MATEMA´TICA FINANCEIRA
MATEMA´TICA FINANCEIRA
P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica para Empresas
Xxxxx Xxxx
Departamento de Matem´atica & CMA da FCT/UNL
Junho 2021
Introduc¸˜ao/Motivac¸˜ao
Um produto derivado ou direito contingente ´e um produto financeiro (traduzido num contrato) que ´e definido em fun¸c˜ao de algum activo mais b´asico usualmente designado por ativo subjacente.
Exemplo 1.1
De entre os produtos derivados mais usuais e que iremos definir mais `a frente temos por exemplo os contratos Forward ou de Futuros e as Op¸c˜oes.
Ativos subjacentes
J´a os activos subjacentes mais usuais s˜ao as ac¸c˜oes de empresas cotadas em bolsa, mas tamb´em podem ser mat´erias primas como o petr´oleo, g´as natural, metais preciosos ou cereais, passando por divisas (moeda estrangeira) ou at´e obriga¸c˜oes (t´ıtulos de d´ıvida).
O pre¸co do produto derivado depende do pre¸co do ativo subjacente e do respectivo modelo de evolu¸c˜ao de pre¸cos.
O objetivo ´e determinar os pre¸cos dos produtos derivados, de forma consistente com os prec¸os do activo subjacente e de uma forma u´nica.
Contexto inicial
Dois instantes de tempo t = 0 (atual) e t = T (maturidade).
O processo St, t ∈ [0, T ], representa a evolu¸c˜ao dos pre¸cos do ativo subjacente no intervalo [0, T ].
Em t = 0 o pre¸co do ativo subjacente S0 ´e observ´avel (conhecido), mas numa qualquer data futura t ∈ [0, T ] o pre¸co do ativo subjacente St ´e aleat´orio, pelo que ser´a desconhecido `a data t = 0.
Defini¸c˜ao 1.1 (Contrato Forward)
Um contrato Forward ´e um contrato entre duas partes para comprar ou vender uma certa quantidade do ativo subjacente a um determinado pre¸co (pre¸co de exerc´ıcio) e com entrega numa determinada data futura T (data de maturidade).
Observa¸c˜ao 1.2
Do comprador diz-se que assume uma posi¸c˜ao longa e do vendedor diz-se que assume uma posic¸˜ao curta. J´a o pre¸co de exerc´ıcio ´e estabelecido na data de celebra¸c˜ao do contrato e ´e usualmente definido de modo a que nessa data o custo associado ao contrato seja zero (designando-se nessa situa¸c˜ao por pre¸co forward).
Considere-se um contrato Forward assinado hoje para a compra de 1000 barris de xxxxxxxxx a $60 por barril (pre¸co de exerc´ıcio) daqui por 6 meses (maturidade).
Suponha-se que daqui por 6 meses o pre¸co do petr´oleo ´e de $55 por barril. Como ficam as duas partes?
J´a se o pre¸co daqui por 6 meses subir para $65 por barril a situa¸c˜ao inverte-se e nesse caso como ficam as duas partes?
Relativamente `a data de maturidade T.
O valor de uma posi¸c˜ao longa num contrato Forward com pre¸co de exerc´ıcio K, ´e dado por:
Φ(ST ) = ST − K
O valor de uma uma posic¸˜ao curta num contrato Forward com pre¸co de exerc´ıcio K, ´e dado por:
Φ(ST ) = K − ST
O lucro (cash-flow) na data de maturidade T , associado `as posi¸c˜oes longa/curta num contrato Forward com pre¸co de exerc´ıcio K est´a representado na figura.
Lucro
Posição Longa
Lucro
Posição Curta
X
X
X X
XX XX
Xxxxxx 0: Lucros associados a posi¸c˜oes longa/curta num contrato Forward
Op¸c˜ao - s.f. Faculdade, a¸c˜ao de optar, de escolher entre duas ou v´arias coisas. Dir. Direito de opc¸˜ao, faculdade, concedida por lei, de preferir uma de duas ou mais coisas, um de dois ou mais direitos.
Op¸c˜ao de Compra (Call) - Uma opc¸˜ao que permite comprar um ativo por um certo pre¸co numa determinada data.
Op¸c˜ao de Venda (Put) - Uma opc¸˜ao que permite vender um ativo por um certo pre¸co numa determinada data.
Op¸c˜ao Europeia - Op¸c˜ao que s´o pode ser exercida na maturidade.
Op¸c˜ao Americana - Op¸c˜ao que pode ser exercida em qualquer momento at´e `a sua maturidade.
Op¸c˜ao Asi´atica - Op¸c˜ao com um retorno que depende do prec¸o m´edio do activo subjacente num certo intervalo de tempo.
Op¸c˜ao Barreira - Op¸c˜ao cujo retorno depende do pre¸co do activo subjacente atingir uma certa barreira.
Defini¸c˜ao 1.2 (Op¸c˜oes Europeias)
Uma Op¸c˜ao de Compra (Venda) Europeia, com pre¸co de exerc´ıcio K e maturidade T, sobre um ativo subjacente de pre¸co S ´e um contrato com as seguintes cl´ausulas:
O detentor da op¸c˜ao tem, `a data T, o direito de comprar (vender) uma unidade do ativo subjacente ao pre¸co K.
O detentor da op¸c˜ao n˜ao ´e de nenhuma forma obrigado a comprar (vender) o ativo subjacente.
O direito de comprar (vender) o ativo subjacente ao pre¸co K s´o pode ser exercido na data T.
Observa¸c˜ao 1.4
Ao contr´ario dos contratos Forward, as Opc˜oes ter˜ao um custo inicial.
Considere-se uma situa¸c˜ao an´aloga `a do exemplo 1.2, isto ´e, considere-se uma op¸c˜ao de compra adquirida hoje para a compra de 1000 barris de xxxxxxxxx a $60 por barril daqui por 6 meses.
