funcţionale au fost considerate alezajele cu diametrele de 20 mm (S1 şi S2) şi suprafaţa plană S0.
Au fost considerate ca importante: diametrele alezajelor S1 şi S2; poziţia acestor alezaje faţă de suprafaţa plană S0; poziţia faţa de planul yOz al sistemului de referinţă; distanţa între axele alezajelor.
Pentru simplificarea utilizării reţelei neuronale
Fig. 4. Reper cu ansamblu de dimensiuni
considerăm că setul de parametri este format din
{φ1 , x02 , y02 ,φ2 }
(1)
unde: φ1 — rotaţia în jurul axei Ox a găurii S1; x02 — deplasarea centrului alezajului S2 faţă de
centrul alezajului S1, pe axa Ox; y02 —
Tabelul 1. Precizia reţelei neuronale
deplasarea centrului alezajului S2 faţă de centrul alezajului S1, pe axa Oy; φ2 — unghiul între axele alezajelor S2 şi S1 în planul yOz;
Parametrul | Real | Calculat | Eroarea |
φ1 [°] | -0.02 | -0.0202 | 0.0002 |
x02 [mm] | 0.1 | 0.10442 | 0.00442 |
y02 [mm] | -0.3 | -0.3045 | 0.0045 |
φ2 [°] | 0.01 | 0.0093 | 0.0007 |
La antrenarea reţelei neuronale, fiecărui punct i i-a fost aplicată transformarea de coordonate într-un sistem de referinţă modificat cu parametrii de conformitate calculându-se
valoarea funcţiei f, ca deviaţie a poziţiei punctelor faţă de suprafaţa cilindrică:
0 0 0
f = ( x + X )2 + ( y + Y )2 − R2 , în care X0 şi Y0 sunt coordonatele teoretice ale centrului suprafeţe
cilindrice şi R0 raza teoretică a acestui cilindru. Parametrii x02, y02, au abateri în domeniul ±0.4
iar parametrii unghiulari φ1 şi φ2 au abateri în domeniul
±0.03 °. A fost obţinută o bază de date
cu 625 de înregistrări, fiecare înregistrare având 38 de câmpuri (34 de valori pentru funcţia f şi 4 valori pentru setul de parametri).
În tabelul 1, este prezentată precizia cu care reţeaua neuronală răspunde interogării.
Parametrii de interogare sunt în domeniul de antrenare.
2.1.3. Modelarea unei suprafeţe cilindrice prin metoda circulaţiei parametrilor
Ca exemplu numeric pentru această tehnică de identificare a fost simulată prelucrarea unei suprafeţe cilindrice având abateri de formă, poziţie şi dimensiuni faţă de suprafaţa teoretică dorită. Ecuaţia suprafeţei cilindrice în sistemul de referinţă propriu este: S : x2 + y2 − R2 = 0 . (2) Dacă admitem că suprafaţa este rotită în jurul axei Ox cu unghiul φ, în jurul axei Oy cu unghiul ψ, şi centrul cercului director este deplasat cu valorile Δx, Δy, faţă de poziţia nominală a acestuia, iar raza cilindrului are abaterea ΔR de la valoarea R nominală a razei, atunci ecuaţia
suprafeţei cilindrice în sistemul de referinţă al maşinii-unealtă este:
X 1 0 0
cosψ 0
− sinψ x Δx
Y = 0 cosφ
sinφ ⋅
0 1 0
⋅ y − Δy
(3)
Z 0 − sinφ
cosφ
sinψ
0 cosψ z Δz
Astfel, funcţia obiectiv devine: f
= ∑m (X 2 + Y 2 − ( R + ΔR)2 )2
(4)
i i
Tabelul 2. Parametrii suprafeţei cilindrice
i=1
Parametrul | Real | Calculat | Eroare |
Δ x [mm] | 0.8 | 0.80011 | 0.011 |
Δ y [mm] | -0.5 | -0.5012 | 0.12 |
φ [°] | -1.5 | -1.498 | 0.2 |
ψ [°] | 0.5 | 0.50009 | 9E-03 |
Δ R [mm] | 0.25 | 0.24972 | 0.028 |
Funcţie obiectiv | 1.76E-09 | 0.00099 | 0.1 |
unde m este numărul de puncte recoltate iar Xi, Yi, Zi sunt date de ecuaţiile (3).
