Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós–graduação em Engenharia Elétrica, do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio.
Aplicações do Método da Entropia Cruzada em Estimação de Risco e Otimização de Contrato de Montante de Uso do Sistema de
Transmissão
Tese de Doutorado
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós–graduação em Engenharia Elétrica, do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio.
Orientador: Prof. Xxxxxxx Xxxxxxx Xxxxx xx Xxxxx
Rio de Janeiro Agosto de 2021
Aplicações do Método da Entropia Cruzada em Estimação de Risco e Otimização de Contrato de Montante de Uso do Sistema de
Transmissão
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós–graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo:
Prof. Xxxxxxx Xxxxxxx Xxxxx xx Xxxxx
Orientador Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio
Prof. Xxxxxxxxx Xxxxxx xx Xxxxxx
Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio
Prof. Xxxxx Xxxxxxx xx Xxxx
UFSC
Prof. Xxxx Xxxxx xx Xxxxx Xxxxxx
UFPE
Prof. Xxxxxxxx Xxxxxxxxx xx Xxxxx
UFSJ
Rio de Janeiro, 23 de Agosto de 2021
Todos os direitos reservados. A reprodução, total ou parcial do trabalho, é proibida sem a autorização da universidade, do autor e do orientador.
Xxxxx Xxxxxxxxxx xx Xxxxxx
Engenheiro de controle e automação, formado pela Universi-
dade Federal do Rio de Janeiro, em 2013. Iniciação científica em robótica submarina, pelo GSCAR/COPPE-UFRJ.
Engenheiro de projetos (automação e instrumentação) na Promon Engenharia e Kongsberg Maritime, entre 2013 e 2015.
Mestre em engenharia elétrica (sistemas de energia), pela PUC-Rio, em 2017. Participou de projetos de pesquisa e desenvolvimento pelo INESC Brasil e LAMPS/PUC-Rio. Desde 2017, está engajado no doutorado em eng. elétrica pela PUC-Rio.
Ficha Catalográfica
Xxxxxx, Xxxxx Xxxxxxxxxx de
Aplicações do método da entropia cruzada em estimação de risco e otimização de contrato de montante de uso do sistema de transmissão / Xxxxx Xxxxxxxxxx xx Xxxxxx; orien- tador: Xxxxxxx Xxxxxxx Xxxxx xx Xxxxx. – 2021.
104 f.: il. color. ; 30 cm
Xxxx (doutorado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Elétrica, 2021.
Inclui bibliografia
1. Engenharia Elétrica – Teses. 2. Entropia cruzada. 3. Fluxo de potência probabilístico. 4. Montante de uso do sistema de transmissão. 5. Otimização. 6. Técnicas de redução de variância. I. Xxxxx, Xxxxxxx X. Leite da (Xxxxxxx Xxxxxxx Xxxxx). II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Elétrica. III. Título.
CDD: 621.3
Aos meus pais Xxxxx e Xxxxxx, cujo zelo tornou possível esse trabalho.
Começo agradecendo aos meus pais, Xxxxx das Graças e Xxxxxx Xxxxxxxxx, que entendem o valor da educação como uma união de instrução acadêmica e valores sociais. Xxxxxxxx, também, as minhas irmãs Xxxxxxxx e Xxxxxx pelos exemplos de dedicação e compromisso.
Reconheço a extrema importância de Xxxxxx Xxxxx, que me ilumina com seu amor, amizade, sabedoria e suporte diário.
Não seria possível realizar um trabalho de qualidade sem a estimada orientação do professor Xxxxxxx Xxxxx xx Xxxxx. Muito obrigado pela confiança, conhecimentos transmitidos, valiosas discussões e orientações.
Agradeço ao professor Xxxxx Xxxxxx e à HPPA pelo auxílio e disponi- bilização do software Organon, que viabilizou testes em sistemas reais e de grande porte.
Um agradecimento especial também à equipe do LAMPS, cujo ambiente inspira excelência, colaboração e boa convivência.
O presente trabalho foi realizado com apoio do CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - Brasil e da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. Também foi parcialmente desenvolvido com o apoio do Grupo Energisa através do projeto de P&D ANEEL PD-00405-1701/2017.
