Antonio C. de S. Sampaio Filho1, Marley M. B. R.Vellasco2 e Ricardo Tanscheit2

Valor Presente Líquido Modificado sob Condições de Incerteza: Uma Abordagem Baseada em Números Fuzzy

e Aritmética Intervalar

Xxxxxxx X. xx X. Xxxxxxx Xxxxx0, Xxxxxx X. X. X.Xxxxxxxx0 e Xxxxxxx Xxxxxxxxx0

1Petróleo Brasileiro S.A. Xx. Xxxx Xxxxxxx, 000 - Xxxxxx 00000-000 - Xxx xx Xxxxxxx, XX

xxxxxxxxx@xxxxxxxxx.xxx.xx

2Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Departamento de Engenharia Elétrica

Rua Marques de São Vicente, 225 – Gávea 00000-000 - Xxx xx Xxxxxxx, XX

{marley, xxxxxxx}@xxx.xxx-xxx.xx

Resumo. Este artigo apresenta uma abordagem alternativa de orçamento de capital, denominada método do valor presente líquido modificado fuzzy (VPLM fuzzy), para avaliação de projetos de investimento em condições de incerteza. Números fuzzy triangulares são utilizados para representar a incerteza dos fluxos de caixa, das taxas de reinvestimento e de financiamento, e da taxa de desconto ajustada ao risco. Devido à complexidade dos cálculos envolvidos, uma nova função financeira MS-Excel (VPLMfuzzy) foi desenvolvida. Para ilustrar o uso do modelo e das funções, exemplos numéricos são fornecidos. Os resultados mostram que o método proposto é mais vantajoso e mais simples de se utilizar do que outros métodos de avaliação de investimento em condições de incerteza.

Palavras-chave: Orçamento de Capital, Valor Presente Líquido Modificado, Números Fuzzy Triangulares, Aritmética Intervalar

1 Introdução

A avaliação dos projetos de investimento, envolvendo as inovações tecnológicas e as expansões de capacidade de produção, constitui uma das áreas mais críticas de tomada de decisão nas empresas. Assim, modelos cada vez mais sofisticados de orçamento de capital têm sido desenvolvidos.

As últimas décadas foram caracterizadas pela ampla utilização pelas empresas dos métodos do valor presente líquido (VPL) e da taxa interna de retorno (TIR) em substituição ao antigo método do payback [1]. Ocorreu também um crescente interesse acadêmico pelos métodos da taxa interna de retorno modificada (TIRM)[2-4] e do valor presente líquido modificado (VPLM) [5-8], que fazem uso de diferentes hipóteses para o pressuposto do reinvestimento e o custo de capital das empresas.

Uma premissa fundamental comum às técnicas do VPL, da TIR, da TIRM e do VPLM é a possibilidade de se prever os investimentos e as despesas operacionais, bem como as receitas e os rendimentos líquidos ao longo da vida útil dos projetos. As estimativas devem ser feitas dentro de pequenos limites de erro, a fim de permitir a comparação de alternativas, incluindo projetos de investimento de curto e longo

prazos. Além disso, as técnicas de orçamento de capital também requerem estimativas de taxas que são aplicáveis durante toda a vigência do projeto de investimento.

Alternativas a essas abordagens determinísticas, como o método de Xxxxx Xxxxx [0, 10] e, mais recentemente, métodos baseados nos conceitos dos conjuntos fuzzy, têm sido frequentemente utilizadas para lidar com a incerteza na avaliação de projetos de investimentos [11-19].

Este trabalho propõe um método alternativo para orçamento de capital sob incerteza, onde os parâmetros incertos são especificados como números fuzzy triangulares (NFT). Ele utiliza como base o método do valor presente líquido modificado (VPLM) proposto por XxXxxxx e Girma [5], o qual fornece uma estrutura alternativa para análise de projeto de investimento quando as taxas de oportunidade de financiamento e de reinvestimento da empresa são diferentes. Essa estrutura elimina o problema do pressuposto da taxa de reinvestimento presente no método do VPL convencional e nas formulações do método do VPL fuzzy propostas por [13, 14, 18, 19], entre outros.

