远期利率协议（ Forward Rate Agreement ）
远期：FRA
期货：
存款：欧洲美元期货（短期）
国库券：美国 13 周国库券期货（短期）国债：美国 30 年国债期货（长期）
远期利率协议（ Forward Rate Agreement ）
远期利率协议（ FRA ）是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始的一定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。
案例 5.3 （ P.82 ）
FRA 特征
FRA 特征
在T 时刻进行现金结算，结算金额为利差的贴现值。名义本金
头寸：Long / Short
Long: Fixed-rate payer
报价： 3 × 9 LIBOR 7.86
FRA 的定价：远期利率
FRA 的定价：远期利率
远期利率（如何进行套利操作？）
rtf(T∗ − T) = r∗(T∗ − t) − r(T − t)
期限结构与远期利率
rtf = r∗(T∗ − T) + r∗(T − t) − r(T − t) = r∗+(r∗−r) T − t
T∗ − T T∗ − T
FRA 定价：FRA 的价值
FRA 定价：FRA 的价值I
−
考虑时刻 t 的两个远期利率协议，它们的名义本金均为 A ，约定的未来期限均为 T∗ T ，第一个FRA 的协议利率采用市场远期利率 rtf ，第二个FRA 的协议利率为 rK 。
t 时刻第二个FRA 与第一个FRA 的价值差异就是 T∗
时刻不同利息支付的现值
[Aertf(T∗−T) − AerK(T∗−T)] e−r∗(T∗−t)
FRA 定价：FRA 的价值
FRA 定价：FRA 的价值II
[ ]
由于第一个FRA 中的协议利率为理论远期利率，其远期价值应为零。则第二个FRA 多头的价值
Aertf(T∗−T) − AerK(T∗−T) e−r∗(T∗−t)
该公式适合于任何协议利率为 rK 的远期利率协议价值的计算。
e International Money Market of the Chicago Mercantile Exchange (xxx.xxx.xxx)
e Sydney Futures Exchange
e Toronto Futures Exchange
e Montréal Stock Exchange
e London International Financial Futures Exchange (xxx.xxxx.xxx)
e Tokyo International Financial Futures Exchange
Le Marché à Terme International de France (xxx.xxxxx.xx) Eurex (xxx.xxxxxxxxxxx.xxx)
第一，远期利率协议报出的是远期利率，而利率期货所报出的通常并非期货利率，而是与期货利率反向变动的特定价格，期货利率隐含在报价中。
第二，由于上述区别，利率期货结算金额为协议价与市场结算价之差，远期利率的结算金额则为利差的贴现值。
第三，利率期货存在每日盯市结算与保证金要求，加上结算金额计算方式的不同，决定了远期利率与期货利率的差异。
利率远期与利率期货II
第四，远期利率协议中的多头是规避利率上升风险的 一方，而利率期货的多头则是规避期货价格上升风险，即规避利率下跌风险的一方。
第五，远期利率协议通常采用现金结算，而利率期货 可能需要实物交割，期货交易所通常规定多种符合标 准的不同证券均可用以交割，使得利率期货相对复杂。
3 个月欧洲美元期货
3 个月欧洲美元期货概述
标的资产为自期货到期日起 3 个月的欧洲美元定期存款
约定 3 个月期欧洲美元存款利率
在CME 集团交易，短期利率期货中交易最活跃的品种
3 个月欧洲美元期货
欧洲美元期货合约条款
3 个月欧洲美元期货
欧洲美元期货报价
3 个月欧洲美元期货
欧洲美元期货报价
期货报价（IMM 指数）： Q = 100 × (1 − 期货利率)合约价格： 10, 000 × (100 − 0.25 × (100 − Q))
期货利率含义与远期利率类似
×
IMM 指数变动量等于期货利率变动量 100，方向相反。
规避利率上升风险者应卖出欧洲美元期货，而规避利率下跌风险者应买入欧洲美元期货。
3 个月欧洲美元期货
欧洲美元期货结算
每个基点（ 0.01% ）变动的价值：
4
1000000 × 0.0001 × 1 = 25 美元
到期现货价：
100 × (1 − 实际 3 个月期LIBOR)
到期多头盈亏
= [100 × (1 − LIBOR) − Q] × 100 × 25
= ( 期货利率 − LIBOR) × 10000 × 25
3 个月欧洲美元期货
Example
2007 年 9 月 17 日EDU07 到期时，3 个月期美元 LIBOR 年利率为 5.5975% ，相应地EDU07 最后结算价为 94.4025 。