Xxxxxx, Xxxxx Xxxxxxxxxx de; Xxxxx xx Xxxxx, Xxxxxxx Xxxxxxx. Aplicações do Método da Entropia Cruzada em Estimação de Risco e Otimização de Contrato de Montante de Uso do Sistema de Transmissão. Rio de Janeiro, 2021. 104p. Tese de Doutorado – Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
As companhias regionais de distribuição não são autossuficientes em energia elétrica para atender seus clientes, e requerem importar a potência necessária do sistema interligado. No Brasil, elas realizam anualmente o pro- cesso de contratação do montante de uso do sistema de transmissão (MUST) para o horizonte dos próximos quatro anos. Essa operação é um exemplo real de tarefa que envolve decisões sob incerteza com elevado impacto na produ- tividade das empresas distribuidoras e do setor elétrico em geral. O trabalho se torna ainda mais complexo diante da crescente variabilidade associada à geração de energia renovável e à mudança do perfil do consumidor. O MUST é uma variável aleatória, e ser capaz de compreender sua variabilidade é crucial para melhor tomada de decisão. O fluxo de potência probabilístico é uma téc- nica que mapeia as incertezas das injeções nodais e configuração de rede nos equipamentos de transmissão e, consequentemente, nas potências importadas em cada ponto de conexão com o sistema interligado. Nesta tese, o objetivo principal é desenvolver metodologias baseadas no fluxo de potência proba- bilístico via simulação Monte Carlo, em conjunto com a técnica da entropia cruzada, para estimar os riscos envolvidos na contratação ótima do MUST. As metodologias permitem a implementação de software comercial para lidar com o algoritmo de fluxo de potência, o que é relevante para sistemas reais de grande porte. Apresenta-se, portanto, uma ferramenta computacional prática que serve aos engenheiros das distribuidoras de energia elétrica. Resultados com sistemas acadêmicos e reais mostram que as propostas cumprem os ob- jetivos traçados, com benefícios na redução dos custos totais no processo de otimização de contratos e dos tempos computacionais envolvidos nas estima- tivas de risco.
Palavras-chave
Entropia cruzada; fluxo de potência probabilístico; montante de uso do sistema de transmissão; otimização; simulação Monte Carlo; técnicas de redução de variância.
Xxxxxx, Xxxxx Xxxxxxxxxx de; Xxxxx xx Xxxxx, Xxxxxxx Xxx- xxxx (Advisor). Cross-Entropy Method Applications to Risk Estimate and Optimization of Amount of Transmission System Usage. Rio de Janeiro, 2021. 104p. Tese de Doutorado
– Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Local power distribution companies are not self-sufficient in electricity to serve their customers, and require importing additional energy supply from the interconnected bulk power systems. In Brazil, they annually carry out the contracting process for the amount of transmission system usage (ATSU) for the next four years. This process is a real example of a task that involves decisions under uncertainty with a high impact on the productivity of the distributions companies and on the electricity sector in general. The task becomes even more complex in face of the increasing variability associated with the generation of renewable energy and the changing profile of the consumer. The ATSU is a random variable, and being able to understand its variability is crucial for better decision making. Probabilistic power flow is a technique that maps the uncertainties of nodal injections and network configuration in the transmission equipment and, consequently, in the imported power at each connection point with the bulk power system. In this thesis, the main objective is to develop methodologies based on probabilistic power flow via Monte Carlo simulation, together with cross entropy techniques, to assess the risks involved in the optimal contracting of the ATSU. The proposed approaches allow the inclusion of commercial software to deal with the power flow algorithm, which is relevant for large practical systems. Thus, a realistic computational tool that serves the engineers of electric distribution companies is presented. Results with academic and real systems show that the proposals fulfill the objectives set, with the benefits of reducing the total costs in the optimization process of contracts and computational times involved in the risk assessments.
Keywords
Amount of transmission system usage; cross-entropy; Monte Carlo simulation; optimization; probabilistic load flow; variance reduction technique.
1 Introdução 15
1.1 Considerações iniciais 15
1.2 Contribuições 17
1.3 Desenvolvimento histórico 18
1.4 Estrutura da proposta 21
2 Montante de Uso do Sistema de Transmissão 23
2.1 Introdução 23
2.2 Montante de uso do sistema de transmissão 23
2.3 Fluxo de potência probabilístico 26
2.4 Comentários finais 31
3 Estimativa de Risco de Contrato com Entropia Cruzada 32
3.1 Introdução 32
3.2 Método da entropia cruzada para estimativa de evento de risco 33
3.3 Metodologia proposta 39
3.4 Resultados de simulação 44
3.5 Comentários finais 54
4 Otimização de Contrato com Entropia Cruzada 55
4.1 Introdução 55
4.2 Entropia cruzada para otimização 56
4.3 Modelo simplificado de otimização estocástica 60
4.4 Metodologia de contratação ótima extensível 69
4.5 Comentários finais 80
5 Conclusões e Trabalhos Futuros 81
5.1 Conclusões 81
5.2 Trabalhos Futuros 82
Referências bibliográficas 83
A Inserção de Usina Eólica ao Sistema RTS 96
B Equivalentes Estáticos Flexíveis 99
B.1 Metodologia 100
C Lista de trabalhos publicados 103
Figura 2.1 Exemplo de custo total de contrato de MUST. 25
Figura 2.2 Sistema elétrico simples. 28
−
Figura 2.3 Histogramas de potência aparente S2 3, considerando os seguintes números de amostras: (a) 5.000; (b) 10.000; (c)
100.000; (d) 1.000.000. 29
−
Figura 2.4 Histograma de potência aparente S2 3. Linha vermelha representa a capacidade do ramo. 30
−
Figura 3.1 Histogramas de potência aparente S2 3: SMC-CE (esq.)