2 O Método do Valor Presente Líquido Modificado

O método do VPL convencional apresenta algumas deficiências que podem levar a erros de interpretação nas decisões de investimento das empresas. Essas deficiências estão relacionadas, principalmente, ao fato de que o método do VPL convencional baseia-se nos seguintes pressupostos:

• Fluxos de caixa intermediários positivos são reinvestidos a uma taxa de retorno igual à taxa de desconto ajustada ao risco do projeto (TDAR), em vez da taxa de oportunidade de reinvestimento da empresa;

• Fluxos de caixa negativos, posteriores ao investimento inicial, são descontados à TDAR, em vez da taxa de oportunidade de financiamento da empresa (custo médio ponderado de capital, CMPC).

Estes problemas têm sido investigados e alguns autores propuseram modelos alternativos para o método VPL convencional, conhecido como métodos modificados do VPL. Na prática, estes métodos são versões melhoradas do método do VPL convencional, que eliminam os problemas em relação ao pressuposto do reinvestimento dos fluxos de caixas intermediários, e diferentes versões são conhecidas por diferentes nomes e siglas [5-8].

Apesar de mais recentes, os modelos propostos em [6-8] são uma simplificação daquele apresentado em [5]. Portanto, este último é usado neste trabalho, uma vez que é uma proposta mais abrangente e totalmente compatível com o método da TIRM proposto em [2]. O uso de taxas de financiamento e de reinvestimento é mais adequado para a análise, uma vez que na prática existem diferenças entre essas taxas (que são associadas ao retorno das instituições que fazem a intermediação financeira).

De acordo com o XxXxxxx e Girma [5], a equação geral do valor presente líquido modificado (VPLM) é:

n ∑ FCit (1+ ktr )n−t VPLM =  t=1       − n   FCot ∑ (1+ ktdar)n t=0 (1+ kcmpc)t (1)

onde, FCit é o fluxo de caixa líquido positivo no final do período t, n é o tempo de vida do projeto, ktr é a taxa de reinvestimento, ktdar é a taxa de desconto ajustada ao

risco, FCot é o fluxo de caixa líquido negativo ao final do período t, e kcmpc é a taxa de financiamento.

O numerador do primeiro termo à direita da equação (1) é a soma de todos os fluxos de caixa positivos capitalizados à taxa de reinvestimento até o último período do projeto (n). Esse montante, chamado de valor terminal (VT), é descontado à taxa de desconto ajustada ao risco até o período zero do projeto. O segundo termo à direita é a soma de todos os fluxos de caixa negativos descontados à taxa de financiamento até o período zero do projeto. Esta soma é chamada de valor presente (VP). Assim, VT e VP podem ser escritos como:

n VT = ∑ FCit (1+ ktr ) n−t t=1 (2)

n   FC VP = ∑ ot t=0 (1+ kcmpc )t (3)

Com os fluxos de caixa negativos (FCot) e os fluxos de caixa positivos (FCit) concentrados nos períodos zero (VP) e n (VT), respectivamente, o VPLM torna-se:

VPLM = VT −VP (1+ ktdar ) n (4)

O critério de decisão associado com o método do VPLM é idêntico ao do VPL convencional, isto é, aceitar os projetos se o VPLM for positivo e rejeitá-los caso o VPLM seja negativo. Um VPLM igual a zero indica indiferença.