Pentru exemplul numeric prezentat mai jos identificarea s-a făcut utilizând un soft original dezvoltat în programul Matlab.
În tabelul 2, sunt prezentate valorile parametrilor reali, ale parametrilor calculaţi şi nivelul erorii pentru diferite moduri ale comutării parametrilor (vezi ecuaţiile (3) şi (4)).
2.2. Structurarea topologică a construcţiilor mecanice
2.2.1. Stabilirea domeniului de variaţie a parametrilor
Pentru a genera prin simulare punctele aparţinând suprafeţelor componente ale structurii topologice, fiecărui parametru din setul parametrilor de conformitate şi de corecţie i se dă o
variaţie între limite care trebuie să depăşească limitele admisibile stabilite la proiectare. Domeniile de variaţie ale parametrilor pi şi qi se vor discretiza în intervale neuniforme, cu scopul de a păstra un echilibru între precizia de modelare şi dimensiunile bazei de date utilizate pentru antrenare.
Având în vedere faptul că precizia de modelare trebuie să fie maximă pentru zonele extreme şi zona
Fig. 5. Discretizarea neuniformă
a domeniului de variaţie a parametrului pi
nominală a valorii parametrului respectiv, pentru aceste zone intervalele de variaţie vor fi mai mici, rezultând o
discretizare mai fină, în timp de pentru restul domeniului de variaţie este posibil să se considere intervale de variaţie mai mari (vezi figura 5).
Similar se procedează şi pentru stabilirea şi discretizarea domeniilor de variaţie a parametrilor de corecţie qi.
2.2.2. Generarea bazei de date
Pe fiecare dintre suprafeţele componente ale structurii topologice se generează o serie de puncte corespunzătoare traiectoriilor de măsurare stabilite în secvenţa program. Aceste traiectorii de măsurare vor fi echidistante la profilul suprafeţei teoretice, cu scopul de a simula poziţiile ocupate de centrul suprafeţei de palpare a stylusului în timpul secvenţei de măsurare.
Coordonatele punctelor generate suferă o transformare de coordonate din sistemul de referinţă propriu al suprafeţei teoretice într-un sistem de referinţă deplasat cu setul de parametri p1, p2, ...pn.
În acest mod, se obţine o bază de date cu M înregistrări şi N câmpuri pe fiecare
m n
înregistrare, M şi N fiind date de ecuaţiile M = ∏vi , N = ∑ ki , unde: m este numărul de
i=1 i=1
parametri din setul de conformitate corespunzător structurii topologice; vi — numărul de valori pe care le ia parametrul pi (corespunzător discretizării alese); n — numărul de suprafeţe teoretice care compun structura topologică; ki — numărul punctelor generate pe fiecare suprafaţă teoretică Sti.
Baza de date, astfel obţinută, serveşte ca matrice de intrare pentru antrenarea reţelei neuronale, care va avea ca ieşire matricea formată din seturile de parametri de conformitate.
Similar, se generează o bază de date şi se antrenează o reţea neuronală care va avea ca date de ieşire matricea formată din seturile de parametri de corecţie.
2.2.3. Controlul dimensional al procesului
Explorând suprafeţele generate cu ajutorul dispozitivului de măsurare fixat pe maşina-unealtă, în cadrul secvenţei de măsurare, se recoltează coordonate ale punctelor de pe suprafeţele reale ale fiecărui exemplar „k” din lotul de piese.
Aceste coordonate servesc pentru interogarea reţelelor neuronale, determinându-se atât valorile parametrilor pi, cât ale parametrilor de corecţie qi.
