Prissättning av försäkringskontrakt med fokus på hur kontrakt i ett nytt område ska prissättas

Prissättning av försäkringskontrakt med fokus på hur kontrakt i ett nytt område ska pris- sättas

Xxxxxx Xxxxxxx

Masteruppsats i försäkringsmatematik Master Thesis in Actuarial Mathematics

Masteruppsats 2020:8 Försäkringsmatematik Juni 2020

xxx.xxxx.xx.xx

Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm

Matematiska institutionen

Matematisk statistik Stockholms universitet Masteruppsats 2020:8 xxxx://xxx.xxxx.xx.xx/xxxxxxx

Prissättning av försäkringskontrakt med fokus på hur kontrakt i ett nytt område ska prissättas

Xxxxxx Xxxxxxx∗ Juni 2020

Sammanfattning

Syftet med den här uppsatsen är att undersöka och jämföra meto- der för prissättning av försäkringskontrakt. Speciellt kommer vi stu- dera situationen där försäkringskontrakt ska tillhandahållas i ett nytt område utan någon historisk data. Genom att simulera skador under en period kommer vi studera effekter på beräknade premier för olika prissättningsmetoder. De metoder som ska betraktas i den här upp- satsen är som följer. Generaliserade Linjära Modeller (GLM), GLM kombinerad med kredibilitetsteori och Bayesiansk GLM.

Storskaliga simuleringsstudier visar att GLM kombinerad med kre- dibilitetsteori är den mest effektiva metoden, långt bättre än de övriga.

∗Postadress: Matematisk statistik, Stockholms universitet, 106 91, Sverige.

E-post:xxxxxxxxx@xxxxxxx.xxx. Handledare: Xxxxx Xxxxxxxx.

Abstract

The aim of this thesis is to investigate and compare methods for pricing insurance policies. In particular, we will study the situation where insurance policies will be provided in a new territory without any historical data. By simulating claims during a period we will study effects of different methods of pricing on calculated premiums. The methods that will be considered in this thesis are as follows. Generalized Linear Models (GLM), GLM combined with credibility theory and Bayesian GLM.

Large-scale simulation studies show that GLM combined with credibility theory is the most effective method, far better than the others.

Tack

Jag vill rikta ett stort tack till min handledare Xxxxx Xxxxxxxx på Stockholms universitet för hans värdefulla feedback och råd. Jag vill även rikta ett stort tack till mina nära och kära för allt stöd under arbetets gång.

Innehållsförteckning

1. Introduktion 6

1.1. Bakgrund 6

1.2. Inskränkning - Modellering av skadefrekvens 6

1.3. Frågeställningar 6

1.4. rstanarm - Ett R-paket för BGLM 6

1.5. Uppsatsens upplägg 7

2. MC-försäkringsdata 7

3. Teori 8

3.1. Grundläggande i prissättning inom sakförsäkring 8

3.1.1. Tariffanalys 8

3.1.2. Premieargument och nyckeltal 8

3.1.3. Grundläggande modellantaganden 9

3.1.4. Väntevärde och varians 10

3.1.5. Multiplikativa modeller 10

3.2. Generaliserade linjära modeller 11

3.2.1. Exponential spridda modeller 11

3.2.2. Tweedie modeller 12

3.2.3. Modellering av skadefrekvens 12

3.2.4. Länkfunktion 13

3.3. Kredibilitetsteori 13

3.4. Grundläggande i Bayesianska modeller 15

3.4.1. Bayesianska generaliserade linjära modeller 16

4. Metod 16

4.1. Det nya området och dess relaterade - Två olika fall 16

4.2. Modellval - Premieargument och tillhörande klasser 17

4.3. Framtida skadefrekvenser 19

4.3.1. Modellering av framtida försäkringskunder 19

4.3.2. Modellering av inrapportering av framtida skador 20

4.4. Apriorival 21

4.5. Algoritm för uppdatering av årliga parameterskattningar 22

4.5.1. Algoritm för GLM 23

4.5.2. Algoritm för GLM kombinerad med kredibilitetsteori 23

4.5.3. Algoritm för BGLM 24

5. Simuleringar och resultat 25

5.1. Avvikelse av relativa Poissonfördelningen som modellanpassningsmått 26

5.2. Modelljämförelser - Det första fallet 26

5.3. Modelljämförelser - Det andra fallet 29

5.4. Antalet försäkringskontrakt per år vid närmare granskning 33

5.5. Standardavvikelsekomponenterna σ och τ vid närmare granskning 36

5.6. Apriori vid närmare granskning 37

6. Slutsatser och diskussion 39

6.1. Slutsatser 39

6.2. Diskussion 40

Appendix 41 A. Tabeller 41

A.1. Sammanfattande statistik av MC-försäkringsdatan 41

A.2. Slutgiltigt årliga parameterskattningar under tioårsperioden 41

Referenser 50

1. Introduktion

1.1. Bakgrund

Att ha tillgång till relevant data är helt avgörande för att ett försäkringsbolag ska kunna prissätta ett försäkringskontrakt, i den här uppsatsen svensk MC-försäkring, på ett korrekt och meningsfullt sätt. En naturlig fråga som uppstår är dock hur bolaget kan prissätta ett försäkringskontrakt som ska erbjudas i ett nytt område där sådant inte har erbjudits tidigare, det vill säga utan stöd av någon data såsom skador och skadekostnader? Detta utgör ett viktigt problem för bolaget. Det enklaste sättet att angripa detta problem vore att baserat på Generaliserade Linjära Modeller (GLM) använda sig av information från något besläktat område, som sedan ska ligga till grund för prissättningen. Den största nackdelen med detta förfarande torde vara att det kan finnas mer eller mindre signifikanta skillnader mellan det nya området och dess relaterade, till exempel lagändring, vilka skulle leda till inkorrekta prissättningar [2]. Kredibilitetsteori är en annan lösningsmetod, som går ut på att dess prissättning skulle basera dels på den individuella informationen från det nya området, och dels på den kollektiva där alla områden betraktas som ett enda område. Den tredje och sista metoden som ska undersökas i den här uppsatsen är Bayesianska Generaliserade Linjära Modeller (BGLM). De kan sägas vara en variant av GLM men använder sig i samband med prissättningen även av deras apriori utöver informationen rörande det nya området. Senare fram i den här uppsatsen kommer vi i samband med prissättningen av försäkringskontrakt avseende det nya området beskriva hur de två sistnämnda metoderna hanterar situationen där informationen gällande detta område saknas.

1.2. Inskränkning - Modellering av skadefrekvens

Medan det är av intresse att jämföra mellan ovannämnda metoderna vad gäller prissättning av försäkringskontrakt som ska tillhandahållas i ett nytt område, och även i alla områden i Sverige, inskränker vi dock oss endast till modellering av skadefrekvens (antalet skador uppkommit från ett försäkringskontrakt eller en grupp av försäkringskontrakt per försäkringsår) och därmed utesluter modellering av medelskada (genomsnittlig skadekostnad) ur det här arbetet, [1, s. 4]. Anledningen är att modellering av skadefrekvens ofta är mer intressant för försäkringsbolag då den är starkt kopplad till prissättningen samt att dess parameterskattningar är mer stabila, det vill säga större precision än vid modellering av medelskada, se [1,

s. 34] speciellt kommentaren under punkt (i).

1.3. Frågeställningar

De frågeställningar som vi ska försöka besvara i den här uppsatsen är som följer.

1) Vilken av nämnda prissättningsmetoderna presterar bäst avseende dels det nya området och dels alla områden?

2) I fråga om modeller från GLM kombinerad med kredibilitetsteori, för vilket par värden på standard- avvikelsekomponenterna σ och τ skulle leda till den mest effektiva modellen?

3) Får vi mer korrektare prissättningar om vi ansätter mer informativa apriori?

4) Spelar det stor roll om vi använder skattningarna från det aktuella året i samband med uppdatering av apriori väntevärden jämfört med skattningarna från det förra året?

1.4. rstanarm - Ett R-paket för BGLM

För att implementera BGLM använder vi oss av R-paketet rstanarm, [18], där det finns en hel inbyggda funktioner som är användbara inom Bayesianska analysen. Några exemplar på inbyggda funktionerna är en figur över aposteriori, en figur över jämförelsen mellan apriori och aposteriori, och kredibilitetsintervall. För en bra introduktion till detta paket, se [8].

1.5. Uppsatsens upplägg

Uppsatsens upplägg är som följer. I Sektion 2 presenteras den MC-försäkringsdata som ska ligga till grund för simulering av framtida skadefrekvenser. I Sektion 3 ges en djupgående teori inom olika berörda delar i det här arbetet. I Sektion 4 ges en detaljerad beskrivning över olika metoder som ska ligga till grund för våra simuleringsstudier. I Sektion 5 presenteras simuleringar och resultat utifrån simuleringsstudierna. I Sektion 6 dras en rad slutsatser och avslutas med en diskussion. I Appendix presenteras en rad tabeller, bland annat de slutgiltigt årliga parameterskattningarna för varje modell under betraktande av den här uppsatsen.

2. MC-försäkringsdata

I det arbetet kommer vi använda svenska MC-försäkringsdatan av typen delkasko (eng: partial casco) om- fattande av 64 548 försäkringskontrakt från R-paketet CASdatasets, [17]. Den datan är på aggregerad nivå med avseende på alla försäkringskontrakt och motsvarande skador och skadekostnader under perioden 1994- 1998. De första sju försäkringskontrakten bifogas i Tabell 2.1. Ett viktigt påpekande är att vi i datan har eliminerat alla försäkringskontrakt som inte börjat än, det vill säga durationen (löptiden) lika med noll då vi enbart är intresserad av historiska datan. Detsamma gäller för de som är under 16 år, den ålder som krävs för att man får köra vissa klasser av motorcykel, [7]. Sammantaget innebär att vi har tagit bort 2 112 försäkringskontrakt ur datan, huvudsakligen de kontrakt som ännu inte börjat gälla.

agarald kon zon mcklass fordald bonuskl duration antskad skadkost 16 K 1 3 7 1 0.232877 0 0

16 K 3 1 15 1 0.501370 0 0

16 K 4 1 10 1 0.336986 0 0

16 K 4 1 13 1 0.473973 0 0

16 K 4 1 10 2 0.249315 0 0

16 K 4 1 16 1 0.504110 0 0

16 K 4 1 17 1 0.443836 0 0

Tabell 2.1. De första sju försäkringskontrakten ur MC-försäkringsdatan av totalt 62 436 kontrakt under perioden 1994-1998 från R-paketet CASdatasets, [17]. De kontrakt som ännu inte börjat gälla eller de som är under 16 år exkluderats från här.

För en beskrivning av den här datan, i synnerhet dess premieargument och tillhörande klasser återfinns i [1,

s. 36] men vi bifogar den även här, se Tabell 2.2. Värt att påpeka att den här datan är gammal, från 1995, och vi ska därför i Sektion 4.2 konstruera fram en ny tariff avsedd för skadefrekvens, där vi modifierat eller lagt till nya premieargument och motsvarande klasser.

Premieargument	Klass	Beskrivning	Relationstal
Geografisk zon	1	Central och halv-central delar av Sveriges tre största städer	7.678
	2	Förorter samt medelstora städer	4.227
	3	Mindre städer, utom 5 eller 7	1.336
	4	Små städer och landsbygder, utom 5-7	1.000
	5	Norrländska städer	1.734
MC klass	6 7 1	Norrländska landsbygder Gotland (Sveriges största ö) EV kvot -5	1.402 1.402 0.625
	2	EV kvot 6-8	0.769
	3	EV kvot 9-12	1.000
	4	EV kvot 13-15	1.406
	5	EV kvot 16-19	1.875
	6	EV kvot 20-24	4.062
7		EV kvot 25-	6.873
Fordonsålder	1	0-1 år	2.000
Bonus klass	2 3 1	2-4 år 5- år 1-2	1.200 1.000 1.250
	2	3-4	1.125
	3	5-7	1.000

Tabell 2.2. Gamla MC-försäkringsdatan från 1995 ur [1, s. 36] bifogad med en beskrivning av dess premieargument och tillhörande klasser. Dessa gamla relationstal är avsedda för riskpremie.

I Sektion 3 ges en mer djupgående förklaring av grundläggande begrepp i prissättning inom sakförsäkring bland annat premieargument, klasser och relationstal. Vi kan här passa på att nämna att premieargumentet Zon (istället för mer omständligare Geografisk zon) representerar område, något som vi ska titta närmare på resten av det här arbetet.

3. Teori

3.1. Grundläggande i prissättning inom sakförsäkring

Nedan kommer vi gå igenom några grundläggande begrepp och antaganden som används i prissättning inom sakförsäkring, i första hand de delar som vi har nyttan av i det här arbetet. Detta innebär att vi inte ska gå in närmare på modellering av medelskada, utan den intresserade läsaren hänvisas till [1]. Detsamma gäller för den läsare som är intresserad av en mer djupgående teori i prissättning inom sakförsäkring. De teoridelar som berörs här är hämtade från [1] Kapitlen 1-2 och 4.

3.1.1. Tariffanalys

Tariffanalys är grunden för prissättning inom sakförsäkring. Med tariffanalys ska avses att en aktuarie med hjälp av en lämplig statistisk modell undersöker hur skadekostnader beror av ett eller flera premieargument, och därigenom upprättar en så kallad tariff (prislista), [1, s. vii]. Ett exempel på hur en tariff kan se ut återfinns i Tabell 2.2.

3.1.2. Premieargument och nyckeltal

Premieargument och nyckeltal är två grundläggande begrepp som används i tariffanalys.

Med premieargument ska avses de förklarande variabler eller kovariater som tas hänsyn till vid prissättning av försäkringskontrakt. På så sätt bestäms premie med beaktande av dessa premieargument. Man kan säga att begreppet premieargument tydliggör att man har med prissättning att göra, jämfört med vanliga statistiska sammanhang där det är mer naturligare att använda begreppen förklarande variabler eller kovariater.

Premieargument kan vara någon av de två typerna: kategorivariabel till exempel kön, zon, eller kontinuerlig variabel exempelvis ålder. Det bör noteras att till exempel ålder som från början är klassad som kontinuerlig variabel kan istället ses som kategorivariabel genom att vi delar in åldrar i åldersgrupper eller åldersklasser. I det här arbetet kommer vi dock endast arbeta med kategorivariabler (premieargument med en eller flera klasser) med anledning att vi inom tariffanalysen ska klassificera försäkringskunder till olika tariffceller beroende på riskegenskaper. Med tariffcell ska avses att de försäkrade som tillhör denna cell ska, så långt det är möjligt, ha samma riskegenskaper, och därmed får betala en och samma premie för deras försäkringar. Annorlunda uttryckt, de försäkrade som tillhör samma tariffcell betyder att de tillhör samma klass i varje premieargument.

Med nyckeltal ska avses den kvantitet som ligger till grund för bestämning av premie. Mer specifikt, låt X svara mot en responsvariabel, som avser exempelvis antalet skador eller enskilda skadekostnader. Låt vidare att w svarar mot exponering, exempelvis duration eller antalet skador. Då gäller att Y = X/w ges uttryck för nyckeltal, exempelvis om X svarar mot antalet skador och w svarar mot duration har vi då med skadefrekvens att göra, ett sådant nyckeltal som vi tidigare stött på. För mer exemplar av nyckeltal återges i Tabell 3.1 nedan.

Anledningen till varför vi inom tariffanalysen ska titta på nyckeltal snarare än responsvariabel, det vill säga varför vi ska dela responsvariabeln med exponeringen istället för att direkt studera responsvariabeln, är att det är ytterst viktigt att vi bland annat vid bestämning av skadefrekvens även ska ta hänsyn till hur länge en försäkringstagare haft försäkrad, och inte enbart hur många skador som denne har gett upphov till under en viss tidsperiod. Annars skulle vi få missvisande resultat, med tanke på att det kan finnas två försäkringstagare som både har drabbats av samma antal skador men under olika exponeringstid. Ett annat viktigt skäl föreligger dock att osäkerheten i parameterskattningarna blir mindre om vi studerar nyckeltalet Y snarare än responsvariabeln X. Detta kan inses genom att variansen av nyckeltalet, V ar(Y ) = V ar(X)/w2, minskar när exponeringen ökar jämfört med V ar(X). I Sektion 3.1.4 kommer vi prata mer om väntevärde och varians av responsvariabeln X respektive nyckeltalet Y .

Exponering w	Respons X	Nyckeltal Y = X/w
Duration	Antalet skador	Skadefrekvens
Duration	Skadekostnad	Riskpremie
Antalet skador	Skadekostnad	Medelskada
Intjänt premie	Skadekostnad	Skadeprocent
Antalet skador	Antalet stora skador	Andelen av stora skador

Tabell 3.1. Viktiga nyckeltal. Dessa tillsammans med tabellens utformning är inspirerade från Tabell 1.3 ur [1, s. 6].

3.1.3. Grundläggande modellantaganden

Här går vi igenom några modellantaganden som behövs för att kunna förenkla våra statistiska modeller i det här arbetet. För samtliga modellantaganden nedan, vi betraktar någon typ av responsvariabeln X ur Tabell 3.1.

Antagande 3.1. Låt Xj svara mot responsvariabeln för försäkringskund j = 1, . . . , n. Då gäller att

X1, . . . , Xn är oberoende av varandra.

Antagandet innebär att alla försäkringskunder antas vara oberoende vilket oftast är rimligt men kan vara mer eller mindre orimligt i andra fall exempelvis alla försäkringskunder i ett visst område drabbats till följd

av en kraftig storm. Men i vårt fall, vi antar att sådana naturkatastrofala händelser eller dylikt inte kan inträffas, utan vi är mer intresserad av de resultat och slutsatser som råder under normala omständigheter.

Antagande 3.2. Låt Xj svara mot tidsintervall j = 1, . . . , n. Låt vidare att alla dessa nämnda intervall är disjunkta (icke överlappande). Då gäller att X1, . . . , Xn är oberoende av varandra.

En följd av det här antagandet är att antalet skador och enskilda skadekostnader i olika tidsperioder är oberoende. I praktiken innebär att vi fullständigt bortser säsongseffekter som kan ha stor betydelse för antalet skador, att skadekostnader kan variera med tiden samt att försäkringskunder kommer nog köra mer försiktiga efter att de varit med om bilolyckor. Däremot anser vi ändå att detta antagande fortfarande är relevant med motiveringen att vår MC-försäkringsdata inte innehåller några exakta tidspunkter vare sig inträffandet av dess skador eller motsvarande utbetalningar, utan vi enbart har tillgång till sådana informationer som aggregerats under den hela tidsperioden.

Antagande 3.3. Låt Xj och Xk svara mot responsvariabeln för försäkringskund j respektive k, där både tillhör samma tariffcell och har samma exponering. Då gäller att Xj och Xk tillhör en och samma sanno- likhetsfördelning.

Av det här antagandet följer att alla försäkringskunder som tillhör samma tariffcell är homogena i den meningen att deras riskegenskaper är identiska. Naturligtvis kan detta antagande uppfattas som helt absurt men en sådan uppfattning ska inte tolkas alltför bokstavligt, utan mer i det hållet att dessa kunder är någorlunda identiska, så långt det är möjligt.

3.1.4. Väntevärde och varians

För att kunna upprätta en tariff behöver aktuarien beräkna väntevärde för varje tariffcell. I samband med detta behövs aktuarien också beräkna motsvarande varians för att kunna uttala sig om osäkerheten kring dessa skattade väntevärden. Låt därför X och w svara mot responsvariabeln (den totala responsen) respektive totala exponeringen för en godtycklig tariffcell, där Y = X/w är dess motsvarande nyckeltal. Då gäller under Antaganden 3.1-3.3 ovan samt w > 0 (för beviset se Lemma 1.1 ur [1, s. 8-9]) att

E[X] = wµ,	V ar(X) = wσ2,	(3.1.4.1)
E[Y ] = µ,	V ar(Y ) = σ2/w,	(3.1.4.2)

där µ och σ2 svarar mot väntevärdet respektive variansen för ett försäkringskontrakt tillhörande denna nämnda cell. Det kan noteras att µ svarar mot den genomsnittliga skadekostnaden per försäkringsår för detta försäkringskontrakt.

3.1.5. Multiplikativa modeller

Multiplikativ modell är ett standardantagande vid beräkning av en tariffcells väntevärde, då denna modell visat sig vara mer lämpade än additiva modeller, för ett resonemang se slutet av den här sektionen.

Istället för att titta på det generella fallet som kan vara ganska krångligt, låt oss förenkla lite genom att betrakta en tariff som består av tre premieargument. Låt oss säga att vi är intresserad av att beräkna väntevärdet för den första tariffcellen, det vill säga (1, 1, 1) motsvarande den första klassen i varje av dessa tre premieargument. Vi betecknar µ1 som dess väntevärde. Då gäller under multiplikativa modellen att

µ1 = γ0γ11γ21γ31. (3.1.5.1)

För att göra allt mer tydligare, i synnerhet vad dessa beteckningar i högra ledet om Ekvation (3.1.5.1) betyder, låt oss introducera begreppet bascell. Med bascell ska avses den cell som beskriver hur en annans risk ligger i förhållande till den. Vi använder oss av standardantagandet att bascellen är den cell med största

durationen, säg (1, 1, 4), svarande mot den första klassen i de två första premieargumenten och den fjärde klassen i det sista argumentet. Det speciella med bascellen är att vi antar att γ11 = γ21 = γ34 = 1 (för att undvika överparametrisering se vidare [1, s. 10]), och därmed är dess väntevärde lika med γ0. Om vi nu låter γ31 = 1.5 så betyder det att de försäkringskunder som tillhör den första klassen i det tredje premieargumentet löper 50% högre risk än de som tillhör den fjärde klassen i detta nämnda argument, allt annat lika det vill säga de som tillhör samma klass i de övriga premieargumenten. Annorlunda uttryckt, dessa kunder som klassificerats till den första klassen får betala 50% högre i premie jämfört med de som tillhör den fjärde klassen, allt annat lika. Därför kallas γ31 och även de övriga γjk för relationstal som alltså beskriver hur en annan cells risk ligger i förhållande till bascellen. I övrigt kallas γ0 för basvärdet, den premie som försäkringskunderna i bascellen får betala.

Det bör noteras att de försäkringskunder som tillhör den första tariffcellen antas ha samma riskegenskaper som kunderna i bascellen med avseende på de två första premieargumenten, eftersom γ11 och γ21 gäller båda cellerna, till skillnad från det tredje premieargumentet; γ31 = 1.5 jämfört med γ34 = 1.

Avslutningsvis, anledningen till varför multiplikativa modeller är mer lämpade än additiva när det gäller beräkning av en tariffcells väntevärde är att “riskförhållandet” mellan två celler ska vara uttryckt i procent snarare än fastställt enligt ett visst absolutbelopp. Annars får vi missvisande resultat då ena cellen kan upplevas som extrem riskabel relativt den andra cellen om premien vore låg och i princip som riskhomogen om premien istället vore hög. För att konkretisera detta påstående, anta att vi under additiva modellen kommer fram till att cellen k på grund av en viss riskegenskap får betala 70 kr mer i premie relativt cellen

j. Så om cellen j betalar 100 kr i premie innebär det då att cellen k därmed får betala 170 kr för samma

försäkring. Cellen k löper alltså 70% mer risk än cellen j allt annat lika, vilket kan uppfattas som extremt. Däremot skulle båda cellerna betraktas som nästan riskhomogena om cellen j nu får betala 1000 kr i premie, eftersom cellen k “behöver” därmed enbart betala 1070 kr för samma försäkringsskydd, allt annat lika - det vill säga bara 7% mer i premie. Multiplikativa modeller kan på ett sätt motverka problemet med negativt urval (eng: adverse selection) till skillnad från additiva.

3.2. Generaliserade linjära modeller

Allmänna linjära modeller (se till exempel [16] för mer om dessa modeller) är olämpliga för tariffanalys av två orsaker. Det första är att responsvariabeln X antas vara begränsad till normalfördelningar och detta följer att denna variabel inte kan avses som antalet skador, som ju kräver en diskret fördelning, eller som enskilda skadekostnader, som endast tar icke-negativa värden, se Tabell 3.1 för vilka typer denna variabel kan vara. Det andra är att väntevärdet µ förutsätts vara linjär i kovariater, vilket passar bra om vi jobbar med additiva modeller men vi har ju tidigare kommit fram till att multiplikativa modeller är mer lämpade vilket i detta fall då kräver att detta väntevärde genom en log-transform ska vara linjär i kovariater. Generaliserade linjära modeller (GLM) som är en utvidgning av allmänna linjära modeller uppfyller med andra ord våra förutsättningar då de antar att responsvariabeln X kan följa såväl vissa diskreta fördelningar såsom Poisson som vissa kontinuerliga fördelningar exempelvis Normal, Gamma, samt att väntevärdet µ genom någon monotonisk transform såsom log antas vara linjär i kovariater.

3.2.1. Exponential spridda modeller

Exponential spridda modeller (eng: Exponential Dispersion Models förkortat till EDM) är de sannolikhets- fördelningar som härrör från exponentialfamiljen och är en del av GLM. Låt Y1, . . . , Yn vara oberoende nyckeltal, med motsvarande observationer y1, . . . , yn och exponeringar w1, . . . , wn. Låt vidare att de följer en EDM-familj. Då gäller att deras sannolikhets- eller täthetsfunktion ges av

φ/wi

f (y ; θ , φ) = exp yiθi − b(θi) + c(y , φ, w ) , (3.2.1.1)

där det är underförstått att fY (yi) = 0 för de värden som omöjligen kan antas. Vidare gäller att parametern

θi får bero på index i till skillnad från spridda parametern φ > 0; kumulanta funktionen b(θi) antas vara två

gånger kontinuerligt deriverbar och inverterbar vid första derivatan; slutligen c(yi, φ, wi), som inte beror på

θi, utgör en normaliserande konstant. Vidare gäller att

µi =. E[Yi] = b'(θi), (3.2.1.2)

V ar(Yi) = φv(µi)/wi, (3.2.1.3)

där v(µi) kallas för variansfunktion och har egenskapen att v(µi) = b''(b'−1(µi)). Den har en annan trevlig egenskap, nämligen att den är entydigt specificerad vilket innebär att varje sannolikhetsfördelning inom EDM-familjen har egen variansfunktion. Därmed räcker det i praktiken bara att känna till en variansfunktion för att kunna uttala sig om vilken sannolikhetsfördelning inom EDM-familjen som berörs.

Avslutningsvis, det bör noteras att EDM uppfyller en viktig egenskap inom tariffanalys, nämligen reproduktiv. Med reproduktiv menas på följande sätt. Låt Y1 och Y2 följa en och samma sannolikhetsfördelning. Låt vidare att

w1Y1 + w2Y2

Y w1 + w2

, (3.2.1.4)

det vill säga Y antas vara en viktad medelvärdesbildning av Y1 och Y2. Då gäller att Y följer samma sannolikhetsfördelning som Y1 och Y2. Annorlunda uttryckt, om två tariffceller, som följer en och samma EDM-familj, bedöms ha samma riskegenskaper och därmed samma väntevärde varför de kan slås samman till en gemensam cell, så säger denna reproduktivitet att denna nya cell följer samma EDM-familj som den ursprungliga. Det skulle alltså kännas absurt utan denna egenskap i vår tariffanalys i den meningen att man kan tvingas arbeta med en annan sannolikhetsfördelning än den ursprungliga trots att riskegenskaperna hos de två cellerna anses vara likadana, något som redan påpekats av författarna i [1, s. 19]. Mer om EDM-teori hänvisas till [12].

3.2.2. Tweedie modeller

Tweedie modeller, där bland annat Poisson-, Normal- och Gammafördelningar tillhör, är en underklass av EDM. Vad som är bra med dessa modeller är att de uppfyller en annan viktig egenskap inom tariffanalys, nämligen scale invariant på engelska och en motsvarande svensk översättning bör vara skalinvariant. Med skalinvariant menas på följande sätt. Låt c vara en positiv konstant och Y en stokastisk variabel som tillhör en viss familj av sannolikhetsfördelningar. Då gäller att cY följer samma familj som Y . Den är otroligt användbar inom tariffanalysen i det avseendet att vi får samma resultat från denna analys oavsett vilken valuta som avses, SEK, EUR eller någon annan. Slutligen, Tweedie modeller är unika i den meningen att uttrycket för deras variansfunktion är förhållandesvis enkelt, det vill säga

v(µ) = µp, p ∈/ (0, 1). (3.2.2.1)

Det bör observeras att någon EDM ej existerar för 0 < p < 1, därav uttrycket “p ∈/ (0, 1)” ovan.

3.2.3. Modellering av skadefrekvens

Under vissa förutsättningar, bland annat Antaganden 3.1-3.3 ovan, följer att antalet skador på aggregerad nivå Xi som uppkommit i tariffcell i = 1, . . . , m är Poissonfördelat med väntevärdet E[Xi] = wiµi. Dess sannolikhetsfunktion har följande form.

f (

−w µ (wiµi)xi

X xi; µi) = e

i i

xi!

, xi = 0, 1, 2, . . . . (3.2.3.1)

Men som redan påpekats att vi inom tariffanalysen är mer intresserad av fördelningen för nyckeltalet Yi = Xi/wi, vilket alltså avser en relativ Poissonfördelning med väntevärdet E[Yi] = µi. Dess sannolikhetsfunktion ges av

f (

−w µ (wiµi)wiyi

i i

Y yi; µi) = e (w y )! , (3.2.3.2)

i i

där vi förutsätter att yi är sådant att wiyi endast antar icke-negativa heltal, annars gäller att fY (yi) = 0. Det bör vidare observeras att Yi utöver Xi tillhör EDM-familjen, vilket kan inses genom att sätta θi = log(µi) för att erhålla

fY (yi; θi) = exp{wi(yiθi − eθi ) + c(·)}, (3.2.3.3)

där φ = 1; kumulanta funktionen b(θi) = eθi ; c( ) är mindre intresserad då den, som sagt, inte beror på θi, utan enbart utgör en normaliserande konstant.

3.2.4. Länkfunktion

Vi konstaterade tidigare ovan att multiplikativa modeller är lämpliga för tariffanalys, se Sektion 3.1.5 för resonemanget kring detta. Dessa modeller innebär att väntevärdet µ är linjär i kovariater genom att göra en log-transform, det vill säga vi använder en logaritm länkfunktion, log länk. För att illustrera detta med ett exempel, betrakta Ekvation (3.1.5.1), det vill säga µ1 = γ0γ11γ21γ31. Genom användning av log länk erhåller vi då

log(µ1) = log(γ0) + log(γ11) + log(γ21) + log(γ31). (3.2.4.1)

Mer allmänt gäller på följande sätt. Låt g vara en länkfunktion, som är en monotonisk deriverbar funktion. Anta att Y1, . . . , Yn är oberoende nyckeltal med motsvarande väntevärden E[Yi] = µi, det vill säga denna tariff består av n tariffceller med motsvarande väntevärden µ1, . . . , µn. Anta vidare att det finns r premieargument. Då gäller att

g(µi) = ηi = β0 + xijβj, i = 1, . . . , n, (3.2.4.2)

j=1

• •

där β = g(γ ) exempelvis β0 = log(γ0) där γ0 är basvärdet; xij är en dummy variabel som enbart tar värde 0 eller 1 har uppgiften att för tariffcellen i ange vilken klass av det j:te premieargumentet som ska gälla.