Exemplo 1. Considere o problema de finanças [20] referente aos fluxos de caixa líquidos associados a um projeto de investimento de extração de petróleo. O projeto pode ser definido como uma saída de caixa no valor de $1.600 no ano zero, para a instalação de uma bomba maior em um poço de petróleo em operação. A nova bomba permite a extração adicional de $10.000 em petróleo no ano 1. No entanto, como consequência desta instalação, a capacidade do poço é parcialmente esgotada dentro deste ano. Como resultado, a produção diminui em $10.000 em petróleo no ano 2. Os fluxos de caixa líquidos do projeto são –$1.600, $10.000 e –$10.000 nos anos 0, 1 e 2, respectivamente. Admitindo-se que o projeto é de baixo risco e que a taxa de reinvestimento (ktr), a taxa de financiamento (kcmpc) e a taxa de desconto ajustada pelo risco (ktdar) são de 12%, 10% e 5% ao ano, respectivamente, o VPLM é de $294,27. Como este valor é positivo, o projeto deve ser aprovado. Por outro lado, o uso do método convencional do VPL resultaria em um valor igual a –$1.146,49, o que levaria à rejeição do projeto. O cálculo do VPLM é apresentado na Tabela 1.

Tabela 1. Cálculo do VPLM para o problema da bomba de petróleo

	Ano
0	1	2

Fluxos de Caixa Líquidos	– 1.600,00	10.000,00	– 10.000,00
Fluxos de Caixa Negativos a 10%	– 8.264,46	⇦⇦ ⇩⇦⇦⇦⇦⇦⇦⇦⮰
Fluxos de Caixa Positivos a 12%		⮱⇨⇨⇨	11.200,00
Valor Presente	– 9.864,46	Valor Terminal	11.200,00
Taxa de desconto ajustada ao risco: 5%
VPLM = 11.200/(1+0,05)2 – 9.846,46 = 294,27

3 O Método do VPLM sob Condições de Incerteza

Na equação (1) é assumido que os fluxos de caixa, a taxa de reinvestimento, a taxa de financiamento e a taxa de desconto ajustada ao risco são estabelecidas com precisão. No entanto, não é fácil determinar o valor exato desses parâmetros e variações imprevistas podem até mesmo inviabilizar um projeto considerado inicialmente como de elevado retorno.

Na modelagem tradicional de problemas de orçamento de capital, os parâmetros incertos são geralmente representados por distribuições de probabilidade. Esta abordagem é adequada para representar a natureza estatística das incertezas e o método de Monte Carlo é frequentemente utilizado para os cálculos práticos. No entanto, existem muitas situações onde os dados estatísticos não podem ser estabelecidos e os parâmetros são determinados subjetivamente. Além disso, a incerteza não vem sempre do caráter aleatório dos parâmetros envolvidos. Por exemplo, na frase “este projeto irá proporcionar um alto retorno nos próximos 10 ou 15 anos”, diferentes interpretações do termo "alto" e a incerteza sobre a vida útil do projeto podem ser uma fonte de ambiguidade e imprecisão.

Em tais situações, a modelagem de problemas de orçamento de capital pode ser melhorada pelo uso de uma abordagem alternativa. Os conceitos de conjuntos fuzzy

[21] são muito úteis para lidar com parâmetros incertos ou imprecisos na forma de variáveis linguísticas. Números fuzzy são especialmente úteis para a quantificação de informações imprecisas ou ambíguas [22]. Vários autores têm investigado o uso de conjuntos fuzzy na tomada de decisão sob incerteza [23, 24] e uma ampla revisão da literatura pode ser encontrada em [25].

3.1 O VPLM com Fluxos de Caixa e Taxas Fuzzy

Vamos supor que os fluxos de caixa, as taxas de financiamento e de reinvestimento e a taxa de desconto ajustada ao risco de um projeto de investimento sob condições de incerteza são representados por números fuzzy triangulares. Tais números fuzzy assumem a forma mostrada na Figura 1, onde um hipotético α-cut também é indicado [26, 27].

Fig. 1. Número fuzzy triangular Um número fuzzy L-R pode ser expresso como:

Aα = [al(α ) , ar(α ) ] (5)

onde, l(α) representa o segmento de linha à esquerda do número fuzzy e r(α), o segmento de linha à direita.

