UVOD V GEOMETRIJSKO TOPOLOGIJO, 2. SKLOP

UVOD V GEOMETRIJSKO TOPOLOGIJO, 2. SKLOP

Dogovor

Vsi prostori preslikav so opremljeni s kompaktno odprto topologijo.

1. naloga

Naj bo F : X × Y → Z zvezna preslikava.

∈ˆ →

a. Za vsak x X je preslikava Fx : Y Z, Fx(y) = F (x, y), zvezna.

b. Preslikava F : X → C(Y, Z), Fˆ(x) = Fx, je zvezna.

2. naloga

Naj bo X poljuben topoloˇski prostor. Tedaj je C(X, R) s potmi povezan prostor.

3. naloga

→

Naj bo f : [a, b] R zvezna funkcija in naj bo ε > 0. Tedaj obstaja konˇcen nabor realnih ˇstevil, oznaˇcimo jih a0, a1, . . . , an, da velja

|a0 + a1ex + a2e2x + · · · + anenx − f (x)| < ε za vsa ˇstevila x ∈ [a, b].

4. naloga

}

V prostoru zveznih preslikav C(S1, C) oznaˇcimo mnoˇzico

P = f : S1 → C | f je zoˇzitev kakega polinoma C → C .

Mnoˇzica P ni gosta v C(S1, C).

5. naloga

Naj bo X metriˇcni prostor in ffi kompleksna (unitalna) podalgebra v C(X, C), ki vsebuje konstante, loˇci toˇcke na X in je zaprta za konjugacijo. Tedaj je ffi gosta v C(X, C).

6. naloga

n

”Trigonometriˇcni“ kompleksni polinom je funkcija oblike

f (ζ) = c−nζ−n + c−(n−1)ζ−(n−1) + · · · + c0 + c1ζ + · · · + cnζn = Xxxxxxx, da je mnoˇzica vseh trigonometriˇcnih polinomov gosta v C(S1, C).

1

kΣ=−n

ckζk.