Se daqui por 6 meses o pre¸co do petr´oleo for de $55 por xxxxxx, o que dever´a acontecer?
Se o pre¸co daqui por 6 meses subir para $65 por xxxxxx, o que dever´a acontecer?
Considere-se uma situa¸c˜ao an´aloga `a do exemplo 1.2, isto ´e, considere-se uma op¸c˜ao de compra adquirida hoje para a compra de 1000 barris de xxxxxxxxx a $60 por barril daqui por 6 meses.
Se daqui por 6 meses o pre¸co do petr´oleo for de $55 por barril, o comprador/detentor da op¸c˜ao n˜ao exercer´a o contrato. A perda para o detentor da op¸c˜ao ser´a o custo inicial que pagou pela mesma.
Se o pre¸co daqui por 6 meses subir para $65 por barril o detentor da op¸c˜ao exercer´a a opc¸˜ao pois poder´a atrav´es desse contrato comprar o petr´oleo a um pre¸co inferior ao pre¸co de mercado. A op¸c˜ao resultar´a num lucro de $5000 ao qual ter´a de subtrair o custo inicial da mesma.
Relativamente `a data de maturidade T.
−C T T
O valor de uma op¸c˜ao de compra Europeia `a data T com pre¸co de exerc´ıcio K, ´e dado por:
Φ (S ) = max(S K, 0) = ST − K, ST > K
0, ST ≤ K
P T − T
O valor de uma op¸c˜ao de venda Europeia `a data T com pre¸co de exerc´ıcio K, ´e dado por:
Φ (S ) = max(K S , 0) = K − ST , K > ST
0, K ≤ ST
O lucro (cash-flow) na data de maturidade T , associado `a compra de op¸c˜oes de compra/venda Europeias com pre¸co de exerc´ıcio K est´a representado na figura.
Lucro
Call Option
Lucro
Put Option
K
K
ST ST
–c0 – p0
Figura 2: Lucros associados a op¸c˜oes de compra e venda Europeias
Lucro
Posição Longa+Opção de Compra
Lucro
Posição Curta+Opção de Venda
-c0
ST ST
K
K
-p0
Figura 3: Lucros associados a Op¸c˜oes e contratos Forward
Estrat´egias de Investimento
posic¸˜ao longa no ativo subjacente;
posic¸˜ao curta numa op¸c˜ao de compra sobre esse mesmo ativo.
Lucro
Covered Call
K
ST
Figura 4: Lucro associado a uma covered call
1xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxxxxx.xxx
O lucro desta estrat´egia na maturidade, pode ser resumido por:
L = ST − max(ST − K, 0) − s + c
onde ST representa o pre¸co do ativo na maturidade, K o prec¸o de exerc´ıcio, s o prec¸o inicial de compra do ativo e c o preco da opc¸˜ao de compra.
Para diferentes valores do ativo subjacente (na maturidade), temos o lucro da covered call, resumido na tabela 1.
Estrat´egia | ST ≤ K | ST > K |
long ativo short call | ST − s c | ST − s K − ST + c |
Total | ST − s + c | K − s + c |
Tabela 1: Lucro covered call
posic¸˜ao curta no ativo subjacente;
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de compra sobre esse mesmo ativo.
Lucro
Reverse of covered Call
K
ST
Figura 5: Lucro associado a uma reverse covered call
L = −(ST − max(ST − K, 0) − s + c)
Q: Construa a tabela do lucro correspondente.
L = −(ST − max(ST − K, 0) − s + c)
Q: Construa a tabela do lucro correspondente.
R:
Estrat´egia | ST ≤ K | ST > K |
short S long call | −ST + s −c | −ST + s −K + ST − c |
Total | −ST + s − c | −K + s − c |
Tabela 2: Lucro reverse covered call
posic¸˜ao longa no ativo subjacente;
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de venda sobre esse mesmo ativo.
Lucro
Protective Put
K
ST
Figura 6: Lucro associado a uma protective put
2xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxxxx-xxx.xxx
L = ST + max(K − ST , 0) − s − p
com p o custo da op¸c˜ao de venda.
Q: Construa a tabela do lucro correspondente.
L = ST + max(K − ST , 0) − s − p
com p o custo da op¸c˜ao de venda.
Q: Construa a tabela do lucro correspondente.
Estrat´egia | ST < K | ST ≥ K |
long S long put | ST − s K − ST − p | ST − s −p |
Total | K − s − p | ST − s − p |
R:
Tabela 3: Lucro protective put
Uma posi¸c˜ao curta numa protective put, ou seja, uma posi¸c˜ao curta no ativo e na op¸c˜ao de venda ´e designada por reverse protective put.
Bull spreads Call Put
Bear spreads
Call Put
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K1; posic¸˜ao curta numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K2 onde K1 < K2.
Lucro
Bull Spread Call
K1
K2
ST
Figura 7: Lucro associado a uma bull spread call
3xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxxxxxxxx.xxx
Com esta estrat´egia o investidor acredita na subida do preco do ativo, da´ı a utiliza¸c˜ao do termo bull.
A fun¸c˜ao de lucro associada `a estrat´egia Bull Spread Call ´e a seguinte:
−c1 + c2, ST ≤ K1
L = max(ST − K1, 0) − max(ST − K2, 0) − c1 + c2 =
= ST − K1 − c1 + c2, K1 < ST ≤ K2 K2 − K1 − c1 + c2, ST > K2
onde c1 e c2 s˜ao os custos das op¸c˜oes com pre¸cos de exerc´ıcio K1 e K2, respectivamente.
Repare-se que K1 < K2 ⇒ c1 > c2 (porquˆe?) e que o ganho m´aximo ´e dado por K2 − K1 − c1 + c2 enquanto que a perda m´axima ´e dada por
−c1 + c2.