3.3. Kredibilitetsteori

Vilket postnummer en försäkringskund är bosatt i är av betydelse för prissättning av ett försäkringskontrakt. Däremot finns det en massa olika postnummer i Sverige, och en del av dem kan ha otillräcklig med data att det råder stor osäkerhet vid parameterskattningar såsom varje tariffcells väntevärde. Naturligtvis kan detta problem xxxxxxxx genom att gruppera dessa postnummer beroende på, säg, kommun, församling eller dylikt, men detta är inte en bästa lösning, eftersom alla postnummer i en kommun, säg, inte rimligen kan betraktas som riskhomogena, utan vissa av dem matchar bättre med några andra postnummer i en annan kommun. Inte heller är det lätt att gruppera dem beroende på inkomst, befolkningstäthet då det finns ändå variation mellan postnumren som vi inte har tagit hänsyn till här. Vi säger då att Zon, som alltså gäller mer allmänt än i vårt fall (vi har bara 7 klasser se Tabell 2.2), är av typen Multiklassargument (eng: Multi-Level Factor förkortat till MLF). Med MLF menas att det är en nominalvariabel (råder ingen naturlig ordning bland dess klasser) med alltför många klasser.

GLM utgår dock från att man enbart har standardargument, det vill säga ett premieargument med måttliga klasser, och inte något MLF. Detta innebär självklart en nackdel med GLM, och det är här kredibilitetsteori kommer in, då den tar sikte på sådana problem med MLFs.

≤ ≤

Låt oss titta igen på postnummer-problemet ovan. Säg att vi betraktar postnummer j som vi inte har tillräcklig med data och har därför svårt att korrekt sätta dess premie på. Kredibilitetsteorin går ut på att vi ska göra en avvägning mellan att helt förlita oss på dess premie, som är mer relevant men mycket ostabil, och att lita på den premie som fastställs genom att alla postnummer i Sverige ses som ett gemensamt nummer, det vill säga alla nummer betraktas som riskhomogena och därigenom betalar en och samma premie vilket är mycket orimligt. Mer specifikt, denna teori använder begreppet kredibilitetsfaktor zj, 0 zj 1, som alltså anger hur mycket i procent som vi ska luta oss åt den individuella premien Y j. och hur mycket åt den “generella” premien µ, det vill säga

där Y x. xxxxxxx genom

zjY j. + (1 − zj)µ, (3.3.1)

Y j.

Σt

wjt

= Σt wjtYjt , (3.3.2)

där Yjt är ett nyckeltal för MLF grupp j - vi talar här grupp snarare än klass, med motsvarande exponering wjt samt t betecknar den t:te observationen inom denna grupp. Detta MLF består av J grupper till exempel J olika postnummer. Vi skattar µ med

Y ..

Σj

wj.

= Σj wj.Y j. , (3.3.3)

Σt

där wj. = wjt, för j = 1, . . . , X. Det bör observeras att premien för ett helt nytt postnummer, det vill säga vi har ingen data för detta nummer, ska sättas till Y .., något som vi ska göra i den här uppsatsen. Det bör vidare noteras att ju mer data vi har för postnummer j desto närmar sig zj mot 1. Desamma gäller ifall det råder liten variation i den nämnda datan eller stor variation mellan grupperna.

Xxxx studerade vi en tariff med bara ett MLF. I allmänhet gäller dock att vi har en tariff som består av båda standardargument och MLFs. Betrakta därför en tariffcell som består av R standardargument och ett MLF med J grupper. Låt Yijt vara ett nyckeltal, där i avser tariffcell i, som är utformade efter dessa R standardargument; j står för MLF grupp j; t står för den t:te upprepade observationen inom denna grupp. Låt vidare att γi , r = 1, . . . , R, står för relationstal för det r:te standardargumentet och det är underförstått vilken klass av detta argument som ska gälla precis som med väntevärdet i Ekvation (3.1.5.1). Låt slutligen att uj, j = 1, . . . , J, vara relationstal för MLF grupp j och som är en observation av den slumpmässiga effekten Uj, en stokastisk variabel med egenskapen E[Uj] = 1. Då gäller under multiplikativa modellen att

E[Yijt|Uj] = µγi γi . . . γi Uj, (3.3.4)

där µ skattas med Y ... ur Ekvation (3.3.10) nedan. Det bör noteras att om vi känner till värdet Uj så kan vi skatta µ och γi , r = 1, . . . , R, eller vice versa, och denna ligger till grund för Backfitting Algorithm, som möjliggör att, genom att kombinera båda GLM och kredibilitetsteori, skatta relationstal för båda standard- argument och MLF samtidigt, se [1, s. 84-85] för mer detaljer. Under vissa förutsättningar, se Antaganden

4.2 i [1, s. 82-83], gäller att vi skattar Uj med

U^ = z˜ Y˜.j. + (1 − z˜ ), (3.3.5)

där:

z˜ =

w˜.j.

, (3.3.6)

w˜.j.

+ σ2/τ 2

w = 2−p

˜ijt wijtγ ,

w˜.j. = Σ w˜ijt, γi = γi γi . . . γi , (3.3.7)

i,t

där p dyker upp eftersom vi antas jobba med Tweedie modeller, se Sektion 3.2.2. Till exempel svarar p = 0 mot Normal; p = 1 Poisson; p = 2 Gamma. Vidare gäller att σ2 står för en (viktad) inom-grupp-varians och τ 2 mäter mellan-grupp-varians, vilka skattas med väntevärdesriktiga estimatorer, under förutsättning att γis är kända,

σj

− 1

w˜ijt Yijt − X .x.

ˆ2 = 1 Σ ( ˜

i,t

˜ )2 =

ˆ2 = Σ (nj − 1)σˆ2

(3.3.8)

⇒

− 1)

där nj står för det totala antalet observationer i grupp j och

Σj (n

ˆ2 = Σj w˜.j.(Y˜.j. − Y˜...)2 − (J − 1)σˆ2

(3.3.9)

τ w˜ − Σ ˜ /w˜ ,

och slutligen,

...

Y .j.

Σi,t

w˜ijt

˜ = Σi,t w˜ijtYijt/γi ,

x .x.

Y˜

...

Σj

w˜.j.

= Σj w˜.j.Y˜.j. . (3.3.10)

Sammantaget innebär alltså att en tariffcell i som tillhör grupp j får betala en premie svarande mot µγiU^j .

3.4. Grundläggande i Bayesianska modeller

Innan vi går närmare på Bayesianska generaliserade linjära modeller (BGLM) behöver vi dock introducera några grundläggande begrepp som används inom Bayesianska modeller. För en mer omfattande teori inom Bayesianska metoder rekommenderas [3]. För den läsare som är intresserad av frekventistiska ansatsen, som GLM utgår från, hänvisas till exempel [13]. Den här teoridelen är hämtade från dessa två nämnda referenser.

Låt Y = (Y1, . . . , Yn)T vara stokastiska variabler med motsvarande observationer y = (y1, . . . , yn)T . De- ras simultana sannolikhets- eller täthetsfunktion ges av f (y; θ), där θ kan vara en skalär eller en vektor. Frekventistiska ansatsen utgår från att inferensen rörande θ ska vara baserad på likelihoodfunktion eller om man så vill likelihood L(θ; y), som alltså är en funktion av θ givet observerade datan y. Till skillnad från frekventistiska ansatsen som betraktar θ som fix men okänd, behandlar Bayesianska ansatsen däremot den som en stokastisk kvantitet genom att anta att den följer en viss sannolikhetsfördelning eller mer formellt som apriorifördelning eller helt enkelt bara apriori π(θ). Apriori beskriver alltså vad vi redan vet om θ innan vi har observerat datan y. När vi väl fått denna data kan vi då uppdatera informationen om θ som sedan ska ligga till grund för Bayesianska inferensen. Mer specifikt, Bayesianska inferensen rörande θ grundar sig på aposteriori (alternativt aposteriorifördelning) med följande form,

∫ f (y|θ)π(θ) dθ

p(θ|y) = f (y|θ)π(θ) , (3.4.1)

där vi antar att π(θ) följer en kontinuerlig fördelning; ersätt integrationen i nämnaren med summationen om π(θ) istället följer en diskret fördelning. Formeln i (3.4.1) är känd som Bayes sats. Det bör observeras att medan frekventistiska inferensen bygger på likelihood, bygger Bayesianska inferensen snarare på en kombination av likelihood och apriori.

Apriori kan vara icke-informativ som alltså betyder att dess fördelning inte ger oss någon information om θ, eller annorlunda uttryckt, vi har inga personliga åsikter eller vilka värden som vi tycker θ bör ligga runt vid. Man kan säga att man är objektiv i dessa avseenden. För att nämna ett exempel på icke-informativa fördelningar, anta att det enda vi vet om skalärparametern θ är att den kan anta vilket värde som helst, det vill säga θ ∈ (−∞, ∞), och då skulle en likformig apriori varit ett lämpligt val,

π(θ) = c > 0, (3.4.2)

∫ π θ dθ ∞

∫ |

för någon konstant c. Men notera att denna apriori inte är en sannolikhetsfördelning, eller som man säger improper på engelska, eftersom ( ) = , vilket inte är lika med 1. Trots detta kan man fortfarande använda denna apriori inom Bayesianska inferensen, dock så länge det gäller att f (y θ)dθ = K, för någon konstant K, eftersom det då följer att

(θ|y) =

f (y|θ) · c f (y|θ) · c dθ

= f (y|θ)

=⇒ ∫ p(θ|y)dθ = 1 (3.4.3)

∫p

vilket alltså visar att p(θ y) utgör en sannolikhetsfördelning eller proper på engelska. Dock måste man vara försiktig med användning av impropers, eftersom dessa fördelningar inte alltid resulterar i proper aposteriori. Slutligen, man kan säga att ju högre varians som råder för en viss fördelning desto mer icke-informativ är den då.

Att en apriori är informativ menas att man har mer eller mindre personliga åsikter (subjektiv bedömning) eller relevant information rörande θ, i den meningen att vissa värden är mer troliga än andra. Som exempel kan nämnas Poissonfördelning om det rör sig om en diskret fördelning eller Gammafördelning om det istället är en kontinuerlig fördelning.

3.4.1. Bayesianska generaliserade linjära modeller

Bayesianska generaliserade linjära modeller (BGLMs) är den tredje och sista metoden som berörs i det här ar- betet. Vi konstaterade under Sektion 3.2.4 att GLM under multiplikativa modellen, med r premieargument, har följande form, se Ekvation (3.2.4.2),

g(µi) = ηi = β0 + xijβj, i = 1, . . . , n. (3.4.1.1)

j=1

Frekventistiska ansatsen, som GLM utgår från, antar att intercept β0 och övriga regressionskoefficienterna β1, . . . , βr alla är fixa men okända. Denna tolkning delar Bayesianska ansatsen dock inte av sig, utan att den antar istället att de alla är (eventuellt oberoende) stokastiska variabler, och den utgör en viktig skillnad mellan GLM och BGLM. Sammantaget innebär att BGLM utgår från Ekvation (3.4.1.1) med tillägg att regressionskoefficienterna antas följa någon sannolikhetsfördelning. Till exempel antar vi att de alla är normalfördelade,

βk ∼ N(E[βk], V ar(βk)), k = 0, 1, . . . , r. (3.4.1.2)

4. Metod

4.1. Det nya området och dess relaterade - Två olika fall

I den här sektionen kommer vi anta vilken Zon klass som ska betraktas som det nya området respektive dess relaterade baserat på såsom geografiska- och väderförhållanden som är av betydelse för storleken på skadefrekvens. Detta antagande behövs för GLM och BGLM i samband med prissättningen avseende det nya området under första året vid vilket försäkringsbolaget börjar erbjuda sina försäkringar till det nya området

(till skillnad från kredibilitetsteori, där man ansätter relationstalet tillhörande det nya området lika med 1 under detta år). Detta eftersom försäkringsbolaget kommer under dessa nämnda modeller att anta att de försäkringskunder som bor i det nya området kommer att under första året få betala en och samma premie som om de bor i dess relaterade område, men möjligt en annan premie än den som gäller för dess relaterade område under de kommande åren.

Ur Tabell 2.2 observerar vi att Zon klasser 5 och 6 tillhör norrlandstrakten, samt att deras relationstal kan mer eller mindre ses som lika (1.734 respektive 1.402) och därför är det naturligt att, för vårt första fall, betrakta dem två som synonymt. Dessutom, eftersom bolaget redan har erbjudit sina försäkringar till det relaterade området kan det därför kännas rimligt att antalet försäkringskontrakt för detta område bör vara större än det nya området. Härmed kommer vi ur Tabell A.1 att klass 5 ska betraktas som det nya området (2274 kontrakt) medan klass 6 som dess relaterade område (3716 kontrakt).

Vidare, för att vi förhoppningsvis ska kunna se huruvida våra resultat/slutsatser av den här uppsatsen skiljer sig beroende på relationstalet för det nya området avviker kraftigt från dess relaterade bör det andra fallet vara mer extremt relativt det första ovan. För att ännu mer avvikande - riktigt absurt antagande - antar vi att antalet försäkringskontrakt för det nya området ska vara större än dess relaterade. Vi ser exempelvis att Zon klass 1 (relationstalet lika med 7.678 ur Tabell 2.2 och 8210 kontrakt ur Tabell A.1) och Zon klass 2 (motsvarande värden: 4.227 och 11390) uppfyller våra kriterier för det andra fallet. Därför antar vi att Zon klass 2 ska avses som det nya området medan klass 1 som dess relaterade.

4.2. Modellval - Premieargument och tillhörande klasser

Tariffen ur Tabell 2.2 är gammal, från 1995 och därmed inaktuell, medan vi har fått tillgång till en nyare data från perioden 1994-1998. Detta föreligger därför ett behov att upprätta en ny tariff avsedd för skadefrekvens. Vår nya tariff återfinns i Tabell 4.1 där vi har modifierat eller lagt till nya premieargument. Vi har vidare i denna tabell bifogat en del av den gamla tariffen ur Tabell 2.2 för en jämförelse mellan dem. Vid upprättandet av den nya tariffen har vi tagit hänsyn till följande punkter:

• Enligt diskrimineringslagen är det inte tillåtet att skilja premie beroende på kön, se [10, s. 30]. Trots detta faktum lägger vi ändå till premieargumentet Kön, med Kvinna och Man som dess klasser med motiveringen att våra statistiska analyser skulle underlättas när vi har tillgång till flera premieargu- ment.

• I fråga om Zon klasser kommer Gotland, som vi är mindre intresserad av i det här arbetet, slås samman med Zon klass 4 på grund av relativt få kontrakt, nämligen 367 som kan inses ur Tabell A.1. Sammantaget innebär att premieargumentet Zon nu består av sex klasser istället för ursprungligen sju.

• Till skillnad från Tabell 2.2 som antogs av [1], lägger vi till Ägarålder som ytterligare ett premieargu- ment, då detta argument känns relevant att beaktas vid modellering av skadefrekvens mot bakgrunden av att unga i allmänhet har större riskbenägenhet än övriga åldrar. Vid bestämning av dess klasser ska man se till att dela in åldersklasser i homogena grupper, så långt det är möjligt, men samtidigt inte alltför många klasser. Med homogena grupper ska i det här sammanhanget avses att alla som tillhör en och samma grupp ska ha samma riskbenägenhet, så långt det går. Vidare, anledningen till att vi inte bör ha alltför många klasser är att det annars kan leda till att antalet försäkringskunder i vissa klasser är relativt liten att det råder stor osäkerhet kring parameterskattningarna. Dessutom kan den betraktade modellen drabbas av överanpassningen på grund av att den har anpassat väl till en viss data, genom att ha alltför många klasser, men på bekostnad av den försämrade prediktionsförmågan vad gäller framtida skador.

• Istället för att helt utesluta ett premieargument, då samtliga av dess klasser visade sig vara icke-signifikanta baserat på LRT (Likelihood Ratio Test) försöker vi snarare omgruppera dessa klasser i mindre sådana och därigenom möjligen betraktar dem som signifikanta. Detta eftersom MC-försäkringsdatan endast består av sex premieargument, se Tabell 2.1, och därmed skulle vi få en “konstig” modell om alltför många av dessa argument tas bort, speciellt när de anses vara

mer eller mindre relevanta. Det som vidare kan anmärkas här är att vi behåller Zon som ett av premieargumenten med dess nuvarande klasser då vi i det här arbetet ska titta närmare på klasserna 1, 2, 5, 6, även om några av dem visat sig vara icke-signifikanta, se Tabell 4.2.

• Slutligen, i fråga om bascell antar vi precis som [1, s. 10] att respektive klass med största durationen ska väljas, vilket i vårt fall är cellen (4, 2, 4, 2, 3, 2), det vill säga Ägarålder klass 4, Kön klass 2, Zon klass 4, MC klass 2, Fordonsålder klass 3, Bonus klass 2.

En del av gamla tariffen ur Tabell 2.2 Vår nya tariff
Premieargument	Klass	Beskrivning		Premieargument	Klass	Beskrivning	Duration	Xxxxx skador	Relationstal
Geografisk zon	1	Central och halv-central delar av Sveriges tre största städer		Ägarålder	1	16-24 år	4501	159	7.40
2 Förorter samt medelstora städer			2			25-29 år	5652	169	4.38
3 Mindre städer, utom 5 eller 7			3			30-39 år	8215	99	1.98
4 Små städer och landsbygder,			4			40- år	46849	266	1.00

utom 5-7

5 Norrländska städer Kön 1 Kvinna 7122 61 0.71

6 Norrländska landsbygder 2 Man 58095 632 1.00

7 Gotland (Sveriges största ö) Geografisk zon 1 Central och halv-central delar

av Sveriges tre största städer

6205 182 4.43

MC klass	1	EV kvot -5	2		Förorter samt medelstora städer	10095	166	2.61
	2	EV kvot 6-8	3		Mindre städer, utom 5	11674	122	1.59
	3	EV kvot 9-12	4		Små städer och landsbygder	32861	196	1.00
					samt Gotland, utom 5-6
	4	EV kvot 13-15	5		Norrländska städer	1582	9	0.83
	5	EV kvot 16-19	6		Norrländska landsbygder	2799	18	1.13
6 EV kvot 20-24			MC klass	1	EV kvot -8	9169	102	1.39
7 EV kvot 25-				2	EV kvot 9-15	33397	262	1.00
Fordonsålder	1	0-1 år		3	EV kvot 16-	22650	329	2.00
2 2-4 år			Fordonsålder	1	0-1 år	4955	125	3.26
3 5- år				2	2-4 år	9753	145	1.82
Bonus klass	1	1-2		3	5- år	50508	423	1.00
2 3-4			Bonus klass	1	1-3	25027	262	0.77
3 5-7				2	4-7	40190	431	1.00

Tabell 4.1. En jämförelse i premieargument och tillhörande klasser mellan en del av den gamla tariffen ur Tabell 2.2 (till vänster) och vår nya tariff avsedd för skadefrekvens (till höger). Beskrivningarna och inspirationen av tabellens utformning hämtades från Tabell 2.8 ur [1, s. 36].

Den kommande tabellen som visar de sanna värden på regressionskoefficienterna tillsammans med motsvarande standardavvikelserna och 95% konfidensintervallerna ska ses som vårt facit i det här arbetet. Detta facit möjliggör att vi kan bedöma hur väl en modell av intresse har anpassat till de sanna väntevärden för skadefrekvens och därför även de sanna premierna, mer om detta i Sektion 5.

Koefficient Estimat Std. Avv. 2.5 % 97.5 %

Intercept -6.1363 0.1086 -6.3523 -5.9265

Ägarålder klass 1 2.0012 0.1071 1.7897 2.2098

Ägarålder klass 2 1.4770 0.1006 1.2784 1.673

Ägarålder klass 4 0.0000 - - -

Ägarålder klass 3 0.6808 0.119 0.4432 0.9104

Kön klass 1 -0.3380 0.1351 -0.6127 -0.0821

Kön klass 2 0.0000 - - -

Zon klass 2 0.9597 0.1058 0.7516 1.1666

Zon klass 1 1.4886 0.105 1.2824 1.6944

Zon klass 3 0.4616 0.1155 0.2329 0.6862

Zon klass 4 0.0000 - - -

Zon klass 6 0.1203 0.2464 -0.398 0.5736

Zon klass 5 -0.1869 0.3411 -0.9319 0.4211

MC klass 2 0.0000 - - -

MC klass 1 0.3318 0.1188 0.095 0.5612

Fordonsålder klass 1 1.1832 0.1039 0.976 1.3834

MC klass 3 0.6934 0.0862 0.5248 0.863

Fordonsålder klass 3 0.0000 - - -

Fordonsålder klass 2 0.5967 0.0979 0.4018 0.7859

Bonus klass 1 -0.2644 0.0867 -0.4355 -0.0954

Bonus klass 2 0.0000 - - -

Tabell 4.2. Vårt facit i det här arbetet, som alltså visar de sanna värden på regressionskoefficienterna till- sammans med motsvarande standardavvikelserna och 95% konfidensintervallerna. Användbart vid bedömn- ing av hur väl en modell har anpassat till de sanna väntevärden för skadefrekvens och därför även de sanna premierna, se vidare Sektion 5. Bascellen antas vara (4, 2, 4, 2, 3, 2), där respektive klass med största dura- tionen har valts.

4.3. Framtida skadefrekvenser

Eftersom vi senare ska göra en modelljämförelse mellan de tre olika metoderna vad gäller förmågan att korrekt skatta de sanna väntevärden för skadefrekvens avseende det nya området och även alla områden, behöver vi därför ett facit som visar dessa sanna värden. Men problemet är att Tabeller 4.1 (vår nya tariff ur den högra tabellen) och 4.2 inte återspeglar de i verkligheten sanna värden. Anledningen är att MC-försäkringsdatan som dessa nämnda tabeller byggde på består till en stor del av brus. Men vi kan få dessa värden att betraktas som sanna på följande sätt. Modellanpassa vår fördelning för skadefrekvens, säg Poisson, till den nämnda datan och därigenom erhåller de värden på dessa modellparametrar som kan användas för att simulera framtida skadefrekvenser. Därför kommer vi under kommande delsektioner göra följande antaganden som behövs inför simulering av framtida skadefrekvenser.

4.3.1. Modellering av framtida försäkringskunder

Här kommer de följande antaganden som ligger till grund för simulering av framtida försäkringskunder från och med kalenderåret t + 1 och framåt. Motsvarande förfarande gäller vid kalenderåret t men de tariffceller som tillhör det nya området ska elimineras. Detta med syftet att vi inte ska ha någon parameterskattning rörande detta område, se vidare början av Sektion 4.5 för resonemanget.

1) Det totala antalet tariffceller är m = 790 förenlig med vår nya tariff i Tabell 4.1.

2) Det totala antalet försäkringskunder som årligen intecknar en MC-försäkring som meddelas av ett försäkringsbolag är deterministiskt, närmare bestämt n > 0. Alla sådana avtal börjar den 1 januari och avslutar den 31 december samma år.

3) En kund klassificeras till en tariffcell helt oberoende av andra kunder.

4) För j = 1, . . . , m, sannolikheten för att en kund tilldelas tariffcell j ges av pj, som svarar mot andelen av kunderna som tillhör denna cell baserad på MC-försäkringsdatan.

N , . . . , N ∼1 m

≤ ≤

j=1

Nj = n, samt Σm

pj = 1. Sannolikhetsfunktionen för den här nämnda fördelningen ges av, [3, s.

Då följer av dessa antaganden ovan att antalet kunder som hamnar i olika tariffceller är Multinomialfördelat med parametern n och sannolikheterna (p1, . . . , pm)T , där 0 pj 1 för alla celler och summan av dessa sannolikheter är lika med 1. Mer specifikt gäller under dessa gjorda antaganden att ( )T Mult n, (p1, . . . , pm)T , där Nj ∈ {0, 1, 2, . . . , n} är det totala antalet kunder som hamnar i tariffcell j och

421] samt [11, s. 104 och 143],

P(N1 = n1, . . . , Nm

= nm

|n, p1, . . . , pm) =

m j=1

nj!

Y p . (4.3.1.1)

nj j

j=1

Lägg märke till att framtida kunder och skador kan hänföras endast till de tariffceller som återges i Tabeller

4.1 (den högra tabellen) och 4.2. Detta utgör en viktig förutsättning för våra modelljämförelser senare och därmed ett viktigt skäl som föreligger bakom Antaganden 1) och 4) ovan.

Motiveringen för Antagande 2) är framförallt av bekvämlighetsskäl och vi slipper därmed göra det starka antagandet såsom sannolikhetsfördelning för det totala antalet kunder som årligen tecknat sitt respektive försäkringsavtal med försäkringsbolaget. Vidare skulle det här antagandet troligen inte alls förändra våra resultat/slutsatser.

I fråga om Antagande 3) antar vi, annorlunda uttryckt, att alla kunder är oberoende av varandra med avseende på sina respektive riskegenskaper och andra uppgifter som försäkringsbolaget inser är viktiga att tas hänsyn till i samband med intecknande av försäkringsavtalen. Skälet för det här antagandet kan ha sin grund av att det påminner mycket om de standardantaganden som i allmänhet införts. Ett annat viktigt skäl som föreligger är dock att MC-försäkringsdatan inte innehåller några exakta tidpunkter vid vilka dessa kunder intecknat sitt respektive avtal med bolaget, utan bara det totala antalet avtal som intecknats under hela tidsperioden. Detta innebär speciellt att vi därmed har förlorat informationen vad gäller eventuellt beroende mellan kunderna med avseende på den tidpunkt vid vilken sitt respektive årliga avtal intecknats.

4.3.2. Modellering av inrapportering av framtida skador

Vid det här steget har vi antagit fördelningen för det totala antalet framtida försäkringskunder som på årsbasis hamnar i olika tariffceller. Men vi behöver också göra några antaganden vad gäller inrapportering

∈ { }

av framtida skador i dessa nämnda celler. För j = 1, . . . , m, beteckna X(s) som det totala antalet skador som inrapporterats i tariffcell j vid slutet av kalenderår s t, t + 1, Då följer av Antaganden 2-4) ovan, se

Sektion 4.3.1, att det totala antalet skador som utgörs av tariffcell j vid olika kalenderår är likafördelade,

det vill säga X(s) =d X . Vidare om vi betingar på n som det totala antalet kunder som klassificerats till

j j

tariffcell j under kalenderåret s, får vi då att det totala antalet skador som inrapporterats i denna cell är Poissonfördelat med parametern njµj, se Sektion 3.2.3. Mer specifikt, vi har då att fördelningen för det totala antalet skador som under kalenderåret s uppkommit i tariffcell j ges av Xj|Nj = nj ∼ Pois(njµj).

Notera att vi använt oss att µs = µj då samma värden på modellparametrarna ska gälla från och med

kalenderåret t och framåt. Alltså dessa värden som fås från modellanpassningen, se Sektion 4.3. Dessutom

använt vi oss att Ns =d N på grund av dessa införda antaganden under Sektion 4.3.1. Slutligen, observera

speciellt att durationen wj uttryckt i år för tariffcell j är lika med det totala antalet försäkringskunder som årligen hamnar i den cellen, det vill säga wj = nj. Detta eftersom alla försäkringskontrakt börjar den 1 januari och avslutar 31 december samma år, se Antagande 2).

4.4. Apriorival

Här fokuserar vi på de apriori som ska appliceras i samband med BGLM-simuleringar vid kalenderåret t + 1 och framåt. Det bör noteras att GLM gäller vid kalenderåret t, se vidare Avsnitt 4.5.3 för resonemanget kring detta.

•

Eftersom vi tidigare har antagit att multiplikativa modeller ska gälla i den här uppsatsen och detta föl- jer då att våra modellparametrar (regressionskoefficienterna utom basklasserna i Tabell 4.2), som är log- transformerade, kan anta såväl negativa som positiva värden. Därför väljer vi normalfördelningar som våra apriori. Detta är ett standardantagande som bland annat författarna i [2] också infört. Men dessa författare antog att apriori väntevärden för alla dessa parametrar skulle vara lika med noll, vilket i praktiken innebär att deras klasser antogs komma från bascellen. Detta kan kännas absurt med tanke på att vi har relevant information om parametrarna, det vill säga de skattade värden som fås från GLM eller BGLM. Därför kom- mer vi nedan beskriva två olika metoder vad gäller ansättning av dessa apriori väntevärden vid kalenderåret t + 1 och framåt, dels för parametern för det nya området och dels för övriga parametrarna. Men innan vi går på detta behöver vi introducera några beteckningar som underlättar oss i fortsättningen. Låt β vara

∈ { }

en godtycklig parameter, som ur Bayesianskt perspektiv är en stokastisk variabel. Låt vidare att βˆ(s) vara dess skattade värde vid kalenderår s t, t + 1, . . . , som fås antingen ur GLM- eller BGLM-anpa•ssning.

Speciellt låter vi att parametern för det nya området betecknas med βn.zon, och parametern för det relater-

•

ade området med βr.zon. Låt slutligen att π(s) vara en apriori för en parameter β vid kalenderåret s, som alltså beskriver vad vi redan vet om denna parameter vid detta år.

Metod 1.

Betrakta någon av de övriga modellparametrarna (utom det nya området). Den här metoden går ut på att vi använder det skattade värdet av denna parameter från föregående kalenderåret som vårt apriori väntevärde vid det aktuella året. Detta innebär att vi vid t + 1 och framåt ansätter följande apriori för den parametern,

•

π(s)(β |βˆ(s−1), σ2) ∼ N(βˆ(s−1), σ2), s ∈ {t + 1, t + 2, . . . }, (4.4.1)

där σ2 antas vara konstant över t + 1 och framåt, så att vi lättare kan analysera effekter vid val av grad av inf•ormativ apriori genom att ändra värdet på standardavvikelse: ju lägre standardavvikelse desto mer

informativ är denna apriori då, och detta antagande ska appliceras gemensamt för alla parametrar och för

•

båda metoderna. Vidare gäller att βˆ(s−1) fås från GLM-anpassningen vid t eller BGLM-anpassningen vid

t + 1 och framåt.

I fråga om modellparametern för det nya området, βn.zon, ansätter vi dess apriori väntevärde på lite annor- lunda sätt. Det kan ha sin grund i att vi vid kalenderåret t antar att en kund som bor i det nya området får betala en och samma premie som om den bor i det relaterade området, allt annat lika, och detta innebär

r.zon

att vi använder βˆ(t) från GLM-anpassningen som en skattning av βn.zon vid detta år. Men eftersom vi

r.zon

vid t + 1 har fått data rörande det nya området så istället för att använda βˆ(t) som apriori väntevärdet

n.zon

för det nya området, kan det därför kännas mer aktuellt om vi använder det skattade värdet βˆ(t+1) från

BGLM-anpassningen som dess apriori väntevärde, det vill säga,

n.zon

π(s)(βn.zon|βˆ(s)

, σ

n.zon

ˆ(s)

) ∼ N(β

n.zon

, σ

n.zon

), s = t + 1. (4.4.2)

Däremot kommer vi vid kalenderåret s = t+2 och framåt använda samma ansättning som uttrycket i (4.4.1), eftersom vi har det skattade värdet rörande det nya området från föregående året s − 1,

π(s)(βn.zon|βˆ(s−1), σ2

) ∼ N(βˆ(s−1), σ2

), s ∈ {t + 2, t + 3, . . . }. (4.4.3)

Metod 2.

n.zon n.zon

Förra metoden går ut på att vi använder det skattade värdet av någon modellparameter från förra kalen- deråret, bortsett från kalenderåret t+1 för det nya området. Men detta kan kännas alltför inaktuellt eftersom

vi vid det aktuella året kan uppdatera vår kunskap om denna parameter genom att först GLM-anpassa och använd detta skattade värde som dess apriori väntevärde, som sedan ska appliceras när vi på nytt skattar den med BGLM. Ett motsvarande argument har vi redan använt i samband med ansättning av apriori för det nya området vid t + 1, se återigen uttrycket (4.4.2) ovan. Sammantaget innebär att vi här ansätter följande apriori, som gäller för samtliga parametrar,

•

π(s)(β |βˆ(s), σ2) ∼ N(βˆ(s), σ2), s ∈ {t + 1, t + 2, . . . }. (4.4.4)

Sammanfattningsvis går Metod 1 ut på att resultatet från BGLM vid förra kalenderåret (bortsett från GLM vid t) ska ligga till grund för ansättning av apriori väntevärden vid kommande år (utom det nya området vid t + 1), medan Metod 2 bygger snarare på en blandning av GLM och BGLM som båda ska appliceras vid det aktuella året: först skattar vi dem med GLM och använd resultaten som våra apriori väntevärden från vilka vi använder för att på nytt skatta dem med BGLM.