Valorile parametrilor pi servesc pentru a lua o decizie cu privire la conformitatea exemplarului „k” faţă de specificaţia tehnică, în timp ce valorile parametrilor qi sunt utilizate pentru recalibrarea sistemului de prelucrare, înainte de a prelucra exemplarul „k+1”.
2.3. Tolerarea dimensională şi de formă a structurilor topologice
2.3.1. Identificarea caracteristicilor geometrice a reperelor utilizând metoda algoritmilor genetici
Structură topologică de tip cilindru-plan
Metoda prezentată anterior a fost aplicată pentru o structură topologică formată dintr-un cilindru şi un plan, aplicându-se fiecăreia dintre cele două suprafeţe deviaţii după cum urmează:
C
C
- suprafaţa cilindrică a fost rotită în jurul axei Ox cu unghiul φ = 5∘ , în jurul axei Oy cu unghiul ψ = 10∘ , centrul cercului director al cilindrului a fost deplasat în lungul axei Ox cu distanţa x0=2 mm şi în lungul axei Oy cu distanţa y0=3 mm. Raza cercului director a fost considerată R=10 mm;
P
- suprafaţa plană a fost rotită în jurul axei Ox
P
Fig. 6. Suprafeţele structurii topologice explorate
cu unghiul φ = 5∘ şi în jurul axei Oy cu
Tabelul 3. Rezultate numerice
unghiul ψ = 10∘ ;
Parametrul | Real [°] | Calculat [°] | Eroare relativă [%] |
φC | 5.0046 | 5 | 0.091915 |
ψC | 10.01 | 10 | 0.0999 |
x0 | 1.9982 | 2 | -0.09008 |
y0 | 3.0018 | 3 | 0.059964 |
R | 9.9999 | 10 | -0.001 |
φP | 5.0002 | 5 | 0.004 |
ψP | 10.001 | 10 | 0.009999 |
Suprafeţele respective sunt prezentate în figura 6.
A fost cules câte un nor de puncte pe fiecare dintre cele două suprafeţe (42 puncte pe suprafaţa cilindrică şi 9 puncte pe suprafaţa plană).
Transformările de coordonate din sistemul de referinţă propriu celor două suprafeţe în sistemul de referinţă absolut sunt date de ecuaţiile:
X = ωT (ψ ) ⋅ωT (φ ) ⋅ x + x ;
1 2 C
1 C 1 0
(5)
X = ωT (ψ ) ⋅ωT (φ ) ⋅ x ;
2 2 P 1 P 2
În acest fel, funcţia obiectiv, calculată ca sumă a distanţelor de la fiecare punct la
suprafeţele teoretice devine
42
∑
d =
i=1
9
X + Y − R +∑
2 2
i i
j =1
(Z j
− Z0 P
)2 , în care
Z0P , reprezintă
cota suprafeţei plane teoretice în sistemul de referinţă absolut.
În tabelul 3, sunt prezentate rezultatele obţinute prin aplicarea acestui algoritm la structura topologică menţionată (cilindru şi plan).
OBIECTIVUL III. ELABORAREA UNOR PRINCIPII DE PROIECTARE TOPOLOGICĂ A CONSTRUCŢIILOR MECANICE
3.1. Principii de proiectare topologică
Un aspect particular al modelului topologic al construcţiilor este cel referitor la forma suprafeţelor (uneori complexe) care constituie suprafeţele periferice ale sculelor.
Forma topologică funcţională a acestor construcţii se referă la asigurarea capacităţii de generare de către sculă, într-o cinematică impusă a procesului, a unei suprafeţe (ansamblu de suprafeţe) aparţinând unui semifabricat.
O problemă ce poate fi rezolvată în această accepţiune este formarea suprafeţelor de aşezare a burghielor elicoidale.
În baza acestui principiu, al proiectării topologice, s-a dezvoltat o metodă de ascuţire a burghielor elicoidale cu tăişuri curbe.
Realizarea unor noi tipuri de burghie cu tăişuri curbe, a impus şi sinteza sculelor pentru generarea acestora, precum şi a unor procedee specifice de ascuţire.
