NR CONTRACT: 2987/11.10.2005

NR CONTRACT: 2987/11.10.2005

Programul:	Cercetare de Excelenta
Modul: II	Proiecte de Dezvoltare a Resurselor Umane pentru Cercetare
Tipul proiectului:		Proiecte de cercetare de excelenta pentru tinerii cercetători
Cod proiect:	ET 65/2005

Denumirea Proiectului: MORFISME GENERALIZATE DE GRUPOIZI

Director de proiect:

conf. xx. Xxxxxxxx Xxxxxx Xxxxxx- Univ. Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx din Târgu-Jiu

Membrii echipei de cercertare:

lector drd. Novac Xxxxxxx Xxxxxxx- Univ. Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx din Târgu-Jiu asistent drd. Dragoş Pătru Covei - Univ. Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx din Târgu-Jiu lector dr. Xxxxx-Xxxxx Xxxxxx- Univ. Petroşani

Raport final

1. Obiectivele ştiinţifice prevăzute

Ideea lui Xxxxx Xxxxxx de a asocia o C*-algebra C*(G) unui grupoid G joacă un rol important nu doar în geometria necomutativă ci şi în fizică. În geometria necomutativă, C*(G) înlocuieşte un spaţiu cât patologic printr-un spaţiu necomutativ potrivit, în timp ce în fizică, C*(G) dă algebra observabilelor unui sistem cuantic ale cărui simetrii sunt exprimate prin G. Se pune următoarea întrebare: este aplicaţia G → C*(G) functorială?. Mai precis, care este noţiunea potrivită de morfism de grupoizi şi care noţiune de C*-categorie trebuie utilizată? Este cunoscut faptul că noţiunea standard de homomorfism de grupoizi ( o aplicaţie ce satisface condiţii evidente de compatibilitate cu structura grupoidului) nu poate fi utilizată. Argumentarea se bazează pe faptul că în cazul grupurilor C*-functorul ar fi covariant, în timp ce în cazul spaţiilor C*-functorul ar fi contravariant.

Scopul acestui proiect este de a introduce noţiuni de morfisme de grupoizi (în sens generalizat) pentru a obţine aplicaţii functoriale de la categorii de grupoizi (înzestraţi cu diverse structuri) la categorii corespunzătoare de C*-algebre. Introducerea noilor noţiuni de morfisme vizează:

• grupoizii local-compacţi Hausdorff înzestraţi cu sisteme Haar

• grupoizii borelieni

• grupoizii topologici non-Hausdorff

2. Principalele rezultate ştiinţifice

Noţiunea de morfism de grupoizi local compacţi care a fost introdusă în lucrarea:

X. Xxxxxx şi X. Xxxxxxxx, Morphisms of locally compact groupoids endowed with Haar systems, arXiv: math.OA/05101613 (31 pagini).

poate fi privită ca o extindere a noţiunii de morfism ca relaţie introdusă de Xxxxxxxxxx în cazul algebric-Quantum and Classical pseudogroups I. Comm. Math. Phys. 134 (1990), 347-370. Spre deosebire de lucrările lui Xxxxxxxxxx, în această lucrare morfismele sunt definite în termeni de acţiuni de grupoizi- un morfism de la un grupoid Γ la un grupoid G este dat de o acţiune la stânga a lui Γ pe G care comută cu multiplicarea pe G (privită ca acţiune la dreapta a lui G pe G). Aplicaţiile moment ale acţiunilor considerate nu sunt presupuse surjective şi nici deschise. De asemenea, acţiunile la stânga nu sunt presupuse proprii, şi nici libere. Aceasta face ca noţiunea de morfism utilizată să fie diferită de diversele noţiuni de corespondenţe utilizate de M. Macho-Stadler şi M. O'uchi (Correspondences and groupoids. Proceedings of the IX Fall Workshop on Geometry si Physics, Publicaciones de la RSME, 3 (2000), 233-238), X. Xxxxxxxxxxxx-Xxxxxxxxx şi