4.5. Algoritm för uppdatering av årliga parameterskattningar

Betrakta ett försäkringsbolag som vid början av kalenderåret t tillhandahåller MC-försäkringen till ett nytt område utan någon tidigare data. Vi antar att datan rörande det nya området tillkommer bolaget från och med året t, utöver att det även får data gällande de övriga områden redan före detta år. Vidare antar vi för enkelhets skull att parameterskattningarna, det vill säga regressionskoefficienterna utom basklasserna i Tabell 4.2, kommer årligen att uppdateras - den första januari varje år från och med t och framåt. Eftersom bolaget vid början av t börjar erbjuda försäkringen till det nya området innebär då att bolaget vid detta år inte har någon parameterskattning gällande detta område, utan endast vid de kommande åren under vilka bolaget har fått dess data. Naturligtvis har bolaget alla de övriga parameterskattningarna vid t och framåt. Med parameterskattningarna till hands kan bolaget då bestämma varje tariffcells väntevärde för skadefrekvens, och därigenom erhåller motsvarande premier.

Under följande tre delsektioner kommer vi djupgående beskriva den algoritm som ska appliceras för att på årsbasis uppdatera parameterskattningarna, med start vid kalenderåret t och framåt - en algortim för varje metod i den här uppsatsen: GLM, GLM kombinerad med kredibilitetsteori och BGLM i nämnd ordning. Gemensamt för dessa nämnda algoritmer är att vi för varje tariffcell kommer att, på aggregerad nivå, simulera framtida kontrakt och eventuellt motsvarande inrapporterade skador. Det bör observeras att när vi i alla dessa m = 790 celler har ackumulerat antalet kontrakt och eventuellt motsvarande skador, ska de celler som är tomma, det vill säga duration lika med noll, tas bort innan vi GLM- eller BGLM-anpassar. Detta för att undvika få felmeddelande. Avslutningsvis ansätter vi följande värden och beteckningar som ska gälla gemensamt för alla algoritmer.

Gemensamma värden.

• Ansätt tyears > 0 det antal år framåt som ska simuleras, det vill säga kalenderåren t, t+1, . . . , t+tyears. Vi erhåller då (1 + tyears) årliga parameterskattningar.

• Ansätt ncontracts > 0 det antal kontrakt som årligen ska simuleras - vid kalenderåren t, t + 1, . . . , t + tyears. Det bör observeras att man inte ska simulera för många kontrakt per år, för annars skulle alla tre metoder konvergera mot samma resultat och därmed går det inte att jämföra dem på ett meningsfullt sätt.

• Ansätt slutligen niter det antal gånger som en algoritm ska itereras.

Gemensamma beteckningar.

Vid kalenderåret t gäller följande. Låt pt vara en vektor bestående av sanna sannolikheterna, och som summerar sig till 1. Dessa sannolikheter svarar endast mot de tariffceller som inte tillhör det nya området. Låt vidare att µt vara en vektor av de motsvarande sanna väntevärden. Låt slutligen att N t vara en vektor av motsvarande simulerade antalen kontrakt, och som summerar sig till ncontracts.

På samma sätt, vid kalenderåret t + 1 och framåt gäller följande. Låt pt+i, i = 1, . . . , tyears, vara en vektor innehållande av sanna sannolikheterna, och som summerar sig till 1. Dessa sannolikheter svarar mot alla m = 790 tariffceller inklusive de celler som tillhör det nya området. Låt vidare att µt+i vara en vektor av de motsvarande sanna väntevärden. Låt slutligen att N t+i vara en vektor av motsvarande simulerade antalen kontrakt, och som summerar sig till ncontracts.

4.5.1. Algoritm för GLM

Eftersom försäkringsbolaget vid kalenderåret t inte har någon parameterskattning för det nya området, använder det sig istället av skattningen från det relaterade området. Däremot har bolaget vid kommande åren fått datan rörande detta nya område och därför även motsvarande skattningarna. Nedan gäller algoritmen för GLM.

1. Vid kalenderåret t gäller följande:

a) Ansätt värdet 0 för båda totala antalen kontrakt och skador för de tariffceller som tillhör det nya området.

b) Simulera N t från Mult(ncontracts, pt).

c) För varje av cellerna i b), simulera det totala antalet skador enligt Xj,t Nj,t = nj,t från Pois(nj,tµj,t), där j avser cellen j i b).

d) Ta bort tomma cellerna. Använd log(duration) som offset och GLM-anpassa, och spara alla 14 skattade regressionskoefficienter (vi har ingen skattning av regressionskoefficienten för det nya området). Spara vidare den skattade regressionskoefficienten för det relaterade området som det skattade värdet för det nya området.

2. För kalenderåren t + 1, . . . , t + tyears, uppdatera den fullständiga (m = 790 tariffceller) simulerade datan från föregående året och upprepa:

a) Simulera N t+i från Mult(ncontracts, pt+i) och ackumulera dessa värden till motsvarande cellerna.

b) För varje av cellerna i a), simulera och ackumulera det totala antalet skador enligt Xj,t+i Nj,t+i =

nj,t+i från Pois(nj,t+iµj,t+i), där j avser cellen j i a).

c) Eliminera tomma cellerna. Använd log(duration) som offset och GLM-anpassa och spara alla 15 skattade koefficienter inklusive den som tillhör det nya området.

4.5.2. Algoritm för GLM kombinerad med kredibilitetsteori

Nedan gäller algoritmen för GLM kombinerad med kredibilitetsteori. Här betraktas Zon som ett MLF med 6 grupper medan de övriga som standardargumenten (Ägarålder, Kön, MC klass, Fordonsålder och Bonus klass). Eftersom försäkringsbolaget vid kalenderåret t inte har någon data rörande det nya området ansätter det därför Un.zon,t = 1, det relationstalet tillhörande detta område. Däremot behöver dess relationstal inte vara lika med 1 vid de kommande åren. Innan vi går närmare på den här algoritmen ansätter vi vidare följande värden som ska vara konstanta under hela simuleringen:

• σ och τ ska båda vara konstanta, de som finns i nämnaren av uttrycket,

µσ2/τ 2 + Σi,t

wijt

˜ = Σi,t wijtµi

µi

, µ = µγ . (4.5.2.1)

Motiveringen av ansättningen ovan är att storleken på den simulerade datan inte är tillräckligt stor för att ge tillförlitliga skattningar av σ2 och τ 2, [1, s. 97] och [14, s. 2]. Detta eftersom vi ska, som nämnts ovan,

se till att inte simulera för mycket kontrakt per år - annars skulle alla tre metoderna konvergera till samma resultat. Det kan anmärkas att ju högre värde på σ2/τ 2 desto lägre blir z˜j och därmed lutar sig skattade

^ ˜

relationstalet Uj mer åt värdet 1 än Y .j./µ, se Ekvation (3.3.5).

• Sätt precisionen, som används inom Backfitting Algorithm, till 0.0001 (lägre värde går också bra men långsammare att köra algoritmen då). Denna precision är ett slags kriteri på konvergensen inom denna algoritm, som alltså kommer att stoppas när skillnaden mellan det föregående värdet på Uj och det nya är mindre än denna precision och den ska gälla för alla Uj samtidigt, se [1] för mer detaljer.

1. Vid kalenderåret t gäller följande:

a) Ansätt värdet 0 för båda totala antalen kontrakt och skador för de tariffceller som tillhör det nya området.

b) Simulera N t från Mult(ncontracts, pt).

c) För varje av cellerna i b), simulera det totala antalet skador enligt Xj,t Nj,t = nj,t från Pois(nj,tµj,t), där j avser cellen j i b).

^ ^

d) Ta bort tomma cellerna. Kör sedan Backfitting Algorithm och spara alla skattade MLF relation- stal Uj,t (utom det nya området); de celler som tillhör samma MLF grupp har samma Uj,t.

e) Använd log(Uj,t) tillsammans med motsvarande log(duration) som offsets och GLM-anpassa, och spara alla 10 skattade regressionskoefficienter tillhörande standardargumenten. Sätt slutligen Un.zon,t = 1 och spara.

2. För kalenderåren t + 1, . . . , t + tyears, uppdatera den fullständiga (m = 790 tariffceller) simulerade datan från föregående året och upprepa:

a) Simulera N t+i från Mult(ncontracts, pt+i) och ackumulera dessa värden till motsvarande cellerna.

b) För varje av cellerna i a), simulera och ackumulera det totala antalet skador enligt Xj,t+i Nj,t+i =

nj,t+i från Pois(nj,t+iµj,t+i), där j avser cellen j i a).

c) Eliminera tomma cellerna. Kör sedan Backfitting Algorithm och spara alla skattade Uj,t+i inklu- sive de som tillhör det nya området.

d) Använd log(Uj,t+i) tillsammans med motsvarande log(duration) som offsets och GLM-anpassa, och spara alla 10 skattade regressionskoefficienter tillhörande standardargumenten.

4.5.3. Algoritm för BGLM

Vid kalenderåret t kommer försäkringsbolaget använda GLM, och inte BGLM. Detta eftersom bolaget vid början av detta år inte har någon data rörande det nya området, och därmed blir marginella aposteriori för modellparametern för detta område proportionell mot dess apriori (våra apriori antas vara oberoende). Detta kan kännas orimligt eftersom bolaget ju har relevant information från de andra områden och därmed får bättre parameterskattning gällande det nya området. Det kan anmärkas att även författarna [2] antar en sådan ansats här, se Figur 1 i [2, s. 4]. Nedan kommer sista algoritmen som ska gälla för BGLM, där apriori ska ansättas enligt Metod 1 eller Metod 2, de metoder som beskrivs närmare på under Sektion 4.4.

1. Vid kalenderåret t gäller 1.a)-1.d) i Sektion 4.5.1, den kod som används för GLM vid detta år.

2. För kalenderåren t + 1, . . . , t + tyears, uppdatera den fullständiga (m = 790 tariffceller) simulerade datan från föregående året och upprepa:

a) Simulera N t+i från Mult(ncontracts, pt+i) och ackumulera dessa värden till motsvarande cellerna.

b) För varje av cellerna i a), simulera och ackumulera det totala antalet skador enligt Xj,t+i Nj,t+i =

nj,t+i från Pois(nj,t+iµj,t+i), där j avser cellen j i a).

c) Eliminera tomma cellerna. Använd log(duration) som offset och apriori ska ansättas enligt Metod 1 eller Metod 2, och BGLM-anpassa. Spara alla dessa 15 skattade koefficienter inklusive den som avser det nya området.

5. Simuleringar och resultat

Under simuleringarna har vi undersökt två olika fall: det första där Zon klass 5 avses som det nya området och Zon klass 6 som dess relaterade; det andra där Zon klass 2 antas vara det nya området och Zon klass 1 som dess besläktade. Vidare har vi i bägge fallen undersökt en och samma mängd bestående av tolv modeller beskrivna på punktform nedan.

• Den enda modellen från GLM.

• Fem modeller från GLM kombinerad med kredibilitetsteori: Kred. 10,1; Kred. 5,1; Kred. 1,1; Kred. 1,5; Kred 1,10. Till exempel betyder beteckningen Kred. 10,1 att vi betraktar Zon som ett MLF med 6 grupper, och de övriga som standardargumenten samt att vi ansätter följande konstanta värden som ska gälla under hela simuleringarna: σ = 10 och τ = 1. Dessa två värden anger att inom- grupp-standardavvikelsen σ är tio gånger större än mellan-grupp-standardavvikelsen τ . Det bör vidare noteras att vi lika gärna kan ansätta till exempel σ = 1 och τ = 0.1 men vi skulle fortfarande få samma resultat (samma parameterskattningar) som σ = 10 och τ = 1 eftersom dessa värden involveras i en enda term, nämligen σ2/τ 2 ur Ekvation (4.5.2.1) ovan och skulle därför förkortas bort, och vi slutar därmed med förhållandet 10:1. Därför kommer vi i den här uppsatsen bara studera σ och τ där båda är heltal.

• Tre modeller från BGLM där Metod 1 (M1) har applicerats i samband med ansättning av apriori som beskrivs närmare på under Sektion 4.4: BGLM M1 3,1; BGLM M1 6,3; BGLM M1 12,9. Exempelvis be- tyder benämningen BGLM M1 3,1 att vi simulerar BGLM där M1 använts, och att standardavvikelsen för intercept är lika med 3, och standardavvikelserna för de övriga regressionskoefficienterna (utom basklasserna i Tabell 4.2) alla lika med 1. För att vi lättare ska kunna undersöka hur våra resultat skiljer sig beroende på hur informativa våra apriori är (ju lägre standardavvikelse desto mer informativ) har vi därför antagit att alla dessa standardavvikelser är konstanta under hela simuleringarna.

• Tre modeller från BGLM baserat på Metod 2 (M2): BGLM M2 3,1; BGLM M2 6,3; BGLM M2 12,9, där vi använder samma beteckning som ovan. Det bör noteras att vi för båda metoderna, M1 och M2, har använt samma mängder av standardavvikelser, till exempel BGLM M1 3,1 och BGLM M2 3,1, för att på så sätt kan undersöka vilken av nämnda metoderna som är mest effektiv vad gäller förmågan att korrekt skatta väntevärden för skadefrekvens.

Vidare, för att vi ska få en meningsfull jämförelse mellan modellerna förutsätter dock att vi, som redan nämnts, inte ska simulera för många försäkringskunder per år - annars skulle de leda till samma resultat. Därför har vi prövat oss fram och funnit att det till försäkringsbolaget kommer 1500 kunder per år är tillfredsställande.

Vi har dessutom gjort årliga parameterskattningar under hela tioårsperioden, det vill säga vid kalenderåren t, t + 1, . . . , t + 9 och som upprepats totalt 200 gånger. För att få de slutgiltigt årliga parameterskattningarna har vi, för varje år och för varje regressionskoefficient, tagit medelvärde av dessa 200 skattningar. Parame- terskattningarna har sedan legat till grund för fastställande av varje tariffcells väntevärde för skadefrekvens från vilka vi på årsbasis jämförde med de motsvarande sanna väntevärden utifrån Tabell 4.2, och därför även motsvarande sanna premierna.

Anledningen till det futtiga antalet gånger som upprepats, nämligen 200, kan ha sin grund i att BGLM- simuleringarna var riktigt tidskrävande - det tog mellan 4-5 timmar för varje modell (jämfört med GLM som tog någon minut) beroende på hur höga värden på standardavvikelserna som antagits för det krävde mer vilket beror på att det tar betydligt längre tid att utforska aposteriori i samband med körning av MCMC. Vi har alltså i dessa BGLM-simuleringar kört två parallella Markov kedjor, 4000 iterationer var, varav de första 2000 tillhörde burn-in perioden, det vill säga sampling från aposteriori börjar först vid den 2001:e iterationen. Det bör anmärkas att vi i dessa simuleringar inte fått någon varning att Xxxxxx kedjorna inte har konvergerat mot aposteriori. Slutligen, samma slumpfrö (set.seed i R-koden) har använts så att varje modell får en och samma skadedata och därigenom blir jämförelsen mellan dem mer rättvis. Detta är absolut

viktigt eftersom dessa slutgiltigt årliga parameterskattningar inte kommer konvergera mot de sanna värden efter 200 iterationer och därför finns risken att en modell skulle få bättre skattningar helt enkelt därför att den har fått bättre data än en annan.

5.1. Avvikelse av relativa Poissonfördelningen som modellanpassningsmått

Vid modelljämförelse vore det riktigt opraktiskt att jämföra alla dessa tolv modeller baserat på de slut- giltigt årliga parameterskattningar som återfinns i Appendix-Tabeller (dessa lagts till för fullständighets skull ifall den läsaren är intresserad av att studera dem). Dessutom försvårar jämförelsen genom att GLM och BGLMs har ett annat värde på intercept än vad Kred-modellerna (modellerna från GLM kombinerad med kredibilitetsteori) gör, och desamma gäller för de regressionskoefficienter som tillhör Zon. Därför be- höver vi ha något värde på modellanpassningsmått som sammanfattande återspeglar hur väl en modell har skattat de sanna väntevärden för skadefrekvens, och därigenom underlättar oss att på årsbasis jämföra mellan modellerna eller mellan åren avseende en modell av intresse. Eftersom vi i den här uppsatsen har antagit relativa Poissonfördelningen i samband med modellering av skadefrekvens är det därför naturligt att använda avvikelse av denna nämnda fördelning som vårt modellanpassningsmått. Ju lägre avvikelse desto bättre modellanpassning. Detta mått ges av, [1, s. 40],

Σ −

D(µ, µˆ) = 2 wi[µilog(µi/µˆi) + µˆi µi], yi = µi, (5.1.1)

i=1

där: µ är en vektor bestående av sanna väntevärden för skadefrekvens och µˆ en vektor av motsvarande skattade värden; m står för det totala antalet tariffceller vilket i vårt fall är m = 790; slutligen wi är den sanna durationen som är inhämtade från MC-försäkringsdatan och ju högre durationen wi desto större inflytande har tillhörande cellen i på avvikelsen D(µ, µˆ).

Egentligen är Ekvation (5.1.1) avsedd för en modelljämförelse mellan den mättade modellen - som ger den perfekta modellanpassningen genom att sätta µˆi = yi för alla i, det vill säga antalet kovariater i modellen är lika med antalet observationer m och där observerade värdet yi är en skattning av µˆi, och den undermodellen där antalet kovariater är färre än antalet observationer och därför sämre modellanpassning, se [1, s. 39] för mer detaljer. Men vi tycker det är fortfarande relevant att använda ett sådant mått för vårt fall, där vi istället jämför den mättade modellen bestående av alla sanna väntevärden för skadefrekvens och den undermodellen av motsvarande skattningarna, och där antalet kovariater är betydligt lägre än antalet observationer m.

5.2. Modelljämförelser - Det första fallet

Här kommer vi göra några modelljämförelser för det första fallet, där Zon 5 antas vara det nya området medan Zon 6 som dess besläktade. Den kommande tabellen presenterar de årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårsperioden baserat på alla områden (alla 790 tariffceller).

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	740.5762	316.4039	162.0679	86.5904	43.9757	28.408	15.1206	10.7873	5.5092	3.7797
Kred. 10,1	289.7397	27.4358	5.9493	3.431	2.2007	1.4606	1.0782	0.853	0.6721	0.5166
Kred. 5,1	286.9607	27.3991	5.6524	3.1969	1.9559	1.295	0.9414	0.7498	0.5885	0.4255
Kred. 1,1	287.377	29.0751	6.2025	3.4918	2.0875	1.366	0.9715	0.776	0.601	0.4244
Kred. 1,5	290.6705	29.1769	6.2782	3.5142	2.0904	1.3656	0.971	0.7756	0.6006	0.4238
Kred. 1,10	289.6132	29.1253	6.2784	3.5142	2.0904	1.3656	0.971	0.7756	0.6006	0.4238
BGLM M1 3,1	740.5762	688.6977	497.2826	343.509	249.2669	178.3052	123.441	84.6705	58.5184	40.4351
BGLM M1 6,3	740.5762	401.8827	196.5802	100.0185	64.4658	43.6057	29.1957	20.5573	15.4717	11.6551
BGLM M1 12,9	740.5762	340.7584	170.1972	93.4603	68.0229	46.9432	32.3153	24.1605	18.4747	14.0562
BGLM M2 3,1	740.5762	310.4115	151.8614	82.3787	59.1091	39.2467	26.1895	19.1969	14.4791	11.0956
BGLM M2 6,3	740.5762	324.9119	158.3097	85.7785	61.7481	41.0759	27.6916	20.3329	15.3934	11.7003
BGLM M2 12,9	740.5762	338.9004	166.0901	91.0634	65.1967	43.5084	29.4001	21.5847	16.3603	12.3012

Tabell 5.1. Det första fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårsperioden baserat på alla områden. Den lägsta avvikelsen i ett år har markerats med fet.

Ur Tabell 5.1 framgår tydligt att Kred-modellerna är överlägsna bättre än de övriga under hela tioårsperi- oden, med Kred. 5.1 i spetsen nästan hela vägen. Detta är högst förvånat med tanke på deras utmärkta prestandaförmåga. Detta bör bero på deras natur i den meningen att de i samband med prissättningen av försäkringskontrakt avseende ett visst område gör en avvägning mellan den individuella och mer korrek- tare premien, och den generella men mindre korrekta. På så sätt har de utnyttjat informationen från hela beståndet av försäkringskontrakt i Sverige vilket kan bli mycket under de första åren: 1500 kontrakt under första året; 3000 under det nästkommande året och så vidare. Detta till skillnad från GLM och BGLMs som utnyttjat informationen endast från detta aktuella område. Vi ska i Sektion 5.4 undersöka hur många kontrakt per år som krävs för att GLM eventuellt ska kunna anses vara mer effektiv än en Kred-modell.

Vidare, eftersom vi ser att skillnaden i avvikelserna bland Kred-modellerna verkar vara försumbar säger det oss att de är robusta i det avseendet att de alla i princip är lika effektiva. Detta trots att de har olika par värden på standardavvikelsekomponenterna σ och τ . Dessutom har vi här, kanske av ren tur, valt ut de bästa par värden av komponenterna och därigenom fått de bästa modellerna. Därför kommer vi i Sektion

5.5 undersöka närmare på vilket par värden av komponenterna σ och τ som kan sägas vara otroligt effektiv respektive ineffektiv.

I fråga om BGLMs, visar ur nämnda tabellen att Metod 2 är mer effektiv än Metod 1 vad gäller ansättning av apriori och skillnaden mellan dem är som mest för BGLM 3,1. Däremot verkar skillnaden mellan dem avta, det vill säga nästan lika effektiva, ju mer icke-informativa apriori som antagits. Det är vidare ytterst intressant att GLM som endast förlitade sig på sin data är bättre än de flesta BGLMs trots att de senare utöver denna data använde sig även av deras respektive apriori (bör bero på felaktiga apriori). BGLM M2 3,1 är det enda som lyckats vara en aning mer produktiv än GLM under början av perioden. Men det är svårt att utifrån tabellen bedöma huruvida det beror på dess höga informativa apriori eftersom de övriga två BGLMs baserat på samma metod, Metod 2, kan mer eller mindre vara jämförbara med den förra. Därför kommer vi i Sektion 5.6 djupgående analysera kring detta.

Det är dessutom av intresse att bedöma hur väl en modell har anpassat till de sanna väntevärden tillhörande Zon 5, som nästa tabell visar.

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	108.9084	178.6044	123.3188	68.0917	36.5708	25.0877	13.3947	9.4618	4.4592	3.0767
Kred. 10,1	4.8049	0.1475	0.054	0.0755	0.0851	0.0496	0.0362	0.0306	0.0286	0.0222
Kred. 5,1	4.7927	1.0005	0.1722	0.0302	0.0075	0.0077	0.0058	0.0054	0.0039	0.003
Kred. 1,1	4.4578	1.9995	0.2415	0.0375	0.0089	0.0094	0.0072	0.0063	0.0044	0.0035
Kred. 1,5	3.8041	1.4253	0.1722	0.0336	0.009	0.0098	0.0074	0.0065	0.0045	0.0036
Kred. 1,10	3.8002	1.4259	0.1725	0.0337	0.009	0.0098	0.0075	0.0065	0.0045	0.0036
BGLM M1 3,1	108.9084	163.963	154.7693	141.3476	125.1064	106.5635	86.2403	66.7763	49.4365	34.8614
BGLM M1 6,3	108.9084	158.7497	110.0368	68.199	47.9006	33.5198	21.1251	14.1487	10.6922	7.721
BGLM M1 12,9	108.9084	164.854	95.8848	66.5461	51.9122	36.4743	23.7907	17.2974	13.6884	10.0117
BGLM M2 3,1	108.9084	155.6456	86.9044	58.799	44.5517	29.5337	18.2692	12.8866	10.0075	7.2122
BGLM M2 6,3	108.9084	156.992	88.5945	60.3123	45.9938	30.9079	19.439	13.7687	10.7527	7.7796
BGLM M2 12,9	108.9084	164.7285	93.5177	64.4915	49.1244	33.1675	21.0768	14.9145	11.6863	8.3361

Tabell 5.2. Det första fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårsperioden baserat endast på Zon 5. Den lägsta avvikelsen i ett år har markerats med fet, och den högre avvikelsen jämfört med förra året med rött.

Enligt Tabell 5.2 är Kred-modellerna återigen betydligt bättre än de övriga, och alla BGLMs en aning bättre än GLM vid kalenderåret t + 1 till skillnad från förra jämförelsen. Vidare finner vi att GLM och BGLMs båda blivit signifikant sämre vid kalenderåret t + 1 än vid t enligt dessa röda siffror (till skillnad från några av Kred-modellerna under mitten av perioden, då detta bör bero på något slumpfel med tanke på dessa försumbara skillnader). Alltså har försäkringsbolaget vid kalenderåret t använt datan från det relaterade

området Zon 6 i samband med prissättningen av försäkringskontrakt för det nya området Zon 5. Och detta är enligt tabellen mer lönsamt än att direkt använda datan från själva Zon 5 som kan anses vid t + 1 (se Sektioner 4.5 och 4.5.1 för antagandet vad gäller prissättningen av försäkringskontrakt avseende Zon 5 vid t). En möjlig förklaring av det här ges av i Sektion 5.4, närmare bestämt resonemanget kring “tak”-form andra stycket räknat från Tabell 5.9. Men vi kan redan nu nämna att det kan alltså finnas farhågor att direkt använda skattningen från det nya området om man har en känsla att osäkerheten kring detta är skyhög, och bör därför använda relevanta skattningen från något besläktat område, vars osäkerhet är betydligt lägre.

−

Det är av intresse att studera differenserna mellan observerade och sanna väntevärden, det vill säga µˆi µi tillhörande tariffcell i = 1, . . . , 790. En positiv differens µˆi µi > 0 innebär att en modell har överskattat det sanna värdet gällande tariffcell i. En negativ differens µˆi µi < 0 säger att modellen istället har underskattat detta sanna värde. En perfekt skattning sker när µˆi µi = 0. Nästa figur visar ett lådagram (eng: boxplot eller box plot, [15, s. 250], se till exempel den nämnda referensen för en mer utförlig beskrivning av begreppet lådagram) över jämförelsen mellan modellerna vad gäller differenserna tillhörande alla områden under tioårsperioden.

0.1

μ^i − μi

0.0

−0.1

−0.2

Alla 790 tariffceller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Antalet år framåt

	GLM	Kred. 10,1	Kred. 5,1	Kred. 1,1	Kred. 1,5	Kred. 1,10
Modell
	BGLM M1 3,1	BGLM M1 6,3	BGLM M1 12,9	BGLM M2 3,1	BGLM M2 6,3	BGLM M2 12,9

−

Figur 5.1. Det första fallet. Lådagrammet över jämförelsen mellan årliga differenserna µˆi µi under tioårsperioden baserat på alla områden.

Vi observerar ur Figur 5.1 att båda GLM och BGLMs kraftigt underskattat de sanna väntevärden jämfört med Kred-modellerna, som även blygsamt överskattat dem förutom under det första året. Detta innebär att en del av försäkringskunderna under Kred-modellerna som fått betala orättvist dyrare för sina försäkringar skulle ha bytt till andra försäkringsbolag där de kan betala billigare för samma försäkringsskydd, men inte alla skulle nog ha gjort det med tanke på dessa blygsamma överpriser eller åtminstone av andra skäl. Men poängen är att i princip alla försäkringskunder under GLM och BGLMs skulle gynnas av att få betala orättvist billigare för sina försäkringar sett till riskegenskaperna jämfört med Kred-modellerna och bolaget skulle därmed betydligt svårare att motverka med problemet med negativt urval. Dessutom skulle bolaget ur försäkringstekniskt perspektiv ha drabbats av allvarligt ekonomiska konsekvenser genom att alla dess försäkringar är sålda till underpris till skillnad från Kred-modellerna.

Följande figur illustrerar på motsvarande sätt som Figur 5.1 men endast för Zon 5.

0.05

μ^i − μi

0.00

−0.05

Endast tariffceller tillhörande det nya området, Zon 5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Antalet år framåt

	GLM	Kred. 10,1	Kred. 5,1	Kred. 1,1	Kred. 1,5	Kred. 1,10
Modell
	BGLM M1 3,1	BGLM M1 6,3	BGLM M1 12,9	BGLM M2 3,1	BGLM M2 6,3	BGLM M2 12,9

−

Figur 5.2. Det första fallet. Lådagrammet över jämförelsen mellan årliga differenserna µˆi µi under tioårsperioden baserat endast på Zon 5.

Återigen har Kred-modellerna presterat långt bättre än de övriga enligt Figur 5.2. Det är vidare intressant att medianen för de förra modellerna ligger runt vid noll redan under det första året, och motsvarande differenserna koncentrerat runt noll under resten av perioden till skillnad från båda GLM och BGLMs som återigen kraftigt underskattat de sanna väntevärden. Slutligen, GLM verkar vara lite bättre än BGLMs sett till båda den här aktuella figuren och Figur 5.1.

5.3. Modelljämförelser - Det andra fallet

Här kommer vi göra samma modelljämförelser som det förra fallet. Det bör noteras att det här fallet är tänkt att vara mindre verklighetsförankrat jämfört med detta förra, se Sektion 4.1 för mer detaljer. Detta för att vi här eventuellt ska få annorlunda resultat. Vi betraktar Zon 2 i det här fallet alltså som det nya området och Zon 1 som dess besläktade. Nästa tabell visar årliga avvikelserna under tioårsperioden baserat på alla områden (alla 790 tariffceller).

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	949.1292	242.6059	103.2908	55.7134	33.0528	20.3489	8.5166	5.5826	2.9756	1.8013
Kred. 10,1	560.6221	16.9344	5.2187	2.4417	1.5453	1.0949	0.799	0.6657	0.6272	0.5157
Kred. 5,1	560.6182	15.7649	4.573	2.1219	1.313	0.9278	0.6599	0.5233	0.5427	0.4385
Kred. 1,1	568.8486	15.9839	4.6301	2.146	1.2961	0.9201	0.6433	0.4925	0.5295	0.4256
Kred. 1,5	570.4237	15.967	4.64	2.1448	1.2946	0.919	0.6426	0.4916	0.5291	0.4252
Kred. 1,10	571.909	16.0886	4.6399	2.1448	1.2946	0.919	0.6426	0.4915	0.5291	0.4252
BGLM M1 3,1	949.1292	914.6294	571.5318	366.8803	275.2564	201.6181	139.4809	89.1972	53.9699	31.7218
BGLM M1 6,3	949.1292	475.7037	206.0795	123.7796	72.9268	36.9828	22.9007	12.137	7.2269	4.9056
BGLM M1 12,9	949.1292	387.041	179.887	114.3703	66.3682	35.0433	22.5058	11.7697	7.3968	4.9747
BGLM M2 3,1	949.1292	342.8436	156.3477	97.5048	55.695	28.3171	17.9069	9.3932	6.0514	4.2271
BGLM M2 6,3	949.1292	361.2659	162.3862	101.3763	58.3105	29.9188	19.207	10.2041	6.5787	4.5313
BGLM M2 12,9	949.1292	376.0185	170.8776	106.7037	61.6363	31.6172	20.0905	10.6457	6.8022	4.6899

Tabell 5.3. Det andra fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårsperioden baserat

på alla områden. Den lägsta avvikelsen i ett år har markerats med fet, och den högre avvikelsen jämfört med förra året med rött.