A notação α-cut também é usada com muita freqüência. Neste caso:

al (α ) − a1 a3 − ar(α ) = α , = α a2 − a1 a3 − a2 (6)

Tal que:

al(α) = a1 + (a2 − a1 )α , ar(α) = a3 + (a2 − a3 ) α (7)

Assim,

Aα = [al(α) , ar(α) ] = [a1 + (a2 − a1 )α , a3 +(a2 − a3 )α] (8)

A partir da equação (8), as notações matemáticas para os números fuzzy triangulares correspondentes aos fluxos de caixa (FCt), às taxas de reinvestimento (ktr) e de financiamento (kcmpc) e à taxa de desconto ajustada ao risco (ktdar) podem ser estabelecidas.

FCt α =[FCt l + (FCt − FCt l )α , FCt r − (FC r − FCt )α] α ∈[0,1] t (9)

ktrα = [ktrl + (ktr − ktrl )α , ktrr − (ktrr − ktr )α] α ∈[0,1] (10)

kcmp α = [kcmp l + (kcmpc − kcmp l )α , kcmp r − (kcmp r − kcmpc)α] α ∈[0,1] c c c c c (11)

ktda α = [ktda l + (ktdar − ktda l )α , ktda r − (ktda r − ktdar)α] α ∈[0,1] r r r r r (12)

Para simplificar, o cálculo do VPLM com fluxos de caixa e taxas de desconto fuzzy será dividido em três etapas:

Passo 1: Cálculo do Valor Terminal Fuzzy (VT α).

O valor terminal fuzzy (VT α) é a soma de todos os fluxos de caixa líquidos positivos (FC α) capitalizados à taxa de reinvestimento fuzzy (k α):

i tr

VT α = FCα (1 + kα )n−1 + FCα (1+ kα )n−2 + ...+ FCα (1 + kα )0 FCα > 0 i1 tr i2 tr in tr it (13)

De acordo com [28], cada intervalo que define um número fuzzy satisfaz as condições a seguir:

[xx , xx ] x [xx , xx ] = [al + bl , ar + br ] [al , xx ]x [xx , xx ] = [al xb l , ar xb r ] al ≥ 0 x xx x 0 [xx , xx ] ÷[bl , br ] = [al / br , ar / bl ] al > 0 x xx x 0 [xx , xx ] ÷[bl , br ] = [al / b1, ar / br ] ar < 0 x xx x 0 [0,0] x[xx , xx ] = [1/ br ,1/ bl ] (14)

Aplicando as condições estabelecidas em (14) na expressão (13):

VT α = [FCl(α ) x(1 + k l(α ) )n−1, FC r(α ) x(1 + k r(α ) )n−1] + i1 tr i1 tr [FCl(α ) x(1 + k l(α ) )n−2, FC r(α ) x(1 + k r(α ) )n−2 ] + ...+ [FCl(α ) , CFr(α ) ] i2 tr i2 tr in in (15)

onde:

VT l(α ) = FCl(α ) x(1+ kl(α ) )n−1 + FCl(α ) x(1+ kl(α ) )n−2 + ...+ FCl(α ) i1 tr i2 tr in (16)

VT r(α ) = FCr(α ) x(1+ kr(α ) )n−1 + FCr(α ) x(1+ kr(α ) )n−2 + ...+ FCr(α ) i1 tr i2 tr in (17)

Passo 2: Cálculo do Valor Presente Fuzzy (VP α).

O valor presente fuzzy (VPα) é a soma de todos os fluxos de caixa líquidos negativos descontados à taxa de financiamento fuzzy (kcmpcα):

α α FC α FC α FC α α o1 o2 on VP = FCo0 + ( α )1 + ( α )2 + ...+ ( α )n CFot < 0 1+ kcmpc 1+ kcmpc 1+ kcmpc (18)

Aplicando as condições estabelecidas em (14) na expressão (18):