J. Renault (Amenable Groupoids. Monographie de L'Enseignement Mathematique 36, Geneve, 2000) sau de X.X. Xx (Non-Hausdorff Grupoizi, Proper Actions si K-Theory. Documenta Math.9 (2004) 565-597). Totodată noţiunea de morfism introdusă (care nu presupune că acţiunea este proprie şi nici tranzitivă de-a lungul fibrelor) este distinctă de cea de "bibundle" a lui N.P. Landsman (Operator algebras si Poisson manifolds associated to groupoids. Comm. Math. Phys. 222 (2001), 97-116). În plus, noţiunea utilizată de Landsman este definită în contextul particular al grupoizilor Lie. În cazul grupoizilor Lie problema dependenţei de sistemele Haar nu se pune, deoarece pe grupoizii Lie există o modalitate canonică de alegere a unui sistem Haar, pe când în cazul general local compact nu există nici o proprietate de unicitate evidentă sau vreo posibilitate de alegere canonică a sistemului Haar. Structura topologică a grupoizilor consideraţi în acest proiect şi sistemele Haar cu care s-au presupus înzestraţi au impus introducerea unor condiţii suplimentare (de compatibilitate cu sistemele Haar). S-a obţinut astfel o categorie de grupoizi local compacţi Hausdorff înzestraţi cu sisteme Haar. De asemenea s-a introdus o nouă C*-algebră asociată unui grupoid local compact generalizându-se construcţia făcută de X. Xxxxxxxx în cazul grupoizilor diferenţiabili. Modalitatea în care s-a construit această C*-algebră a făcut posibilă stabilirea uşoară a legăturii dintre ea şi C*-algebrele obişnuite asociate grupoizilor local compacţi: C*- algebra construită este inclusă in C*-algebra redusă şi conţine C* algebra universală.

Dacă grupoidul este (măsurabil) amenabil toate aceste algebre coincid.

Compatibilitatea morfismelor cu sistemele Haar a fost utilizată pentru a construi un functor covariant de la categoria grupoizilor local compacţi Hausdorff înzestraţi cu sisteme Haar la o C*-categorie în sensul lui Xxxxxxxxxx.

Colaborarea cu X. Xxxxxxxx pentru realizarea acestei lucrări a început ca urmarea a grantului HPRN-CT-2002-0277 (în cadrul programului internaţional Postoctoral Training Program "Analysis and Quantum", finanţat în FP5). Finalizarea acestei lucrări a fost posibilă şi datorită grantului CEEX (modulul 3) PR-D11-PT00-48/2005 care a permis

invitarea în iulie 2006 a lui X. Xxxxxxxx la universitatea noastră. Acesta este motivul pentru care pe lucrare se precizează suport parţial din granturile MedC-ANCS ET65/2005, MedC-ANCS PR-D11-PT00-48/2005 şi HPRN-CT-2002-0277.

Lucrarea

X. Xxxxxx, Groupoid categories, acceptată pentru publicare în Proceedings of Operator Algebras and Mathematical Physics Conference, Bucureşti, 2005.

conţine următoarele rezultate:

1. caracterizări ale noţiunii de morfism introdusă în lucrarea Morphisms of locally compact groupoids endowed with Haar systems (X. Xxxxxx şi X. Xxxxxxxx), exprimate în termeni de homomorfisme de produse semi-directe de grupoizi.

2. se arată că noţiunea de izomorfism din noua categorie coincide cu noţiunea clasică de izomorfism de grupoizi (homomorfism care în plus, este aplicaţie bijectivă).

3. se stabilesc condiţii în care un morfism (în sens generalizat) transportă sistemele Haar

4. se stabilesc condiţii în care sistemul Haar obţinut prin transport satisface o condiţie de compatibilitate cu morfismul (condiţie de compatibilitate utilizată în Morphisms of locally compact groupoids endowed with Haar systems (X. Xxxxxx şi X. Xxxxxxxx) pentru construcţia unui functor covariant de la categoria grupoizilor local compacţi Hausdorff înzestraţi cu sisteme Haar la o C*-categorie în sensul lui Xxxxxxxxxx).

Condiţia de compatibilitate între morfisme şi sistemele Haar presupune existenţa unei funcţii continue ale cărei restricţii la diverşi subgrupoizi să joace rol de derivate Radon-Nikodym. În lucrarea

X. Xxxxxx, Xxxxx xxxxxxxxx and C*-algebras, acceptată spre publicare în Proceedings of 21st International Conference on Operator Theory, Timişoara, 2006.

se înlocuieşte acea condiţie de compatibilitate (condiţie ce era dificil de verificat, cu excepţia unor clase particulare de grupoizi) cu o condiţie mai slabă exprimată în termeni de măsuri cvasi-invariante. Se arată că oricărui morfism definit prin acţiuni boreliene (pe grupoizi local compacţi Hausdorff cu bază numărabilă, priviţi ca grupoizi borelieni), care satisface în plus această condiţie de compatibilitate mai slabă, i se poate asocia o familie de reprezentări. Se arată că fiecare reprezentare din familie este non-degenerată şi se construieşte o nouă C*-algebră C*(G) asociată unui grupoid G în termeni de morfisme boreliene

În lucrarea

X. Xxxxxx, C*-Norms on the Algebra of Continuous Functions with Compact Support on a Locally Compact Groupoid, An. Univ. Timisoara Ser. Mat.-Inform., 45(2007) no. 1, 91-108 [ISSN 1224-970X].

se definesc, în termeni de morfisme, C*-norme pe algebra funcţiilor continue cu suport compact pe un grupoid local compact înzestrat cu un sistem Haar (văzută ca algebră în raport cu convoluţia şi involuţia obişnuite) şi de asemenea se stabilesc diverse relaţii între C*-normele introduse.