Vi finner ur Tabell 5.3 att Kred-modellerna ännu en gång utklassat de övriga. Dessutom har BGLMs blivit mer ineffektiva i förhållande till GLM i det här fallet jämfört med det förra. Troligen pekar detta på olämpliga apriori - ett starkt skäl till varför man bör vara försiktig med användning av apriori.

Nästa tabell presenterar som tidigare de årliga avvikelserna baserat endast på Zon 2.

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	69.3578	10.1338	2.7015	1.0013	0.6138	0.3924	0.2646	0.1134	0.1411	0.1373
Kred. 10,1	190.7626	5.2395	1.6161	0.6318	0.3918	0.2352	0.1577	0.068	0.0958	0.0952
Kred. 5,1	194.0439	4.3892	1.3367	0.5163	0.3209	0.1976	0.1335	0.0613	0.0853	0.0857
Kred. 1,1	195.5458	3.7735	1.1896	0.4787	0.3079	0.1929	0.132	0.0613	0.0849	0.0859
Kred. 1,5	195.4049	3.4149	1.1682	0.4739	0.3079	0.1934	0.1317	0.0613	0.0847	0.0858
Kred. 1,10	195.887	3.4442	1.168	0.4738	0.3079	0.1934	0.1317	0.0613	0.0847	0.0858
BGLM M1 3,1	69.3578	170.0956	70.3014	16.1992	4.0278	1.9971	1.1816	0.8543	0.6919	0.617
BGLM M1 6,3	69.3578	90.1105	11.631	5.3698	3.0766	1.9624	1.2133	0.8447	0.6866	0.6155
BGLM M1 12,9	69.3578	79.5555	11.0329	5.343	3.0785	1.9698	1.2197	0.858	0.6927	0.6104
BGLM M2 3,1	69.3578	69.1195	9.8645	5.0921	2.9591	1.9565	1.1895	0.8337	0.6899	0.6189
BGLM M2 6,3	69.3578	75.817	10.5773	5.3186	3.0466	1.9606	1.2052	0.8509	0.7045	0.6189
BGLM M2 12,9	69.3578	78.3566	10.7826	5.3169	3.089	1.973	1.1928	0.8603	0.6911	0.6152

Tabell 5.4. Det andra fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårsperioden baserat endast på Zon 2. Den lägsta avvikelsen i ett år har markerats med fet, och den högre avvikelsen jämfört med förra året med rött.

Ur Tabell 5.4 observerar vi speciellt att alla Kred-modeller för första gången tillhört bland de sämsta men bland de bästa redan vid nästa år. Detta visar den otroliga styrkan hos dem i den meningen att de snabbt kan åter vara effektiva redan efter dåliga året.

Följande två figurer visar lådagrammet över differenserna baserat dels på alla områden och dels på Zon 2.

0.00

−0.05

μ^i − μi

−0.10

−0.15

−0.20

Alla 790 tariffceller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Antalet år framåt

	GLM	Kred. 10,1	Kred. 5,1	Kred. 1,1	Kred. 1,5	Kred. 1,10
Modell
	BGLM M1 3,1	BGLM M1 6,3	BGLM M1 12,9	BGLM M2 3,1	BGLM M2 6,3	BGLM M2 12,9

−

Figur 5.3. Det andra fallet. Lådagrammet över jämförelsen mellan årliga differenserna µˆi µi under tioårsperioden baserat på alla områden.

Endast tariffceller tillhörande det nya området, Zon 2.

0.00

μ^i − μi

−0.05

−0.10

−0.15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Antalet år framåt

	GLM	Kred. 10,1	Kred. 5,1	Kred. 1,1	Kred. 1,5	Kred. 1,10
Modell
	BGLM M1 3,1	BGLM M1 6,3	BGLM M1 12,9	BGLM M2 3,1	BGLM M2 6,3	BGLM M2 12,9

−

Figur 5.4. Det andra fallet. Lådagrammet över jämförelsen mellan årliga differenserna µˆi µi under tioårsperioden baserat endast på Zon 2.

Ur Figurer 5.3 och 5.4 finner vi högst märkligt att Kred-modellerna har här vid kalenderåret t endast underskattat de sanna väntevärden jämfört med förra fallet där de även överskattat dem. Däremot gäller tvärtom för GLM och BGLMs att de här vid samma år istället har båda under- och överskattat dem jämfört med förra fallet där de endast underskattat dem. Bytta roller med andra ord. Alltså i princip har det hittills aldrig hänt (utom vid enstaka gånger till exempel under de sista åren ur Figur 5.4 där GLM och Kred-modellerna båda under- och överskattat dem medan BGLMs endast underskattat dem) att alla GLM, BGLMs och Kred-modellerna samtidigt underskattat dem, eller båda under- och överskattat dem. Istället gör båda GLM och BGLMs det ena, medan Kred-modellerna det andra.

Det verkar som att det är mer lönsamt att båda under- och överskatta de sanna väntevärden så att en del av avvikelserna kompenseras med varandra än att enbart underskatta dem. Detta kan inses genom att återigen studera de senaste fyra tabellerna ovan, det vill säga Tabeller 5.1-5.4, som vi av praktiska skäl har bifogat dem igen här nedan, nämligen Tabeller 5.5-5.8. Ur Tabell 5.6 från det här fallet ser vi att effektiviteten hos GLM och BGLMs vid kalenderåret t har blivit närmare Kred-modellerna, det vill säga cirka 949 för de förra vilka är lite mindre än dubbelt så stora som de senare, drygt 561-572, jämfört med motsvarande Tabell 5.5 från det förra fallet, vilka är mer än dubbelt: ungefär 741 och 287-291. På samma sätt, ur Tabell 5.8 från det här fallet framgår att GLM och BGLMs vid kalenderåret t har blivit långt bättre än Kred-modellerna när det gäller avvikelserna beräknade endast för Zon 2: ungefär 69 och 191-196, jämfört med motsvarande Tabell 5.7 från det förra fallet: cirka 109 och 4-5. När det gäller de kommande åren, det vill säga t + 1, . . . , t + 9 noterar vi ur Figurer 5.3 och 5.4 att GLM och BGLMs i det här aktuella fallet har övergått till att bara underskatta de sanna väntevärden, till skillnad från t där de även överskattat dem. Som en konsekvens, dessa modeller har blivit otroligt ineffektiva jämfört med Kred-modellerna, då de senare övergått till att båda under- och överskatta dem. En samma observation kan ses ur Figurer 5.1 och 5.2, där Kred-modellerna har under hela tioårsperioden blivit långt mer effektiva än GLM och BGLMs, därför att de förra har båda under- och överskattat dem jämfört med de senare som endast underskattat dem.

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	740.5762	316.4039	162.0679	86.5904	43.9757	28.408	15.1206	10.7873	5.5092	3.7797
Kred. 10,1	289.7397	27.4358	5.9493	3.431	2.2007	1.4606	1.0782	0.853	0.6721	0.5166
Kred. 5,1	286.9607	27.3991	5.6524	3.1969	1.9559	1.295	0.9414	0.7498	0.5885	0.4255
Kred. 1,1	287.377	29.0751	6.2025	3.4918	2.0875	1.366	0.9715	0.776	0.601	0.4244
Kred. 1,5	290.6705	29.1769	6.2782	3.5142	2.0904	1.3656	0.971	0.7756	0.6006	0.4238
Kred. 1,10	289.6132	29.1253	6.2784	3.5142	2.0904	1.3656	0.971	0.7756	0.6006	0.4238
BGLM M1 3,1	740.5762	688.6977	497.2826	343.509	249.2669	178.3052	123.441	84.6705	58.5184	40.4351
BGLM M1 6,3	740.5762	401.8827	196.5802	100.0185	64.4658	43.6057	29.1957	20.5573	15.4717	11.6551
BGLM M1 12,9	740.5762	340.7584	170.1972	93.4603	68.0229	46.9432	32.3153	24.1605	18.4747	14.0562
BGLM M2 3,1	740.5762	310.4115	151.8614	82.3787	59.1091	39.2467	26.1895	19.1969	14.4791	11.0956
BGLM M2 6,3	740.5762	324.9119	158.3097	85.7785	61.7481	41.0759	27.6916	20.3329	15.3934	11.7003
BGLM M2 12,9	740.5762	338.9004	166.0901	91.0634	65.1967	43.5084	29.4001	21.5847	16.3603	12.3012

Tabell 5.5. Från Tabell 5.1. Det första fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårspe- rioden baserat på alla områden.

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	949.1292	242.6059	103.2908	55.7134	33.0528	20.3489	8.5166	5.5826	2.9756	1.8013
Kred. 10,1	560.6221	16.9344	5.2187	2.4417	1.5453	1.0949	0.799	0.6657	0.6272	0.5157
Kred. 5,1	560.6182	15.7649	4.573	2.1219	1.313	0.9278	0.6599	0.5233	0.5427	0.4385
Kred. 1,1	568.8486	15.9839	4.6301	2.146	1.2961	0.9201	0.6433	0.4925	0.5295	0.4256
Kred. 1,5	570.4237	15.967	4.64	2.1448	1.2946	0.919	0.6426	0.4916	0.5291	0.4252
Kred. 1,10	571.909	16.0886	4.6399	2.1448	1.2946	0.919	0.6426	0.4915	0.5291	0.4252
BGLM M1 3,1	949.1292	914.6294	571.5318	366.8803	275.2564	201.6181	139.4809	89.1972	53.9699	31.7218
BGLM M1 6,3	949.1292	475.7037	206.0795	123.7796	72.9268	36.9828	22.9007	12.137	7.2269	4.9056
BGLM M1 12,9	949.1292	387.041	179.887	114.3703	66.3682	35.0433	22.5058	11.7697	7.3968	4.9747
BGLM M2 3,1	949.1292	342.8436	156.3477	97.5048	55.695	28.3171	17.9069	9.3932	6.0514	4.2271
BGLM M2 6,3	949.1292	361.2659	162.3862	101.3763	58.3105	29.9188	19.207	10.2041	6.5787	4.5313
BGLM M2 12,9	949.1292	376.0185	170.8776	106.7037	61.6363	31.6172	20.0905	10.6457	6.8022	4.6899

Tabell 5.6. Från Tabell 5.3. Det andra fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårspe- rioden baserat på alla områden.

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	108.9084	178.6044	123.3188	68.0917	36.5708	25.0877	13.3947	9.4618	4.4592	3.0767
Kred. 10,1	4.8049	0.1475	0.054	0.0755	0.0851	0.0496	0.0362	0.0306	0.0286	0.0222
Kred. 5,1	4.7927	1.0005	0.1722	0.0302	0.0075	0.0077	0.0058	0.0054	0.0039	0.003
Kred. 1,1	4.4578	1.9995	0.2415	0.0375	0.0089	0.0094	0.0072	0.0063	0.0044	0.0035
Kred. 1,5	3.8041	1.4253	0.1722	0.0336	0.009	0.0098	0.0074	0.0065	0.0045	0.0036
Kred. 1,10	3.8002	1.4259	0.1725	0.0337	0.009	0.0098	0.0075	0.0065	0.0045	0.0036
BGLM M1 3,1	108.9084	163.963	154.7693	141.3476	125.1064	106.5635	86.2403	66.7763	49.4365	34.8614
BGLM M1 6,3	108.9084	158.7497	110.0368	68.199	47.9006	33.5198	21.1251	14.1487	10.6922	7.721
BGLM M1 12,9	108.9084	164.854	95.8848	66.5461	51.9122	36.4743	23.7907	17.2974	13.6884	10.0117
BGLM M2 3,1	108.9084	155.6456	86.9044	58.799	44.5517	29.5337	18.2692	12.8866	10.0075	7.2122
BGLM M2 6,3	108.9084	156.992	88.5945	60.3123	45.9938	30.9079	19.439	13.7687	10.7527	7.7796
BGLM M2 12,9	108.9084	164.7285	93.5177	64.4915	49.1244	33.1675	21.0768	14.9145	11.6863	8.3361

Tabell 5.7. Från Tabell 5.2. Det första fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårspe- rioden baserat endast på Zon 5.

Antalet år framåt

Modell	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
GLM	69.3578	10.1338	2.7015	1.0013	0.6138	0.3924	0.2646	0.1134	0.1411	0.1373
Kred. 10,1	190.7626	5.2395	1.6161	0.6318	0.3918	0.2352	0.1577	0.068	0.0958	0.0952
Kred. 5,1	194.0439	4.3892	1.3367	0.5163	0.3209	0.1976	0.1335	0.0613	0.0853	0.0857
Kred. 1,1	195.5458	3.7735	1.1896	0.4787	0.3079	0.1929	0.132	0.0613	0.0849	0.0859
Kred. 1,5	195.4049	3.4149	1.1682	0.4739	0.3079	0.1934	0.1317	0.0613	0.0847	0.0858
Kred. 1,10	195.887	3.4442	1.168	0.4738	0.3079	0.1934	0.1317	0.0613	0.0847	0.0858
BGLM M1 3,1	69.3578	170.0956	70.3014	16.1992	4.0278	1.9971	1.1816	0.8543	0.6919	0.617
BGLM M1 6,3	69.3578	90.1105	11.631	5.3698	3.0766	1.9624	1.2133	0.8447	0.6866	0.6155
BGLM M1 12,9	69.3578	79.5555	11.0329	5.343	3.0785	1.9698	1.2197	0.858	0.6927	0.6104
BGLM M2 3,1	69.3578	69.1195	9.8645	5.0921	2.9591	1.9565	1.1895	0.8337	0.6899	0.6189
BGLM M2 6,3	69.3578	75.817	10.5773	5.3186	3.0466	1.9606	1.2052	0.8509	0.7045	0.6189
BGLM M2 12,9	69.3578	78.3566	10.7826	5.3169	3.089	1.973	1.1928	0.8603	0.6911	0.6152

Tabell 5.8. Från Tabell 5.4. Det andra fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) under tioårspe- rioden baserat endast på Zon 2.

5.4. Antalet försäkringskontrakt per år vid närmare granskning

I den här sektionen kommer vi undersöka hur många försäkringskontrakt per år som krävs för att GLM eventuellt ska vara bättre än en Kred-modell. Anledningen till att vi gör den här undersökningen är att Kred-modellerna inte alltid varit de bästa utan det har visat sig att båda GLM och BGLMs lyckats vara bättre än de förra under det första året, se Tabell 5.8. Vi har i den här undersökningen bara jämfört GLM med Kred-modellerna av två orsaker. Det första är att GLM många gånger är snabbare än BGLM vad gäller simulering. Det andra är att GLM oftast visat sig vara bättre än BGLMs så det är mer intressant att se när den förra eventuellt kan prestera bättre än Kred-modellerna. Dessutom har vi bara studerat Kred-modellen med σ = 1 och τ = 1000 då den är snabbare att simulera än de andra tidigare Kred-modellerna, samtidigt som skillnaden mellan dem alla är obetydlig, se vidare Sektion 5.5 där vi undersökt närmare på olika par värden av σ och τ .

300

D(μ, μ^)

200

100

Alla 790 tariffceller

0 1 2

Antalet år framåt

Modell

GLM 1500

GLM 3000

GLM 5000

GLM 10000

GLM 20000

Kred. 1500

Kred. 3000

Kred. 5000

Kred. 10000

Kred. 20000

150

D(μ, μ^)

100

Endast tariffceller tillhörande det nya området, Zon 5

0 1 2

Antalet år framåt

Modell

GLM 1500

GLM 3000

GLM 5000

GLM 10000

GLM 20000

Kred. 1500

Kred. 3000

Kred. 5000

Kred. 10000

Kred. 20000

Figur 5.5. Det första fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) för några olika antal kontrakt per år under treårsperioden. Kred-modellerna med σ = 1 och τ = 1000 använts. Till exempel betyder 1500

ur “GLM 1500” att antalet kontrakt per år sätts till 1500. Avvikelsen för GLM 1500 vid kalenderåret t som är lika med 740.5762 till vänster har klippts bort för att kunna zooma in i figuren.

Alla 790 tariffceller Endast tariffceller tillhörande Zon 5 Antalet år framåt Antalet år framåt

Modell 0 1 2 Modell 0 1 2

GLM 1500 740.5762 269.2538 149.2277 GLM 1500 108.9084 158.3226 106.4275

GLM 5000 45.2945 62.6401 18.9222 GLM 5000 8.6105 58.4471 17.3081

GLM 3000 236.1488 136.5073 56.1302 GLM 3000 67.1926 105.8265 52.6986

GLM 20000 0.9264 2.0735 0.1540 GLM 20000 0.4127 1.9059 0.0328

GLM 10000 3.0769 10.4181 0.9687 GLM 10000 0.2914 9.5956 0.5197

Kred. 3000 22.4254 3.3613 1.4020 Kred. 3000 6.0151 0.0355 0.0135

Kred. 1500 289.7188 11.8806 4.1022 Kred. 1500 3.7978 0.2746 0.0532

Kred. 10000 9.6727 0.4940 0.2937 Kred. 10000 7.9487 0.0041 0.0016

Kred. 5000 14.9403 1.9052 0.9452 Kred. 5000 6.9212 0.0080 0.0047

Kred. 20000 8.8417 0.1236 0.0873 Kred. 20000 8.5552 0.0018 0.0010

Tabell 5.9. Det första fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) för några olika antal kontrakt per år under treårsperioden. Kred-modellerna med σ = 1 och τ = 1000 använts. Till exempel betyder 1500 ur “GLM 1500” att antalet kontrakt per år sätts till 1500. De här värden låg till grund för Figur 5.5.

Vi observerar ur Figur 5.5 och Tabell 5.9 att det krävs många kontrakt, mer än 5000, för att GLM ska vara bättre än Kred-modellen under första året. Däremot blir Kred-modellen bäst under resten av perioden. Vidare noterar vi ur den högra tabellen att hos Kred-modellen gäller, till skillnad från GLM, att den del av den totala avvikelsen som kommer ensamt från Zon 5 ökar procentuellt ju fler är antalet kontrakt som årligen kommer till bolaget exempelvis drygt 1% (3.7978/289.7188) för Kred. 1500 jämfört med ungefär 97% (8.5552/8.8417) för Kred. 20000. Detta resultat är inte förvåntat med tanke på att dessa Kred-modeller har under första året fixerat relationstalet för Zon 5 till värdet 1 oberoende av storleken på datan och därigenom går en större del av totala avvikelsen som kommer från detta område ju fler kontrakt som simulerats. Dessutom finner vi troligen av en tillfällighet att Kred. 1500 är bättre än Kred. 3000 som i sin tur är bättre än Kred. 5000 och så vidare under första året ur den högra tabellen, eftersom ett sådant mönster inte existerar för det andra fallet, det vill säga Tabell 5.10 nedan.

Slutligen, anledningen till varför vi får en “tak”-form ur den högra figuren i Figur 5.5, det vill säga GLM har blivit sämre vid kalenderåret t + 1 jämfört med t respektive t + 2 är som följer. Att börja med, kom ihåg att försäkringsbolaget vid t använder information från Zon 6 i samband med prissättningen av försäkringskontrakt för det nya området Zon 5, men informationen från Zon 5 gäller under de kommande åren. Nu, den avgörande faktorn i det här är att osäkerheten kring parameterskattningen är lägre för Zon 6 och därigenom garderar sig bättre mot missvisande skattning jämfört med Zon 5. Detta kan inses genom att det antalet kontrakt som årligen simulerats är större och därmed blir skattningen för Zon 6 mer stabilare, drygt 0.0618 (3716/(62436 - 2274) ur Tabell A.1 där alla kontrakt från Zon 5 exkluderats) enligt den sanna sannolikheten vid t att jämföra med 0.0364 (2274/62436) för Zon 5 vid t + 1. Detta tillsammans med att den sanna standardavvikelsen även är lägre för Zon 6, det vill säga 0.2464 ur Tabell 4.2 jämfört med 0.3411 för Zon 5, och dessa bör avspegla hur förhållandet mellan dessa standardavvikelser ser ut i vår simulerad data. Och sedan, frågan om varför GLM blivit bättre vid t + 2 än t + 1 kan förklaras av att det totala antalet kontrakt som simulerats från Zon 5 är flera vid t + 2 än vid t + 1 och därigenom blir den motsvarande skattningen båda bättre och säkrare förenlig med Stora talens lag, [15, s. 160]. Däremot gäller för dessa Kred-modeller att de är fria från att göra det starka antagandet vad gäller vilken Zon klass som ska betraktas som det besläktade området, då de istället gör en avvägning mellan den individuella och mer korrektare informationen, och den generella men mindre korrekta. Detta följer då att skattningen för Zon 5 blir båda bättre och robustare med tiden.

Nästa figur och tabell visar på motsvarande sätt som ovan, fast för det andra fallet.

600

D(μ, μ^)

400

200

Alla 790 tariffceller

0 1 2

Antalet år framåt

Modell

GLM 1500

GLM 3000

GLM 5000

GLM 10000

GLM 20000

Kred. 1500

Kred. 3000

Kred. 5000

Kred. 10000

Kred. 20000

Endast tariffceller tillhörande det nya området, Zon 2

D(μ, μ^)

0 1 2

Antalet år framåt

Modell

GLM 1500

GLM 3000

GLM 5000

GLM 10000

GLM 20000

Kred. 1500

Kred. 3000

Kred. 5000

Kred. 10000

Kred. 20000

Figur 5.6. Det andra fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) för några olika antal kontrakt per år under treårsperioden. Kred-modellerna med σ = 1 och τ = 1000 använts. Till exempel betyder 1500 ur “GLM 1500” att antalet kontrakt per år sätts till 1500. Avvikelsen för GLM 1500 vid kalenderåret t som är lika med 949.1292 till vänster har klippts bort för att kunna zooma in i figuren. Detsamma gäller för Kred. 1500 till höger, som är lika med 195.4334 vid t.

Alla 790 tariffceller Endast tariffceller tillhörande Zon 2 Antalet år framåt Antalet år framåt

Modell 0 1 2 Modell 0 1 2

GLM 1500 949.1292 279.1489 138.3784 GLM 1500 69.3578 26.3090 3.4804

GLM 5000 133.0866 12.0055 2.1521 GLM 5000 38.4253 0.8676 0.2583

GLM 3000 260.6563 65.3813 21.0397 GLM 3000 25.2716 3.0560 0.8032

GLM 20000 53.0396 0.3509 0.2599 GLM 20000 52.4502 0.1144 0.0638

GLM 10000 51.8228 0.7403 0.3735 GLM 10000 44.0792 0.1810 0.0786

Kred. 3000 81.6701 3.9207 1.5240 Kred. 3000 51.6307 1.3628 0.3491

Kred. 1500 570.3963 25.0613 5.1381 Kred. 1500 195.4334 8.1390 1.5336

Kred. 10000 30.4069 0.4367 0.2449 Kred. 10000 29.1397 0.0898 0.0553

Kred. 5000 40.0817 1.7337 1.0888 Kred. 5000 34.3632 0.3652 0.1455

Kred. 20000 26.2730 0.2044 0.1891 Kred. 20000 26.0201 0.0727 0.0495

Tabell 5.10. Det andra fallet. Jämförelse mellan årliga avvikelserna D(µ, µˆ) för några olika antal kontrakt per år under treårsperioden. Kred-modellerna med σ = 1 och τ = 1000 använts. Till exempel betyder 1500 ur “GLM 1500” att antalet kontrakt per år sätts till 1500. De här värden låg till grund för Figur 5.6.

Ur Figur 5.6 och Tabell 5.10 framgår att Kred-modellen fortfarande är bättre än GLM även vid de stort årliga antalen kontrakt sett till alla områden. När det gäller endast för det nya området, så har GLM i princip lyckats vara bättre än Kred-modellen endast vid 1500 kontrakt per år, vid t, för att sedan den senare är mest effektiv vid de kommande åren, och även vid de högre antalen kontrakt per år (det verkar ha förekommit något slumpfel gällande GLM ur den högra tabellen under första året men det är svårt att säga). Det är alltså intressant att en Kred-modell som är sämst vid t kan redan vid nästkommande året tillhöra den bästa modellen, och Kred. 1500 är ett exempel på detta, som lyckats reducera dess avvikelse

från drygt 195 vid t nere till 8 vid t + 1 att jämföra med GLM 1500 med dess avvikelse från ungefär 69 vid t nere till 26 vid t + 1. Detta visar den otroliga prestandaförmågan hos Kred-modellen. Det verkar som att GLM har det riktigt svårare att komma ikapp de sämsta Kred-modellerna, exempelvis Kred. 20000 jämfört med förra fallet. Vi observerar på samma sätt som förra fallet att den del av den totala avvikelsen som kommer ensamt från Zon 2 ökar procentuellt ju fler är antalet kontrakt per år, till exempel drygt 99% för Kred. 20000 (26.0201/26.2730) att jämföra med Kred. 1500 ungefär 34% (195.4334/570.3963). Detta beror på, som redan nämnts, att Kred-modellen har låst relationstalet för det nya området Zon 2 till värdet 1 vid t oavsett storleken på datan, och därmed går större delen av den totala avvikelsen från detta område ju fler kontrakt som simulerats per år.

Baserat på dessa närmare undersökningar på båda fallen verkar det vara riktigt lönsamt att tillämpa metoden GLM kombinerad med kredibilitetsteori i samband med prissättningen av försäkringskontrakt avseende båda det nya området och alla områden. Dessutom slipper vi genom tillämpningen av denna metod införa det starka antagandet vad gäller vilken Zon klass som ska betraktas som det besläktade området till skillnad från GLM och BGLM.

5.5. Standardavvikelsekomponenterna σ och τ vid närmare granskning

Eftersom de Kred-modeller som hittills undersökts är i princip lika effektiva sett till avvikelserna utgör det därmed svårt att dra någon tydlig slutsats om vilken av nämnda modellerna som är mest effektiv, och detta bör bero på att µ är förhållandesvis litet att hela termen µσ2/τ 2 ur Ekvation (4.5.2.1) även är liten. Detta följer då att den termen ungefär är samma för dessa modeller. Dessutom har vi kanske redan valt ut de bästa modellerna eftersom som vi sett ovan att de utklassat de övriga. Därför är det även intressant att se när en Kred-modell kan bli otroligt ineffektiv.

I den här sektionen kommer vi därför undersöka närmare på en större mängd bestående av olika par värden på standardavvikelsekomponenterna σ (inom-grupp-standardavvikelse) och τ (mellan-grupp-standardavvikelse), några riktigt små/stora sådana, och beräkna motsvarande årliga avvikelser enligt Ekvation (5.1.1). På så sätt hoppas vi att vi lättare kan dra en mer klarare slutsats vad gäller när en Kred-modell kan bli riktigt effektiv/ineffektiv.

Det bör anmärkas att den här undersökningen är begränsad till det första fallet eftersom vi är mer intresserad av normala omständigheter, då det andra fallet är tänkt att vara mer av orealistiskt slag. Dessutom är skill- naden obetydlig mellan Kred-modellerna i båda fallen, och därför bör det finnas någon gemensam nämnare i dessa fall vad gäller vilket par värden på σ och τ som är mer lämpade än andra. Vidare, en annan begränsning som införts är att denna undersökning är avsedd endast på den femårsperioden snarare än tioårsperioden av två anledningar. Det första är att det är tidskrävande att undersöka många olika par värden av σ och τ med tanke på att deras respektive slutgiltigt årliga parameterskattningar är baserade på 200 iterationer. Det andra och mer viktigare är att skillnaden mellan Kred-modellerna blir försumbar ju längre fram i tiden som undersöks, och därmed svårare att urskilja dem. Detta bör betonas att femårsperioden är tillräcklig för vårt ändamål som Figur 5.7 nedan illustrerar. Slutligen, det bör tilläggas att vi i den här undersökningen endast studerat värden på σ och τ där båda är heltal, för ett resonemang se andra punkten under början av Sektion 5.

(1000,1)

(500,1)

(200,1)

(100,1)

(50,1)

(20,1)

(10,1)

(5,1)

(4,1)

(3,1)

(σ, τ)

(2,1)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,10)

(1,20)

(1,50)

(1,100)

(1,200)

(1,500)

(1,1000)

Alla 790 tariffceller

457.6703 455.4370	224.3808 220.9138	221.2523 216.4395	221.7668 215.5495	221.2770 213.6729
441.5691	199.6129	187.7822	179.8097	171.5256
407.0735	149.4797	126.5463	110.4920	97.2137
349.1862	76.1415	52.6190	39.5803	31.5585
297.9863	24.4634	11.2718	6.4294	4.7215
289.7397	15.5031	5.3431	2.5431	1.8793
286.9607	13.7781	4.4530	2.1292	1.5553
286.4531	13.7022	4.4153	2.1257	1.5454
288.1839	13.9299	4.4227	2.1442	1.5537
287.5083	14.0659	4.5062	2.1965	1.5920
287.3770	14.5889	4.7891	2.2932	1.6491
289.2036	15.0408	4.8986	2.3001	1.6488
290.4080	15.0707	4.9167	2.3000	1.6485
291.1675	15.0641	4.9166	2.3000	1.6485
290.6705	15.0505	4.9165	2.3000	1.6484
289.6132	15.2296	4.9164	2.3000	1.6484
288.5224	15.1866	4.9163	2.3000	1.6484
290.4248	15.1297	4.9163	2.3000	1.6484
289.7923	15.0866	4.9163	2.3000	1.6484
290.8855	15.0434	4.9163	2.3000	1.6484
290.8450	15.2074	4.9163	2.3000	1.6484
289.7188	15.1634	4.9163	2.3000	1.6484

0 1 2 3 4

Antalet år framåt

Avvikelse 500

400

300

200

100

(1000,1)

(500,1)

(200,1)

(100,1)

(50,1)

(20,1)

(10,1)

(5,1)

(4,1)

(3,1)

(σ, τ)

(2,1)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,10)

(1,20)

(1,50)

(1,100)

(1,200)

(1,500)

(1,1000)

Endast tariffceller tillhörande det nya området, Zon 5

3.4689 5.4441 6.5093 7.0419

3.4777 5.4625 6.5334 7.0707

3.5343 5.5732 6.6679 7.2167

3.6914 5.7997 6.8454 7.2874

7.2021

7.2349

7.3854

7.3321

4.0642 5.7524 6.1900 6.0006 5.5620

4.6633 3.0138 2.2124 1.5085 1.1550

4.8049 0.4974 0.2640 0.1011

4.7927 0.0378 0.0092

4.7794 0.0916 0.0166

4.7689 0.1693 0.0291

4.7027 0.2254 0.0348

4.4578 0.1571 0.0153

4.0525 0.0527 0.0095

3.8551 0.0440 0.0092

3.8109 0.0415 0.0092

3.8041 0.0415 0.0092

3.8002 0.0430 0.0092

3.7963 0.0427 0.0092

3.8016 0.0422 0.0092

3.7937 0.0419 0.0092

3.8060 0.0416 0.0092

3.8071 0.0428 0.0092

3.7978 0.0425 0.0092

0.0908

0.0179 0.0046

0.0322 0.0068

0.0455 0.0096

0.0487 0.0094

0.0304 0.0056

0.0274 0.0056

0.0276 0.0056

0.0277 0.0057

0.0278 0.0057

0 1 2 3 4

Antalet år framåt

Avvikelse 8

Figur 5.7. Det första fallet. Årlig jämförelse av avvikelser för olika par värden på (σ, τ ) under den femårspe- rioden.