α l (α ) r(α ) FCl (α ) FC r(α ) FCl (α ) FC r(α ) VP = [XXx0 , XXx0 ] + [   o1 ,   o1 ] + ...+ [   on ,    on ] 1+ kcmpc 1+ kcmpc (1+ kcmpc ) (1+ kcmpc ) l (α ) r(α ) l (α ) n r(α ) n (19)

onde:

l (α ) l (α ) FCl (α ) FCl (α ) FCl (α ) o1 o2 on VP = FCo0 + ( + l (α ) )1 + ( l (α ) )2 + ...+ ( l (α ) )n 1 kcmpc 1 + kcmpc 1 + kcmpc (20)

r (α ) r (α ) FC r(α ) FC r (α ) FC r (α ) o1 o2 on VP = FCo0 + ( + r (α ) )1 + ( r (α ) )2 + ...+ ( r(α ) )n 1 kcmpc 1 + kcmpc 1 + kcmpc (21)

Passo 3: Cálculo do Valor Presente Líquido Modificado Fuzzy (VPLM α). Da equação (4), o VPLM α pode ser representado como:

α VT α α VPLM = − VP (1 + kα )n tdar (22)

Aplicando as condições estabelecidas em (14) na expressão (22):

α VT l (α ) VT r(α ) l(α ) r(α ) VPLM = [ , ] − [VP ,VP ] (1 + k r(α ) ) n (1 + k l(α ) ) n tdar tdar (23)

onde:

l (α ) VT l(α ) l (α ) VPLM = −VP (1+ k r(α ) ) n tdar (24)

r(α ) VT r(α ) r(α ) VPLM = − VP (1 + k l (α ) ) n tdar (25)

0

Exemplo 2. Assuma que, no exemplo 1, os fluxos de caixa, a taxa de reinvestimento, a taxa de financiamento e a taxa de desconto ajustada ao risco são estabelecidos por um perito como os seguintes números fuzzy triangulares: FC α = (– 1.600, – 1.600, –

1.600), FC α = (9.000, 10.000, 11.000), FC α = (– 11.000, – 10.000,– 9.000), k α =

1

(11%, 12%, 13%), k

2

cmpc

α = (9%, 10%, 11%) e k

tdar

tr

α = (4%, 5%, 6%).

i

a) Cálculo dos valores de FC α:

Os fluxos de caixa fuzzy são expressos como:

0

FCα =[−1600 + (−1600 + 1600)α ,

−1600 − (1600 + 1600)α ] =[−1600,

−1600]

1

FCα =[9000 + (10000 − 9000)α ,

11000 − (11000 −10000)α ]

=[9000 + 0000x , 00000 −1000α ]

2

FCα =[−11000 − (−11000 + 00000)x , x 0000 x (x00000 + 9000)α ]

=[−11000 + 1000α , − 0000 x0000x ]

Para α = 0:

0

FCα =0 =[−1600,

−1600]

1

FCα =0 =[9000 + 1000x0,

11000 −1000x0] =[9000,

11000]

2

FCα =0 = [−11000 + 1000x0, − 9000 −1000x0, ] =[−11000,

− 9000]

Os valores de FC0 α, FC1 α e FC2 α são mostrados na Tabela 2 para diferentes valores de α.

Tabela 2. Valores de FC0 α, FC1 α e FC2 α

0 1 2

FC α FC α FC α

0 0

l(α) FC 1	r(α) FC 1
9,000	11,000
9,100	10,900
9,200	10,800
9,300	10,700
9,400	10,600
9,500	10,500
9,600	10,400
9,700	10,300
9,800	10,200
9,900	10,100
10,000	10,000

l(α) FC 2	r(α) FC 2
-11,000	-9,000
-10,900	-9,100
-10,800	-9,200
-10,700	-9,300
-10,600	-9,400
-10,500	-9,500
-10,400	-9,600
-10,300	-9,700
-10,200	-9,800
-10,100	-9,900
-10,000	-10,000

α FC l(α) FC r(α)

0	-1,600	-1,600
0.1	-1,600	-1,600
0.2	-1,600	-1,600
0.3	-1,600	-1,600
0.4	-1,600	-1,600
0.5	-1,600	-1,600
0.6	-1,600	-1,600
0.7	-1,600	-1,600
0.8	-1,600	-1,600
0.9	-1,600	-1,600
1.0	-1,600	-1,600

b) Cálculo dos valores de ktrα, k

α cmpc

α

e k

tdar

Utilizando os mesmos procedimentos acima, os diferentes valores de ktrα, kcmpcα e ktdarα

são calculados e mostrados na Tabela 3.