Pentru ca unui morfism să i se poată asocia o C*-seminormă trebuie să fie îndeplinită o anumită condiţie de compatibilitate cu sistemele Haar, condiţie ce a fost utilizată în etapele precedente pentru construcţia unui functor covariant de la categoria grupoizilor local compacţi Hausdorff înzestraţi cu sisteme Haar la o C*-categorie în sensul lui Xxxxxxxxxx. În lucrarea

X. Xxxxxx, Haar systems compatible with groupoid morphisms, An. Univ. Timisoara Ser. Mat.-Inform., 44(2006) no. 2, 19-32 [ISSN 1224-970X].

se stabilesc condiţii topologice astfel încât dându-se o acţiune continuă a unui grupoid Γ pe un grupoid G ce comută cu multiplicarea pe G şi un sistem Haar λ pe Γ să existe un sistem Haar ν pe G astfel încât morfismul definit de acţiune să fie compatibil cu cele două sisteme Haar. Spre deosebire de lucrarea Groupoid categories (X. Xxxxxx) unde condiţiile topologice erau impuse spaţiului orbitelor grupoidului acţiune în această lucrare, condiţiile care asigură compatibilitate cu sistemele Haar sunt impuse spaţiului orbitelor lui G.

În lucrarea

X. Xxxxxx, A category of singly generated dynamical systems, trimisă spre publicare în Proceedings of ICDS International Conference on Dynamical Systems 2007, Bolu (Turcia).

am considerat categoria sistemelor dinamice de forma (S,σ), unde S este un spaţiu local compact iar σ : S→S este un homeomorfism local. Unui astfel de sistem dinamic Renault i-a asociat un grupoid r-discret G(S,σ) [“Xxxxx-like algebras” in Operator theoretical methods (Timişoara, 1998)]. În categoria acestor sisteme dinamice am considerat drept

→

morfism G(S1,σ1) h

Γ(S2,σ2) o acţiune continuă la stânga a lui Γ(S2,σ2) pe G(S1,σ1)

ce comută cu multiplicarea pe G(S1,σ1) (cu alte cuvinte un morsfism topologic de la

Γ(S2,σ2) la G(S1,σ1) în sensul introdus în etapele precedente). Am arătat că

→

1. orice morfism G(S,σ) h

Γ este determinat de o acţiune (la stânga) continuă

a lui Γ pe S cu aplicaţia moment ρh şi de un homomorfism de grupoizi θ:Γ∗S→ Z:

γ•h(s, m, t) = (γ•s, θ(γ, s) + m, t),

unde

este grupoidul acţiune.

Γ∗S = {(γ, s)∈Γ×X: d(γ)=ρh(s)}

2. pentru astfel de grupoizi condiţia de compatibilitate cu sistemele Haar pe G şi

Γ este întotdeauna îndeplinită.

→

3. pentru orice morfism G(S,σ) h

Γ(X,γ) şi orice f funcţie continuă cu suport

compact f pe Γ(X,γ) aplicaţia

hˆ (f )(s, m, t ) =

∑

γ∈Γ, r(γ)=ρh (s)

γ−1•s =t, θ(γ−1,s)=−m

f (γ) , (sm,t)∈ G(S,σ)

se extinde la un ∗-homomorphism C*(h): C* (Γ)→C* (G). Am construit astfel un

full full

functor G(S,σ) → C* (G) de la categoria grupoizilor ce provin din astfel de sisteme

full

dinamice la categoria C*-algebrelor.

Foarte multe exemple naturale de grupoizi topologici (ca de exemplu, grupoizii proveniţi din foliaţii) sunt non-Hausdorff. Noţiunilor de morfisme topologice definite în etapele precedente ale proiectului pot fi extinse fără dificultate în contextul non- Hausdorff. Ceea ce pune probleme este obţinerea unei aplicaţii functoriale de la categoria grupoizilor non-Hausdorff la o categorie de C*-algebre. Pentru a obţine o astfel de aplicaţie functorială este necesară introducerea unei noi C*-algebre asociate grupoidului, iar definirea C*-normei impune condiţii de compatibilitate cu sistemele Haar. Construcţia C*-algebrei asociată unui grupoid local compact Hausdorff (introdusă în prima etapă a acestui proiect) se baza pe faptul că în raport cu convoluţia (asociată unui sistem Haar) şi involuţia uzuală spaţiul funcţiilor continue cu suport compact pe un grupoid devine *- algebră. În cazul non-Hausdorff spaţiul funcţiilor continue cu suport compact nu poate fi transformat în mod natural într-o algebră de convoluţie şi este prea mic pentru a captura structura topologică grupoidului. În lucrarea