如果忽略持有期间的盯市结算与保证金要求，一个于 2007 年 7 月 20 日以 94.66 买入EDU07 的交易者在该笔交易上是亏损的，最后结算日应向交易对手支付，每份合约损失
(94.4025 − 94.66) × 100 × 25 = −643.75 美元
3 个月欧洲美元期货
远期利率与期货利率
欧洲美元期货合约与远期利率协议都锁定了未来一定期限的利率。
1 年以下的到期期限， 期货利率 ≈ 远期利率长期：差异不能忽略
一次性到期/每日盯市结算和保证金：远期利率较低盈亏结算时贴现/无贴现：远期利率较低
标的资产为从交割月的第一个天起剩余期限长于（包括等于） 15 年且在 15 年内不可赎回的面值 100 000 美元的任何美国长期国债。
约定到期时的债券价格
标的资产在期货存续期内支付现金利息
在CME 集团交易，长期利率期货中交易最活跃的品种之一
100 000 雇舷 雇迫鏨櫚fi┘′30
15 榱а板 15 榱坑Щ靭
美国长期国债期货合约条款
1 | 6 | ||||
1 % ■31.25 32 | |||||
100 | 1 32 | 16 80-16 $〛80 32 | |||
━沖 | 3 | 3 х━ | |||
7:20-14:00 | |||||
餒䰤 | 7 | 12:01 | |||
长期国债期货/现货的报价与现金价格
以美元和 1/32 美元表示每 100 美元面值债券的价格
80 -16：表示 80.5 美元
如果 80 -16 为国债期货报价，则一份长期美国国债期货的合约报价为
×
1 000 8016 = 80 500 美 元
32
现金价格
= 报价（净价） + 上一个付息日以来的应计利息
案例 5.5 ：附息票债券的现金价格与报价I
2007 年 10 月 3 日，将于 2027 年 11 月 15 日到期、息票率为 6.125% 的长期国债A 收盘报价为 118.11 。可以判断，该债券上一次付息日为 2007 年 5 月 15 日，下一次付息日为 2007 年 11 月 15 日。
案例 5.5 ：附息票债券的现金价格与报价II
由于 2007 年 5 月 15 日到 2007 年 10 月 3 日之间的天数为 141 天，2007 年 5 月 15 日到 2007 年 11 月 15 日之间的天数为 184 天，因此 2007 年 10 月 3 日，该债券每 100 美元面值的应计利息等于
6.125 141
2 × 184 = 2.347 美 元
因此该国债的现金价格为
118.11 + 2.347 = 120.457 美元
交割券、标准券与转换因子I
交割券
标准券：面值为 1 美元，息票率为 6% ，在交割月的第一天时的剩余到期期限为 15 年整的虚拟债券，是其他实际可交割债券价值的衡量标准
交割券、标准券与转换因子II
转换因子：面值每 1 美元的可交割债券的未来现金流按 6% 的年到期收益率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券 1 美元面值的应计利息后的余额
时间调整净价
交易所公布
案例 5.5.1 ：转换因子的计算I
2007 年 12 月，代码为USZ7 的长期国债期货到期。由于案例 5.5 中的债券A 在 2007 年 12 月 1 日时的剩余期限为 19 年 11 个月又 15 天且不可提前赎回，因而是该国债期货的可交割债券。根据计算规则，在计算转换因子时应取 3 个月的整数倍，从而该债券在 2007 年 12月 1 日的剩余期限近似为 19 年 9 个月，下一次付息日近似假设为 2008 年 3 月 1 日。
案例 5.5.1 ：转换因子的计算II
面值每 1 美元的该债券未来现金流按 6% 到期收益率贴现至 2007 年 12 月 1 日的价值为
6.125%
∑
39
i=0
2
1.03
1
i + 1.0339
1 + (√1.03 − 1) = 1.0295
案例 5.5.1 ：转换因子的计算III
根据转换因子的定义，转换因子等于该现值减去应计利息，在计算转换因子的假设条件下，该债券有 3 个月的应计利息。故此对于 2007 年 12 月到期的长期国债期货而言，这个债券的转换因子等于
−
1.0295 6.125% = 1.0142
4
国债期货现金价格的计算
期货空方交割 100 美元面值的特定债券应收到的现金计算公式为
空方收到的现金 = 期货报价 × 交割债券的转换因子
+ 交割债券的应计利息
案例 5.5.2 ：国债期货现金价格的计算I
2007 年 10 月 3 日，上述USZ7 国债期货报价为 111.27美元。假设空方定于 2007 年 12 月 3 日用债券A 进行交割，一份USZ7 国债期货的实际现金价格应为
1 000 × (111.27 × 1.0142 + 应计利息)
案例 5.5.2 ：国债期货现金价格的计算II
交割日 2007 年 12 月 3 日距上一次付息日 2007 年 11 月 15 日天数为 18 天，前后两次付息日 2007 年 11 月 15 日与 2008 年 5 月 15 日之间的天数为 182 天。因此 2007年 12 月 3 日，债券A 每 100 美元面值的应计利息等于
