Grundläggande i Bayesianska modeller exempelklausuler

Grundläggande i Bayesianska modeller. Innan vi går närmare på Bayesianska generaliserade linjära modeller (BGLM) behöver vi dock introducera några grundläggande begrepp som används inom Bayesianska modeller. För en mer omfattande teori inom Bayesianska metoder rekommenderas [3]. För den läsare som är intresserad av frekventistiska ansatsen, som GLM utgår från, hänvisas till exempel [13]. Den här teoridelen är hämtade från dessa två nämnda referenser. Låt Y = (Y1, . . . , Yn)T vara stokastiska variabler med motsvarande observationer y = (y1, . . . , yn)T . De- ras simultana sannolikhets- eller täthetsfunktion ges av f (y; θ), där θ kan vara en skalär eller en vektor. Frekventistiska ansatsen utgår från att inferensen rörande θ ska vara baserad på likelihoodfunktion eller om man så vill likelihood L(θ; y), som alltså är en funktion av θ givet observerade datan y. Till skillnad från frekventistiska ansatsen som betraktar θ som fix men okänd, behandlar Bayesianska ansatsen däremot den som en stokastisk kvantitet genom att anta att den följer en viss sannolikhetsfördelning eller mer formellt som apriorifördelning eller helt enkelt bara apriori π(θ). Apriori beskriver alltså vad vi redan vet om θ innan vi har observerat datan y. När vi väl fått denna data kan vi då uppdatera informationen om θ som sedan ska ligga till grund för Bayesianska inferensen. Mer specifikt, Bayesianska inferensen rörande θ grundar sig på aposteriori (alternativt aposteriorifördelning) med följande form, ∫ f (y|θ)π(θ) dθ p(θ|y) = f (y|θ)π(θ) , (3.4.1) där vi antar att π(θ) följer en kontinuerlig fördelning; ersätt integrationen i nämnaren med summationen om π(θ) istället följer en diskret fördelning. Formeln i (3.4.1) är känd som Bayes sats. Det bör observeras att medan frekventistiska inferensen bygger på likelihood, bygger Bayesianska inferensen snarare på en kombination av likelihood och apriori. Apriori kan vara icke-informativ som alltså betyder att dess fördelning inte ger oss någon information om θ, eller annorlunda uttryckt, vi har inga personliga åsikter eller vilka värden som vi tycker θ bör ligga runt vid. Man kan säga att man är objektiv i dessa avseenden. För att nämna ett exempel på icke-informativa fördelningar, anta att det enda vi vet om skalärparametern θ är att den kan anta vilket värde som helst, det vill säga θ ∈ (−∞, ∞), och då skulle en likformig apriori varit ett lämpligt val,