Tabela 3. Valores de ktrα, kcmpcα e ktdarα

0	11.0	13.0
0.1	11.1	12.9
0.2	11.2	12.8
0.3	11.3	12.7
0.4	11.4	12.6
0.5	11.5	12.5

l(α) kcmpc	kcmpcr(α)
9.0	11.0
9.1	10.9
9.2	10.8
9.3	10.7
9.4	10.6
9.5	10.5

l(α) ktdar	r(α) ktdar
4.0	6.0
4.1	5.9
4.2	5.8
4.3	5.7
4.4	5.6
4.5	5.5

ktrα (%) kcmpcα (%) ktadrα (%) α ktrl(α) ktrr(α)

0.6	11.6	12.4		9.6	10.4		4.6	5.4
0.7	11.7	12.3		9.7	10.3		4.7	5.3
0.8	11.8	12.2		9.8	10.2		4.8	5.2
0.9	11.9	12.1		9.9	10.1		4.9	5.1
1.0	12.0	12.0		10.0	10.0		5.0	5.0

c) Cálculo dos Valores Terminais Fuzzy (VT α)

Das equações (16) e (17), o VT α para α = 0 é expresso como:

VT l(α =0) = FC l(α =0) x(1+ k l(α =0) )1 = 9.000x(1+ 0,11) = 9.990

i1 tr

VT r(α =0) = FC r(α =0) x(1+ k r(α =0) )1 = 11.000x(1+ 0,13) = 12.430

i1 tr

d) Cálculo dos Valores Presentes Fuzzy (VP α)

Das equações (20) e (21), o VP α para α = 0 é expresso como:

o0

VPl (α =0)

= FC l (α =0)

FC l (α =0)

( 2)1 + k

+   o2   = −1,600 +

l (α =0)

cmpc

−11,000

(1 + 0.09)2

= −10,858.48

o0

VPr (α =0)

= FC r (α =0)

FC r (α =0)

( 2)1 + k

+   o2   = −1,600 +

l (α =0)

cmpc

− 9,000

(1 + 0.11)2

= −8,904.60

e) Cálculo do Valor Presente Líquido Modificado (VPLM α)

Das equações (24) e (25), o VPLM α para α = 0 é:

VPLM VPLM

l (α =0)

r (α =0)

= TVl (α =0) −

(1 + r (α =0) 2 VPk )

tdar

(1 + l (α =0) 2 VPk )

= VT r (α =0) −

radr

l (α =0)

r (α =0)

= 9,990.00 −10,858.48 = −1,967.42

(1 + 0.06)2

= 12,430.00 − 8,904.60 = 2,587,63

(1 + 0.04)2

Os valores de VT α, VP α e VPLM α são mostrados na Tabela 4, para diferentes valores de α e uma representação gráfica do VPLM α é apresentada na Figura 2.

Tabela 4. Valores de VTα, VPα e VPLMα

VTα VPα VPLM

α VTl(α) VTr(α) VPl(α) VPr(α) VPLM(α) VPLMr(α)

0	9.990,00	12.430,00		-10.858,48	-8.904,60		-1.967,42	2.587,63
0,1	10.110,10	12.306,10		-10.757,50	-8.999,09		-1.742,55	2.356,74
0,2	10.230,40	12.182,40		-10.656,88	-9.093,91		-1.517,40	2.126,21
0,3	10.350,90	12.058,90		-10.556,61	-9.189,06		-1.291,97	1.896,03
0,4	10.471,60	11.935,60		-10.456,69	-9.284,54		1.066,26	1.666,20
0,5	10.592,50	11.812,50		-10.357,12	-9.380,35		-840,26	1.436,71
0,6	10.713,60	11.689,60		-10.257,89	-9.476,50		-613,96	1.207,56
0,7	10.834,90	11.566,90		-10.159,02	-9.572,98		-387,36	978,75
0,8	10.956,40	11.444,40		-10.060,49	-9.669,80		160,46	750,26
0,9	11.078,10	11.322,10		-9.962,30	-9.766,96		66,75	522,10
1.0	11.200,00	11.200,00		-9.864,46	-9.864,46		294,27	294,27