Ur den vänstra i Figur 5.7, som är baserat på alla områden finner vi tydligt att värdet på σ behöver vara riktigt stort i förhållande till τ , approximativt vid σ > 10, för att en Kred-modell ska uppfattas som mycket ineffektiv men samtidigt uppåt begränsad (σ = 500, 1000 har ungefär samma värde), men i princip lika effektiv för alla värden under denna nämnda gräns, båda givet att τ = 1, det vill säga nedåt begränsad. Annorlunda uttryckt, för att en Kred-modell ska anses vara mycket dålig behöver inom-grupp- standardavvikelsen vara ungefär mer än 10 gånger större än mellan-grupp-standardavvikelsen, och blir som värst för alla riktigt höga värden på σ, säg minst 100, men fortfarande bättre än GLM och samtliga BGLMs, värdet ca 741 ur Tabell 5.5. Men vi får helt annat resultat om vi tittar på den högra figuren, som endast är baserat på det nya området, att dessa skyhöga värden på σ givet att τ = 1 skulle vara någorlunda effektiv än de övriga, dock endast vid startåret t för att sedan bli riktigt ineffektiv - inte värt att ansätta sådana värden, men fortfarande bättre än GLM och alla BGLMs, som kan inses ur Tabell 5.7. Det bör vidare tilläggas att en Kred-modell ur den vänstra delfiguren i Figur 5.7 kan betraktas som mest effektiv när storleken på σ är ungefär 1-4 gånger större än τ baserat på den kompletta datan men sämre i varierande utsträckning när endast datan från det nya området använts, som den högra delfiguren visar. Men det är svårt att dra någon tydlig slutsats kring detta med tanke på den stora variationen vid σ = 1, . . . , 5 som man kan se ur den högra delfiguren - möjligt något slumpfel. Alltså, en Kred-modell är i princip lika effektiv vid dessa fem nämnda värden enligt den vänstra delfiguren och även vid t enligt den högra, medan σ = 5 vid t + 1, . . . , t + 9 ur den högra är långt bättre än de övriga fyra värden.

Sammanfattningsvis bör det alltså vara ytterst lönsamt att se till att σ inte får vara mycket stort i förhållande till τ vad gäller båda den kompletta och den partiella datan avseende det nya området. Mer specifikt, för att en Kred-modell ska vara så effektiv förutsätter då att kredibilitetsfaktorn z˜j bör gå mot 1, så att det

^ ˜

skattade relationstalet Uj går i den riktning närmast till det mer individuella och relevanta Y .j./µ än värdet 1, se Ekvation (3.3.5).

5.6. Apriori vid närmare granskning

Tidigare ovan fann vi tydligt att BGLM skulle vara mer effektiv om Metod 2 applicerats jämfört med Metod 1 vad gäller ansättning av apriori (se vidare Sektion 4.4 för dessa metoder). Vi kom vidare fram till att båda metoderna verkade vara lika bra vid de höga icke-informativa apriori, det vill säga när vi ansätter höga

värden på standardavvikelser avseende regressionskoefficienterna utom basklasserna i Tabell 4.2. Däremot var det svårt att avgöra om det berodde på de högre informativa apriori som BGLM M2 3,1 applicerat som gjort att den varit en aning mer effektiv än de övriga två BGLM M2-modellerna, nämligen BGLM M2 6,3 och BGLM M2 12,9. Därför kommer vi här undersöka närmare på några BGLM M2 modeller för några olika mängder av standardavvikelser och beräkna motsvarande årliga avvikelser, som Figur 5.8 nedan illustrerar. Det bör tilläggas att den här undersökningen, av motsvarande argument som förra sektionen, varit avgränsad till det första fallet, och dessa nämnda årliga avvikelser beräknade endast under femårsperioden.

BGLM M2 12,9

BGLM M2 8,8

BGLM M2 6,3

BGLM M2 5,5

Modell

BGLM M2 4,4

BGLM M2 4,1

BGLM M2 3,3

BGLM M2 3,1

BGLM M2 2,2

BGLM M2 2,1

BGLM M2 1,1

Alla 790 tariffceller

740.5762

357.5767

211.2154

125.9380

82.1236

740.5762

351.9762

207.5242

123.9284

80.5362

740.5762

343.2350

201.4241

119.6629

77.6186

740.5762

344.9697

202.9114

120.8311

78.3902

740.5762

344.3418

202.6552

120.5543

78.4047

740.5762

328.9655

195.2859

115.0389

74.2408

740.5762

343.4988

202.2422

120.2480

78.0504

740.5762

329.0222

195.7494

115.5548

74.5898

740.5762

341.4074

202.1033

119.9657

77.9782

740.5762

331.0083

197.0081

116.2983

75.3335

740.5762

339.4860

202.8474

121.5071

79.4595

0 1 2 3 4

Antalet år framåt

Avvikelse 800

600

400

200

BGLM M2 12,9

BGLM M2 8,8

BGLM M2 6,3

BGLM M2 5,5

Modell

BGLM M2 4,4

BGLM M2 4,1

BGLM M2 3,3

BGLM M2 3,1

BGLM M2 2,2

BGLM M2 2,1

BGLM M2 1,1

Endast tariffceller tillhörande det nya området, Zon 5

108.9084

158.8190 107.0074

73.6718

51.8698

108.9084

156.0541 104.5865

72.3731

50.7889

108.9084

152.0621 101.4108

69.5613

48.7319

108.9084

152.5792 101.9114

70.1964

49.1544

108.9084

152.2542 101.7022

70.0900

49.0045

108.9084

150.5807 99.7073

67.9151

47.0765

108.9084

152.0473 101.6080

69.8354

48.8402

108.9084

150.5734 99.7582

68.0125

47.1726

108.9084

151.8038 101.2231

69.5436

48.5762

108.9084

150.6761 99.9273

68.1574

47.3305

108.9084

151.3380 100.6347

69.0514

48.2441

0 1 2 3 4

Antalet år framåt

Avvikelse 200

150

100

Figur 5.8. Det första fallet. Årlig jämförelse av avvikelser för några BGLM M2 modeller för några olika mängder av standardavvikelser under femårsperioden.

Det är intressant att båda två delfigurerna ur Figur 5.8 visar att skillnaden mellan BGLM M2 2,1 och BGLM M2 3,1 och BGLM M2 4,1 är i stort sett obetydlig, men samtidigt bättre än de övriga. Detta betyder att BGLM M2 2,1 som varit mer informativ avseende alla regressionskoefficienterna utom intercept är mer effektiv än BGLM M2 2,2. På samma sätt, BGLM M2 3,1 varit mer effektiv än BGLM M2 3,3, och BGLM M2 4,1 mer än BGLM M2 4,4. Däremot kan det vara skadligt att anta en så hög informativ apriori för intercept, eftersom BGLM M1 1,1 varit mindre effektiv än BGLM M2 2,1, BGLM M2 3,1 respektive BGLM M2 4,1. En möjlig förklaring är att BGLM M1 1,1 kan ha tagit fel support gällande intercept, det vill säga vilka värden ur den marginella normalfördelningen avseende intercept som kan anses vara rimliga, med tanke på dess lägre standardavvikelse och därför mer lättsvansade fördelning, jämfört med de övriga. Men detta betyder inte per automatik att man bör få bättre modell om man antar en mer icke-informativ apriori, det vill säga man tar för säkerhets skull alla värden för att inte riskera ha uteslutit några tänkbara värden eftersom man kan istället ha tagit andra mindre rimliga värden, till och med felaktiga sådana. Och BGLM M2 12,9 är ett lysande exempel på detta, som varit otroligt ineffektiv relativt de övriga. Sammantaget innebär att apriori bör vara måttligt informativa för att en modell ska betraktas som effektiv - varken alltför informativa eller alltför icke-informativa.

6. Slutsatser och diskussion

6.1. Slutsatser

Efter dessa storskaliga simuleringsstudier i Sektion 5 ska vi nu kortfattande försöka besvara de frågor som ställdes i Sektion 1.3.

1) Vilken av nämnda prissättningsmetoderna presterar bäst avseende dels det nya området och dels alla områden?

GLM kombinerad med kredibilitetsteori är den klart bästa metoden, avseende båda det nya området och alla områden, och under båda normala och absurda förhållanden. Med den metoden slipper vi, till skillnad från GLM och BGLM, göra det mycket starka antagandet vad gäller vilken Zon klass som ska betraktas som det relaterade området i samband med prissättningen av försäkringskontrakt avseende det nya området. Istället gör den för varje område en avvägning mellan den individuella och mer korrektare premien och den generella men mindre korrekta, och på så sätt utnyttjat informationen från hela beståndet av kontrakt - vilket kan bli rätt mycket under de första åren: 1500 kontrakt under det första året; 3000 kontrakt under andra året och så vidare, då vi antar att det till försäkringsbolaget kommer 1500 kontrakt per år. Detta leder till att premierna blir båda mer korrektare och säkrare med tiden. Slutligen, GLM kombinerad med kredibilitetsteori har den otroliga prestandaförmågan att den som varit sämst vid ett år kan redan vid nästkommande året anses vara den mest effektiva metoden. Snabb vändning med andra ord.

2) I fråga om modeller från GLM kombinerad med kredibilitetsteori, för vilket par värden på standard- avvikelsekomponenterna σ och τ skulle leda till den mest effektiva modellen?

Man ska se till att värdet på σ (inom-grupp-standardavvikelse) inte får vara väldigt stort i förhållande till värdet på τ (mellan-grupp-standardavvikelse) så att kredibilitetsfaktorn zj tillhörande ett visst område j skulle gå närmare mot 1 och därigenom lutar mer åt den motsvarande individuella och mer korrektare premien än den generella men mindre relevanta.

3) Får vi mer korrektare prissättningar om vi ansätter mer informativa apriori?

När det gäller intercept bör man ansätta en måttlig informativ apriori. Anledningen är att en alltför informativ apriori kan leda till sämre modellanpassning eftersom man kan ha uteslutit en del värden som i själva verket är rimliga. På samma sätt, att ansätta en mer icke-informativ apriori kan snarare medföra att den missvisande inkluderar en del värden som är mycket orimliga eller till och med felaktiga sådana. När det gäller de övriga regressionskoefficienterna har vi bara kommit fram till att det bör vara riktigt lönsamt att anta mer informativa apriori, dock har vi inte undersökt huruvida de alltför informativa apriori skulle leda till en ännu bättre modellanpassning. Men de bör rimligen leda till sämre modellanpassning precis som med intercept.

4) Spelar det stor roll om vi använder skattningarna från det aktuella året i samband med uppdatering av apriori väntevärden jämfört med skattningarna från det förra året?

Vi har i den här uppsatsen tagit fram två olika metoder vad gäller ansättning av apriori. Lite slarvigt kan man säga att Metod 1 går ut på att skattningarna från det förra året används för att uppdatera de apriori väntevärden vid det här aktuella året, medan Metod 2 istället använder skattningarna från det här aktuella året. Enligt vad vi fann var att Metod 2 var otroligt mer effektiv än Metod 1 speciellt när man antar mer informativa apriori, och att båda skulle vara ungefär lika effektiva vid de mer icke-informativa apriori. Det bör därför vara mer lönsamt att använda skattningarna från det här aktuella året i samband med uppdateringen än att använda de mer inaktuella skattningarna från förra året.

6.2. Diskussion

Vi ser tydligt att parameterskattningarna blir båda mer korrektare och säkrare om prissättningsmetoden GLM kombinerad med kredibilitetsteori använts jämfört med de övriga. Därför bör det vara klokt att använda kredibilitetsteori, så långt det går, och inte bara vid de situationer där man har att göra med ett premieargument med alltför många klasser då GLM visat sig vara opraktiskt (se vidare [1, s. 71-72] och även början av Sektion 3.3 i den här uppsatsen). Utan den teorin bör tillämpas även vid de situationer där ett premieargument består av relativt få klasser. Detta eftersom vi kan räkna med att få bra och förhållandesvis säkra parameterskattningar till skillnad från GLM, speciellt när en eller flera av klasserna består av relativt få observationer. Som exempel kan nämnas Gotland som vi blev tvungna att slå ihop den med Zon klass 4, det vill säga små städer och landsbygder se vidare den högra tabellen ur Tabell 4.1. Men denna ihopslagning kan ses som mer eller mindre absurd. Sammantaget bör det alltså vara lönsamt att använda GLM bara vid de situationer där varje klass, som tillhör ett gemensamt premieargument, består av tillräckligt många observationer för att ge ungefär samma parameterskattningar som kredibilitetsteori. Annars bör vi överväga att betrakta detta premieargument som ett MLF.

Det är vidare intressant att GLM oftast varit bättre än BGLM, även med de bästa apriori. Men författarna [2], som undersökte prissättningen av försäkringskontrakt avseende ett nytt område, har kommit fram till att BGLM med power priors skulle prestera bättre än GLM. Därför skulle det vara intressant att analysera kring detta och se om våra BGLMs blir bättre än GLM, även om metoden GLM kombinerad med kredibilitetsteori mycket troligt fortfarande skulle vara den mest effektiva. Power priors, som beskrivs mer detaljer i [4-6], går ut på att vi uppdaterar våra apriori efter varje genomförd studie, till exempel efter varje ny skadedata som årligen kommer till bolaget. Vi uppdaterar här alltså på ett annorlunda sätt än vad vi gjort i den här uppsatsen, då vi uppdaterade bara våra apriori väntevärden (beskrivs närmare på i Sektion 4.4). Mer specifikt, power prior ges av, [5, s. 552] och [6, s. 1],

π(θ|D0, a0) 𝖺 L(θ|D0)a0 π0(θ), (6.2.1)

≤ ≤

där D0 är den historiska datan till exempel skadedatan från förra året; a0, 0 a0 1, är exponenten som alltså anger hur mycket i procent som likelihood L(θ D0) ska få inflytande på denna power prior givet D0. Speciellt gäller a0 = 1 att vår power prior skulle uppdateras i enlighet med Bayes sats, se Ekvation (3.4.1), och att a0 = 0 gäller istället att vår power prior skulle vara proportionell mot vår gamla och inaktuella apriori π0(θ), det vill säga oberoende av D0. Vidare, ur [6, s. 2] får vi baserat på denna power prior att aposteriori för en modellparameter θ alltså blir, jämfört med Ekvation (3.4.1) om apriori använts,

p(θ|D, D0, a0) 𝖺 L(θ|D)L(θ|D0)a0 π0(θ), (6.2.2) där D är den aktuella datan exempelvis skadedatan från det aktuella året.

En annan intressant modellutvidgning gällande BGLM är att ansätta kända hyperparametrar η, det vill säga vår apriori blir π(θ η) snarare än π(θ). Detta innebär alltså att vi inte bara ansätter någon sannolikhet- fördelning för en modellparameter av intresse θ som vi gjort i det här arbetet. Men även dess parametrar, det vill säga apriori väntevärde och/eller varians antas följa en viss sannolikhetsfördelning istället för att vara konstant, se [3, s. 15] för mer om hyperparametrar. Detta kan möjligen leda till att vi får mer lämpade standardavvikelser för våra regressionskoefficienter än att tilldela dem alla en och samma standardavvikelse mer eller mindre oberoende av storleken på dessa motsvarande värden på koefficienterna (utom intercept som antas ha sin egen konstanta standardavvikelse) som vi gjort i den här uppsatsen.

Appendix

A. Tabeller

A.1. Sammanfattande statistik av MC-försäkringsdatan

agarald kon zon mcklass fordald bonuskl duration antskad skadkost

Min. :16.00 K: 9482 1: 8210 1: 6748 Min. : 0.00 1:13806 Min. : 0.00274 Min. :0.0000 Min. : 0.0

1st Qu.:31.00 M:52954 2:11390 2: 5007 1st Qu.: 5.00 2: 8534 1st Qu.: 0.49041 1st Qu.:0.0000 1st Qu.: 0.0

Median :44.00 3:12296 3:18460 Median :12.00 3: 6491 Median : 0.89315 Median :0.0000 Median : 0.0

Mean :42.56 4:24183 4:11992 Mean :12.55 4: 5813 Mean : 1.04454 Mean :0.0111 Mean : 271.3

3rd Qu.:52.00 5: 2274 5:11502 3rd Qu.:16.00 5: 4922 3rd Qu.: 1.00000 3rd Qu.:0.0000 3rd Qu.: 0.0

Max. :92.00 6: 3716 6: 8091 Max. :99.00 6: 5203 Max. :31.33973 Max. :2.0000 Max. :365347.0

7: 367 7: 636 7:17667

Tabell A.1. Sammanfattande statistik av MC-försäkringsdatan. Mean står för medelvärde. 1st Qu. och 3st Qu. står för den första kvartilen respektive den tredje kvartilen.