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de venda com pre¸co de exerc´ıcio K1; posic¸˜ao curta numa op¸c˜ao de venda com pre¸co de exerc´ıcio K2 onde K1 < K2.
Lucro
Bull Spread Xxx
X0
X0
XX
Xxxxxx 0: Lucro associado a uma bull spread put
4xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxxxxxxx.xxx
Q: Descreva o lucro desta estrat´egia e compare com o lucro associado `a
bull spread call.
Q: Descreva o lucro desta estrat´egia e compare com o lucro associado `a
bull spread call.
R:
L = max(K1 − ST , 0) − max(K2 − ST , 0) − p1 + p2 =
K1 − K2 − p1 + p2, ST ≤ K1
= ST − K2 − p1 + p2, K1 < ST < K2
−p1 + p2, ST ≥ K2
onde p1 e p2 s˜ao os custos das op¸c˜oes com pre¸cos de exerc´ıcio K1 e K2, respectivamente.
Repare-se que K1 < K2 ⇒ p2 > p1 (porquˆe?) e que esta estrat´egia ´e similar, em termos de lucro, `a bull spread call.
posic¸˜ao curta numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K1; posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K2
onde K1 < K2.
O lucro desta estrat´egia ser´a dado por:
c1 − c2, ST ≤ K1
L = −max(ST − K1, 0) + max(ST − K2, 0) + c1 − c2 =
= −ST + K1 + c1 − c2, K1 < ST ≤ K2 K1 − K2 + c1 − c2, ST > K2
5xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxxxxxxxx.xxx
R:
Lucro
Bear Spread Call
K1
K2
ST
Figura 9: Lucro associado a uma bull spread call
posic¸˜ao curta numa op¸c˜ao de venda com pre¸co de exerc´ıcio K1; posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de venda com pre¸co de exerc´ıcio K2 onde K1 < K2.
Lucro
Bear Spread Xxx
X0
X0
XX
Xxxxxx 00: Lucro associado a uma bull spread put
6xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxxxxxxx.xxx
O lucro desta estrat´egia ser´a dado por:
L = −max(K1 − ST , 0) + max(K2 − ST , 0) + p1 − p2 =
−K1 + K2 + p1 − p2, ST < K1
= K2 − ST + p1 − p2, K1 ≤ ST < K2
p1 − p2, ST ≥ K2
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K1; posic¸˜ao curta de duas opc¸˜oes de compra com pre¸co de exerc´ıcio K2 = (K1 + K3)/2.
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K3
onde K1 < K3.
Lucro
Butterfly Spread Call
K1
K2
K3
ST
Figura 11: Lucro associado a uma butterfly spread call
7xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxxxxxxxxx.xxx
Q: Escreva a fun¸c˜ao de lucro e a tabela correspondente para esta estrat´egia.
Q: Escreva a fun¸c˜ao de lucro e a tabela correspondente para esta estrat´egia.
R:
L = max(ST −K1, 0)−2max(ST −K2, 0)+max(ST −K3, 0)−c1+2c2−c3
−c1 + 2c2 − c3, ST ≤ K1
L = ST − K1 − c1 + 2c2 − c3, K1 < ST ≤ K2
−ST + K3 − c1 + 2c2 − c3, K2 < ST ≤ K3
−c1 + 2c2 − c3, K3 < ST
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K; posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de venda com pre¸co de exerc´ıcio K.
Lucro
Straddle
K
ST
Figura 12: Lucro associado a uma straddle
8xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxx.xxx
O lucro desta estrat´egia ser´a dado por:
L = max(ST − K, 0) + max(K − ST , 0) − c − p =
= K − ST − c − p, ST ≤ K ST − K − c − p, K < ST
posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de compra com pre¸co de exerc´ıcio K2; posic¸˜ao longa numa op¸c˜ao de venda com pre¸co de exerc´ıcio K1 e K1 < K2.
Lucro
Xxxxxxxx
X0
X0
XX
Figura 13: Xxxxx associado a uma strangle
9xxxxx://xxx.xxxxxxxxxxxx.xxx/xxxxx/x/xxxxxxxx.xxx
O lucro desta estrat´egia ser´a dado por:
K1 − ST − c − p, ST < K1
L = max(ST − K2, 0) + max(K1 − ST , 0) − c − p =
= −c − p, K1 ≤ ST ≤ K2 ST − K2 − c − p, K2 < ST
Opc¸˜oes, Carteiras e Arbitragem
Defini¸c˜ao 3.1
Uma opc¸˜ao de compra (venda) Americana, com pre¸co de exerc´ıcio K e maturidade T, sobre um ativo subjacente de pre¸co S ´e um contrato com as seguintes cl´ausulas:
O detentor da op¸c˜ao tem, em qualquer instante at´e `a data T, o direito de comprar (vender) uma unidade do ativo subjacente ao pre¸co K.
O detentor da op¸c˜ao n˜ao ´e de nenhuma forma obrigado a comprar (vender) o ativo subjacente.
Designemos por Ce, Pe e Ca, Pa os pre¸cos das opc¸˜oes de compra e
0 0 0 0
venda Europeias e Americanas, respectivamente, no instante t = 0.
H´a um conjunto de vari´aveis que influenciam o pre¸co das op¸c˜oes:
S0 - o pre¸co corrente do ativo subjacente.
K - o pre¸co de exerc´ıcio.
T - a maturidade.
σ - a volatilidade do pre¸co do ativo subjacente.
r - a taxa de juro sem risco.
Tabela 4: Efeito do incremento das vari´aveis, no pre¸co das op¸c˜oes
Vari´avel | Ce | Pe | Ca | Pa |
S0 K T | + − ? | − + ? | + − + | − + + |
σ | + | + | + | + |
r | + | − | + | − |
Defini¸c˜ao 3.2 (Arbitragem)
A existˆencia de uma oportunidade arbitragem, traduz-se na existˆencia de uma estrat´egia de investimento (h) cujo valor inicial ´e zero, mas o valor futuro ´e estritamente positivo com probabilidade 1.