A área com VPLM negativo indica que há uma grande possibilidade de que o projeto não seja indicado como aceitável. De acordo com Chiu e Park [18], esta possibilidade pode ser calculada dividindo a área negativa pela área total, que neste caso resultaria em 35%.

Fig. 2. VPLM Fuzzy

3.2 A função VPLMfuzzy

Como o cálculo do VPLM sob condições de incerteza, para um projeto de investimento com fluxos de caixa e taxas representados por números fuzzy triangulares, é bastante difícil e complexo, uma nova função financeira, denominada VPLMfuzzy, foi desenvolvida em Visual Basic for Applications do MS-Excel. Essa função considera o custo dos investimentos e os juros recebidos nos reinvestimentos do capital, e tem a sua sintaxe apresentada no Quadro 1. A utilização desta função é mostrada no Exemplo 3.

Quadro 1. Sintaxe da Função VPLMfuzzy

VPLMfuzzy (valores, taxa_reinvestimento, taxa_financiamento, taxa_risco, grau, tipo)

Onde:

Valores são matrizes ou referências às células que contém números. Esses números representam os valores dos fluxos de caixa fuzzy que ocorrem em períodos regulares, ao final de cada período;

Taxa_reinvestimento são as taxas de juros fuzzy recebidas no reinvestimento dos fluxos de caixa fuzzy positivos.

Taxa_financiamento são as taxas de juros fuzzy cobradas no financiamento dos fluxos de caixa fuzzy negativos.

Taxa_risco são as taxas de descontos ajustadas ao risco a ser aplicadas ao valor terminal dos fluxos de caixa positivos.

Grau é o grau de pertinência correspondente ao VPLMfuzzy(α) que se deseja calcular;

Tipo é um valor lógico: 0, corresponde ao cálculo do VPLMfuzzyleft(α) e 1, ao do VPLMfuzzyright(α).

Fonte: Elaboração própria

Exemplo 3. Admitindo-se que os valores fuzzy do investimento inicial e dos fluxos de caixa do Exemplo 2 estão inseridos nas células B3:D3, B4:D4 e B5:D5 de uma planilha MS-Excel; que as taxas de reinvestimento, de financiamento e de desconto ajustada ao risco estão inseridas nas células G3:I3, G4:I4 e G5:I5; e que α = zero está

inserido na célula G8, o valor presente líquido modificado fuzzy é calculado, a partir da função VPLMfuzzy, como se segue:

VPLMfuzzy l(α=0):

=VPLMfuzzy(B3:B5;C3:C5;D3:D5;G3:I3;G4:I4;G5:I5;G8;0)

VPLMfuzzy r(α=0):

=VPLMfuzzy(B3:B5;C3:C5;D3:D5;G3:I3;G4:I4;G5:I5;G8;1)

Isto resulta em VPLMfuzzy l(α=0) = – $1.967,42 e VPLMfuzzy r(α=0) = $2.587,63, que são iguais aos valores obtidos manualmente.

4. Conclusões

A associação de números fuzzy ao método do valor presente líquido modificado mostrou-se adequada para resolver problemas de avaliação de investimentos. A abordagem proposta é simples e faz menos hipóteses do que os modelos tradicionais de tratamento da incerteza quanto ao comportamento das variáveis relacionadas, o que é muito útil para os decisores. A função VPLMfuzzy mostrou um bom desempenho e grande facilidade de utilização, o que é uma característica essencial para o uso profissional.

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