e SMC (dir.). 39
Figura 3.2 IEEE RTS: área azul representa a distribuidora. 45
Figura 3.3 Resultados comparativos para SMC (esq.) e SMC-CE
(dir.) para sistema RTS. 46
Figura 3.4 Variação média de probabilidade de ocorrência de hora
do dia por dia da semana (em porcento) para sistema RTS. 48
Figura 3.5 Variação média de probabilidade de disponibilidade de
ramo da lista de contingências (em porcento) para sistema RTS. 48 Figura 3.6 Resultados comparativos para SMC (esq.) e SMC-CE
(dir.) para Sistema Real. 53
Figura 3.7 Variação média de probabilidade de ocorrência de hora
do dia por dia da semana (em porcento). 53
Figura 4.1 Valor esperado para diferentes contratos. 58
Figura 4.2 Evolução dos valores de contrato amostrados, por iteração. 59 Figura 4.2 Evolução dos valores de contrato amostrados, por itera-
ção. (continuação) 60
Figura 4.3 Evolução da função de desempenho, por iteração. 60
Figura 4.4 Cenário de importação de potência (min, max e quantis:
5%, 50% e 95%) (esq.); curva de função de desempenho (dir.). 64
Figura 4.5 Evolução dos valores amostrados de contrato, por iteração. 65 Figura 4.6 Evolução da função de desempenho, por iteração. 66
Figura 4.7 IEEE RTS com reforços: sem (esq.) e com (dir.) custos. 74
Figura A.2 Cenários gerados para fazenda eólica. 97
Figura A.1 Sistema RTS com inserção de geração eólica na barra 5. 98
Tabela 2.1 Desempenho de SMC para Estimativa de Valor Esperado
e Probabilidade. 29
Tabela 2.2 Desempenho de SMC para Estimativa de Probabilidade. 29
Tabela 3.1 Evolução da Fase CE. 38
Tabela 3.2 Desempenho de SMC e SMC-CE Estimativa de Proba- bilidade. 39
Tabela 3.3 Resultados Comparativos para Estimativa de Probabili-
dade e Custo de Ultrapassagem em Sistema RTS. 47
Tabela 3.4 Resultados Comparativos para Estimativa de Probabili-
dade e Custo de Ultrapassagem em Sistema RTS Eólico. 50
Tabela 3.5 Resultados Comparativos para Estimativa de Probabili-
dade e Custo de Ultrapassagem em Sistema Real. 52
Tabela 3.6 Os Três Ramos Mais e Menos “Distorcidos” em Sistema
Real. 54
Tabela 4.1 Cenários para MUST Verificado. 58
Tabela 4.2 Evolução da Otimização por CE. 59
Tabela 4.3 Resultados de Contratação Ótima com RTS. 64
Tabela 4.4 Resultados de Contratação Ótima com RTS Eólico. 66
Tabela 4.5 Tarifas de Fronteiras de Sistemas Real. 67
Tabela 4.6 Resultados de Contratação Ótima via CE com Sistema
Real: Sistema Completo vs. Equivalente. 68
Tabela 4.7 Custo de Investimento de Reforço (em Base Anual). 72
Tabela 4.8 Resultados de Contratação Ótima para Cenários de Planejamento em Sistema RTS. 73
Tabela 4.9 Resultados de Contratação Ótima para Cenários de Planejamento em Sistema RTS Eólico. 75
Tabela 4.10 Resultados de Contratação Ótima para Cenários de Planejamento em Sistema de Distribuição Real. 76
Tabela 4.11 Resultado de Decisão de Implementação de Ramos Can- didatos para Sistema Real. 79
Tabela A.1 Dados de Usina Eólica. 96
ANEEL | Agência Nacional de Energia Elétrica |
ASP | Problema Estocástico Associado (Associated Stochastic Problem) |
CE | Entropia Cruzada (Cross-Entropy) |
CVaR | Valor Condicional em Risco (Conditional Value at Risk) |
IS | Amostragem por Importância (Importance Sampling) |
FP | Fluxo de Potência |
FPP | Fluxo de Potência Probabilístico |
MUST | Montante de Uso do Sistema de Transmissão |
ONS | Operador Nacional do Sistema |
SEE | Sistema de Energia Elétrica |
SIN | Sistema Interligado Nacional |
SMC | Simulação Monte Carlo |
TRV | Técnica de Redução de Variância |
TUST | Tarifa de Uso do Sistema de Transmissão |
VE | Valor Esperado |
∼ é distribuída de acordo com
≈ aproximadamente
∇ gradiente
supp como em supp(f ), suporte da função f
E valor esperado
V variância
P probabilidade
α parâmetro de suavização
γ parâmetro de nível
ρ parâmetro de raridade
Ber(p) distribuição de Bernoulli, de probabilidade p N(µ; σ2) distribuição normal, de média µ e variância σ2 U(R1, R2) distribuição uniforme, de suporte R1 a R2
D distância de Kullback-Leibler (entropia cruzada)
f distribuição (genérica) de probabilidade
IA função indicadora do evento A
S função de desempenho
W razão de verossimilhança