0
T
Formalmente, se designarmos por V h o valor da estrat´egia na data inicial e V h o valor da estrat´egia na data futura T, uma oportunidade de arbitragem traduz-se em:
0
V h = 0,
T
V h > 0; P − q.c.
Diz-se que um mercado ´e livre de arbitragem se n˜ao existirem oportunidades de arbitragem.
Teorema 3.1 (Lei do pre¸co u´nico)
Suponha-se que temos um mercado sem oportunidades de arbitragem e dois ativos A e B nesse mercado. Se os pre¸cos dos ativos na data inicial s˜ao p0(A) e p0(B), respectivamente, e se na data futura T ≥ 0 os pre¸cos de A e B s˜ao iguais (quase-certamente):
pT (A) = pT (B) com probabilidade 1.
Ent˜ao,
p0(A) = p0(B).
Considere-se a seguinte nota¸c˜ao:
N - nu´mero de diferentes tipos de ativos,
hi,t- nu´mero de ativos do tipo i detidos no instante t, ht- a carteira (h1,t, ..., hN,t) detida no instante t,
Si,t- o pre¸co do ativo i no instante t,
t
V h- o valor da carteira h no instante t.
Considere-se {St = (S1,t, ..., SN,t); t ≥ 0} o processo (de dimens˜ao N) de pre¸cos dos ativos.
1 O processo valor V h da carteira h ´e dado por,
ΣV = h S , ∀t ≥ 0.i,t i,t
N
h t
i=1
2 Uma carteira h diz-se autofinanciada se o processo valor da carteira,
V h, satisfaz,
ΣdV = h dS , ∀t ≥ 0.i,t i,t
N
h t
i=1
Para uma dada carteira h a correspondente carteira relativa u `a data t, ´e dada por
hi,tSi,t
ui,t =
V h
, i = 1, ..., N,
t
e onde temos
Σ
N
u = 1.
i,t
i=1
Em termos da carteira relativa tamb´em podemos definir carteira autofinanciada.
Proposi¸c˜ao 3.2
Uma carteira h diz-se autofinanciada se o processo valor, V h, satisfaz,
dV = V
h
t
h t
Σ
N
u
xXx,x
i=1
i,t Si,t
, ∀t ≥ 0.
T
Considere-se um mercado financeiro com um vector de pre¸cos S. Um direito contingente (ou derivado) com data de maturidade T, tamb´em chamado de direito-T, ´e uma qualquer v.a. χ que seja FS−mensur´avel. Se for da forma χ = Φ(ST ) diz-se um direito simples, `a fun¸c˜ao Φ chama-se de fun¸c˜ao contrato.
Uma op¸c˜ao Europeia ´e um direito contingente simples com fun¸c˜ao de contrato Φ(x) = max[x − K, 0] pelo que Φ(ST ) = max[ST − K, 0].
Diz-se que um direito contingente Φ ´e replic´avel (ou alcan¸cavel, ou coberto), se existe uma carteira autofinanciada h tal que:
T
V h = Φ(ST ), P − q.c.
Diz-se ent˜ao que h ´e uma carteira de cobertura (ou carteira r´eplica) contra Φ.
Defini¸c˜ao 3.7
Se todos os direitos contingentes s˜ao replic´aveis ent˜ao o mercado diz-se completo.
Proposi¸c˜ao 3.3
Suponha-se que o direito Φ ´e replic´avel pela carteira h. Ent˜ao o u´nico processo de pre¸cos livre de arbitragem para o direito contingente Φ ´e,
Π(t; Φ) = V h, t ∈ [0, T ].
t
Vari´aveis Aleat´orias e Processo Browniano
Podemos definir, de forma informal, uma vari`avel aleat´oria como sendo uma fun¸c˜ao que depende de fatores aleat´orios e toma valores reais.
Exemplo 4.1
O nu´mero de pontos obtidos no lan¸camento de um dado. O tempo de vida de uma lˆampada.
O pre¸co de uma a¸c˜ao de uma empresa num determinado instante.
As vari´aveis aleat´orias s˜ao representadas por letras ma´ıusculas, X, Y , Z,
...
Diz-se que uma vari´avel aleat´oria Z tem distribui¸c˜ao normal standard, tamb´em designada por N (0, 1), se tem a seguinte fun¸c˜ao densidade,
√
1
f (x) = e
2π
2
x
− 2 , x ∈ R.
0.4
0.3
0.2
0.1
–4 –2 2 4
Uma vari´avel aleat´oria, Z, que tenha distribui¸c˜ao normal standard (ou reduzida), verifica as seguintes propriedades:
1
2
Valor esperado nulo, E[Z] = 0, Variˆancia unit´aria, V[Z] = 1,
3
Dadas constantes a e b, verifica-se que: E[aZ + b] = b e
V[aZ + b] = a2.
Para o c´alculo de probabilidade ´e muitas vezes necess´ario a utiliza¸c˜ao da
fun¸c˜ao distribui¸c˜ao cumulativa.
Defini¸c˜ao 4.1
A fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de probabilidade de uma vari´avel aleat´oria X ´e definida por:
∀x ∈ R, FX(x) = P (X ≤ x)
x
Um processo estoc´astico ´e uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias (v.a.)
X = {Xt : t ∈ T} definidas num espaco de probabilidade (Ω, F, P).
Se por exemplo temos, T = N ou T = Z temos um processo estoc´astico a tempo discreto.
Se por exemplo temos, T = [0, +∞[ ou T = R temos um processo estoc´astico a tempo cont´ınuo.
Repare-se que em rigor Xt ≡ Xt(ω) com t ∈ T e ω ∈ Ω ou seja estamos perante uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis.