6.125 18
2 × 182 = 0.303 美 元
因此，空方交割债券A 可得到的实际现金收入应为 1 000 × (111.27 × 1.0142 + 0.303) = 113 153 美元
确定交割最合算的债券
交割最合算的债券就是购买交割券所付的价格与交割期货时空方收到的现金之差最小的那个债券。
交割成本
= 债券报价+ 应计利息 − (期货报价 × 转换因子
+ 应计利息)
= 债券报价 − (期货报价 × 转换因子)
案例 5.7 ：交割最合算的债券
序号 | 息票率 | 到期日 | 转换因子 | 债券报价 | 期货报价×转换因子 | 交割成本 |
1 | 4.500 | 02/15/36 | 0.7978 | 96.91 | 88.77 | 8.14 |
2 | 4.750 | 02/15/37 | 0.8292 | 100.90 | 92.27 | 8.63 |
3 | 5.000 | 05/15/37 | 0.8628 | 104.91 | 96.00 | 8.91 |
4 | 5.250 | 11/15/28 | 0.9116 | 107.08 | 101.43 | 5.65 |
5 | 5.250 | 02/15/29 | 0.9111 | 107.05 | 101.38 | 5.67 |
6 | 5.375 | 02/15/31 | 0.9226 | 109.32 | 102.66 | 6.66 |
7 | 5.500 | 08/15/28 | 0.9415 | 110.25 | 104.76 | 5.49 |
8 | 6.000 | 02/15/26 | 1.0000 | 115.52 | 111.27 | 4.25 |
9 | 6.125 | 11/15/27 | 1.0142 | 118.11 | 112.85 | 5.26 |
10 | 6.125 | 08/15/29 | 1.0150 | 119.09 | 112.94 | 6.15 |
11 | 6.250 | 08/15/23 | 1.0250 | 117.09 | 114.05 | 3.04 |
12 | 6.250 | 05/15/30 | 1.0304 | 121.30 | 114.65 | 6.65 |
13 | 6.375 | 08/15/27 | 1.0428 | 121.09 | 116.03 | 5.06 |
14 | 6.500 | 11/15/26 | 1.0557 | 122.23 | 117.47 | 4.76 |
15 | 6.625 | 02/15/27 | 1.0703 | 123.92 | 119.09 | 4.83 |
16 | 6.750 | 08/15/26 | 1.0831 | 125.05 | 120.52 | 4.53 |
17 | 6.875 | 08/15/25 | 1.0940 | 125.76 | 121.73 | 4.03 |
18 | 7.125 | 02/15/23 | 1.1103 | 126.40 | 123.54 | 2.86 |
19 | 7.500 | 11/15/24 | 1.1570 | 132.61 | 128.74 | 3.87 |
20 | 7.625 | 02/15/25 | 1.1717 | 134.23 | 130.38 | 3.85 |
长期国债期货价格的确定
假定交割最合算的国债和交割日期已知：
1
根据交割最合算的国债现货的报价，算出该交割券的现金价格。
2
运用支付已知现金收益的远期定价公式根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。
tf = (S − I)er(T−t)
3
根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。
4
将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格。
案例 5.7 I
延续案例 5.7 ，2007 年 10 月 3 日，针对USZ7 期货而言交割最合算的债券是息票率为 7.125% 、将于 2023
年 2 月 15 日到期的长期国债。其转换因子为 1.1103 ，现货报价为 126.40 。假设我们已知空方将在 2007 年 12 月 3 日交割，市场上 2 个月期的美元无风险连续复利年利率
为 3.8% 。试求出USZ7 期货的理论报价。
案例 5.7 II
1
运用式（ 5.15 ）算出该交割券的现金价格。
根据到期日推算，该交割券的上一次付息日应为 2007 年 8 月 15 日，下一次付息日应
为 2008 年 2 月 15 日。则该交割券每 100 美元面值的应计利息等于
7.125 49
2 × 184 = 0.949 美 元
根据式（ 5.15 ），该国债的现金价格为 126.40 + 0.949 = 127.349 美元
案例 5.7 III
2
计算期货有效期内交割券支付利息的现值。由于