X. Xxxxxx, Measurable morphism, manuscris.

s-a construit o de C*-algebră, într-un context mai general şi anume cel al grupoizilor cu măsură. Fiecare grupoid a fost înzestrat cu o σ-algebră de submulţimi şi suplimentar cu o familie de mulţimi numite mulţimi „mărginite”. Grupoidul măsurabil a fost definit ca fiind un grupoid a cărui structură este compatibililă cu σ-algebra şi în plus, având aplicaţiile produs şi inversare „mărginite pe mulţimile mărginite”. De asemenea grupoidul a fost înzestrat cu un sistem de măsuri având proprietăţi similare unui sistem Haar borelian la care se adaugă condiţia de „mărginire pe mulţimi mărginite”. Fiecărui grupoid măsurabil înzestrat cu un astfel de sistem Haar şi o măsură cvasi invariantă i s-a asociat o C*-algebră şi s-a arătat că asocierea respectivă are un caracter functorial. Un grupoid topologic local-compact local Hausdorff poate fi privit ca un grupoid măsurabil în sensul de mai sus considerând σ-algebra generată de mulţimile deschise şi luând drept familie de mulţimi „mărginite” mulţimile relativ compacte.

Următoarele rezultate obţinute în proiect privesc geometria diferenţială şi mecanica relativistă. În lucrarea

X. Xxxxxxx, Normal anti-invariant submanifolds of paraquaternionic Kähler manifolds. Surv. Math. Appl. 1 (2006), 99-109. . [ISSN 1842-6298]

se definesc varietăţile normal anti-invariante ale varietăţilor paracuaternionice Kähler şi se studiază structurile geometrice induse pe ele. Se stabilesc condiţii necesare şi suficiente pentru integrabilitatea distribuţiilor definite pe o subvarietate normal anti- invariantă. De asemenea se prezintă caracterizări ale produselor local (global) anti- invariante. Lucrările

X. Xxxxxxx si X. Xxxxxxx, Studiul marimilor fizice cuadritensoriale in mecanica relativista, Sesiunea de comunicări ştiinţifice „Globalizare şi identitate”, Universitatea Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx dinTârgu-Jiu, 2 -3 iunie 2006, vol. I, 495-498.

şi

X. Xxxxxxx si X. Xxxxxxx, Studiul legilor de conservare ale marimilor relativiste, Sesiunea de comunicări ştiinţifice „Globalizare şi identitate”, Universitatea Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx dinTârgu-Jiu, 2 -3 iunie 2006, vol. I, 499-502.

sunt axate pe studiul legilor de conservare în mecanica relativistă.

Un alt grup de rezultate obţinute în acest proiect vizează îmbunătăţirea modelului Xxxxxxxxx în care intervine operatorul lui Xxxxxxx cu aplicare în modelele staţionare radial simetrice şi modelul M.C. Xxxxxxxxx (unde sunt modelate fenomene fizice prin operatorul general p-laplacian). Aceste rezultate se găsesc în lucrările:

X. Xxxxx, A few results about the p-Laplace’s operator, acceptată pentru publicare în Proceedings of the International Conference on Theory and Applications of Mathematics and Informatics (ICTAMI 2005). Acta Univ. Apulensis Math. Inform. No. 10 (2005). [ISSN 1582-5329].

X. Xxxxx, Existence and uniqueness of positive solutions to a quasilinear elliptic problem in RN, Electron. J. Differential Equations 2005, paper no. 139, 15 pp. [ISSN 1072-6691].

X. Xxxxx, Existence of positive solutions to a semilinear problems. An. Univ. Oradea Fasc. Mat. 13 (2006), 125-132. [ISSN 1221-1265] XX0000000 (2007d:35082).

De asemenea rezultate privind problemele la limită semiliniare si cvasiliniare au fost stabilite şi în

X. Xxxxx, Existence of positive solution to a quasilinear elliptic problem in RN, Surv. Math. Appl. 1 (2006), 111-116. [ISSN 1842-6298].

X. Xxxxx, Remark to a quasilinear problem in RN, Proceedings of MENP-4 (4th International Colloquium “Mathematics in Engineering and Numerical Physics), Bucureşti, octombrie 2006.