Se fixarmos t ent˜ao a fun¸c˜ao Xt(.) : Ω → R ´e uma vari´avel aleat´oria; Se fixarmos ω ent˜ao a fun¸c˜ao X.(ω) : T → R ´e uma traject´oria (ou realiza¸c˜ao) do processo estoc´astico X.
Um processo estoc´astico W = (Wt)t≥0 ´e um processo Browniano se as seguintes condi¸c˜oes se verificarem:
1 W0 = 0
2 O processo W tem incrementos independentes, isto ´e, se
r < s ≤ t < u ent˜ao Wu − Wt e Ws − Wr s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes
3 Para s < t a vari´avel Wt − Ws tem distribui¸c˜ao N (0, t − s)
4 W tem traject´orias cont´ınuas, q.c.
Modelo de Black-Scholes e Opc¸˜oes Europeias
O modelo de Black-Scholes traduz-se na existˆencia de um mercado formado por dois ativos com dinˆamicas de pre¸cos dadas por:
dBt = rBtdt, B0 = 1
dSt = µStdt + σStdWt, S0 = s
onde r, µ e σ s˜ao constantes e Wt ´e um processo Browniano.
No modelo de Black-Scholes, o primeiro ativo ´e um ativo sem risco
Bt = B0ert
Ativo sem risco
Bt
B0
t
O segundo ´e um ativo dito com risco, movimento Browniano geom´etrico.
S = S e(µ− 1 σ2)t+σWt
t 0 2
Ativo com risco
St
S0
t
Objectivos
Determinar o pre¸co de direitos contingentes no modelo de Black-Scholes;
Determinar carteiras de cobertura.
O modelo de Black-Scholes ´e completo.
Teorema 5.2
No modelo de Black-Scholes, o pre¸co livre de arbitragem do direito contingente Φ(ST ) ´e dado, `a data t < T, por Π(t) = F (t, St), com
F (t, s) = e−r(T −t)Et,s[Φ(ST )]
e onde a dinˆamica do processo S em [t, T ] ´e dada por:
dSt = rStdt + σStdWt, St = s.
No modelo de Black-Scholes, a carteira autofinanciada ht(St), que replica o direito contingente Φ(ST ) cujo processo de pre¸cos (livre de arbitragem) ´e F (t, St), t ∈ [0, T ], ´e constituida por,
hB,t(St) =
∂s
F (t,St)−St ∂F (t,St)
B
t
∂s
hS,t(St) = ∂F (t, St)
ou em termos de carteira relativa,
uB,t(St) =
uS,t(St) =
F (t,St)−St ∂F (t,St)
∂s
F (t,St)
.
∂s
St ∂F (t,St)
F (t,St)
Considere-se um direito contingente que na maturidade paga ao seu detentor uma unidade monet´aria, ent˜ao Φ(ST ) = 1 e
F (t, s) = e−r(T−t)Et,s[1] = e−r(T−t)
Considere-se um direito contingente que na maturidade paga ao seu detentor o valor de mercado do ativo subjacente na maturidade, ou seja Φ(ST ) = ST e
F (t, s) = e−r(T −t)Et,s[ST ] = St.
Nota: Este u´ltimo resultado prova a usualmente designada de f´ormula de risco neutro:
St = e−r(T−t)Et,s[ST ]
Proposi¸c˜ao 5.4 (F´ormula de Black-Scholes)
t
O pre¸co de uma op¸c˜ao de compra Europeia, com pre¸co de exerc´ıcio K e maturidade T ´e dado pela f´ormula Ce(St; T, K) = F (t, St; T, ΦC), onde,
F (t, St; T, ΦC) = sN (d1(t, St)) − e−r(T −t)KN (d2(t, St)),
onde N representa a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao da distribui¸c˜ao N (0, 1) e,
d1(t, St) = σ√T − t ln + r +
K
0
0 Xx x
0
(X x x) ,
x0(x, Xx) = d1(t, St) − σ√T − t.
A carteira r´eplica ou de cobertura de uma op¸c˜ao de compra europeia no modelo de Black-Scholes ´e dada por:
B,t
t
Bt
h (S ) = −e−r(T −t)KN [d2(t,St)]
hS,t(St) = N (d1(t, St))
Deduza a f´ormula de Black-Scholes para uma op¸c˜ao de venda Europeia e determine a respectiva carteira de cobertura.
Exerc´ıcio 5.2
Defina em a f´ormula de Black-Scholes para apre¸camento de op¸c˜oes Europeias (de compra e de venda), `a data t = 0, com a indica¸c˜ao da composic¸˜ao da carteira de cobertura (assuma que B0 = 1).
Exerc´ıcio 5.3
Dado um ativo com pre¸co atual St = $55. Determine:
1
2
Qual o pre¸co de uma op¸c˜ao Europeia sobre este ativo se K = $55,
T = 1 ano, r = 2% ao ano e σ = 20% ao ano? Qual a composi¸c˜ao da carteira r´eplica desta opc¸˜ao?
Consulte os pre¸cos de op¸c˜oes sobre a¸c˜oes de empresas cotadas no Nasdaqa, por exemplo atrav´es do site Yahoo.financeb e compare esses pre¸cos com os obtidos pela f´ormula de Black-Scholes (utilize na f´ormula de Black-Scholes, as volatilidades indicadas no site e uma taxa de juro sem risco de 1%/ano).