Dezvoltarea analizei în scopul ameliorării tăişului principal a condus la promovarea unui model de tăiş spaţial.
Totodată, s-a propus extinderea noii geometrii a tăişurilor principale la burghiele multităiş (3 sau 4 tăişuri) care asigură, prin creşterea numărului de faţete de conducere, o mai bună centrare a burghiului în alezajul prelucrat şi,ca urmare, creşterea preciziei de prelucrare.
Aceste noi geometrii impun sinteza unor noi procedee de ascuţire a suprafeţei principale de aşezare, cu asigurarea unei legi de variaţie crescătoare a mărimii unghiului de aşezare de la periferie spre axa sculei, concomitent cu o diminuare continuă a unghiului de atac principal, de la vârful sculei spre periferia acestuia.
De asemenea, noile procedee trebuie să asigure o bună detalonare a suprafeţei de aşezare principale, dintr-o singură poziţionare a burghiului pe dispozitivul de ascuţit. Se propune o noua formă, după o schemă de ascuţire care să aibă o cinematică simplă (număr minim de mişcări) şi care pe această cale să permită reproducerea riguroasă a procesului de ascuţire.
BIBLIOGRAFIE
1. Xxxxxxx X. Xxxxx, Xxxxx Xxxx Xxxx, Form Tolerance Based Mesurement Points Determination With CMM, Journal of Itelligent Manufacturing, nr. 13, pag. 101-108, 2002;
2. H. Xxx, C. K. Xxxxx, X. X. Tsim, Process Modelling and Optimisations Using Artificial Neural Networks and Gradient Search Method, International Journal Adv. Manuf. Technol., nr. 31, pag. 790-796, 2007;
3. Xxxxxx Xxxxxx Xxxxxxx, X. Xxxxxxxxxxxx Xxx, Simultaneous Optimal Selection of Design and Manufacturing Tolerances with Different Stack-up Conditions using Scatter Search, International Journal Advanced Manufacturing Technologies, nr. 30, pag. 328-333, 2006;
4. Xxxxxxx Xxxxxx, Xxxxxxxx Xxxxxxxxxx, A Finite-Differences Derivative-Descent Approach for Estimating Form Error in Precision Manufactured Parts, Journal of Manufacturing Science and Engineering, vol. 128, pag. 335-39, 2006;
5. Xxxxxx Xxxxxxx, Xxxxxxx Xxxxxx, Inspecting Geometric Tolerances: Uncertanty Analisis in Position Tolerances Control on Coordinate Measuring Machines, Statistical Methods and Applications, nr. 11, pag. 83-94, 2002;
6. Xxxxxxxxx Xxx, Xxx Xxxx, Xxxxxxx Xxxx, Form Error Evaluation: An Iterative Reweighted Least Squares Algorithm, Journal of Manufacturing Science and Engineering, vol. 126, pag. 535-541, 2004;
7. Xxxxx, A., Xxxxxxxx, H., Xxxxxxxxx, N., Xxxxxxx, L., A new Design Method based on Functions and Tolerance Specifications for Product Modelling, Annals of the CIRP, Vol. 55/1/2006, 2006;
8. Xxxxxx X., Xxxxxxxx X., Xxxxxx X., Method for Identification of Geometric Feature Family Based on Genetic Algorithm and Neural Approach Procedeeings of WSEAS EUROPEAN COMPUTING CONFERENCE, Athens, Greece, September 25-27, 2007;
9. Xxxxxx, X., Xxxxxxxxxx, B., Xxxxxxx, K., Functional tolerancing of complex mechanisms: Identification and specification of key parts, Computers & Industrial Engineering, 49, 2005, pag. 241-265, DOI 10.1016/j.cie.2005.04.002;
10. Xxxxx, X., Xxxxxxxx, X., Xxx, X., Xxxx, X., Xxxx, X., A Generating Method For Digital Gear Tooth Surfaces, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 28, 2006, pag. 474–485;