在 2007 年 10 月 3 日到 2007 年 12 月 3 日期间，该交割券不会支付利息，因此 I = 0 。
3
在 12 月 3 日交割之前，USZ7 期货有效期还有 61 天
（ 0.1671 年），运用式（ 3.5 ）可以计算出交割券期货理论上的现金价格为
tf = 127.349e3.8%×0.1671 = 128.160 美元
案例 5.7 IV
4
反向运用式（ 5.16 ）算出该交割券期货的理论报价。 2007 年 12 月 3 日交割时，该交割券的应计利息为
7.125 110
2 × 184 = 2.130 美 元
则该交割券期货的理论报价为
128.160 − 2.130 = 126.030 美元
5
最后求出标准券的理论期货报价为
126.030
1.1103 = 113.510 美 元
忽略天数计算
以国际市场上的互换为例，浮动利率使用 LIBOR
贴现率也使用 LIBOR
举例
考虑一个 2005 年 9 月 1 日生效的两年期利率互换，名义本金为 1 亿美元。甲银行同意支付给乙公司年利率
为 2.8% 的利息，同时乙公司同意支付给甲银行 3 个月期 LIBOR 的利息，利息每 3 个月交换一次。
事后可知利率互换中甲银行的现金流量，如下表所示。
表 7−1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）
表 7−1 利率互换中甲银行的现金流量表（百万美元）
理解利率互换 I
该利率互换由列（4）的净现金流序列组成，这是互换的本质，即未来系列现金流的组合
列（ 4 ）= 列（ 2 ）+ 列（ 3 ）
在互换生效日与到期日增减 1 亿美元的本金现金流
列（ 2 ） ⇒ 列（ 6 ）列（ 3 ） ⇒ 列（ 7 ）
理解利率互换 II
头寸分解 (I)
甲银行：浮动利率债券多头＋固定利率债券空头乙公司：浮动利率债券空头＋固定利率债券多头
利率互换可以分解为一个债券的多头与另一个债券的空头的组合。
理解利率互换 III
头寸分解 (II)
列（ 4 ）= 行（ I ）＋⋯＋行（ VIII ）
除了行（ I ）的现金流在互换签订时就已确定，其他各行现金流都类似远期利率协议（ FRA ）的现金流。
利率互换可以分解为一系列 FRA 的组合。
理解利率互换的定价 (I)
利率互换的定价，等价于计算债券组合的价值，也等价于计算 FRA 组合的价值。
由于都是列（ 4 ）现金流的不同分解，这两种定价结果必然是等价的。
注意这种等价未考虑信用风险和流动性风险的差异。
理解利率互换的定价 (II)
与远期合约相似，利率互换的定价有两种情形
1
在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值，可能为正，也可能为负。
2
在协议签订时，一个公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相等。因此协议签订时的互换定价，就是选择一个使得互换的初始价值为零的互换利率。
互 换 多 头 V 互 换 = Bfl − Bfix
互 换 空 头 V 互 换 = Bfix − Bfl
∑
n
固定利率债券定价 Bfix = ke−riti + Ae−rntn
i=1
浮动利率债券定价 Bfl = (A + k∗)e−r1t1
案例 7.1 I
假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年利率（ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。互换还有 9 个月的期限。目 前 3 个月、 6 个月和 9 个月的 LIBOR （连续复利）分别 为 4.8% 、 5% 和 5.1% 。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。
案例 7.1 II
在这个例子中k = 120 万美元，因此
Bfix = 120e−0.048×0.25 + 120e−0.05×0.5 + 10120e−0.051×0.75
= 9975.825万美元
Bfl = 10000万美元
因此，对于该金融机构而言，此利率互换的价值为
9975.825 − 10000 = −24.175万美元
对该金融机构的交易对手来说，此笔利率互换的价值为正，即 24.175 万美元。
计算利率互换价值： FRA 定价法
运用 FRA 给利率互换定价
FRA 多头价值
(Aertf(T∗−T) − AerK(T∗−T))e−r∗(T∗−t)
从利率期限结构中估计出 FRA 对应的远期利率，即可 得到每笔 FRA 的价值，加总即为利率互换多头的价值。
案例 7.2 I
假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年利率（ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。互换还有 9 个月的期限。目 前 3 个月、 6 个月和 9 个月的 LIBOR （连续复利）分别 为 4.8% 、 5% 和 5.1% 。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。