Nota: Considere pelo menos uma opc¸˜ao in-the-money (op¸c˜ao cujo pre¸co de exerc´ıcio faz com que o seu valor, `a data presente, seja positivo) e uma opc¸˜ao out-of-the-money (op¸c˜ao cujo pre¸co de exerc´ıcio faz com que tenha valor zero `a data presente).
ahttps://xx.xxxxxxxxx.xxx/xxxx/Xxxxxx bhttps://xxxxxxx.xxxxx.xxx/
Proposi¸c˜ao 5.6
Sejam Φ e Ψ as fun¸c˜oes contrato dos direitos contingentes com maturidade T, X = Φ(ST ) e Y = Ψ(ST ). Ent˜ao para quaisquer a, b ∈ R temos a seguinte rela¸c˜ao de pre¸cos:
Exemplo 5.1
Π(t, aΦ + bΨ) = aΠ(t, Φ) + bΠ(t, Ψ).
Alguns contratos b´asicos que interessam para o nosso estudo s˜ao quando:
ΦS(ST ) = ST , ΦB(ST ) = 1
ΦC(ST ) = max(ST − K, 0), ΦP (ST ) = max(K − ST , 0)
X0 x XX , XX ≤ K1
Considere a fun¸c˜ao de contrato definida por:
Φ(ST ) =
0, K1 < ST ≤ K2 ST − K2, K2 < ST
Determine uma carteira que replique este contrato e o pre¸co livre de arbitragem do mesmo.
Exerc´ıcio 5.6
K, ST ≤ A
Considere a fun¸c˜ao de contrato definida por:
Φ(ST ) =
K + A − ST , A < ST ≤ K + A
0, K + A < ST
Determine uma carteira que replique este contrato e o prec¸o livre de arbitragem do mesmo.
Proposi¸c˜ao 5.7 (Paridade Call-Put)
Sejam Ce(St) e Pe(St) os precos de uma op¸c˜ao de compra e uma opc¸˜ao
t t
de venda Europeias, ambas sobre o mesmo ativo, com o mesmo pre¸co de
exerc´ıcio K e a mesma maturidade T. Ent˜ao ´e v´alida a seguinte rela¸c˜ao:
t
t
Pe(St) = Ce(St) + Ke−r(T −t) − St = e−r(T −t)KN (−d2) − StN (−d1)
Demonstra¸c˜ao.
Xxxxx ter em aten¸c˜ao que os contratos b´asicos apresentados anteriormente, tˆem os pre¸cos dados por:
Π(t; ΦS) = St, Π(t; ΦB) = e−r(T −t)
Π(t; ΦC) = Ce(St; T, K), Π(t; ΦP ) = Pe(St; T, K)
e que
t t
ΦP = ΦC + KΦB − ΦS
Para aprecar as op¸c˜oes europeias, usando a f´ormula de Black-Scholes, precisamos de conhecer St, r, T, K e σ. Os primeiros dois s˜ao directamente observados no mercado enquanto a maturidade e preco de exerc´ıcio s˜ao fixados no momento de celebra¸c˜ao do contrato.
O que falta, a volatilidade, ter´a de ser estimada e para isso h´a duas abordagens poss´ıveis.
Volatilidade Hist´orica: consiste em estimar a volatilidade usando o hist´orico de pre¸cos do ativo subjacente e a volatilidade observada num per´ıodo anterior `a celebra¸c˜ao do contrato;
Volatilidade Impl´ıcita: consiste em estimar a volatilidadedo do ativo subjacente pela volatilidade esperada pelo mercado para o ativo subjacente durante o periodo at´e `a maturidade, isto ´e, calculada usando o pre¸co de mercado sobre um outro direito contingente sobre o mesmo activo.
No modelo de Black-Scholes sabemos que a dinˆamica de pre¸cos do ativo com risco (num intervalo [s, t]) pode ser traduzida, por:
µ−σ2 (t−s)+σ(W −W )
St = Sse 2 t s
com Wt − Ws ∼ N (0; t − s). Daqui facilmente se conclu´ı que:
pelo que:
ln St Ss
σ2
= µ − 2
(t − s) + σ(Wt − Ws)
∼
ln St N
Ss
σ2 2
−
µ 2 (t − s); σ
(t − s)
Se tivermos observac¸˜oes S0, S1, ..., Sn do processo de pre¸cos do ativo com risco, nos instantes 0, ∆t, 2∆t, ..., n∆t.
2
Podemos definir as vari´aveis aleat´orias independendentes e idˆenticamente distribuidas:
Yi = ln
Si
Si−1
∼ N µ − σ
∆t; σ2
∆t)
, i = 1, ..., n
2
e estimar σ2∆t pela variˆancia amostral, donde obteremos:
n
u, 1 Σ 2
n
σ^ = ,(n − 1)∆t
i=1
Yi.
i=1
Yi − Y¯
Algumas regras usuais relativamente ao c´alculo da volatilidade hist´orica s˜ao as seguintes:
252
Se os pre¸cos Si, i = 0, ..., n forem di´arios e como a volatilidade ´e usualmente apresentada em termos de volatilidade anual, deve-se considerar ∆t = 1 (por norma consideram-se dias u´teis e n˜ao dias de calend´ario). Se os pre¸cos forem semanais ou mensais deve-se
52
12
considerar ∆t = 1 e ∆t = 1 , respectivamente.
Apesar de quanto maior o valor de n melhor os estimadores baseados numa amostra aleat´oria de dimens˜ao n, a volatilidade n˜ao
´e constante sob per´ıodos de tempo muito alargados, pelo que se deve considerar per´ıodos n˜ao muito longos. Uma regra usual ´e usar dados hist´oricos correspondentes a um per´ıodo que coincida com a maturidade da op¸c˜ao, isto ´e, se a maturidade T ´e de um ano, podemos usar o u´ltimo ano de dados para estimar a volatilidade.
t
t
Por exemplo, no caso de uma op¸c˜ao Europeia que j´a esteja no mercado, se estiver a ser transacionada ao pre¸co Ce, podemos estimar a volatilidade do ativo subjacente pela volatilidade que levaria `a obten¸c˜ao do prec¸o Ce por aplica¸c˜ao da f´ormula de Black-Scholes.