A.2. Slutgiltigt årliga parameterskattningar under tioårsperioden

För båda fallen och för varje modell, visar följande tabeller de motsvarande slutgiltigt årliga parameterskat- tningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.8462: 2.6308	-6.3214: 0.5889	-6.2489: 0.4602	-6.2172: 0.3924	-6.1867: 0.3596	-6.1651: 0.3271	-6.1547: 0.2996	-6.1525: 0.2787	-6.1448: 0.2643	-6.1364: 0.2490
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0848: 0.4839	2.0688: 0.3643	2.0719: 0.2917	2.0476: 0.2703	2.0479: 0.2586	2.0477: 0.2462	2.0450: 0.2294	2.0368: 0.2161	2.0294: 0.2023
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.5042: 0.4756	1.5052: 0.3643	1.5031: 0.2937	1.4971: 0.2608	1.4899: 0.2436	1.4966: 0.2308	1.4973: 0.2122	1.4904: 0.2024	1.4811: 0.1882
Ägarålder klass 3	-0.0164: 3.5146	0.5882: 1.3420	0.6784: 0.4425	0.6981: 0.3658	0.6949: 0.3473	0.6999: 0.2957	0.6897: 0.2657	0.6886: 0.2479	0.6866: 0.2330	0.6797: 0.2194
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9462: 5.0384	-0.7026: 2.1610	-0.4214: 0.4813	-0.3868: 0.3850	-0.3706: 0.3407	-0.3632: 0.3038	-0.3482: 0.2755	-0.3505: 0.2585	-0.3513: 0.2291	-0.3478: 0.2119
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.7729: 2.2181	1.5345: 0.4420	1.5284: 0.3462	1.5189: 0.2863	1.4982: 0.2691	1.4917: 0.2373	1.4819: 0.2244	1.4870: 0.2122	1.4854: 0.1947	1.4783: 0.1894
Zon klass 2	1.1603: 2.6161	0.9758: 0.5046	0.9558: 0.4104	0.9665: 0.3340	0.9542: 0.3083	0.9538: 0.2717	0.9487: 0.2499	0.9543: 0.2406	0.9522: 0.2268	0.9584: 0.2163
Zon klass 3	0.5990: 2.5794	0.4685: 0.5316	0.4585: 0.4114	0.4573: 0.3510	0.4468: 0.3185	0.4400: 0.2997	0.4365: 0.2759	0.4456: 0.2601	0.4460: 0.2490	0.4528: 0.2339
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-6.2805: 8.4802	-10.8617: 6.7620	-7.9121: 7.8145	-4.8685: 7.2689	-3.1034: 6.1804	-2.4328: 5.5165	-1.6809: 4.5560	-1.3913: 4.1162	-0.9583: 3.2671	-0.8132: 2.9129
Zon klass 6	-6.2805: 8.4802	-3.3976: 6.8822	-1.3595: 4.8004	-0.7833: 3.7050	-0.3347: 2.5633	-0.0997: 1.6707	0.0419: 0.4974	0.0594: 0.4658	0.0554: 0.4317	0.0791: 0.4135
MC klass 1	-0.0224: 3.1688	0.2803: 0.5314	0.3047: 0.4105	0.3299: 0.3580	0.3392: 0.3099	0.3326: 0.2777	0.3312: 0.2516	0.3372: 0.2361	0.3359: 0.2271	0.3297: 0.2009
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8048: 1.3925	0.6464: 0.3942	0.6614: 0.2816	0.6593: 0.2570	0.6611: 0.2210	0.6664: 0.2017	0.6666: 0.1974	0.6723: 0.1785	0.6719: 0.1701	0.6721: 0.1618
Fordonsålder klass 1	1.0537: 1.8508	1.1712: 0.4536	1.2078: 0.3273	1.1773: 0.2900	1.1786: 0.2523	1.1764: 0.2411	1.1857: 0.2248	1.1795: 0.2269	1.1817: 0.2202	1.1790: 0.2042
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5736: 0.4232	0.5594: 0.3491	0.5536: 0.3046	0.5554: 0.2764	0.5539: 0.2458	0.5659: 0.2306	0.5579: 0.2166	0.5631: 0.2088	0.5679: 0.1986
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2615: 0.3393	-0.2746: 0.2648	-0.2780: 0.2216	-0.2740: 0.1939	-0.2857: 0.1835	-0.2909: 0.1693	-0.2914: 0.1526	-0.2903: 0.1445	-0.2878: 0.1390
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.2. Första fallet. Modellen GLM. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.7194: 1.4965	-5.5782: 0.4890	-5.5333: 0.3676	-5.5147: 0.3293	-5.5013: 0.2852	-5.4891: 0.2708	-5.4885: 0.2475	-5.4825: 0.2249	-5.4788: 0.2143	-5.4708: 0.1982
Ägarålder klass 1	2.1142: 0.7168	2.0852: 0.4833	2.0690: 0.3644	2.0721: 0.2916	2.0477: 0.2703	2.0480: 0.2586	2.0477: 0.2463	2.0451: 0.2294	2.0368: 0.2161	2.0295: 0.2023
Ägarålder klass 2	1.5317: 0.7100	1.5118: 0.4735	1.5107: 0.3628	1.5073: 0.2928	1.5003: 0.2602	1.4926: 0.2431	1.4989: 0.2305	1.4993: 0.2120	1.4923: 0.2022	1.4827: 0.1880
Ägarålder klass 3	0.0004: 3.4851	0.5961: 1.3421	0.6840: 0.4416	0.7024: 0.3652	0.6983: 0.3468	0.7028: 0.2954	0.6922: 0.2654	0.6908: 0.2476	0.6886: 0.2328	0.6815: 0.2192
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9328: 4.9920	-0.6983: 2.1177	-0.4227: 0.4813	-0.3877: 0.3850	-0.3713: 0.3407	-0.3639: 0.3038	-0.3488: 0.2755	-0.3510: 0.2584	-0.3517: 0.2291	-0.3481: 0.2118
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.8894: 0.5413	2.1756: 0.4519	2.2305: 0.3809	2.2383: 0.2973	2.2383: 0.2916	2.2471: 0.2695	2.2500: 0.2577	2.2544: 0.2454	2.2609: 0.2308	2.2471: 0.2228
Zon klass 2	1.2083: 0.4439	1.3095: 0.3910	1.3042: 0.3214	1.3226: 0.2648	1.3262: 0.2441	1.3347: 0.2260	1.3378: 0.2049	1.3406: 0.2045	1.3418: 0.1924	1.3501: 0.1887
Zon klass 3	0.7478: 0.3277	0.8213: 0.2694	0.8153: 0.2262	0.8188: 0.2208	0.8158: 0.1934	0.8143: 0.1811	0.8154: 0.1661	0.8170: 0.1558	0.8186: 0.1466	0.8226: 0.1388
Zon klass 4	0.4989: 0.2332	0.5210: 0.1752	0.5196: 0.1470	0.5174: 0.1285	0.5220: 0.1154	0.5232: 0.1021	0.5262: 0.0950	0.5228: 0.0900	0.5234: 0.0828	0.5228: 0.0795
Zon klass 5	1.0000: -	0.5241: 0.3941	0.4911: 0.3871	0.4902: 0.3220	0.4888: 0.2810	0.4737: 0.2671	0.4669: 0.2493	0.4613: 0.2336	0.4606: 0.2192	0.4560: 0.2124
Zon klass 6	0.6635: 0.4688	0.6488: 0.4048	0.6400: 0.3377	0.6136: 0.2951	0.6113: 0.2670	0.6102: 0.2446	0.6056: 0.2275	0.6069: 0.2220	0.5996: 0.2100	0.6065: 0.1968
MC klass 1	-0.0254: 3.1475	0.2775: 0.5317	0.3028: 0.4106	0.3285: 0.3581	0.3381: 0.3100	0.3317: 0.2778	0.3304: 0.2516	0.3365: 0.2361	0.3353: 0.2271	0.3292: 0.2009
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7930: 1.3925	0.6385: 0.3947	0.6558: 0.2821	0.6550: 0.2574	0.6576: 0.2212	0.6634: 0.2019	0.6641: 0.1976	0.6701: 0.1787	0.6699: 0.1702	0.6703: 0.1620
Fordonsålder klass 1	1.0597: 1.8311	1.1744: 0.4533	1.2101: 0.3274	1.1791: 0.2900	1.1801: 0.2524	1.1777: 0.2412	1.1868: 0.2248	1.1805: 0.2270	1.1826: 0.2202	1.1798: 0.2043
Fordonsålder klass 2	0.5486: 0.6862	0.5765: 0.4223	0.5616: 0.3487	0.5552: 0.3047	0.5568: 0.2763	0.5550: 0.2458	0.5669: 0.2305	0.5587: 0.2166	0.5639: 0.2088	0.5686: 0.1986
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2718: 0.5527	-0.2635: 0.3395	-0.2760: 0.2652	-0.2792: 0.2216	-0.2749: 0.1939	-0.2865: 0.1835	-0.2916: 0.1694	-0.2920: 0.1526	-0.2909: 0.1445	-0.2883: 0.1390
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.3. Första fallet. Modellen Kred. 10,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.7233: 1.4972	-5.6023: 0.4854	-5.5466: 0.3668	-5.5239: 0.3280	-5.5088: 0.2833	-5.4953: 0.2687	-5.4937: 0.2447	-5.4874: 0.2218	-5.4842: 0.2111	-5.4758: 0.1948
Ägarålder klass 1	2.1153: 0.7180	2.0849: 0.4837	2.0689: 0.3643	2.0720: 0.2917	2.0477: 0.2703	2.0479: 0.2586	2.0477: 0.2462	2.0450: 0.2294	2.0368: 0.2161	2.0295: 0.2023
Ägarålder klass 2	1.5222: 0.7145	1.5063: 0.4750	1.5066: 0.3639	1.5042: 0.2935	1.4979: 0.2607	1.4906: 0.2434	1.4972: 0.2307	1.4978: 0.2122	1.4909: 0.2024	1.4815: 0.1882
Ägarålder klass 3	-0.0038: 3.4694	0.5905: 1.3405	0.6799: 0.4422	0.6992: 0.3656	0.6958: 0.3472	0.7006: 0.2957	0.6904: 0.2656	0.6892: 0.2478	0.6871: 0.2329	0.6802: 0.2193
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9256: 4.9740	-0.7017: 2.1511	-0.4217: 0.4813	-0.3870: 0.3850	-0.3708: 0.3407	-0.3634: 0.3038	-0.3484: 0.2755	-0.3506: 0.2585	-0.3514: 0.2291	-0.3479: 0.2119
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.9831: 0.5912	2.2963: 0.5025	2.3066: 0.4086	2.2935: 0.3122	2.2827: 0.3022	2.2841: 0.2753	2.2814: 0.2613	2.2826: 0.2480	2.2882: 0.2319	2.2721: 0.2243
Zon klass 2	1.2282: 0.4809	1.3538: 0.4199	1.3289: 0.3333	1.3404: 0.2708	1.3407: 0.2481	1.3470: 0.2287	1.3482: 0.2063	1.3499: 0.2047	1.3515: 0.1919	1.3591: 0.1880
Zon klass 3	0.7365: 0.3511	0.8354: 0.2887	0.8219: 0.2365	0.8227: 0.2268	0.8187: 0.1968	0.8166: 0.1832	0.8172: 0.1670	0.8188: 0.1561	0.8209: 0.1463	0.8249: 0.1383
Zon klass 4	0.4837: 0.2438	0.5247: 0.1850	0.5204: 0.1521	0.5172: 0.1308	0.5218: 0.1162	0.5229: 0.1020	0.5258: 0.0944	0.5226: 0.0891	0.5237: 0.0820	0.5231: 0.0779
Zon klass 5	1.0000: -	0.3706: 0.5016	0.4067: 0.4517	0.4342: 0.3620	0.4462: 0.3088	0.4391: 0.2877	0.4379: 0.2660	0.4364: 0.2477	0.4392: 0.2318	0.4369: 0.2237
Zon klass 6	0.5819: 0.5529	0.6158: 0.4640	0.6150: 0.3717	0.5930: 0.3176	0.5949: 0.2844	0.5966: 0.2584	0.5936: 0.2396	0.5967: 0.2327	0.5910: 0.2199	0.5991: 0.2063
MC klass 1	-0.0177: 3.1318	0.2796: 0.5315	0.3042: 0.4106	0.3296: 0.3580	0.3389: 0.3099	0.3324: 0.2778	0.3310: 0.2516	0.3370: 0.2361	0.3358: 0.2271	0.3296: 0.2009
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8013: 1.3915	0.6442: 0.3944	0.6599: 0.2817	0.6582: 0.2571	0.6602: 0.2211	0.6656: 0.2018	0.6660: 0.1974	0.6717: 0.1786	0.6714: 0.1701	0.6717: 0.1618
Fordonsålder klass 1	1.0577: 1.8235	1.1721: 0.4535	1.2084: 0.3273	1.1777: 0.2900	1.1790: 0.2523	1.1767: 0.2411	1.1860: 0.2248	1.1797: 0.2269	1.1819: 0.2202	1.1792: 0.2042
Fordonsålder klass 2	0.5454: 0.6870	0.5744: 0.4229	0.5600: 0.3490	0.5540: 0.3046	0.5558: 0.2764	0.5542: 0.2458	0.5661: 0.2306	0.5581: 0.2166	0.5633: 0.2088	0.5681: 0.1986
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2705: 0.5535	-0.2621: 0.3394	-0.2750: 0.2649	-0.2783: 0.2216	-0.2743: 0.1939	-0.2859: 0.1835	-0.2911: 0.1693	-0.2916: 0.1526	-0.2905: 0.1445	-0.2879: 0.1390
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.4. Första fallet. Modellen Kred. 5,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.7549: 1.5023	-5.5986: 0.4703	-5.5508: 0.3568	-5.5347: 0.3151	-5.5228: 0.2746	-5.5093: 0.2567	-5.5068: 0.2358	-5.5011: 0.2143	-5.4962: 0.2054	-5.4880: 0.1896
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0848: 0.4839	2.0688: 0.3643	2.0719: 0.2917	2.0476: 0.2703	2.0479: 0.2586	2.0477: 0.2462	2.0450: 0.2294	2.0368: 0.2161	2.0294: 0.2023
Ägarålder klass 2	1.5185: 0.7164	1.5043: 0.4755	1.5052: 0.3643	1.5032: 0.2937	1.4971: 0.2608	1.4899: 0.2436	1.4966: 0.2308	1.4974: 0.2122	1.4905: 0.2024	1.4811: 0.1882
Ägarålder klass 3	-0.0051: 3.4599	0.5889: 1.3346	0.6785: 0.4425	0.6981: 0.3658	0.6949: 0.3473	0.6999: 0.2957	0.6898: 0.2657	0.6886: 0.2479	0.6867: 0.2330	0.6798: 0.2194
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9214: 4.9620	-0.6996: 2.1370	-0.4214: 0.4813	-0.3868: 0.3850	-0.3706: 0.3407	-0.3632: 0.3038	-0.3482: 0.2755	-0.3505: 0.2585	-0.3513: 0.2291	-0.3478: 0.2119
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.0841: 0.6430	2.3051: 0.4880	2.3279: 0.3958	2.3300: 0.3187	2.3244: 0.3142	2.3241: 0.2860	2.3178: 0.2667	2.3195: 0.2517	2.3205: 0.2338	2.3045: 0.2295
Zon klass 2	1.2722: 0.5067	1.3462: 0.3935	1.3318: 0.3148	1.3536: 0.2566	1.3583: 0.2365	1.3652: 0.2184	1.3656: 0.1992	1.3679: 0.1967	1.3674: 0.1860	1.3754: 0.1814
Zon klass 3	0.7524: 0.3630	0.8273: 0.2787	0.8192: 0.2206	0.8252: 0.2077	0.8257: 0.1834	0.8245: 0.1730	0.8252: 0.1600	0.8277: 0.1494	0.8289: 0.1410	0.8335: 0.1341
Zon klass 4	0.4881: 0.2399	0.5145: 0.1682	0.5154: 0.1336	0.5170: 0.1107	0.5246: 0.1007	0.5267: 0.0892	0.5298: 0.0835	0.5273: 0.0791	0.5280: 0.0740	0.5277: 0.0702
Zon klass 5	1.0000: -	0.3127: 0.5947	0.3971: 0.5184	0.4352: 0.4121	0.4488: 0.3483	0.4426: 0.3202	0.4411: 0.2925	0.4401: 0.2711	0.4417: 0.2515	0.4398: 0.2423
Zon klass 6	0.5732: 0.6266	0.6117: 0.5134	0.6187: 0.4096	0.6009: 0.3486	0.6044: 0.3144	0.6058: 0.2878	0.6020: 0.2658	0.6060: 0.2583	0.5984: 0.2409	0.6066: 0.2250
MC klass 1	-0.0135: 3.1177	0.2803: 0.5314	0.3047: 0.4105	0.3299: 0.3580	0.3392: 0.3099	0.3326: 0.2777	0.3311: 0.2516	0.3371: 0.2361	0.3359: 0.2271	0.3297: 0.2009
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8045: 1.3910	0.6463: 0.3943	0.6613: 0.2816	0.6593: 0.2570	0.6611: 0.2210	0.6663: 0.2017	0.6666: 0.1974	0.6723: 0.1785	0.6718: 0.1701	0.6721: 0.1618
Fordonsålder klass 1	1.0534: 1.8538	1.1713: 0.4535	1.2078: 0.3273	1.1773: 0.2900	1.1786: 0.2523	1.1764: 0.2411	1.1857: 0.2248	1.1795: 0.2269	1.1817: 0.2202	1.1790: 0.2042
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5736: 0.4232	0.5594: 0.3491	0.5536: 0.3046	0.5554: 0.2764	0.5539: 0.2458	0.5659: 0.2306	0.5579: 0.2166	0.5631: 0.2088	0.5679: 0.1986
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2615: 0.3393	-0.2746: 0.2648	-0.2780: 0.2216	-0.2740: 0.1939	-0.2857: 0.1835	-0.2910: 0.1693	-0.2914: 0.1526	-0.2903: 0.1445	-0.2878: 0.1390
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.5. Första fallet. Modellen Kred. 1,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.8251: 1.4913	-5.6046: 0.4758	-5.5569: 0.3526	-5.5371: 0.3117	-5.5233: 0.2743	-5.5093: 0.2567	-5.5069: 0.2358	-5.5011: 0.2143	-5.4962: 0.2054	-5.4880: 0.1896
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0848: 0.4839	2.0688: 0.3643	2.0719: 0.2917	2.0476: 0.2703	2.0479: 0.2586	2.0477: 0.2462	2.0450: 0.2294	2.0368: 0.2161	2.0294: 0.2023
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.5042: 0.4756	1.5052: 0.3643	1.5031: 0.2937	1.4971: 0.2608	1.4899: 0.2436	1.4966: 0.2308	1.4973: 0.2122	1.4904: 0.2024	1.4811: 0.1882
Ägarålder klass 3	-0.0085: 3.4770	0.5893: 1.3280	0.6784: 0.4425	0.6981: 0.3658	0.6949: 0.3473	0.6999: 0.2957	0.6897: 0.2657	0.6886: 0.2479	0.6866: 0.2330	0.6797: 0.2194
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9216: 4.9619	-0.6976: 2.1219	-0.4214: 0.4813	-0.3868: 0.3850	-0.3706: 0.3407	-0.3632: 0.3038	-0.3482: 0.2755	-0.3505: 0.2585	-0.3513: 0.2291	-0.3478: 0.2119
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.2500: 0.7572	2.3201: 0.4985	2.3428: 0.4004	2.3368: 0.3253	2.3264: 0.3181	2.3244: 0.2861	2.3181: 0.2668	2.3198: 0.2518	2.3208: 0.2339	2.3047: 0.2295
Zon klass 2	1.3550: 0.5242	1.3501: 0.3819	1.3392: 0.3134	1.3564: 0.2548	1.3590: 0.2362	1.3653: 0.2184	1.3656: 0.1992	1.3680: 0.1967	1.3675: 0.1861	1.3754: 0.1814
Zon klass 3	0.7991: 0.3747	0.8293: 0.2696	0.8233: 0.2188	0.8268: 0.2068	0.8260: 0.1831	0.8244: 0.1730	0.8252: 0.1600	0.8277: 0.1494	0.8289: 0.1410	0.8335: 0.1341
Zon klass 4	0.5106: 0.2271	0.5127: 0.1539	0.5167: 0.1275	0.5178: 0.1092	0.5247: 0.1003	0.5266: 0.0892	0.5298: 0.0835	0.5273: 0.0791	0.5280: 0.0740	0.5276: 0.0702
Zon klass 5	1.0000: -	0.3434: 0.6953	0.4108: 0.5573	0.4381: 0.4218	0.4489: 0.3504	0.4421: 0.3205	0.4407: 0.2927	0.4397: 0.2713	0.4414: 0.2516	0.4395: 0.2424
Zon klass 6	0.6684: 0.7960	0.6267: 0.5382	0.6247: 0.4149	0.6024: 0.3501	0.6045: 0.3146	0.6056: 0.2880	0.6018: 0.2659	0.6058: 0.2585	0.5983: 0.2410	0.6064: 0.2251
MC klass 1	-0.0156: 3.1299	0.2803: 0.5314	0.3047: 0.4105	0.3299: 0.3580	0.3392: 0.3099	0.3326: 0.2777	0.3312: 0.2516	0.3372: 0.2361	0.3359: 0.2271	0.3297: 0.2009
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8047: 1.3910	0.6464: 0.3942	0.6614: 0.2816	0.6593: 0.2570	0.6611: 0.2210	0.6664: 0.2017	0.6666: 0.1974	0.6723: 0.1785	0.6719: 0.1701	0.6721: 0.1618
Fordonsålder klass 1	1.0551: 1.8368	1.1712: 0.4536	1.2078: 0.3273	1.1773: 0.2900	1.1786: 0.2523	1.1764: 0.2411	1.1857: 0.2248	1.1795: 0.2269	1.1817: 0.2202	1.1790: 0.2042
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5736: 0.4232	0.5594: 0.3491	0.5536: 0.3046	0.5554: 0.2764	0.5539: 0.2458	0.5659: 0.2306	0.5579: 0.2166	0.5631: 0.2088	0.5679: 0.1986
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2615: 0.3393	-0.2746: 0.2648	-0.2780: 0.2216	-0.2740: 0.1939	-0.2857: 0.1835	-0.2909: 0.1693	-0.2914: 0.1526	-0.2903: 0.1445	-0.2878: 0.1390
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.6. Första fallet. Modellen Kred. 1,5. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.8251: 1.4913	-5.6046: 0.4758	-5.5569: 0.3526	-5.5371: 0.3117	-5.5233: 0.2743	-5.5093: 0.2567	-5.5069: 0.2358	-5.5011: 0.2143	-5.4962: 0.2054	-5.4880: 0.1896
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0848: 0.4839	2.0688: 0.3643	2.0719: 0.2917	2.0476: 0.2703	2.0479: 0.2586	2.0477: 0.2462	2.0450: 0.2294	2.0368: 0.2161	2.0294: 0.2023
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.5042: 0.4756	1.5052: 0.3643	1.5031: 0.2937	1.4971: 0.2608	1.4899: 0.2436	1.4966: 0.2308	1.4973: 0.2122	1.4904: 0.2024	1.4811: 0.1882
Ägarålder klass 3	-0.0056: 3.4629	0.5895: 1.3251	0.6784: 0.4425	0.6981: 0.3658	0.6949: 0.3473	0.6999: 0.2957	0.6897: 0.2657	0.6886: 0.2479	0.6866: 0.2330	0.6797: 0.2194
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9199: 4.9569	-0.6968: 2.1152	-0.4214: 0.4813	-0.3868: 0.3850	-0.3706: 0.3407	-0.3632: 0.3038	-0.3482: 0.2755	-0.3505: 0.2585	-0.3513: 0.2291	-0.3478: 0.2119
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.2501: 0.7572	2.3201: 0.4986	2.3428: 0.4004	2.3369: 0.3253	2.3264: 0.3181	2.3244: 0.2861	2.3181: 0.2668	2.3198: 0.2518	2.3208: 0.2339	2.3047: 0.2295
Zon klass 2	1.3550: 0.5242	1.3501: 0.3820	1.3392: 0.3134	1.3564: 0.2548	1.3590: 0.2362	1.3653: 0.2184	1.3656: 0.1992	1.3680: 0.1967	1.3675: 0.1861	1.3754: 0.1814
Zon klass 3	0.7991: 0.3747	0.8293: 0.2696	0.8232: 0.2188	0.8268: 0.2068	0.8260: 0.1831	0.8244: 0.1730	0.8252: 0.1600	0.8277: 0.1494	0.8289: 0.1410	0.8335: 0.1341
Zon klass 4	0.5106: 0.2271	0.5127: 0.1539	0.5167: 0.1275	0.5178: 0.1092	0.5247: 0.1003	0.5266: 0.0892	0.5298: 0.0835	0.5273: 0.0791	0.5280: 0.0740	0.5276: 0.0702
Zon klass 5	1.0000: -	0.3433: 0.6954	0.4108: 0.5573	0.4381: 0.4218	0.4489: 0.3504	0.4421: 0.3205	0.4407: 0.2927	0.4397: 0.2713	0.4414: 0.2516	0.4395: 0.2424
Zon klass 6	0.6684: 0.7961	0.6267: 0.5382	0.6247: 0.4150	0.6024: 0.3501	0.6045: 0.3147	0.6056: 0.2880	0.6018: 0.2659	0.6058: 0.2585	0.5983: 0.2410	0.6064: 0.2251
MC klass 1	-0.0121: 3.1108	0.2803: 0.5314	0.3047: 0.4105	0.3299: 0.3580	0.3392: 0.3099	0.3326: 0.2777	0.3312: 0.2516	0.3372: 0.2361	0.3359: 0.2271	0.3297: 0.2009
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8047: 1.3910	0.6464: 0.3942	0.6614: 0.2816	0.6593: 0.2570	0.6611: 0.2210	0.6664: 0.2017	0.6666: 0.1974	0.6723: 0.1785	0.6719: 0.1701	0.6721: 0.1618
Fordonsålder klass 1	1.0559: 1.8292	1.1712: 0.4536	1.2078: 0.3273	1.1773: 0.2900	1.1786: 0.2523	1.1764: 0.2411	1.1857: 0.2248	1.1795: 0.2269	1.1817: 0.2202	1.1790: 0.2042
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5736: 0.4232	0.5594: 0.3491	0.5536: 0.3046	0.5554: 0.2764	0.5539: 0.2458	0.5659: 0.2306	0.5579: 0.2166	0.5631: 0.2088	0.5679: 0.1986
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2615: 0.3393	-0.2746: 0.2648	-0.2780: 0.2216	-0.2740: 0.1939	-0.2857: 0.1835	-0.2909: 0.1693	-0.2914: 0.1526	-0.2903: 0.1445	-0.2878: 0.1390
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.7. Första fallet. Modellen Kred. 1,10. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.8462: 2.6308	-6.7143: 2.2964	-6.5089: 1.7673	-6.3419: 1.2797	-6.2592: 0.7880	-6.1928: 0.4245	-6.1723: 0.3119	-6.1696: 0.2786	-6.1763: 0.2610	-6.1845: 0.2388
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0464: 0.5162	2.0160: 0.3761	2.0107: 0.3073	2.0270: 0.2636	2.0279: 0.2436	2.0272: 0.2202	2.0325: 0.2072	2.0327: 0.1905	2.0287: 0.1848
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.4890: 0.4792	1.4743: 0.3640	1.4704: 0.3055	1.4908: 0.2637	1.4922: 0.2411	1.4942: 0.2281	1.4933: 0.2177	1.4915: 0.2020	1.4851: 0.1893
Ägarålder klass 3	-0.0164: 3.5146	0.0871: 2.8803	0.2985: 1.8090	0.5312: 0.7690	0.6497: 0.3409	0.6526: 0.2841	0.6532: 0.2632	0.6595: 0.2463	0.6675: 0.2378	0.6708: 0.2293
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9462: 5.0384	-1.7883: 4.4677	-1.4711: 3.5001	-0.9624: 2.1842	-0.5759: 1.0098	-0.4372: 0.4057	-0.4010: 0.3057	-0.3845: 0.2802	-0.3735: 0.2511	-0.3675: 0.2383
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.7729: 2.2181	1.7656: 2.0085	1.6789: 1.6672	1.5822: 1.2502	1.4906: 0.7702	1.4327: 0.3976	1.4185: 0.2692	1.4270: 0.2384	1.4388: 0.2258	1.4556: 0.2083
Zon klass 2	1.1603: 2.6161	1.1713: 2.2121	1.1421: 1.6980	1.0581: 1.2817	0.9785: 0.7799	0.9057: 0.4108	0.8920: 0.2759	0.9040: 0.2397	0.9134: 0.2243	0.9213: 0.2088
Zon klass 3	0.5990: 2.5794	0.6261: 2.3308	0.5707: 1.8628	0.5183: 1.3270	0.4473: 0.8173	0.3961: 0.4394	0.3929: 0.3031	0.3898: 0.2741	0.4051: 0.2604	0.4182: 0.2419
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-6.2805: 8.4802	-9.4550: 7.3123	-9.2282: 6.9707	-8.7404: 6.5251	-8.0054: 6.0563	-7.0667: 5.6741	-5.9592: 5.4144	-4.8763: 5.1192	-3.8939: 4.7341	-3.0432: 4.3406
Zon klass 6	-6.2805: 8.4802	-6.0906: 7.9691	-5.6145: 7.2305	-4.8452: 6.3255	-3.8084: 5.2245	-2.6003: 4.1159	-1.6008: 3.1399	-0.9257: 2.4325	-0.5237: 1.9621	-0.3049: 1.6856
MC klass 1	-0.0224: 3.1688	0.0251: 2.5409	0.1818: 1.4360	0.2940: 0.4916	0.3240: 0.3102	0.3365: 0.2681	0.3426: 0.2504	0.3490: 0.2218	0.3494: 0.2064	0.3534: 0.1900
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8048: 1.3925	0.7688: 1.1221	0.7558: 0.6764	0.7217: 0.2994	0.7286: 0.2374	0.7366: 0.2137	0.7309: 0.2048	0.7283: 0.1911	0.7303: 0.1829	0.7271: 0.1748
Fordonsålder klass 1	1.0537: 1.8508	1.0357: 1.6551	1.0687: 1.0580	1.1346: 0.3701	1.1586: 0.2666	1.1590: 0.2408	1.1750: 0.2266	1.1756: 0.2126	1.1784: 0.2003	1.1805: 0.1893
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5716: 0.4742	0.5702: 0.3758	0.5775: 0.3052	0.5893: 0.2616	0.5929: 0.2323	0.5960: 0.2200	0.5961: 0.2067	0.6024: 0.1941	0.6007: 0.1892
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2900: 0.3548	-0.2661: 0.2616	-0.2696: 0.2264	-0.2668: 0.1934	-0.2632: 0.1865	-0.2684: 0.1803	-0.2719: 0.1661	-0.2761: 0.1551	-0.2713: 0.1523
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.8. Första fallet. Modellen BGLM M1 3,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.8462: 2.6308	-6.5090: 1.0694	-6.3205: 0.4198	-6.2691: 0.3596	-6.2716: 0.3308	-6.2512: 0.3078	-6.2376: 0.2938	-6.2204: 0.2713	-6.2125: 0.2569	-6.2100: 0.2370
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0289: 0.4835	2.0226: 0.3548	2.0232: 0.2979	2.0373: 0.2618	2.0315: 0.2434	2.0298: 0.2191	2.0341: 0.2074	2.0332: 0.1897	2.0285: 0.1846
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.4773: 0.4441	1.4820: 0.3399	1.4808: 0.2966	1.4979: 0.2631	1.4936: 0.2411	1.4944: 0.2271	1.4932: 0.2189	1.4901: 0.2020	1.4839: 0.1892
Ägarålder klass 3	-0.0164: 3.5146	0.5133: 0.9146	0.6009: 0.4447	0.6295: 0.3674	0.6693: 0.3184	0.6573: 0.2818	0.6577: 0.2617	0.6625: 0.2461	0.6691: 0.2384	0.6717: 0.2295
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9462: 5.0384	-1.0334: 2.7160	-0.5860: 1.3007	-0.4274: 0.4636	-0.4075: 0.3786	-0.4077: 0.3332	-0.3943: 0.2989	-0.3813: 0.2800	-0.3707: 0.2506	-0.3653: 0.2388
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.7729: 2.2181	1.6302: 0.9861	1.4992: 0.3635	1.4847: 0.3061	1.4854: 0.2918	1.4864: 0.2645	1.4816: 0.2507	1.4765: 0.2335	1.4748: 0.2229	1.4810: 0.2102
Zon klass 2	1.1603: 2.6161	1.0803: 1.0743	0.9680: 0.4191	0.9610: 0.3443	0.9738: 0.3059	0.9581: 0.2788	0.9552: 0.2554	0.9544: 0.2356	0.9502: 0.2211	0.9471: 0.2088
Zon klass 3	0.5990: 2.5794	0.5449: 1.0986	0.4318: 0.4525	0.4297: 0.3903	0.4415: 0.3471	0.4490: 0.3086	0.4565: 0.2821	0.4397: 0.2678	0.4419: 0.2566	0.4442: 0.2416
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-6.2805: 8.4802	-9.5068: 7.2558	-7.0888: 6.4823	-4.8254: 6.2899	-3.7042: 5.9092	-2.8938: 5.2501	-2.1495: 4.4955	-1.7042: 4.0143	-1.4636: 3.6907	-1.2302: 3.3095
Zon klass 6	-6.2805: 8.4802	-4.0109: 6.3120	-2.1266: 4.7058	-0.8755: 2.7624	-0.4180: 2.0390	-0.1940: 1.6193	-0.1929: 1.6138	-0.1990: 1.6026	-0.1386: 1.2655	-0.0915: 1.1802
MC klass 1	-0.0224: 3.1688	0.2549: 0.6163	0.3090: 0.4024	0.3239: 0.3341	0.3317: 0.2995	0.3411: 0.2659	0.3468: 0.2502	0.3521: 0.2207	0.3518: 0.2053	0.3557: 0.1896
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8048: 1.3925	0.7018: 0.3856	0.7251: 0.2767	0.7175: 0.2592	0.7278: 0.2339	0.7341: 0.2129	0.7276: 0.2059	0.7261: 0.1913	0.7284: 0.1829	0.7255: 0.1751
Fordonsålder klass 1	1.0537: 1.8508	1.1193: 0.7936	1.1555: 0.3960	1.1495: 0.3232	1.1617: 0.2628	1.1594: 0.2406	1.1752: 0.2274	1.1752: 0.2132	1.1779: 0.2011	1.1809: 0.1891
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5705: 0.4674	0.5731: 0.3741	0.5831: 0.3011	0.5916: 0.2610	0.5937: 0.2316	0.5971: 0.2204	0.5973: 0.2067	0.6035: 0.1942	0.6012: 0.1890
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2919: 0.3464	-0.2661: 0.2575	-0.2733: 0.2269	-0.2712: 0.1931	-0.2664: 0.1874	-0.2713: 0.1808	-0.2741: 0.1662	-0.2776: 0.1551	-0.2720: 0.1524
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.9. Första fallet. Modellen BGLM M1 6,3. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.8462: 2.6308	-6.4496: 0.5995	-6.3532: 0.4146	-6.2912: 0.3578	-6.2789: 0.3304	-6.2554: 0.3074	-6.2399: 0.2927	-6.2218: 0.2707	-6.2135: 0.2571	-6.2101: 0.2372
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0323: 0.4763	2.0238: 0.3539	2.0240: 0.2983	2.0383: 0.2619	2.0311: 0.2436	2.0295: 0.2195	2.0340: 0.2069	2.0332: 0.1902	2.0285: 0.1843
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.4810: 0.4350	1.4806: 0.3394	1.4805: 0.2953	1.4984: 0.2630	1.4929: 0.2405	1.4943: 0.2270	1.4925: 0.2188	1.4901: 0.2017	1.4835: 0.1895
Ägarålder klass 3	-0.0164: 3.5146	0.5850: 0.6079	0.6056: 0.4393	0.6305: 0.3664	0.6702: 0.3182	0.6574: 0.2813	0.6568: 0.2615	0.6631: 0.2464	0.6688: 0.2376	0.6722: 0.2293
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9462: 5.0384	-0.8232: 2.4261	-0.5498: 1.2674	-0.4213: 0.4536	-0.4070: 0.3783	-0.4071: 0.3320	-0.3942: 0.2990	-0.3798: 0.2795	-0.3711: 0.2511	-0.3650: 0.2386
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.7729: 2.2181	1.5610: 0.4249	1.5270: 0.3605	1.5053: 0.3082	1.4921: 0.2913	1.4902: 0.2648	1.4838: 0.2495	1.4773: 0.2345	1.4751: 0.2226	1.4822: 0.2100
Zon klass 2	1.1603: 2.6161	1.0137: 0.5275	0.9968: 0.4095	0.9822: 0.3427	0.9802: 0.3043	0.9619: 0.2788	0.9573: 0.2544	0.9551: 0.2355	0.9506: 0.2215	0.9476: 0.2089
Zon klass 3	0.5990: 2.5794	0.4858: 0.5344	0.4585: 0.4398	0.4511: 0.3893	0.4495: 0.3467	0.4528: 0.3097	0.4596: 0.2818	0.4406: 0.2675	0.4427: 0.2565	0.4452: 0.2417
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-6.2805: 8.4802	-9.9464: 7.4882	-6.2737: 7.7456	-4.7113: 7.3057	-3.9252: 6.9226	-3.0634: 6.2671	-2.3154: 5.4817	-1.9179: 5.0100	-1.6813: 4.6566	-1.4137: 4.2295
Zon klass 6	-6.2805: 8.4802	-3.0553: 6.4264	-1.6677: 4.9285	-0.5867: 2.6977	-0.3648: 2.1685	-0.2061: 1.8538	-0.2233: 1.8925	-0.2339: 1.9048	-0.1354: 1.4491	-0.1112: 1.4814
MC klass 1	-0.0224: 3.1688	0.2755: 0.5263	0.3121: 0.4022	0.3265: 0.3347	0.3332: 0.3007	0.3412: 0.2664	0.3479: 0.2502	0.3530: 0.2205	0.3522: 0.2057	0.3555: 0.1900
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8048: 1.3925	0.6984: 0.3715	0.7252: 0.2762	0.7175: 0.2591	0.7267: 0.2340	0.7339: 0.2126	0.7276: 0.2060	0.7261: 0.1914	0.7287: 0.1829	0.7257: 0.1746
Fordonsålder klass 1	1.0537: 1.8508	1.1531: 0.5417	1.1570: 0.3938	1.1501: 0.3235	1.1614: 0.2630	1.1595: 0.2408	1.1763: 0.2267	1.1759: 0.2126	1.1790: 0.2010	1.1809: 0.1892
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5729: 0.4677	0.5739: 0.3746	0.5832: 0.3021	0.5925: 0.2606	0.5941: 0.2321	0.5970: 0.2203	0.5976: 0.2064	0.6037: 0.1941	0.6014: 0.1890
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2944: 0.3465	-0.2681: 0.2578	-0.2750: 0.2276	-0.2717: 0.1930	-0.2662: 0.1873	-0.2714: 0.1810	-0.2739: 0.1660	-0.2776: 0.1552	-0.2717: 0.1522
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.10. Första fallet. Modellen BGLM M1 12,9. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.8462: 2.6308	-6.4390: 0.5823	-6.3569: 0.4129	-6.2949: 0.3559	-6.2841: 0.3301	-6.2585: 0.3063	-6.2428: 0.2925	-6.2244: 0.2709	-6.2156: 0.2577	-6.2133: 0.2372
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0323: 0.4689	2.0246: 0.3534	2.0240: 0.2978	2.0388: 0.2619	2.0320: 0.2430	2.0297: 0.2195	2.0348: 0.2074	2.0336: 0.1897	2.0288: 0.1852
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.4811: 0.4287	1.4810: 0.3378	1.4803: 0.2958	1.4989: 0.2627	1.4932: 0.2410	1.4944: 0.2272	1.4929: 0.2186	1.4904: 0.2019	1.4833: 0.1894
Ägarålder klass 3	-0.0164: 3.5146	0.6044: 0.5733	0.6102: 0.4330	0.6315: 0.3649	0.6716: 0.3175	0.6585: 0.2814	0.6569: 0.2620	0.6629: 0.2456	0.6695: 0.2382	0.6714: 0.2292
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9462: 5.0384	-0.7699: 2.4130	-0.5367: 1.3309	-0.4158: 0.4448	-0.4041: 0.3722	-0.4058: 0.3303	-0.3952: 0.2988	-0.3813: 0.2788	-0.3719: 0.2508	-0.3659: 0.2381
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.7729: 2.2181	1.5601: 0.4118	1.5354: 0.3600	1.5121: 0.3068	1.4985: 0.2911	1.4945: 0.2646	1.4874: 0.2504	1.4811: 0.2347	1.4780: 0.2233	1.4856: 0.2112
Zon klass 2	1.1603: 2.6161	1.0156: 0.5112	1.0056: 0.4068	0.9889: 0.3416	0.9868: 0.3044	0.9658: 0.2781	0.9613: 0.2551	0.9584: 0.2362	0.9531: 0.2225	0.9511: 0.2091
Zon klass 3	0.5990: 2.5794	0.4931: 0.5068	0.4698: 0.4344	0.4576: 0.3878	0.4551: 0.3451	0.4565: 0.3083	0.4630: 0.2816	0.4444: 0.2677	0.4446: 0.2573	0.4484: 0.2417
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-6.2805: 8.4802	-9.4615: 7.3038	-5.7738: 7.5337	-4.2729: 6.9381	-3.5019: 6.4356	-2.6490: 5.6564	-1.9591: 4.8277	-1.6105: 4.3222	-1.4086: 3.9690	-1.1834: 3.5678
Zon klass 6	-6.2805: 8.4802	-2.8276: 6.3978	-1.4273: 4.6627	-0.4344: 2.4819	-0.2716: 2.0466	-0.1391: 1.6717	-0.1646: 1.6818	-0.1787: 1.6883	-0.0962: 1.2681	-0.0753: 1.2618
MC klass 1	-0.0224: 3.1688	0.2903: 0.5085	0.3168: 0.3977	0.3276: 0.3331	0.3340: 0.2995	0.3416: 0.2644	0.3472: 0.2505	0.3523: 0.2209	0.3523: 0.2054	0.3551: 0.1896
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8048: 1.3925	0.7001: 0.3683	0.7248: 0.2761	0.7170: 0.2593	0.7276: 0.2340	0.7339: 0.2125	0.7276: 0.2058	0.7257: 0.1922	0.7288: 0.1832	0.7252: 0.1751
Fordonsålder klass 1	1.0537: 1.8508	1.1702: 0.5090	1.1610: 0.3886	1.1514: 0.3217	1.1638: 0.2618	1.1593: 0.2409	1.1758: 0.2270	1.1754: 0.2134	1.1789: 0.2006	1.1806: 0.1887
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5832: 0.4592	0.5781: 0.3706	0.5845: 0.3011	0.5935: 0.2607	0.5941: 0.2320	0.5972: 0.2200	0.5969: 0.2065	0.6033: 0.1943	0.6013: 0.1888
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2941: 0.3454	-0.2687: 0.2586	-0.2756: 0.2278	-0.2721: 0.1930	-0.2670: 0.1879	-0.2715: 0.1808	-0.2746: 0.1667	-0.2780: 0.1554	-0.2722: 0.1531
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.11. Första fallet. Modellen BGLM M2 3,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.8462: 2.6308	-6.4534: 0.5940	-6.3605: 0.4162	-6.2946: 0.3571	-6.2824: 0.3302	-6.2565: 0.3064	-6.2401: 0.2933	-6.2220: 0.2713	-6.2140: 0.2577	-6.2110: 0.2366
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0338: 0.4760	2.0244: 0.3534	2.0239: 0.2983	2.0380: 0.2621	2.0315: 0.2434	2.0298: 0.2193	2.0346: 0.2070	2.0331: 0.1900	2.0287: 0.1848
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.4821: 0.4358	1.4813: 0.3392	1.4806: 0.2959	1.4984: 0.2633	1.4927: 0.2415	1.4942: 0.2276	1.4922: 0.2185	1.4901: 0.2017	1.4839: 0.1890
Ägarålder klass 3	-0.0164: 3.5146	0.5942: 0.5938	0.6061: 0.4390	0.6295: 0.3672	0.6706: 0.3185	0.6577: 0.2812	0.6572: 0.2625	0.6620: 0.2461	0.6687: 0.2382	0.6722: 0.2290
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9462: 5.0384	-0.7966: 2.3829	-0.5492: 1.3177	-0.4200: 0.4504	-0.4059: 0.3759	-0.4070: 0.3324	-0.3954: 0.2999	-0.3809: 0.2797	-0.3700: 0.2507	-0.3655: 0.2389
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.7729: 2.2181	1.5645: 0.4184	1.5365: 0.3637	1.5102: 0.3082	1.4946: 0.2909	1.4914: 0.2648	1.4843: 0.2502	1.4785: 0.2344	1.4763: 0.2234	1.4827: 0.2111
Zon klass 2	1.1603: 2.6161	1.0172: 0.5188	1.0056: 0.4108	0.9863: 0.3434	0.9826: 0.3049	0.9634: 0.2782	0.9574: 0.2545	0.9555: 0.2363	0.9514: 0.2216	0.9481: 0.2088
Zon klass 3	0.5990: 2.5794	0.4908: 0.5193	0.4676: 0.4390	0.4556: 0.3907	0.4509: 0.3468	0.4547: 0.3092	0.4595: 0.2817	0.4405: 0.2673	0.4430: 0.2573	0.4458: 0.2406
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-6.2805: 8.4802	-9.5124: 7.2383	-5.8607: 7.4624	-4.3574: 6.8782	-3.5852: 6.3993	-2.7327: 5.6319	-2.0380: 4.8127	-1.6757: 4.3116	-1.4665: 3.9642	-1.2343: 3.5642
Zon klass 6	-6.2805: 8.4802	-2.9105: 6.3535	-1.5064: 4.6361	-0.5068: 2.4900	-0.3278: 2.0539	-0.1764: 1.6813	-0.1953: 1.6854	-0.2052: 1.7027	-0.1167: 1.2747	-0.0917: 1.2695
MC klass 1	-0.0224: 3.1688	0.2799: 0.5211	0.3126: 0.4013	0.3266: 0.3337	0.3338: 0.3003	0.3411: 0.2657	0.3469: 0.2504	0.3529: 0.2207	0.3523: 0.2059	0.3550: 0.1897
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8048: 1.3925	0.6990: 0.3705	0.7247: 0.2761	0.7171: 0.2589	0.7277: 0.2343	0.7335: 0.2128	0.7272: 0.2063	0.7257: 0.1916	0.7280: 0.1829	0.7252: 0.1748
Fordonsålder klass 1	1.0537: 1.8508	1.1576: 0.5267	1.1577: 0.3917	1.1498: 0.3238	1.1623: 0.2624	1.1596: 0.2402	1.1753: 0.2273	1.1759: 0.2124	1.1784: 0.2009	1.1811: 0.1888
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5744: 0.4669	0.5747: 0.3736	0.5832: 0.3006	0.5921: 0.2610	0.5944: 0.2321	0.5972: 0.2203	0.5972: 0.2069	0.6032: 0.1938	0.6017: 0.1889
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2947: 0.3461	-0.2685: 0.2587	-0.2750: 0.2273	-0.2718: 0.1934	-0.2669: 0.1876	-0.2713: 0.1806	-0.2742: 0.1663	-0.2777: 0.1554	-0.2715: 0.1527
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.12. Första fallet. Modellen BGLM M2 6,3. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.8462: 2.6308	-6.4548: 0.5940	-6.3585: 0.4169	-6.2934: 0.3568	-6.2810: 0.3315	-6.2558: 0.3070	-6.2401: 0.2922	-6.2210: 0.2710	-6.2131: 0.2573	-6.2106: 0.2378
Ägarålder klass 1	2.1155: 0.7185	2.0356: 0.4766	2.0243: 0.3546	2.0231: 0.2984	2.0381: 0.2624	2.0320: 0.2441	2.0294: 0.2197	2.0346: 0.2069	2.0336: 0.1900	2.0287: 0.1847
Ägarålder klass 2	1.5184: 0.7164	1.4826: 0.4369	1.4803: 0.3400	1.4801: 0.2955	1.4982: 0.2627	1.4934: 0.2412	1.4949: 0.2282	1.4928: 0.2185	1.4904: 0.2016	1.4837: 0.1896
Ägarålder klass 3	-0.0164: 3.5146	0.5916: 0.5981	0.6055: 0.4396	0.6297: 0.3675	0.6704: 0.3178	0.6580: 0.2811	0.6578: 0.2626	0.6624: 0.2461	0.6694: 0.2381	0.6723: 0.2294
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-1.9462: 5.0384	-0.8075: 2.3996	-0.5511: 1.3009	-0.4215: 0.4553	-0.4057: 0.3769	-0.4071: 0.3325	-0.3937: 0.2988	-0.3809: 0.2794	-0.3698: 0.2508	-0.3652: 0.2393
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.7729: 2.2181	1.5653: 0.4182	1.5334: 0.3639	1.5079: 0.3077	1.4934: 0.2909	1.4901: 0.2639	1.4835: 0.2506	1.4776: 0.2345	1.4742: 0.2226	1.4818: 0.2110