X. Xxxxx, Existence results for semilinear elliptic boundary value problems, pentru Proceedings of Equadiff conference, Viena 2007.

Următoarele rezultate vizează caracterizarea spectrului şi a razei spectrale pentru operatorii universal mărginiţi (pe spaţii local convexe). Lucrarea

X. Xxxxxx, Spectral sets for universally bounded operators, arXiv: math.FA/0511671 (23 pagini).

are drept scop studierea operatorilor mărginiţi pe spaţii local convexe şi în particular caracterizarea spectrului şi a razei spectrale pentru operatorii universal mărginiţi. Teoria spectrală pentru operatorii mărginiţi definiţi pe spaţii Xxxxxx reprezintă modelul pentru rezultatele obţinute în această lucrare. Astfel, dacă T∈QP (X) raza P-spectrală, notată rP(T) este considerată ca fiind raza de mărginire în sensul lui Xxxxx. Având în vedere particularităţile algebrei QP(X) raza P-spectrală satisface majoritatea proprietăţilor razei de mărginire a unui element dintr-o algebră m-convexă.

Este demonstrat că dacă T este un operator mărginit în QP (X) iar X este un spaţiu local convex semicomplet, atunci ⎮σ( QP ,T)⎮ = rP(T) şi pentru orice ⎮λ⎮>rP(T) seria

∞

Xxxxxxx ∑

T n

n+1

este convergentă în QP (X) la R(λ, T). Folosind egalităţile

se arătă că

n=0 λ

σ lm (T)= σ (Q,T)= σ (T),

rlm (T)=| σ (T) | =| σ lm (T) | =| σ (Q,T) | ,

acesta reprezentând principalul rezultat care permite studiul mulţimii spectrale a unui operator local mărginit T pe un spaţiu local convex semicomplet. Ca şi în cazul Xxxxxx se arată că mulţimea spectrală σ(T) este compactă, iar mulţimea rezolvantă ρ(T) este domeniul de analiticitate al rezolvantei.

În lucrarea

X. Xxxxxx, A Functional Calculus for Quotient Bounded Operators, Surv. Math. Appl., 1 (2006), 61-70. [ISSN 1842-6298].

se prezintă o generalizare a calculului funcţional clasic (pentru operatorii mărginiţi pe spaţii Xxxxxx) la elementele mărginite ale algebrei operatorilor q-mărginiţi pe un spaţiu local convex.

În lucrarea

M. S. Stoian, Quasi-nilpotent operators on locally convex spaces, arXiv: math.FA/0708.1819 (13 pagini).

se prezintă extinderea noţiunii de echivalenţă de operatori cvasi-nilpotenţi introdusă de Colojoară şi Xxxxx [Theory of Generalized Spectral Operators, Xxxxxx and Breach, Science Publishers, New York-London-Paris, 1968] la spaţiile local convexe

Din cele de mai sus rezultă că obiectivele propuse au fost îndeplinite, obţinându- se şi rezultate suplimentare.

3. Dezvoltarea resursei umane

Abordarea temei propuse în acest proiect a necesitat combinarea unor elemente de analiză funcţională (în particular, teoria algebrelor de operatori) cu analiză matematică, şi teoria categoriilor. De asemenea, rezultatele obţinute au aplicaţii potenţiale în fizica şi geometria necomutativă. Ca urmare, proiectul a determinat lărgirea orizontului matematic. Pentru aprofundarea cunoştinţelor în domeniile precizate mai sus (precum şi pentru armonizarea cunoştinţelor membrilor echipei), începând din luna octombrie 2005, la Departamentul de Matematică al Universităţii Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx se desfăşoară (săptămânal) un seminar despre Algebre de convoluţie asociate grupoizilor şi aplicaţii. Legat de obiectivele proiectului în cadrul acestui seminar membrii echipei au prezentat următoarele teme:

1. Grupoizii ca generalizări ale grupurilor, relaţiilor de echivalenţă, mulţimilor,

şi acţiunilor grupurilor pe mulţimi (X. Xxxxxx).