首先可得 3 个月计一次复利的 4.8% 对应的连续复利利率为
×
4 ln(1 + 4.8%) = 4.7714%
4
案例 7.2 II
合理的互换利率就是使得利率互换价值为零的固定利率，即
Bfl = Bfix
案例 7.3 ：合理互换利率的确定 I
假设在一笔 2 年期的利率互换协议中，某一金融机构支付 3 个月期的 LIBOR ，同时每 3 个月收取固定利率
（ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。目前 3 个月、 6 个月、 9 个月、 12 个月、 15 个月、 18 个月、 21 个月 与 2 年的贴现率（连续复利）分别为 4.8% 、 5% 、 5.1% 、 5.2% 、 5.15% 、 5.3% 、 5.3% 与 5.4% 。第一次支付的浮动利率即为当前 3 个月期利率 4.8% （连续复利）。试确定此 笔利率互换中合理的固定利率。
案例 7.3 ：合理互换利率的确定 II
Bfl = 10000万美元
令Bfix = k e−0.048×0.25 + k e−0.05×0.5 + k e−0.051×0.75
4 4 4
+ k e−0.052×1 + k e−0.0515×1.25 + k e−0.053×1.5
4 4 4
+ k e−0.053×1.75 + (10000 + k )e−0.054×2
4 4
= 10000万美元
k = 543 美元，即固定利率水平应确定为 5.43%（3 个月计一次复利）。
利率互换协议中合理的固定利率就是使得互换价值为零的利率水平，也就是我们通常所说的互换利率。
现实中的互换利率是市场以一定的计息频率为基础、就特定期限形成的互换中间利率。以美元为例，市场通常将每半年支付固定利息对 3 个月 LIBOR 的互换中间利率作为美元互换利率。
互换收益率曲线
美元 LIBOR、美元互换利率与欧洲美元期货利率
国际利率互换与 LIBOR 的违约风险与流动性风险相当接近, 多采用 LIBOR 作为贴现率。
当利率互换浮动端为 LIBOR 时，互换利率通常作为与 LIBOR 期限结构对应的平价到期收益率。
欧洲美元期货可用来对冲美元 LIBOR 利率变动的风险
互换利率与国债平价到期收益率之差被称为互换价差
（ Swap Spread ），主要体现了银行间市场的信用风险与流动性风险。
“互换收益率曲线”（ the Term Structure of Swap Rate or the Swap Curve ）
互换收益率曲线优势
互换曲线能够提供更多到期期限的利率信息。
特定期限的互换利率具有延续性，几乎每天都有特定期限的互换利率。
互换是零成本合约，其供给是无限的，不会受到发行量的制约和影响。
对于许多银行间的金融衍生产品来说，与无风险利率相比，互换利率由于反映了其现金流的信用风险与流动性风险，是一个更好的贴现率基准。
当浮动端利率与贴现率均为 LIBOR 时，互换利率通常作为与 LIBOR 期限结构对应的平价到期收益率。
当浮动端利率与贴现率不同时，互换利率就不是平价到期收益率，而是浮动端利率即期和远期利率的加权平均数，权重取决于贴现率的期限结构。
1 12
rse−r1 + rse−2r2 = rf e−r1 + rf e−2r2
r e−r1
e−2r2
s = e−r1 + e−2r2 rf1 + e−r1 + e−2r2 rf12
从利率互换中提取其他利率的信息 II
我国基于 7 天回购利率的利率互换就属于这种情形。该互换的贴现率应为银行间市场相应期限的同业拆放利率，它与 7 天回购利率显然不同。这样，利用上式就可以考察该互换利率、7 天回购利率和银行同业拆放利率之间的关系。
从互换利率与国债收益率之差中提取信息 I
由于美国国债不存在信用风险，流动性好，甚至还有政策便利。而互换存在着对手风险，此外互换利率还受互换市场个性风险影响。因此互换利率与国债收益率之差可以反映互换的对手风险、国债的便利收益以及互换个性风险等信息。
Feldhütter and Lando（2008）用xxx滤波方法将上述差价分解成三个构成部分：
从互换利率与国债收益率之差中提取信息 II
从 LIBOR 与隔夜拆借利率指数互换（OIS）之差中提取信息 I
LIBOR 利率反映了政策利率的预期路径以及金融机构的信用风险和流动性风险溢酬，而 OIS 则反映了市场对无担保隔夜拆借利率走势（从而也是政策利率走势）的估计。因此两者相减就反映了银行间市场的信用风险和流动性风 险，如下图所示。
从图中可以看出，美元、英镑和欧元的 3 个月 LIBOR与 OIS 之差在危机发生前都非常低，但从 2007 年中期开始，这些利差就随危机的进展在高位大幅波动。
从 LIBOR 与隔夜拆借利率指数互换（OIS）之差中提取信息 II
谢谢
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