Zon klass 2	1.1603: 2.6161	1.0175: 0.5201	1.0037: 0.4115	0.9836: 0.3433	0.9811: 0.3049	0.9618: 0.2778	0.9571: 0.2545	0.9552: 0.2364	0.9498: 0.2213	0.9478: 0.2087
Zon klass 3	0.5990: 2.5794	0.4896: 0.5215	0.4660: 0.4429	0.4533: 0.3903	0.4497: 0.3459	0.4531: 0.3090	0.4594: 0.2810	0.4406: 0.2677	0.4417: 0.2567	0.4454: 0.2419
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-6.2805: 8.4802	-9.9388: 7.4866	-6.1358: 7.7309	-4.5932: 7.1788	-3.7652: 6.6625	-2.8684: 5.8683	-2.1443: 5.0471	-1.7567: 4.5069	-1.5378: 4.1588	-1.2804: 3.7048
Zon klass 6	-6.2805: 8.4802	-3.0387: 6.5310	-1.5945: 4.7987	-0.5539: 2.6118	-0.3535: 2.1220	-0.1923: 1.7498	-0.2082: 1.7287	-0.2217: 1.7970	-0.1260: 1.3339	-0.0964: 1.2909
MC klass 1	-0.0224: 3.1688	0.2780: 0.5229	0.3123: 0.4027	0.3256: 0.3349	0.3340: 0.3002	0.3415: 0.2657	0.3475: 0.2498	0.3519: 0.2201	0.3524: 0.2057	0.3553: 0.1899
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.8048: 1.3925	0.6992: 0.3683	0.7243: 0.2761	0.7176: 0.2590	0.7272: 0.2342	0.7338: 0.2133	0.7274: 0.2058	0.7253: 0.1920	0.7281: 0.1830	0.7254: 0.1751
Fordonsålder klass 1	1.0537: 1.8508	1.1550: 0.5327	1.1567: 0.3924	1.1501: 0.3235	1.1625: 0.2622	1.1594: 0.2409	1.1761: 0.2264	1.1762: 0.2128	1.1793: 0.2007	1.1809: 0.1889
Fordonsålder klass 2	0.5441: 0.6872	0.5731: 0.4674	0.5745: 0.3738	0.5818: 0.3020	0.5928: 0.2609	0.5938: 0.2323	0.5977: 0.2203	0.5974: 0.2066	0.6038: 0.1941	0.6016: 0.1891
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2698: 0.5537	-0.2953: 0.3472	-0.2688: 0.2581	-0.2746: 0.2272	-0.2717: 0.1927	-0.2665: 0.1873	-0.2711: 0.1810	-0.2738: 0.1662	-0.2774: 0.1554	-0.2719: 0.1525
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.13. Första fallet. Modellen BGLM M2 12,9. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.5799: 1.5059	-6.2982: 0.5720	-6.2093: 0.4356	-6.1648: 0.3629	-6.1500: 0.3207	-6.1484: 0.3011	-6.1367: 0.2766	-6.1247: 0.2631	-6.1279: 0.2495	-6.1289: 0.2389
Ägarålder klass 1	2.1801: 1.4995	2.0931: 0.4535	2.0411: 0.3493	2.0410: 0.3234	2.0388: 0.2955	2.0372: 0.2688	2.0276: 0.2436	2.0218: 0.2239	2.0292: 0.2159	2.0299: 0.2008
Ägarålder klass 2	1.4374: 2.3108	1.5130: 0.4350	1.4882: 0.3417	1.4764: 0.3053	1.4877: 0.2796	1.4924: 0.2577	1.4796: 0.2330	1.4698: 0.2153	1.4741: 0.2076	1.4773: 0.1973
Ägarålder klass 3	-0.5986: 5.2345	0.6921: 0.6194	0.6813: 0.4874	0.6858: 0.3785	0.6703: 0.3299	0.6714: 0.3014	0.6695: 0.2620	0.6652: 0.2465	0.6751: 0.2377	0.6787: 0.2204
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0519: 5.3414	-0.5357: 1.7503	-0.3732: 0.4748	-0.3618: 0.3843	-0.3377: 0.3178	-0.3407: 0.2801	-0.3450: 0.2572	-0.3422: 0.2397	-0.3471: 0.2322	-0.3478: 0.2227
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.5174: 0.7130	1.4999: 0.4648	1.4802: 0.3843	1.4751: 0.2993	1.4675: 0.2728	1.4727: 0.2514	1.4712: 0.2320	1.4632: 0.2141	1.4700: 0.2032	1.4732: 0.1965
Zon klass 2	1.5174: 0.7130	0.8986: 0.7171	0.9283: 0.4738	0.9414: 0.3578	0.9371: 0.3166	0.9458: 0.3009	0.9462: 0.2751	0.9561: 0.2522	0.9575: 0.2350	0.9540: 0.2246
Zon klass 3	0.2219: 2.3032	0.3837: 1.3867	0.4495: 0.4470	0.4339: 0.3844	0.4343: 0.3267	0.4414: 0.2972	0.4424: 0.2792	0.4520: 0.2542	0.4576: 0.2406	0.4563: 0.2287
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-10.1219: 7.8945	-6.1178: 7.8102	-3.7886: 6.7540	-2.9881: 6.0816	-2.1587: 5.2458	-1.6724: 4.5998	-1.1016: 3.5895	-0.8928: 3.0967	-0.6239: 2.2510	-0.5309: 1.9722
Zon klass 6	-7.3088: 8.4401	-3.9882: 7.1122	-1.9570: 5.3546	-1.0122: 3.9217	-0.7162: 3.3326	-0.4693: 2.7721	-0.1715: 1.6594	-0.1277: 1.6558	-0.0522: 1.2235	0.0382: 0.4461
MC klass 1	-0.2894: 3.3361	0.3256: 0.5319	0.3563: 0.3670	0.3419: 0.3091	0.3325: 0.2740	0.3372: 0.2644	0.3351: 0.2507	0.3240: 0.2197	0.3194: 0.2052	0.3258: 0.1938
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.6898: 0.3528	0.6754: 0.2734	0.6772: 0.2419	0.6748: 0.2306	0.6830: 0.2042	0.6826: 0.1884	0.6784: 0.1784	0.6676: 0.1651	0.6715: 0.1561
Fordonsålder klass 1	0.7736: 2.6028	1.0814: 0.4942	1.1162: 0.3556	1.1358: 0.3106	1.1571: 0.2786	1.1576: 0.2744	1.1661: 0.2426	1.1663: 0.2175	1.1657: 0.1994	1.1765: 0.1882
Fordonsålder klass 2	0.3975: 1.9036	0.5475: 0.4166	0.5551: 0.3164	0.5574: 0.2722	0.5727: 0.2522	0.5612: 0.2359	0.5661: 0.2211	0.5711: 0.2075	0.5710: 0.1874	0.5683: 0.1813
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2804: 0.3484	-0.2758: 0.3035	-0.2928: 0.2474	-0.2961: 0.2135	-0.2944: 0.1891	-0.2941: 0.1767	-0.2918: 0.1591	-0.2882: 0.1522	-0.2902: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.14. Andra fallet. Modellen GLM. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.9070: 1.4268	-5.5923: 0.4947	-5.5289: 0.3535	-5.4988: 0.3122	-5.4945: 0.2718	-5.4889: 0.2482	-5.4799: 0.2332	-5.4677: 0.2112	-5.4706: 0.2003	-5.4713: 0.1928
Ägarålder klass 1	2.1757: 1.4389	2.0933: 0.4530	2.0410: 0.3495	2.0410: 0.3236	2.0389: 0.2957	2.0373: 0.2689	2.0276: 0.2437	2.0220: 0.2239	2.0293: 0.2160	2.0300: 0.2009
Ägarålder klass 2	1.4475: 2.2595	1.5203: 0.4333	1.4934: 0.3409	1.4804: 0.3049	1.4909: 0.2792	1.4951: 0.2575	1.4819: 0.2328	1.4718: 0.2151	1.4759: 0.2075	1.4790: 0.1972
Ägarålder klass 3	-0.5487: 5.0890	0.7008: 0.6178	0.6870: 0.4865	0.6901: 0.3780	0.6737: 0.3295	0.6743: 0.3011	0.6720: 0.2618	0.6674: 0.2462	0.6771: 0.2375	0.6805: 0.2203
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0321: 5.2781	-0.5355: 1.7324	-0.3742: 0.4749	-0.3627: 0.3843	-0.3384: 0.3177	-0.3413: 0.2801	-0.3454: 0.2572	-0.3426: 0.2396	-0.3474: 0.2322	-0.3481: 0.2227
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.2977: 0.6068	2.1938: 0.4831	2.2055: 0.3810	2.2292: 0.3375	2.2374: 0.2946	2.2427: 0.2730	2.2467: 0.2547	2.2292: 0.2321	2.2448: 0.2210	2.2523: 0.2114
Zon klass 2	1.0000: -	1.3138: 0.4929	1.3233: 0.3630	1.3414: 0.2979	1.3439: 0.2646	1.3494: 0.2520	1.3506: 0.2332	1.3620: 0.2209	1.3612: 0.2030	1.3552: 0.1944
Zon klass 3	0.9253: 0.3858	0.8486: 0.2797	0.8338: 0.2141	0.8245: 0.1967	0.8249: 0.1743	0.8238: 0.1615	0.8256: 0.1574	0.8310: 0.1485	0.8327: 0.1355	0.8305: 0.1305
Zon klass 4	0.6140: 0.3079	0.5448: 0.2033	0.5410: 0.1708	0.5366: 0.1320	0.5376: 0.1178	0.5327: 0.1064	0.5317: 0.0988	0.5297: 0.0907	0.5284: 0.0865	0.5273: 0.0827
Zon klass 5	0.5529: 0.4674	0.5345: 0.3741	0.5145: 0.3028	0.4893: 0.2779	0.4798: 0.2475	0.4718: 0.2343	0.4697: 0.2212	0.4626: 0.2099	0.4497: 0.1943	0.4502: 0.1899
Zon klass 6	0.6119: 0.4787	0.5667: 0.3489	0.5850: 0.3159	0.5828: 0.2848	0.5809: 0.2611	0.5856: 0.2516	0.5830: 0.2335	0.5927: 0.2157	0.5912: 0.2069	0.5933: 0.1948
MC klass 1	-0.2869: 3.2929	0.3224: 0.5320	0.3543: 0.3673	0.3405: 0.3093	0.3315: 0.2740	0.3363: 0.2644	0.3344: 0.2507	0.3234: 0.2197	0.3188: 0.2052	0.3253: 0.1939
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7118: 0.5643	0.6811: 0.3534	0.6695: 0.2738	0.6727: 0.2421	0.6712: 0.2308	0.6801: 0.2044	0.6801: 0.1887	0.6762: 0.1786	0.6656: 0.1653	0.6697: 0.1563
Fordonsålder klass 1	0.7900: 2.5266	1.0849: 0.4933	1.1188: 0.3554	1.1378: 0.3105	1.1587: 0.2785	1.1590: 0.2744	1.1673: 0.2426	1.1674: 0.2175	1.1666: 0.1994	1.1773: 0.1882
Fordonsålder klass 2	0.4022: 1.8961	0.5502: 0.4164	0.5572: 0.3163	0.5590: 0.2721	0.5740: 0.2523	0.5623: 0.2358	0.5671: 0.2211	0.5720: 0.2075	0.5718: 0.1874	0.5690: 0.1812
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2684: 0.5707	-0.2823: 0.3485	-0.2771: 0.3034	-0.2939: 0.2474	-0.2970: 0.2135	-0.2952: 0.1891	-0.2948: 0.1767	-0.2924: 0.1591	-0.2887: 0.1522	-0.2907: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.15. Andra fallet. Modellen Kred. 10,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.9259: 1.4113	-5.6027: 0.4940	-5.5379: 0.3528	-5.5067: 0.3114	-5.5015: 0.2709	-5.4957: 0.2476	-5.4867: 0.2318	-5.4744: 0.2102	-5.4768: 0.1988	-5.4779: 0.1914
Ägarålder klass 1	2.1745: 1.4275	2.0932: 0.4533	2.0411: 0.3494	2.0410: 0.3235	2.0388: 0.2955	2.0372: 0.2689	2.0276: 0.2437	2.0219: 0.2239	2.0293: 0.2159	2.0299: 0.2008
Ägarålder klass 2	1.4381: 2.2423	1.5149: 0.4345	1.4895: 0.3415	1.4775: 0.3052	1.4885: 0.2795	1.4931: 0.2577	1.4802: 0.2330	1.4703: 0.2152	1.4746: 0.2076	1.4777: 0.1973
Ägarålder klass 3	-0.5519: 5.0600	0.6945: 0.6189	0.6828: 0.4871	0.6869: 0.3784	0.6712: 0.3298	0.6721: 0.3013	0.6701: 0.2619	0.6657: 0.2464	0.6756: 0.2377	0.6791: 0.2204
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0288: 5.2729	-0.5332: 1.7225	-0.3735: 0.4749	-0.3620: 0.3843	-0.3379: 0.3178	-0.3409: 0.2801	-0.3451: 0.2572	-0.3423: 0.2397	-0.3472: 0.2322	-0.3478: 0.2227
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.4518: 0.6691	2.2747: 0.5139	2.2669: 0.4010	2.2793: 0.3487	2.2795: 0.3013	2.2799: 0.2782	2.2814: 0.2596	2.2612: 0.2370	2.2741: 0.2250	2.2809: 0.2153
Zon klass 2	1.0000: -	1.3502: 0.5360	1.3479: 0.3827	1.3611: 0.3092	1.3602: 0.2722	1.3639: 0.2575	1.3641: 0.2368	1.3750: 0.2231	1.3728: 0.2034	1.3667: 0.1938
Zon klass 3	0.9420: 0.4229	0.8532: 0.2931	0.8371: 0.2211	0.8275: 0.2011	0.8279: 0.1774	0.8268: 0.1632	0.8290: 0.1585	0.8346: 0.1490	0.8360: 0.1351	0.8342: 0.1301
Zon klass 4	0.6140: 0.3273	0.5424: 0.2102	0.5398: 0.1741	0.5360: 0.1335	0.5374: 0.1184	0.5329: 0.1065	0.5323: 0.0982	0.5306: 0.0898	0.5292: 0.0852	0.5284: 0.0809
Zon klass 5	0.4454: 0.5644	0.4663: 0.4298	0.4639: 0.3363	0.4493: 0.3022	0.4469: 0.2661	0.4441: 0.2500	0.4461: 0.2344	0.4418: 0.2215	0.4307: 0.2048	0.4337: 0.1997
Zon klass 6	0.5474: 0.5537	0.5207: 0.3906	0.5547: 0.3432	0.5601: 0.3046	0.5627: 0.2773	0.5712: 0.2647	0.5710: 0.2446	0.5829: 0.2258	0.5827: 0.2163	0.5864: 0.2034
MC klass 1	-0.2821: 3.2901	0.3248: 0.5319	0.3558: 0.3671	0.3415: 0.3091	0.3323: 0.2740	0.3370: 0.2644	0.3349: 0.2507	0.3239: 0.2197	0.3193: 0.2052	0.3257: 0.1938
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7232: 0.5628	0.6874: 0.3530	0.6738: 0.2735	0.6761: 0.2420	0.6739: 0.2307	0.6823: 0.2042	0.6820: 0.1885	0.6779: 0.1784	0.6671: 0.1651	0.6710: 0.1562
Fordonsålder klass 1	0.7892: 2.5073	1.0823: 0.4939	1.1169: 0.3556	1.1363: 0.3106	1.1575: 0.2786	1.1580: 0.2744	1.1664: 0.2426	1.1666: 0.2175	1.1659: 0.1994	1.1767: 0.1882
Fordonsålder klass 2	0.4004: 1.8858	0.5482: 0.4166	0.5557: 0.3164	0.5578: 0.2722	0.5730: 0.2522	0.5615: 0.2359	0.5663: 0.2211	0.5713: 0.2075	0.5712: 0.1874	0.5685: 0.1812
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2662: 0.5717	-0.2810: 0.3484	-0.2762: 0.3035	-0.2931: 0.2474	-0.2964: 0.2135	-0.2946: 0.1891	-0.2943: 0.1767	-0.2919: 0.1591	-0.2883: 0.1522	-0.2904: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.16. Andra fallet. Modellen Kred. 5,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.9294: 1.4217	-5.6300: 0.4936	-5.5696: 0.3506	-5.5362: 0.3034	-5.5272: 0.2641	-5.5200: 0.2414	-5.5088: 0.2253	-5.4951: 0.2059	-5.4952: 0.1957	-5.4953: 0.1874
Ägarålder klass 1	2.1760: 1.4501	2.0931: 0.4535	2.0411: 0.3493	2.0410: 0.3234	2.0388: 0.2955	2.0372: 0.2688	2.0276: 0.2436	2.0218: 0.2239	2.0292: 0.2159	2.0299: 0.2008
Ägarålder klass 2	1.4346: 2.2707	1.5130: 0.4349	1.4882: 0.3417	1.4765: 0.3053	1.4877: 0.2796	1.4924: 0.2577	1.4796: 0.2330	1.4698: 0.2153	1.4741: 0.2076	1.4773: 0.1973
Ägarålder klass 3	-0.5721: 5.1250	0.6922: 0.6193	0.6814: 0.4874	0.6858: 0.3785	0.6703: 0.3299	0.6714: 0.3014	0.6695: 0.2620	0.6652: 0.2465	0.6751: 0.2377	0.6787: 0.2204
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0224: 5.2567	-0.5353: 1.7460	-0.3732: 0.4748	-0.3618: 0.3843	-0.3377: 0.3178	-0.3407: 0.2801	-0.3450: 0.2572	-0.3422: 0.2397	-0.3471: 0.2322	-0.3478: 0.2227
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.4921: 0.6747	2.3516: 0.5020	2.3528: 0.4081	2.3570: 0.3533	2.3475: 0.3125	2.3428: 0.2821	2.3385: 0.2653	2.3142: 0.2459	2.3214: 0.2329	2.3260: 0.2257
Zon klass 2	1.0000: -	1.4078: 0.5927	1.3993: 0.4120	1.4052: 0.3220	1.3970: 0.2764	1.3982: 0.2586	1.3949: 0.2363	1.4038: 0.2213	1.3983: 0.1998	1.3905: 0.1884
Zon klass 3	0.9382: 0.4165	0.8705: 0.2885	0.8592: 0.2155	0.8486: 0.1981	0.8467: 0.1739	0.8446: 0.1583	0.8448: 0.1517	0.8498: 0.1431	0.8496: 0.1295	0.8471: 0.1238
Zon klass 4	0.5999: 0.2948	0.5474: 0.1910	0.5480: 0.1491	0.5460: 0.1157	0.5468: 0.1046	0.5422: 0.0952	0.5411: 0.0884	0.5390: 0.0806	0.5367: 0.0770	0.5358: 0.0736
Zon klass 5	0.4081: 0.6363	0.4599: 0.4781	0.4701: 0.3791	0.4569: 0.3395	0.4535: 0.2941	0.4511: 0.2736	0.4529: 0.2558	0.4479: 0.2405	0.4356: 0.2221	0.4391: 0.2174
Zon klass 6	0.5333: 0.6223	0.5245: 0.4299	0.5715: 0.3834	0.5773: 0.3432	0.5777: 0.3120	0.5865: 0.2980	0.5853: 0.2744	0.5960: 0.2515	0.5943: 0.2385	0.5971: 0.2225
MC klass 1	-0.2822: 3.2982	0.3255: 0.5319	0.3562: 0.3670	0.3419: 0.3091	0.3325: 0.2740	0.3372: 0.2644	0.3351: 0.2507	0.3240: 0.2197	0.3194: 0.2052	0.3258: 0.1938
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7278: 0.5620	0.6897: 0.3529	0.6754: 0.2734	0.6772: 0.2419	0.6747: 0.2306	0.6830: 0.2042	0.6826: 0.1885	0.6784: 0.1784	0.6676: 0.1651	0.6715: 0.1561
Fordonsålder klass 1	0.7813: 2.5522	1.0814: 0.4942	1.1162: 0.3556	1.1358: 0.3106	1.1571: 0.2786	1.1576: 0.2744	1.1662: 0.2426	1.1663: 0.2175	1.1657: 0.1994	1.1765: 0.1882
Fordonsålder klass 2	0.3969: 1.9098	0.5475: 0.4166	0.5551: 0.3164	0.5574: 0.2722	0.5727: 0.2522	0.5612: 0.2359	0.5661: 0.2211	0.5711: 0.2075	0.5710: 0.1874	0.5683: 0.1813
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2805: 0.3484	-0.2758: 0.3035	-0.2928: 0.2474	-0.2962: 0.2135	-0.2944: 0.1891	-0.2941: 0.1767	-0.2918: 0.1591	-0.2882: 0.1522	-0.2902: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.17. Andra fallet. Modellen Kred. 1,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.9342: 1.4388	-5.6532: 0.4837	-5.5775: 0.3439	-5.5389: 0.3002	-5.5280: 0.2630	-5.5204: 0.2411	-5.5088: 0.2253	-5.4951: 0.2059	-5.4952: 0.1957	-5.4953: 0.1874
Ägarålder klass 1	2.1778: 1.4719	2.0931: 0.4535	2.0411: 0.3493	2.0410: 0.3234	2.0388: 0.2955	2.0372: 0.2688	2.0276: 0.2436	2.0218: 0.2239	2.0292: 0.2159	2.0299: 0.2008
Ägarålder klass 2	1.4395: 2.2598	1.5130: 0.4350	1.4882: 0.3417	1.4765: 0.3053	1.4877: 0.2796	1.4924: 0.2577	1.4796: 0.2330	1.4698: 0.2153	1.4741: 0.2076	1.4773: 0.1973
Ägarålder klass 3	-0.5566: 5.0871	0.6921: 0.6194	0.6813: 0.4874	0.6858: 0.3785	0.6703: 0.3299	0.6714: 0.3014	0.6695: 0.2620	0.6652: 0.2465	0.6751: 0.2377	0.6787: 0.2204
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0183: 5.2456	-0.5325: 1.7195	-0.3732: 0.4748	-0.3618: 0.3843	-0.3377: 0.3178	-0.3407: 0.2801	-0.3450: 0.2572	-0.3422: 0.2397	-0.3471: 0.2322	-0.3478: 0.2227
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.5077: 0.6903	2.4041: 0.4951	2.3726: 0.4142	2.3636: 0.3525	2.3498: 0.3134	2.3442: 0.2838	2.3388: 0.2654	2.3145: 0.2460	2.3217: 0.2330	2.3262: 0.2257
Zon klass 2	1.0000: -	1.4530: 0.6377	1.4115: 0.4188	1.4095: 0.3250	1.3981: 0.2761	1.3987: 0.2581	1.3950: 0.2364	1.4039: 0.2213	1.3983: 0.1999	1.3905: 0.1884
Zon klass 3	0.9254: 0.3824	0.8877: 0.2862	0.8652: 0.2149	0.8507: 0.1978	0.8474: 0.1741	0.8449: 0.1582	0.8448: 0.1517	0.8498: 0.1431	0.8496: 0.1295	0.8471: 0.1238
Zon klass 4	0.5836: 0.2403	0.5539: 0.1756	0.5508: 0.1443	0.5471: 0.1146	0.5470: 0.1041	0.5424: 0.0949	0.5411: 0.0884	0.5390: 0.0806	0.5367: 0.0770	0.5358: 0.0736
Zon klass 5	0.4558: 0.7628	0.4810: 0.5105	0.4758: 0.3884	0.4586: 0.3437	0.4538: 0.2955	0.4510: 0.2743	0.4525: 0.2560	0.4475: 0.2407	0.4353: 0.2223	0.4388: 0.2175
Zon klass 6	0.5746: 0.6972	0.5492: 0.4658	0.5797: 0.3972	0.5798: 0.3493	0.5783: 0.3139	0.5868: 0.2995	0.5851: 0.2746	0.5958: 0.2517	0.5941: 0.2386	0.5970: 0.2226
MC klass 1	-0.2774: 3.2738	0.3256: 0.5319	0.3563: 0.3670	0.3419: 0.3091	0.3325: 0.2740	0.3372: 0.2644	0.3351: 0.2507	0.3240: 0.2197	0.3194: 0.2052	0.3258: 0.1938
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.6898: 0.3528	0.6754: 0.2734	0.6772: 0.2419	0.6748: 0.2306	0.6830: 0.2042	0.6826: 0.1884	0.6784: 0.1784	0.6676: 0.1651	0.6715: 0.1561
Fordonsålder klass 1	0.7758: 2.5895	1.0814: 0.4942	1.1162: 0.3556	1.1358: 0.3106	1.1571: 0.2786	1.1576: 0.2744	1.1661: 0.2426	1.1663: 0.2175	1.1657: 0.1994	1.1765: 0.1882
Fordonsålder klass 2	0.3997: 1.8818	0.5475: 0.4166	0.5551: 0.3164	0.5574: 0.2722	0.5727: 0.2522	0.5612: 0.2359	0.5661: 0.2211	0.5711: 0.2075	0.5710: 0.1874	0.5683: 0.1813
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2804: 0.3484	-0.2758: 0.3035	-0.2928: 0.2474	-0.2961: 0.2135	-0.2944: 0.1891	-0.2941: 0.1767	-0.2918: 0.1591	-0.2882: 0.1522	-0.2902: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.18. Andra fallet. Modellen Kred. 1,5. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-5.9335: 1.4257	-5.6532: 0.4837	-5.5775: 0.3439	-5.5389: 0.3002	-5.5280: 0.2630	-5.5204: 0.2411	-5.5088: 0.2253	-5.4951: 0.2059	-5.4952: 0.1957	-5.4953: 0.1874
Ägarålder klass 1	2.1767: 1.4589	2.0931: 0.4535	2.0411: 0.3493	2.0410: 0.3234	2.0388: 0.2955	2.0372: 0.2688	2.0276: 0.2436	2.0218: 0.2239	2.0292: 0.2159	2.0299: 0.2008
Ägarålder klass 2	1.4351: 2.2770	1.5130: 0.4350	1.4882: 0.3417	1.4764: 0.3053	1.4877: 0.2796	1.4924: 0.2577	1.4796: 0.2330	1.4698: 0.2153	1.4741: 0.2076	1.4773: 0.1973
Ägarålder klass 3	-0.5576: 5.0820	0.6921: 0.6194	0.6813: 0.4874	0.6858: 0.3785	0.6703: 0.3299	0.6714: 0.3014	0.6695: 0.2620	0.6652: 0.2465	0.6751: 0.2377	0.6787: 0.2204
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0177: 5.2434	-0.5362: 1.7550	-0.3732: 0.4748	-0.3618: 0.3843	-0.3377: 0.3178	-0.3407: 0.2801	-0.3450: 0.2572	-0.3422: 0.2397	-0.3471: 0.2322	-0.3478: 0.2227
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	2.5091: 0.6933	2.4041: 0.4952	2.3726: 0.4142	2.3636: 0.3525	2.3499: 0.3134	2.3442: 0.2838	2.3389: 0.2654	2.3145: 0.2460	2.3217: 0.2330	2.3263: 0.2257
Zon klass 2	1.0000: -	1.4530: 0.6378	1.4116: 0.4188	1.4095: 0.3250	1.3981: 0.2761	1.3987: 0.2581	1.3950: 0.2364	1.4039: 0.2213	1.3983: 0.1999	1.3905: 0.1884
Zon klass 3	0.9257: 0.3824	0.8877: 0.2862	0.8652: 0.2149	0.8507: 0.1978	0.8474: 0.1741	0.8449: 0.1582	0.8448: 0.1517	0.8498: 0.1431	0.8496: 0.1295	0.8471: 0.1238
Zon klass 4	0.5836: 0.2402	0.5539: 0.1756	0.5508: 0.1443	0.5471: 0.1146	0.5470: 0.1041	0.5424: 0.0949	0.5411: 0.0884	0.5390: 0.0806	0.5367: 0.0770	0.5358: 0.0736
Zon klass 5	0.4564: 0.7643	0.4810: 0.5105	0.4758: 0.3884	0.4586: 0.3437	0.4538: 0.2955	0.4510: 0.2744	0.4525: 0.2560	0.4475: 0.2407	0.4353: 0.2223	0.4388: 0.2175
Zon klass 6	0.5746: 0.6972	0.5492: 0.4658	0.5797: 0.3973	0.5798: 0.3493	0.5783: 0.3139	0.5868: 0.2995	0.5851: 0.2746	0.5958: 0.2517	0.5941: 0.2386	0.5970: 0.2226
MC klass 1	-0.2859: 3.3178	0.3256: 0.5319	0.3563: 0.3670	0.3419: 0.3091	0.3325: 0.2740	0.3372: 0.2644	0.3351: 0.2507	0.3240: 0.2197	0.3194: 0.2052	0.3258: 0.1938
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.6898: 0.3528	0.6754: 0.2734	0.6772: 0.2419	0.6748: 0.2306	0.6830: 0.2042	0.6826: 0.1884	0.6784: 0.1784	0.6676: 0.1651	0.6715: 0.1561
Fordonsålder klass 1	0.7799: 2.5617	1.0814: 0.4942	1.1162: 0.3556	1.1358: 0.3106	1.1571: 0.2786	1.1576: 0.2744	1.1661: 0.2426	1.1663: 0.2175	1.1657: 0.1994	1.1765: 0.1882
Fordonsålder klass 2	0.3960: 1.9184	0.5475: 0.4166	0.5551: 0.3164	0.5574: 0.2722	0.5727: 0.2522	0.5612: 0.2359	0.5661: 0.2211	0.5711: 0.2075	0.5710: 0.1874	0.5683: 0.1813
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2804: 0.3484	-0.2758: 0.3035	-0.2928: 0.2474	-0.2961: 0.2135	-0.2944: 0.1891	-0.2941: 0.1767	-0.2918: 0.1591	-0.2882: 0.1522	-0.2902: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.19. Andra fallet. Modellen Kred. 1,10. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.5799: 1.5059	-6.4593: 1.3489	-6.2555: 1.1244	-6.1930: 0.8492	-6.1587: 0.5095	-6.1242: 0.3011	-6.1211: 0.2677	-6.1347: 0.2536	-6.1440: 0.2376	-6.1530: 0.2232
Ägarålder klass 1	2.1801: 1.4995	2.1015: 1.3493	2.0514: 1.1313	2.0460: 0.8627	2.0174: 0.5212	1.9872: 0.2812	1.9831: 0.2356	1.9900: 0.2157	1.9924: 0.1960	1.9936: 0.1819
Ägarålder klass 2	1.4374: 2.3108	1.4916: 1.8649	1.5467: 1.1999	1.5445: 0.8699	1.5191: 0.5187	1.4825: 0.2675	1.4782: 0.2255	1.4810: 0.2124	1.4772: 0.1936	1.4801: 0.1777
Ägarålder klass 3	-0.5986: 5.2345	-0.4028: 4.4145	0.0553: 2.9083	0.5231: 1.4566	0.6692: 0.7000	0.6849: 0.3660	0.6832: 0.3173	0.6851: 0.2898	0.6836: 0.2577	0.6912: 0.2373
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0519: 5.3414	-1.8528: 4.4896	-1.3083: 3.0261	-0.6976: 1.4834	-0.4168: 0.4629	-0.3615: 0.2748	-0.3579: 0.2539	-0.3570: 0.2507	-0.3485: 0.2376	-0.3458: 0.2326
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.5174: 0.7130	1.4802: 0.4935	1.4272: 0.4104	1.4010: 0.3587	1.3976: 0.2894	1.4017: 0.2502	1.4089: 0.2260	1.4230: 0.2144	1.4421: 0.1991	1.4548: 0.1871
Zon klass 2	1.5174: 0.7130	0.5556: 2.2109	0.6587: 1.5005	0.7764: 0.6624	0.8335: 0.3603	0.8440: 0.3022	0.8666: 0.2579	0.8883: 0.2425	0.9028: 0.2305	0.9118: 0.2089
Zon klass 3	0.2219: 2.3032	0.2152: 1.7224	0.2778: 0.7905	0.3188: 0.4127	0.3299: 0.3348	0.3297: 0.2962	0.3442: 0.2702	0.3599: 0.2520	0.3806: 0.2323	0.4002: 0.2220
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-10.1219: 7.8945	-9.9482: 7.5564	-9.4910: 7.1134	-8.7761: 6.6860	-7.8576: 6.3409	-6.7292: 5.9655	-5.5297: 5.5564	-4.2706: 5.0124	-3.1547: 4.4684	-2.2984: 3.8735
Zon klass 6	-7.3088: 8.4401	-7.1470: 7.9920	-6.6856: 7.3897	-5.9395: 6.6964	-4.8535: 5.8916	-3.5474: 5.0154	-2.4149: 4.1735	-1.5350: 3.4082	-0.9608: 2.7044	-0.5948: 2.0448
MC klass 1	-0.2894: 3.3361	-0.2088: 2.8499	-0.0363: 2.0746	0.1620: 1.1113	0.2809: 0.3976	0.3041: 0.2951	0.3131: 0.2727	0.3218: 0.2650	0.3283: 0.2428	0.3362: 0.2176
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.7259: 0.3776	0.7137: 0.2980	0.7130: 0.2467	0.7140: 0.2028	0.7108: 0.1852	0.7077: 0.1776	0.7013: 0.1672	0.7069: 0.1633	0.7019: 0.1551
Fordonsålder klass 1	0.7736: 2.6028	0.8579: 2.0763	0.9962: 1.1776	1.1226: 0.3865	1.1539: 0.2654	1.1697: 0.2365	1.1799: 0.2074	1.1861: 0.1957	1.1816: 0.1885	1.1868: 0.1793
Fordonsålder klass 2	0.3975: 1.9036	0.4391: 1.3272	0.4946: 0.6929	0.5367: 0.3407	0.5421: 0.2806	0.5609: 0.2438	0.5666: 0.2284	0.5794: 0.2193	0.5806: 0.2122	0.5834: 0.2026
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2561: 0.3692	-0.2487: 0.2929	-0.2519: 0.2547	-0.2548: 0.2195	-0.2559: 0.1982	-0.2581: 0.1810	-0.2601: 0.1677	-0.2633: 0.1517	-0.2611: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.20. Andra fallet. Modellen BGLM M1 3,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.5799: 1.5059	-6.4283: 1.0228	-6.2712: 0.4701	-6.2484: 0.3956	-6.2238: 0.3160	-6.2052: 0.2867	-6.1958: 0.2767	-6.1953: 0.2619	-6.1878: 0.2428	-6.1819: 0.2256
Ägarålder klass 1	2.1801: 1.4995	2.0655: 1.0010	2.0046: 0.3948	2.0168: 0.3233	1.9987: 0.2879	1.9859: 0.2616	1.9863: 0.2340	1.9925: 0.2150	1.9934: 0.1946	1.9943: 0.1818
Ägarålder klass 2	1.4374: 2.3108	1.5735: 1.0450	1.5188: 0.3835	1.5110: 0.3090	1.4962: 0.2798	1.4782: 0.2459	1.4783: 0.2246	1.4802: 0.2117	1.4762: 0.1929	1.4797: 0.1778
Ägarålder klass 3	-0.5986: 5.2345	0.5056: 1.6507	0.6568: 0.5269	0.6814: 0.4250	0.6840: 0.3790	0.6882: 0.3357	0.6868: 0.3134	0.6880: 0.2884	0.6855: 0.2566	0.6931: 0.2376
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0519: 5.3414	-0.7858: 1.6203	-0.4287: 0.4957	-0.3654: 0.3474	-0.3542: 0.2911	-0.3519: 0.2675	-0.3557: 0.2547	-0.3552: 0.2525	-0.3456: 0.2381	-0.3433: 0.2327
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.5174: 0.7130	1.4556: 0.4629	1.4541: 0.3936	1.4642: 0.3425	1.4764: 0.2764	1.4842: 0.2483	1.4834: 0.2315	1.4841: 0.2220	1.4869: 0.2028	1.4834: 0.1890
Zon klass 2	1.5174: 0.7130	0.5043: 2.2129	0.8452: 0.4860	0.8869: 0.4149	0.9157: 0.3381	0.9275: 0.2942	0.9416: 0.2626	0.9500: 0.2514	0.9477: 0.2367	0.9409: 0.2134
Zon klass 3	0.2219: 2.3032	0.3513: 0.6034	0.3747: 0.4306	0.3927: 0.3811	0.4091: 0.3268	0.4129: 0.2932	0.4193: 0.2744	0.4221: 0.2584	0.4258: 0.2374	0.4298: 0.2264
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-10.1219: 7.8945	-8.1151: 7.2405	-5.6821: 6.8909	-4.2679: 6.4449	-3.3243: 5.8184	-2.1781: 4.6629	-1.6169: 3.9592	-0.9982: 2.8116	-0.7849: 2.4772	-0.6439: 2.0215
Zon klass 6	-7.3088: 8.4401	-5.2188: 6.7974	-3.2464: 5.7986	-2.0962: 4.8419	-1.1666: 3.4592	-0.6153: 2.6370	-0.4151: 2.1077	-0.2783: 1.7526	-0.1240: 0.7790	-0.0757: 0.4961
MC klass 1	-0.2894: 3.3361	0.0246: 2.1592	0.2025: 1.3129	0.2950: 0.3836	0.3074: 0.3200	0.3103: 0.2912	0.3165: 0.2725	0.3251: 0.2669	0.3312: 0.2417	0.3381: 0.2163
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.7324: 0.3776	0.7227: 0.2917	0.7180: 0.2392	0.7145: 0.2016	0.7065: 0.1859	0.7027: 0.1778	0.6979: 0.1677	0.7045: 0.1637	0.7000: 0.1556
Fordonsålder klass 1	0.7736: 2.6028	1.0971: 0.5743	1.1397: 0.3372	1.1499: 0.2937	1.1551: 0.2581	1.1692: 0.2357	1.1792: 0.2073	1.1866: 0.1953	1.1809: 0.1893	1.1869: 0.1788
Fordonsålder klass 2	0.3975: 1.9036	0.5427: 0.4703	0.5408: 0.3646	0.5480: 0.3087	0.5421: 0.2785	0.5621: 0.2437	0.5666: 0.2287	0.5800: 0.2193	0.5810: 0.2128	0.5835: 0.2021
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2545: 0.3630	-0.2506: 0.2924	-0.2570: 0.2547	-0.2593: 0.2191	-0.2591: 0.1980	-0.2615: 0.1809	-0.2625: 0.1673	-0.2653: 0.1511	-0.2615: 0.1439
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.21. Andra fallet. Modellen BGLM M1 6,3. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.5799: 1.5059	-6.4355: 0.5733	-6.3079: 0.4711	-6.2647: 0.3972	-6.2339: 0.3164	-6.2114: 0.2877	-6.1988: 0.2769	-6.1976: 0.2619	-6.1887: 0.2427	-6.1826: 0.2260
Ägarålder klass 1	2.1801: 1.4995	2.0260: 0.4882	2.0054: 0.3919	2.0174: 0.3221	1.9988: 0.2873	1.9852: 0.2616	1.9859: 0.2334	1.9916: 0.2142	1.9929: 0.1950	1.9946: 0.1821
Ägarålder klass 2	1.4374: 2.3108	1.5364: 0.4790	1.5186: 0.3750	1.5101: 0.3063	1.4966: 0.2792	1.4774: 0.2462	1.4780: 0.2236	1.4798: 0.2116	1.4757: 0.1925	1.4802: 0.1777
Ägarålder klass 3	-0.5986: 5.2345	0.6347: 0.7053	0.6635: 0.4988	0.6815: 0.4239	0.6846: 0.3797	0.6879: 0.3346	0.6875: 0.3130	0.6880: 0.2884	0.6859: 0.2559	0.6936: 0.2370
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0519: 5.3414	-0.5055: 0.6271	-0.4064: 0.4339	-0.3629: 0.3479	-0.3525: 0.2902	-0.3511: 0.2672	-0.3545: 0.2553	-0.3547: 0.2522	-0.3449: 0.2376	-0.3430: 0.2332
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.5174: 0.7130	1.4951: 0.4632	1.4904: 0.3955	1.4797: 0.3452	1.4860: 0.2783	1.4911: 0.2493	1.4859: 0.2317	1.4860: 0.2224	1.4874: 0.2028	1.4843: 0.1890
Zon klass 2	1.5174: 0.7130	0.5305: 2.2573	0.8865: 0.4757	0.9026: 0.4165	0.9254: 0.3402	0.9341: 0.2956	0.9437: 0.2624	0.9521: 0.2515	0.9480: 0.2367	0.9418: 0.2138
Zon klass 3	0.2219: 2.3032	0.3976: 0.5966	0.4119: 0.4313	0.4081: 0.3821	0.4181: 0.3283	0.4190: 0.2942	0.4222: 0.2744	0.4248: 0.2587	0.4271: 0.2376	0.4308: 0.2268
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-10.1219: 7.8945	-7.1661: 8.1259	-5.0881: 7.5991	-4.0983: 7.1105	-3.2920: 6.5029	-2.0877: 5.2649	-1.6073: 4.5371	-0.9482: 3.2246	-0.8397: 3.0236	-0.6570: 2.3977
Zon klass 6	-7.3088: 8.4401	-4.1681: 7.1547	-2.7151: 6.0767	-1.8541: 5.1288	-0.9013: 3.4934	-0.5645: 2.8764	-0.3913: 2.2862	-0.2769: 1.9735	-0.0852: 0.5387	-0.0717: 0.4893
MC klass 1	-0.2894: 3.3361	0.0353: 2.1901	0.2066: 1.3659	0.2991: 0.3743	0.3074: 0.3202	0.3107: 0.2902	0.3168: 0.2725	0.3245: 0.2663	0.3312: 0.2424	0.3380: 0.2158
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.7322: 0.3764	0.7216: 0.2914	0.7188: 0.2396	0.7140: 0.2011	0.7060: 0.1856	0.7033: 0.1779	0.6976: 0.1671	0.7048: 0.1638	0.6996: 0.1556
Fordonsålder klass 1	0.7736: 2.6028	1.1194: 0.4878	1.1394: 0.3361	1.1508: 0.2937	1.1551: 0.2581	1.1692: 0.2359	1.1793: 0.2073	1.1867: 0.1953	1.1814: 0.1887	1.1870: 0.1792
Fordonsålder klass 2	0.3975: 1.9036	0.5487: 0.4518	0.5400: 0.3654	0.5487: 0.3080	0.5429: 0.2783	0.5618: 0.2435	0.5664: 0.2283	0.5804: 0.2196	0.5812: 0.2129	0.5838: 0.2025
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2572: 0.3621	-0.2523: 0.2931	-0.2583: 0.2545	-0.2594: 0.2186	-0.2592: 0.1976	-0.2607: 0.1806	-0.2626: 0.1673	-0.2649: 0.1517	-0.2618: 0.1445
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.22. Andra fallet. Modellen BGLM M1 12,9. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.5799: 1.5059	-6.4374: 0.5630	-6.3109: 0.4665	-6.2687: 0.3954	-6.2386: 0.3163	-6.2156: 0.2881	-6.2020: 0.2765	-6.2006: 0.2620	-6.1910: 0.2428	-6.1848: 0.2265
Ägarålder klass 1	2.1801: 1.4995	2.0207: 0.4705	2.0036: 0.3896	2.0175: 0.3207	1.9997: 0.2873	1.9856: 0.2608	1.9865: 0.2329	1.9927: 0.2142	1.9939: 0.1945	1.9946: 0.1813
Ägarålder klass 2	1.4374: 2.3108	1.5327: 0.4553	1.5172: 0.3724	1.5104: 0.3054	1.4964: 0.2789	1.4770: 0.2453	1.4778: 0.2241	1.4807: 0.2114	1.4758: 0.1927	1.4799: 0.1778
Ägarålder klass 3	-0.5986: 5.2345	0.6608: 0.6370	0.6684: 0.4891	0.6831: 0.4202	0.6852: 0.3783	0.6880: 0.3348	0.6876: 0.3127	0.6884: 0.2880	0.6859: 0.2548	0.6932: 0.2375
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0519: 5.3414	-0.4446: 0.5451	-0.3921: 0.4173	-0.3575: 0.3433	-0.3500: 0.2888	-0.3508: 0.2660	-0.3551: 0.2536	-0.3563: 0.2520	-0.3461: 0.2376	-0.3442: 0.2330
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.5174: 0.7130	1.5066: 0.4599	1.4979: 0.3901	1.4848: 0.3440	1.4917: 0.2792	1.4957: 0.2507	1.4902: 0.2317	1.4899: 0.2222	1.4906: 0.2028	1.4869: 0.1898
Zon klass 2	1.5174: 0.7130	0.5761: 2.2103	0.8992: 0.4679	0.9095: 0.4129	0.9319: 0.3402	0.9385: 0.2957	0.9483: 0.2627	0.9560: 0.2519	0.9510: 0.2368	0.9441: 0.2139
Zon klass 3	0.2219: 2.3032	0.4199: 0.5758	0.4210: 0.4240	0.4148: 0.3793	0.4246: 0.3289	0.4241: 0.2935	0.4259: 0.2745	0.4279: 0.2596	0.4295: 0.2376	0.4329: 0.2281
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-10.1219: 7.8945	-6.6016: 7.8162	-4.5540: 7.0990	-3.6044: 6.4938	-2.8590: 5.8648	-1.7495: 4.6060	-1.3338: 3.8848	-0.7724: 2.7156	-0.6926: 2.5071	-0.5498: 1.9880
Zon klass 6	-7.3088: 8.4401	-3.7388: 6.8169	-2.3834: 5.6529	-1.6008: 4.6977	-0.7617: 3.2505	-0.4650: 2.5952	-0.3198: 2.0371	-0.2140: 1.6800	-0.0584: 0.4995	-0.0525: 0.4696
MC klass 1	-0.2894: 3.3361	0.0496: 2.1999	0.2187: 1.2843	0.3012: 0.3719	0.3091: 0.3178	0.3111: 0.2900	0.3172: 0.2726	0.3248: 0.2662	0.3311: 0.2426	0.3376: 0.2159
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.7321: 0.3743	0.7213: 0.2906	0.7183: 0.2399	0.7139: 0.2013	0.7063: 0.1852	0.7034: 0.1781	0.6981: 0.1674	0.7042: 0.1639	0.7000: 0.1558
Fordonsålder klass 1	0.7736: 2.6028	1.1357: 0.4705	1.1443: 0.3341	1.1519: 0.2930	1.1565: 0.2585	1.1697: 0.2357	1.1794: 0.2071	1.1863: 0.1955	1.1807: 0.1890	1.1864: 0.1786
Fordonsålder klass 2	0.3975: 1.9036	0.5618: 0.4437	0.5441: 0.3627	0.5501: 0.3077	0.5437: 0.2781	0.5623: 0.2433	0.5661: 0.2289	0.5797: 0.2190	0.5805: 0.2127	0.5831: 0.2021
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2564: 0.3605	-0.2519: 0.2932	-0.2579: 0.2548	-0.2597: 0.2185	-0.2601: 0.1977	-0.2618: 0.1805	-0.2631: 0.1673	-0.2654: 0.1516	-0.2621: 0.1446
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.23. Andra fallet. Modellen BGLM M2 3,1. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.5799: 1.5059	-6.4476: 0.5720	-6.3120: 0.4698	-6.2670: 0.3968	-6.2361: 0.3171	-6.2126: 0.2884	-6.1998: 0.2769	-6.1992: 0.2622	-6.1898: 0.2431	-6.1827: 0.2266
Ägarålder klass 1	2.1801: 1.4995	2.0245: 0.4784	2.0044: 0.3906	2.0174: 0.3225	1.9994: 0.2876	1.9853: 0.2609	1.9856: 0.2330	1.9923: 0.2147	1.9933: 0.1948	1.9948: 0.1817
Ägarålder klass 2	1.4374: 2.3108	1.5329: 0.4634	1.5178: 0.3738	1.5107: 0.3070	1.4966: 0.2787	1.4770: 0.2455	1.4777: 0.2239	1.4805: 0.2117	1.4756: 0.1927	1.4797: 0.1776
Ägarålder klass 3	-0.5986: 5.2345	0.6478: 0.6644	0.6648: 0.4968	0.6818: 0.4241	0.6843: 0.3792	0.6878: 0.3351	0.6873: 0.3131	0.6886: 0.2883	0.6855: 0.2558	0.6933: 0.2372
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0519: 5.3414	-0.4792: 0.5795	-0.4046: 0.4313	-0.3630: 0.3460	-0.3535: 0.2909	-0.3519: 0.2670	-0.3555: 0.2545	-0.3552: 0.2530	-0.3455: 0.2370	-0.3435: 0.2337
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.5174: 0.7130	1.5066: 0.4655	1.4963: 0.3936	1.4820: 0.3452	1.4889: 0.2792	1.4924: 0.2512	1.4872: 0.2316	1.4874: 0.2221	1.4888: 0.2024	1.4851: 0.1895
Zon klass 2	1.5174: 0.7130	0.5570: 2.2037	0.8944: 0.4733	0.9052: 0.4159	0.9286: 0.3401	0.9353: 0.2969	0.9458: 0.2629	0.9536: 0.2515	0.9492: 0.2363	0.9421: 0.2137
Zon klass 3	0.2219: 2.3032	0.4136: 0.5915	0.4176: 0.4275	0.4106: 0.3806	0.4215: 0.3278	0.4201: 0.2938	0.4234: 0.2744	0.4249: 0.2596	0.4279: 0.2378	0.4313: 0.2276
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-10.1219: 7.8945	-6.6670: 7.7442	-4.6341: 7.0501	-3.6864: 6.4577	-2.9366: 5.8348	-1.8227: 4.5925	-1.4016: 3.8818	-0.8295: 2.7217	-0.7398: 2.5160	-0.5908: 1.9934
Zon klass 6	-7.3088: 8.4401	-3.8246: 6.7707	-2.4588: 5.6278	-1.6647: 4.6821	-0.8136: 3.2406	-0.5038: 2.5944	-0.3517: 2.0446	-0.2389: 1.6851	-0.0781: 0.5224	-0.0692: 0.4870
MC klass 1	-0.2894: 3.3361	0.0410: 2.1831	0.2169: 1.2663	0.2995: 0.3743	0.3072: 0.3188	0.3105: 0.2905	0.3169: 0.2730	0.3248: 0.2662	0.3307: 0.2426	0.3373: 0.2157
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.7330: 0.3777	0.7215: 0.2917	0.7185: 0.2402	0.7135: 0.2015	0.7061: 0.1853	0.7030: 0.1779	0.6979: 0.1672	0.7041: 0.1636	0.6995: 0.1558
Fordonsålder klass 1	0.7736: 2.6028	1.1241: 0.4811	1.1400: 0.3361	1.1510: 0.2941	1.1558: 0.2582	1.1701: 0.2355	1.1793: 0.2069	1.1867: 0.1954	1.1808: 0.1888	1.1870: 0.1795
Fordonsålder klass 2	0.3975: 1.9036	0.5531: 0.4481	0.5407: 0.3649	0.5486: 0.3082	0.5432: 0.2782	0.5622: 0.2431	0.5663: 0.2293	0.5798: 0.2191	0.5808: 0.2127	0.5831: 0.2023
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2568: 0.3626	-0.2528: 0.2936	-0.2582: 0.2545	-0.2599: 0.2185	-0.2588: 0.1975	-0.2611: 0.1810	-0.2627: 0.1670	-0.2652: 0.1518	-0.2620: 0.1441
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.24. Andra fallet. Modellen BGLM M2 6,3. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Antalet år framåt