2. Grupoizi topologici şi grupoizi borelieni (standard şi analitici) (X. Xxxxxx)

3. Măsuri pe grupoizi. Sistemul Haar pe grupoizi-analogul măsurii Haar pe grupurile local compacte (X. Xxxxxx)

4. Convoluţia pe grupoizi. Algebra funcţiilor continue cu suport compact definite pe un grupoid (X. Xxxxxx).

5. Reprezentări de grupoizi în fibrate Hilbert (X. Xxxxxx)

6. Legătura dintre reprezentările grupoidului şi cele ale algebrei funcţiilor continue cu suport compact (X. Xxxxxx).

7. Instrumente ale geometriei necomutative. Cum intervin grupoizii în geometria necomutativă (X. Xxxxxx).

8. Sisteme de măsuri pe grupoizii borelieni. Descompuneri ale sistemelor de măsuri pe grupoizi (X. Xxxxxx).

9. Acţiuni pe grupoizi. Noţiunile de echivalenţă Morita şi de similaritate pentru grupoizi. Grupoizi borelieni echivalenţi. (X. Xxxxxx)

10. Caracterizarea spectrului şi a razei spectrale pentru operatorii universal mărginiţi (X. Xxxxxx)

11. Calcul funcţional pentru operatorii q-marginiţi. (X. Xxxxxx)

12. Probleme de reacţie-difuzie (X. Xxxxx).

13. Aplicaţii ale punctului critic şi principii de maxim în studiul problemelor semiliniare si cvasiliniare (X. Xxxxx)

14. Mărimi fizice cuadritensoriale în mecanica relativistă (X. Xxxxxxx)

15. Grupoizi diferenţiali (X. Xxxxxxx)

16. Grupoizi topologici non-Hausdorff (X. Xxxxxx)

De asemenea în cadrul acestui seminar P: Xxxxxxxx (Universitatea din Varşovia) a făcut o prezentarea „Groupoid morphisms and convolution algebras”.

O parte din fondurile din acest proiect au fost destinate mobilităţilor (participări la manifestări ştiinţifice desfăşurate în ţară), urmărindu-se pe de o parte îmbunătăţirea documentării, iar pe de altă parte creşterea capacităţii de comunicare, de prezentare a ideilor si rezultatelor.

Doctoranzii din echipa proiectului s-au pregătit şi în cadrul programului lor de doctorat. Astfel, X. Xxxxxxx a susţinut în cadrul programului de doctorat examenul “Elemente de topologie algebrică (omotopie, omologie şi coomologie)” şi a pregătit referatele “Conexiuni liniare pe spaţii fibrate vectoriale” şi „Coomologia varietăţilor diferenţiale, teorie Xxxxx- de Rham, teoreme de anulare”. În plus, X. Xxxxx şi-a perfecţionat pregătirea prin frecventarea cursurilor postuniversitare de „Tehnologia informaţiilor şi comunicaţiilor”.

4. Mobilităţi (vizite de studiu , participări la manifestări ştiinţifice interne şi internaţionale in concordanţă cu tematica grantului)

1) X. Xxxxxx, OT21 (International Conference on Operator Theory) Timişoara, 29 iunie-4 iulie 2006. Titlul comunicării: Borel morphisms and C*-algebras.

2) X Xxxxxx, Workshop OMA2006 (Operatorial Models and Applications). Conference on Operator Theory) Timişoara, 29 iunie-4 iulie 2006. Titlul comunicării: Groupoid C*-algebras.

3) X Xxxxxx, ICM2006 (International Congress of Mathematicians) , Madrid 21-31 august 2006. Titlul comunicării: Groupoid morphisms.

4) X. Xxxxxx, MENP-4 (4th International Colloquium “Mathematics in Engineering and Numerical Physics), Bucureşti, 6-8 octombrie 2006. Titlul comunicării: Haar systems compatible with groupoid morphisms.

5) X. Xxxxxx, ICDS International Conference on Dynamical Systems 2007, 25-

30 iunie 2007 Bolu (Turcia). Titlul comunicării: A category of singly generated dynamical systems.

6) X. Xxxxxxx, Workshop OMA2006 (Operatorial Models and Applications). Titlul comunicării: Normal Anti-Invariant Submanifolds of Paraquaternionic Kahler Manifolds.

7) X. Xxxxx, ICTAMI 2005 (International Conference on Theory and Applications of Mathematics and Informatics), Albac (România), septembrie 2005- Titlul comunicării: A few results about the p-Laplace’s operator.

8) X. Xxxxx, International Conference Several aspects of biology, chemistry, informatics, mathematics and physiscs, Oradea, noiembrie 2005- Titlul comunicării: Existence of positive solutions to a semilinear problems.

9) X. Xxxxx, Euroconferences in Crete „Discontinuous change in behavior issues in partial differential equations” June 10-16, 2006, Anogia, Crete Greece. Titlul comunicării: Semilinear and quasilinear problems.

10) X. Xxxxx, Workshop OMA2006 (Operatorial Models and Applications). Titlul comunicării: A problem with differential equations.

11) X. Xxxxx, MENP-4 (4th International Colloquium “Mathematics in Engineering and Numerical Physics), Bucureşti, 6-8 octombrie 2006. Poster: Remark to a quasilinear problem in RN.