A volatilidade implicita σI ´e obtido como soluc¸˜ao de:
t
Ce = StN (d1(t, St)) − e−r(T −t)KN (d2(t, St)),
onde do lado direito temos a f´ormula de Black-Scholes com d1(.) e d2(.)
e N (.) j´a definidos anteriormente.
Algumas regras usuais relativamente ao c´alculo da volatilidade impl´ıcita s˜ao as seguintes:
Como a f´ormula de Black-Scholes n˜ao ´e invert´ıvel, a equa¸c˜ao do slide anterior deve ser resolvida usando m´etodos num´ericos.
Como diferentes opc¸˜oes (diferentes pre¸cos de exerc´ıcio ou diferentes maturidades) que estejam no mercado para o mesmo ativo subjacente podem originar diferentes volatilidades implicitas,
pode-se usar uma m´edia ponderada dessas volatilidades implicitas. Por vezes considera-se apenas a volatilidade implicita na opc¸˜ao que
´e mais sens´ıvel a varia¸c˜oes na volatilidade.
Se n˜ao houver no mercado opc¸˜oes sobre o mesmo ativo subjacente, podem ser consideradas opc¸˜oes sobre ativos similares para c´alculo da volatilidade implicita.
Em calcular a volatilidade hist´orica, associada aos pre¸cos di´arios das a¸c˜oes de uma qualquer empresa, do ano de 2020.
Exerc´ıcio 5.8
Dado uma op¸c˜ao de compra Europeia com pre¸co de mercado C = $5 com maturidade um ano, pre¸co de exerc´ıcio $55 sob um ativo com pre¸co atual S0 = $55 e admitindo uma taxa de juro sem risco de 1% ao ano.
Determine a volatilidade do ativo subjacente, implicita no pre¸co da op¸c˜ao.
Sugest˜ao: utilize o e a fun¸c˜ao uniroot(.) para a resolu¸c˜ao num´erica do problema.
Exerc´ıcio 5.9
Determine a volatilidade implicita para algumas das empresas listadas no Xxxxx.xxxxxxx (use uma taxa de juro sem risco de 1% ao ano) e compare essa volatilidade com a apresentada no site.
E´ importante ter-se uma ideia pr´atica de qu˜ao sensivel ´e a fun¸c˜ao de pre¸co do produto derivado em relac¸˜ao `as vari´aveis das quais depende.
Da f´ormula de Taylor aplicada `a fun¸c˜ao de apre¸camento do modelo de Black-Scholes, podemos escrever:
F (t + h, S
) − F (t, S ) ≈ ∂F (t, St)(S
∂F (t, St)
− S ) + h
t+h
∂F (t, St)
t ∂S
∂F (t, St)
t+h
t ∂t
1 ∂2F (t, St) 2
2
+ ∂r (rt+h − rt) +
∂σ (σt+h − σt) + 2
∂S2 (St+h − St)
= ∆(S
− S ) + Θh + ρ(r
− r ) + ν(σ
1
− σ ) + Γ(S
− S )
onde
t+h t
t+h t
t+h
t 2 t+h t
∆ = ∂F (t, St) , Θ = ∂F (t, St) , ρ = ∂F (t, St)
∂S
ν = ∂F (t, St) , Γ =
∂σ
∂t ∂r
∂2F (t, St)
∂S2
∆ - ´e uma medida da sensibilidade do pre¸co do produto derivado em rela¸c˜ao a altera¸c˜oes de pre¸co do ativo subjacente;
Θ - ´e uma medida da dependˆencia do pre¸co do produto derivado em rela¸c˜ao ao tempo que falta para a maturidade;
ρ - a sensibilidade do pre¸co do derivado em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao da taxa de juro sem risco;
ν - mede a sensibilidade do pre¸co do produto derivado relativamente
`a volatilidade σ;
Γ - ´e uma medida da sensibilidade de ∆ em rela¸c˜ao a altera¸c˜oes de pre¸co do ativo subjacente.
No modelo de Black-Scholes e para uma op¸c˜ao de compra Europeia com pre¸co de exerc´ıcio K e maturidade T, temos:
∆ = N (d1(t, St))
Θ = −σStϕ√(d1(t,St)) − rKe−r(T−t)N (d2(t, St))
2 T−t
ρ = K(T − t)e−r(T −t)N (d2(t, St))
ν = Stϕ(d1(t, St))√T − t
Γ = ϕ(d1√(t,St))
σSt T−t
com d1(t, St)) e d2(t, St)) definidos como na f´ormula de Black-Scholes e N (.) e ϕ(.) as fun¸c˜oes distribui¸c˜ao e densidade da N (0, 1), respectivamente.
Deduza os Greeks para uma opc¸˜ao de venda Europeia.
Exerc´ıcios
Outros Produtos Derivados no Modelo de Black-Scholes
Para opc¸˜oes Europeias simples j´a sabemos que:
Proposi¸c˜ao 6.1 (Formula de Black-Scholes)
O pre¸co de uma op¸c˜ao de compra Europeia, com pre¸co de exerc´ıcio K e maturidade T ´e dado por:
t
Ce(St; T, K) = XxX (x0) x xxx(X xx)XX (x0),
onde N representa a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao da distribui¸c˜ao N (0, 1) e,
1
d1 = σ√T − t
ln St + r + σ
(T − t) ,
K
2
2
d2 = d1 − σ√T − t.
E no caso de uma opc¸˜ao de venda Europeia nos mesmos termos,
t
Pe(St; T, K) = e−r(T −t)KN (−d2) − StN (−d1)
Defini¸c˜ao 6.1 (Collars)
Sejam 0 < K1 < K2 nu´meros reais fixos e um direito contingente cuja fun¸c˜ao contrato na maturidade T, ´e dada por:
Φ(ST ) = min(max(ST , K1), K2).