Koefficient	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Intercept	-6.5799: 1.5059	-6.4478: 0.5716	-6.3118: 0.4713	-6.2669: 0.3970	-6.2351: 0.3159	-6.2124: 0.2884	-6.1987: 0.2759	-6.1980: 0.2611	-6.1892: 0.2433	-6.1823: 0.2254
Ägarålder klass 1	2.1801: 1.4995	2.0255: 0.4793	2.0044: 0.3923	2.0175: 0.3234	1.9986: 0.2867	1.9850: 0.2610	1.9860: 0.2336	1.9928: 0.2146	1.9936: 0.1948	1.9942: 0.1815
Ägarålder klass 2	1.4374: 2.3108	1.5347: 0.4651	1.5181: 0.3735	1.5100: 0.3072	1.4963: 0.2794	1.4773: 0.2460	1.4779: 0.2243	1.4804: 0.2120	1.4757: 0.1929	1.4801: 0.1776
Ägarålder klass 3	-0.5986: 5.2345	0.6441: 0.6747	0.6633: 0.4995	0.6824: 0.4234	0.6857: 0.3792	0.6883: 0.3354	0.6876: 0.3122	0.6891: 0.2877	0.6857: 0.2560	0.6928: 0.2369
Ägarålder klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Kön klass 1	-2.0519: 5.3414	-0.4867: 0.5899	-0.4055: 0.4326	-0.3626: 0.3470	-0.3523: 0.2899	-0.3511: 0.2675	-0.3550: 0.2557	-0.3548: 0.2528	-0.3450: 0.2373	-0.3426: 0.2328
Kön klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 1	1.5174: 0.7130	1.5048: 0.4674	1.4942: 0.3937	1.4817: 0.3451	1.4875: 0.2792	1.4914: 0.2489	1.4859: 0.2315	1.4859: 0.2217	1.4881: 0.2024	1.4835: 0.1893
Zon klass 2	1.5174: 0.7130	0.5458: 2.2370	0.8927: 0.4735	0.9055: 0.4157	0.9266: 0.3399	0.9350: 0.2950	0.9447: 0.2624	0.9522: 0.2517	0.9488: 0.2369	0.9413: 0.2139
Zon klass 3	0.2219: 2.3032	0.4112: 0.5984	0.4158: 0.4286	0.4100: 0.3814	0.4199: 0.3292	0.4202: 0.2931	0.4224: 0.2742	0.4249: 0.2594	0.4272: 0.2377	0.4309: 0.2276
Zon klass 4	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Zon klass 5	-10.1219: 7.8945	-6.9452: 8.0000	-4.8346: 7.2912	-3.8472: 6.6891	-3.0778: 6.0803	-1.9050: 4.7727	-1.4629: 4.0323	-0.8637: 2.8238	-0.7706: 2.6275	-0.6156: 2.1019
Zon klass 6	-7.3088: 8.4401	-3.9818: 6.9794	-2.5842: 5.8419	-1.7426: 4.8535	-0.8526: 3.3447	-0.5266: 2.6775	-0.3649: 2.0931	-0.2524: 1.7618	-0.0824: 0.5303	-0.0727: 0.4907
MC klass 1	-0.2894: 3.3361	0.0350: 2.2030	0.2132: 1.3106	0.2991: 0.3750	0.3076: 0.3190	0.3112: 0.2907	0.3170: 0.2724	0.3247: 0.2668	0.3314: 0.2420	0.3386: 0.2158
MC klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
MC klass 3	0.7280: 0.5619	0.7331: 0.3765	0.7216: 0.2904	0.7184: 0.2403	0.7132: 0.2018	0.7063: 0.1851	0.7030: 0.1773	0.6974: 0.1674	0.7042: 0.1637	0.7000: 0.1557
Fordonsålder klass 1	0.7736: 2.6028	1.1212: 0.4863	1.1394: 0.3359	1.1504: 0.2938	1.1553: 0.2580	1.1689: 0.2357	1.1792: 0.2069	1.1863: 0.1952	1.1808: 0.1886	1.1870: 0.1788
Fordonsålder klass 2	0.3975: 1.9036	0.5505: 0.4503	0.5406: 0.3656	0.5482: 0.3083	0.5432: 0.2781	0.5619: 0.2432	0.5666: 0.2290	0.5796: 0.2195	0.5815: 0.2129	0.5834: 0.2023
Fordonsålder klass 3	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -
Bonus klass 1	-0.2653: 0.5720	-0.2573: 0.3620	-0.2531: 0.2936	-0.2583: 0.2548	-0.2597: 0.2182	-0.2597: 0.1973	-0.2609: 0.1810	-0.2628: 0.1674	-0.2653: 0.1513	-0.2616: 0.1440
Bonus klass 2	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -	0.0000: -

Tabell A.25. Andra fallet. Modellen BGLM M2 12,9. Slutgiltigt årliga parameterskattningarna på formen Estimat: Standardavvikelse under tioårsperioden baserat på 200 iterationerna.

Referenser

[1] Xxxxxxx Xxxxxxx & Xxxxx Xxxxxxxxx. Non-Life Insurance Pricing with Generalized Linear Models. Springer. 2010.

[2] Xxxxx, Xxxx & Xxxxxxxxx, Xxxxxxx. (2018). Ratemaking for a New Territory: Enhancing GLM Pricing Model with a Bayesian Analysis. 2.

[3] Xxxxxxx X. Xxxxxx, Xxxxxx X. Xxxxx. Bayesian Methods for Data Analysis. Third Edition. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press. 2009.

[4] Xxxxxx X. Xxxxxxx and Xxxx-Xxx Xxxx. Power Prior Distributions for Regression Models. Statistical Science. 2000, Vol. 15, No. 1, 46–60.

[5] Xxxx-Xxx Xxxx, and Xxxxxx X. Xxxxxxx. The Relationship Between the Power Prior and Hierarchical Models. Bayesian Analysis. 2006. 1, Number 3, pp. 551-574.

[6] Bayesian Binomial Model with Power Prior Using the MCMC Procedure. URL: xxxxx://xxxxxxx.xxx. com/rnd/app/stat/examples/BayesPop/bayespop.pdf (Hämtad: 2020-02-10).

[7] Transportstyrelsen. Fordon du får köra. URL: xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxxxxxxxx.xx/xx/xxxxxxxxx/Xxxxxxx/ har-korkort/fordon-du-far-kora/ (Hämtad: 2020-02-14)

[8] rstanarm. Articles. URL: xxxxx://xx-xxxx.xxx/xxxxxxxx/xxxxxxxx/ (Hämtad: 2020-02-17)

[9] Xxxxx Xxxxx and Xxx Xxxxxxxx. Prior Distributions for rstanarm Models. URL: xxxxx://xx-xxxx.xxx/ rstanarm/articles/priors.html (Hämtad: 2020-02-18)

[10] Xxxxxx Xxxxxxxxx. Försäkringsrätt. Några huvudlinjer. Tionde Upplagan. Norstedts juridik. 2019.

[11] Xxxxxxx X. Xxxx. Introduction to Probability Models. Academic Press. 11th Edition. 2014.

[12] Xxxx Xxxxxxxxx. The Theory of Dispersion Models. Chapman and Hall/CRC. 1st Edition. 1997.

[13] Xxxxxxxx Xxxx and Xxxxxx Xxxxxxx Xxxx. Applied Statistical Inference. Likelihood and Bayes. Springer. 2014.

[14] Case3.pdf. Case 3: Bus Insurance. 2018-11-01. Den PDF-filen finns på kurshemsidan, xxxxxx.xxxx.xx.xx. (Hämtad: 2020-05-03)

[15] Xxxx Xxxxx Xxx och Xxx Xxxxxxx. Stokastik; Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar. Liber. 2014.

[16] Xxxx Xxxxxxxx. Lineära Statistiska Modeller. Kompendium. Oktober 2016.

[17] CASdatasets: Insurance datasets. Package “CASdatasets”. URL: xxxx://xxx.xxxx.xx/ (Hämtad: 2020- 05-04)

[18] rstanarm: Bayesian Applied Regression Modeling via Stan. Package “rstanarm”. URL: xxxxx://xxxx.x- xxxxxxx.xxx/xxx/xxxxxxxx/xxxxxxxx/xxxxx.xxxx (Hämtad: 2020-05-04)

Document Metadata

Table of Contents

Prissättning av försäkringskontrakt med fokus på hur kontrakt i ett nytt område ska prissättas

Document Metadata