12) D. Xxxxx, Xxxxxxxx conference EQUADIFF07” 5-11 august 2007 „Vienna University of Technology”, Viena. Titlul comunicării: Existence Results for Semilinear Elliptic Boundary Value Problems.

13) M.S. Stoian, OT21 (International Conference on Operator Theory) Timişoara,

29 iunie-4 iulie 2006. Titlul comunicării: Spectral properties of locally bounded operators.

14) M.S. Stoian, Workshop OMA2006 (Operatorial Models and Applications). Titlul comunicării: Bounded elements of the algebra of quotient bounded operators.

15) M.S. Stoian, Colocviul săptămânal al Departamentului de Analiză Matematică de la Facultad de Ciencias Matematicas, Universidad Complutense de Madrid, 11 ianuarie 2007. Titlul prezentării: Spectral Properties for bounded Operator son Locally Convex Spaces.

16) M.S. Xxxxxx, „Seminario de Analisis Matematico”, 22 februarie 2007, Universitatea din Valencia (Spania). Titlul prezentării: Bounded operators on locally convex spaces.

5. Lista lucrărilor realizate în proiect

1. X. Xxxxxx şi X. Xxxxxxxx, Morphisms of locally compact groupoids endowed with Haar systems, arXiv: math.OA/0511613 (31 pagini) .

2. X. Xxxxxx, Groupoid categories, acceptată pentru publicare în Proceedings of Operator Algebras and Mathematical Physics Conference, Bucureşti, 2005 (Theta, Bucharest) (eds. X. Xxxx, X. Xxxxxx, X. Xxxxxxxx).

3. X. Xxxxxx, Groupoid C*-algebras, Surv. Math. Appl., 1 (2006), 71-98. [ISSN 1842-6298]. MR2274294 (2007h:46067). Zbl pre05178424.

4. X. Xxxxxx, Grupoizii în geometria necomutativă, Sesiunea de comunicări ştiinţifice „Globalizare şi identitate”, Universitatea Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx din Târgu-Jiu, 2 -3 iunie 2006, vol I, 425-430.

5. X. Xxxxxx, Borel morphisms and C∗ -algebras, acceptată pentru publicare în Proceedings of 21st International Conference on Operator Theory, Timişoara, 2006. (Theta, Bucharest) (eds. R.G. Xxxxxxx, X. Xxxxxxx, X. Xxxxxx, X. Xxxxxxx and F.-X. Xxxxxxxxx).

6. X. Xxxxxx, Haar systems compatible with groupoid morphisms, An. Univ. Timisoara Ser. Mat.-Inform., 44(2006) no. 2, 19-32 [ISSN 1224-970X].

7. X. Xxxxxx, C*-Norms on the Algebra of Continuous Functions with Compact Support on a Locally Compact Groupoid, An. Univ. Timisoara Ser. Mat.- Inform., 45(2007) no. 1, 91-108 [ISSN 1224-970X].

8. X. Xxxxxx, A category of singly generated dynamical systems, trimisă spre publicare în Proceedings of ICDS International Conference on Dynamical Systems 2007.

9. X. Xxxxxx, Groupoids and actions, The 4th International Scientific Conference ECO-TREND 2007, November 23-24, Targu-Jiu, Romania.

10. X. Xxxxxxx si X. Xxxxxxx, Studiul marimilor fizice cuadritensoriale in mecanica relativista, Sesiunea de comunicări ştiinţifice „Globalizare şi identitate”, Universitatea Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx dinTârgu-Jiu, 2 -3 iunie 2006, vol. I, 495- 498.

11. X. Xxxxxxx si X. Xxxxxxx, Studiul legilor de conservare ale marimilor relativiste, Sesiunea de comunicări ştiinţifice „Globalizare şi identitate”, Universitatea Xxxxxxxxxx Xxxxxxxx dinTârgu-Jiu, 2 -3 iunie 2006, vol. I, 499- 502.

12. X. Xxxxxxx, Normal anti-invariant submanifolds of paraquaternionic Kähler

manifolds. Surv. Math. Appl. 1 (2006), 99-109. . [ISSN 1842-6298]. XX0000000 (2007i:53046).

13. X. Xxxxxxx, The principle of the minimum action in true time, The 12th edition of the International Scientific Conference of the Engineering Faculty, November 23rd-24th, 2007. Nr.3/2007, 219-222.

14. X. Xxxxx, A few results about the p-Laplace’s operator, acceptată pentru publicare în Proceedings of the International Conference on Theory and Applications of Mathematics and Informatics (ICTAMI 2005). Acta Univ. Apulensis Math. Inform. No. 10 (2005). [ISSN 1582-5329]. MR2240126. Zbl1113.35312.