O direito contingente CLT = Φ(ST ) ´e usualmente designado por collar (com precos de exerc´ıcio K1 e K2).
Proposi¸c˜ao 6.2
O pre¸co `a data t de um collar com pre¸cos de exerc´ıcio K1 < K2 ´e dado por:
CL (S ) = K e
t t
1
−r(T−t)
+ C (S ; T, K ) − C (S ; T, K )
e
e
t
t
1
t
t
2
Implemente em a fun¸c˜ao de apre¸camento de um collar com pre¸cos de exerc´ıcio K1 < K2.
Exerc´ıcio 6.2
Considere um ativo com pre¸co atual S0 = $50, volatilidade anual de 25%
e assuma que a taxa de juro sem risco ´e r = 1% ao ano.
Calcule o pre¸co de um collar sobre esse ativo com maturidade T = 1 ano e precos de exerc´ıcio K1 = $45 e K2 = $50.
Defini¸c˜ao 6.2 (Break forward)
Um derivado Break forward corresponde a uma modifica¸c˜ao de um contrato forward, em que a perda potencial fica limitada. A fun¸c˜ao contrato na maturidade T deste tipo de produto, ´e dada por:
BFT = Φ(ST ) = max(ST , F ) − K,
com F = S0erT o pre¸co forward e com K (K > F) a ser determinado de modo a que o contrato tenha custo zero na seu inicio.
Proposi¸c˜ao 6.3
O valor justo de K para que o contrato Break forward tenha custo zero `a data t = 0, ´e:
K0 = erT (S0 + Ce(S0; T, S0erT ))
0
Implemente em a fun¸c˜ao de determina¸c˜ao de valor K0 para um contrato Break forward.
Exerc´ıcio 6.4
Considere um ativo com pre¸co atual S0 = $50, volatilidade anual de 25%
e assuma que a taxa de juro sem risco ´e r = 1% ao ano.
Determine o valor de K0 que faz com que o contrato Break forward de maturidade T = 1 tenha custo inicial zero.
Defini¸c˜ao 6.3 (Forward-Start Option)
Uma Forward-Start Option corresponde a um contrato em que o seu detentor recebe numa determinada data futura T1 > 0 (sem custos adicionais) uma opc¸˜ao com maturidade T > T1 e pre¸co de exerc´ıcio KST1 (com K > 0). Por outro lado, esta op¸c˜ao ter´a um custo inicial `a data (t = 0), o pre¸co da Forward-Start Option. A fun¸c˜ao contrato na maturidade T deste tipo de Forward-start Option, ´e dada por:
No caso de uma Forward-Start Option de compra:
T
1
FSC = max(ST − KST , 0)
No caso de uma Forward-Start Option de venda:
T
1
FSP = max(KST
− ST , 0)
O pre¸co livre de arbitragem, `a data inicial, de uma Forward-Start Option
´e:
Forward-Start Option de compra:
0
0
0
FSC = S0Ce(1; T − T1, K) = Ce(S0; T − T1, S0K)
Forward-Start Option de venda:
0
0
0
FSP = S0Pe(1; T − T1, K) = Pe(S0; T − T1, S0K)
Implemente em as fun¸c˜oes de aprecamento de Forward-Start Options.
Exerc´ıcio 6.6
Considere um ativo com pre¸co atual S0 = $50, volatilidade anual de 25%
e assuma que a taxa de juro sem risco ´e r = 1% ao ano.
1 Calcule o pre¸co de Forward-Start Option de compra sobre esse ativo com maturidade T = 1 ano, T1 = 0.5 e K = 1.
2 Calcule o pre¸co de Forward-Start Option de venda sobre esse ativo com maturidade T = 1 ano, T1 = 0.5 e K = 1.
Defini¸c˜ao 6.4 (Chooser Option)
Uma Chooser Option corresponde a um contrato em que o seu detentor, numa determinada data futura T1 > 0, decidir´a se o contrato corresponde a uma opc¸˜ao de compra ou de venda, em qualquer dos casos com a mesma maturidade T > T1 e o mesmo pre¸co de exerc´ıcio K. A fun¸c˜ao contrato na maturidade T para uma Chooser Option, ´e dada por:
CHT = max(ST − K, 0)IA + max(K − ST , 0)IAc
com
A = {ω ∈ Ω : Ce (ST ; T, K) > Pe (ST ; T, K)}
e na data T1
T1 1
T1 1
CHT
= max(Ce (ST ; T, K), Pe (ST ; T, K))
1 T1 1 T1 1
O preco livre de arbitragem, `a data t ∈ [0, T1], de uma Chooser Option ´e:
CH = C (S ; T, K) + P (S ; T , Xx
e
e
t
t
t
t
t
1
−r(T−T )
1
)
Exerc´ıcio 6.7
Implemente em a fun¸c˜ao de apre¸camento de uma Chooser Option.
Exerc´ıcio 6.8
Considere um ativo com pre¸co atual S0 = $50, volatilidade anual de 25%
e assuma que a taxa de juro sem risco ´e r = 1% ao ano.
Xxxxxxx o pre¸co de uma Chooser Option sobre esse ativo com maturidade
T = 1 ano, T1 = 0.5 e pre¸co de exerc´ıcio K = $55.
O pre¸co `a data t, de uma opc¸˜ao de compra Europeia com data de exerc´ıcio T e pre¸co de exerc´ıcio K, sobre um ativo que paga uma dividend yield q (conhecida), ´e dado por:
t
Ce,q (St) = Ste−q(T−t)N (d1) − e−r(T−t)KN (d2),
com
1
d1 = σ√T − t
ln St +
σ2 x x x x 0
(X x x) ,
X
d2 = d1 − σ√T − t.
No caso de uma op¸c˜ao de venda, teremos:
t
Pe,q (St) = e−r(T−t)KN (−d2) − Ste−q(T−t)N (−d1).