15. X. Xxxxx, Existence and uniqueness of positive solutions to a quasilinear elliptic problem in RN, Electron. J. Differential Equations 2005, paper no. 139, 15 pp. [ISSN 1072-6691]. MR2181283 (2006h:35074). Zblpre05002708.

16. X. Xxxxx, Existence of positive solutions to a semilinear problems, An. Univ. Oradea Fasc. Mat. 13 (2006), 125-132. [ISSN 1221-1265] XX0000000 (2007d:35082).

17. X. Xxxxx, Existence of positive solution to a quasilinear elliptic problem in RN, Surv. Math. Appl. 1 (2006), 111-116. [ISSN 1842-6298]. MR2274296. Zbl pre05178426.

18. X. Xxxxx, Remark to a quasilinear problem in RN, Proceedings of MENP-4 (4th International Colloquium “Mathematics in Engineering and Numerical Physics), Bucureşti, octombrie 2006.

19. X. Xxxxx, Existence results for semilinear elliptic boundary value problems, pentru Proceedings of Equadiff conference, Viena 2007.

20. X. Xxxxx, Entire solution of quasilinear elliptic problem, trimisă spre publicare

21. X. Xxxxxx, A Functional Calculus for Quotient Bounded Operators, Surv. Math. Appl., 1 (2006), 61-70. [ISSN 1842-6298]. MR2274293. Zbl pre05178423.

22. X. Xxxxxx, Spectral sets for universally bounded operators, arXiv: math.FA/0511671 (23 pagini).

23. X. Xxxxxx, Spectral Properties for Locally Bounded Operators, acceptată pentru publicare în Proceedings of 21st International Conference on Operator Theory, Timişoara, 2006. (Theta, Bucharest) (eds. R.G. Xxxxxxx, X. Xxxxxxx, X. Xxxxxx, X. Xxxxxxx and F.-X. Xxxxxxxxx).

24. X. Xxxxxx, Quasi-nilpotent operators on locally convex spaces, arXiv: math.FA/0708.1819 (13 pagini).

25. X. Xxxxxx, A Functional Calculus for Quotient Bounded Operators, International Conference on Infinite Dimensional Analysis (Function Theory on Infinite Dimensional Spaces X), Universidad Complutense, Madrid, December 11-14, 2007.

Concluzii

În acest proiect

• s-au definit noi categorii (s-au introdus morfisme) o de grupoizi local-compacţi Hausdorff înzestraţi cu sisteme Haar/grupoizi borelieni/grupoizi topologici non- Hausdorff

• s-au cosntruit C*-algebre asociate grupoizilor în termeni de morfime

• s-au construit aplicaţii functoriale de la categorii de grupoizi (înzestraţi cu diverse structuri) la categorii corespunzătoare de C*-algebre

• s-au stabilit condiţii necesare şi suficiente pentru integrabilitatea distribuţiilor definite pe o subvarietate normal anti-invariantă ale unei varietăţi paracuaternionice Kähler.

• s-au stabilit rezultate privind existenţa şi unicitatea unor probleme eliptice

• s-au obţinut rezultate ce vizează caracterizarea spectrului şi a razei spectrale pentru operatorii universal mărginiţi (pe spaţii local convexe)

• rezultatele obţinute au fost publicate/trimise spre publicare în jurnale sau în volumele unor conferinţe şi pe pagina WEB a proiectului:

xxxx://xxx.xxxxxx.xx/xxxx/xxxxxxx/xxxxxxx/xx00.xxxx (versiune în limba engleză) xxxx://xxx.xxxxxx.xx/xxxx/xxxxxxx/xxxxxxx/xx00_xx.xxxx (versiune în limba română)

• s-a dezvoltat infrastructura de cercetare şi documentare a Departamentului de Matematică şi a Centrului de Cercetări Matematice şi Aplicaţii (prin achiziţionarea a 2 computere Pentium 4 CPU 3.00 GHz, 512 MB RAM, HDD 80GB, CDRW/DVD Combo + monitoare LCD, 17”, 2 videoproiectoare (inclusiv ecrane de proiectie); licenta software Scientific WorkPlace 5.5; licenta software MAPLE 11; abonamente la revistele de matematica ale Academiei Romane si la MathSciNet)

• au fost deschise direcţii de cercetare noi ce vor fi dezvoltate în proiecte viitoare;

• participarea la manifestările ştiinţifice internaţionale a dus la sporirea contactelor academice având efect benefic asupra unor colaborări viitoare.

Director de proiect,

Conf. xx. Xxxxxxxx Xxxxxx Xxxxxx