u parâmetro nominal (original) (vetor)
v parâmetro de referência (vetor)
vˆ parâmetro de referência estimado (vetor)
v∗ parâmetro de referência ótimo para CE (vetor)
ΩJ conjunto de pontos de conexão ΩM conjunto de meses
ΩT conjunto de regimes tarifários
ΩS conjunto de índices de cenários para importação de potência ΩB conjunto de ramos candidatos
j ponto de conexão em ΩJ
t regime tarifário em ΩT
m mês em ΩM
M valor de contrato de MUST
P max valor verificado de MUST
T valor de tarifa de uso (TUST)
cF parcela de custo fixo
cMI parcela de custo de máxima importação
cPS parcela de custo de penalidade de sobrecontratação
cPU parcela de custo de penalidade de subcontratação (ultrapassagem)
ST estado de ramo candidato (1: implementado; 0: não implemen- tado)
CB custo de implementação de ramo candidato e implementado
C custo de implementação de ramo candidato
Y entrada de fluxo de potência: injeções de potência (ativa e reativa) nodais (vetor)
X variável de estado de fluxo de potência: ângulos e magnitu- des de tensão (vetor)
Z variável de saída de fluxo de potência, como fluxo nos ramos (vetor)
gY , gZ equações de fluxo de potência (não linear)
H
{fm( · ; · )} família de distribuição para índices de horas, por mês m
uH probabilidade nominal de índice de horas (vetor)
vH parâmetro de referência para probabilidade de índice de horas (vetor)
ω
{fm( · ; · )} família de distribuição para índices de cenários, por mês m
uω probabilidade nominal de índices de cenários (vetor)
vω parâmetros de referência para probabilidade de índices de cenários (vetor)
B
{fm( · ; · )} família de distribuição para disponibilidade de xxxxx, por
mês m
uB probabilidade de disponibilidade nominal de ramos (vetor)
vB parâmetro de referência para probabilidade de disponibili- dade de ramos (vetor)
1
Introdução
Considerações iniciais
Tomar decisões sob incerteza é parte inerente do trabalho do planejador ou operador de sistemas de energia elétrica (SEE). Para ambos, em diferente horizontes de tempo e contexto, é necessário, por exemplo, estimar patamares de carga, disponibilidade e despacho de geração e a configuração da rede elétrica. Suas avaliações são a base para proposta de ações, que impactam, direta ou indiretamente, métricas sensíveis, como segurança, qualidade de serviço e finanças.
Companhias regionais de distribuição não são autossuficientes em energia elétrica, e requerem importar a potência elétrica necessária para o atendimento de seus clientes. No Brasil, por especificidades da estrutura organizacional do seu setor elétrico, as distribuidoras realizam anualmente o processo de contratação do montante de uso do sistema de transmissão (MUST) [1], para o horizonte dos próximos quatro anos. Essa operação representa uma tarefa real, que lida com decisões sob incerteza e elevado impacto na produtividade da empresa e do setor elétrico em geral. O trabalho se torna ainda mais complexo, diante da crescente variabilidade associada com a geração renovável e a mudança nos hábitos do consumidor [2, 3].
A distribuidora e o Operador Nacional do Sistema (ONS) estabelecem o contrato de MUST, para cada ponto de conexão entre os sistemas e regime tarifário (ponta e fora de ponta). Cada contrato é associado a uma tarifa de uso do sistema de transmissão (TUST), sendo utilizado para financiar a operação desse segmento do setor elétrico. O valor de MUST a ser contratado impacta as distribuidoras de diferentes maneiras. Localmente, afeta o fluxo de caixa da companhia, e um valor mal definido pode resultar em penalidades por ineficiência. Além disso, o planejamento da operação e expansão do sistema interligado depende dos MUST informados pelas distribuidoras, como dados de entrada.
Esse valor é função de variáveis aleatórias, como a demanda, geração e con- figuração da rede interna (i.e., contingências). Condições operativas externas à distribuidora também podem influenciar, como o despacho ou contingên- cias próximas aos pontos de conexão. Assim, é fácil perceber que o montante verificado também é uma variável aleatória.
Para tomar melhores decisões, engenheiros e analistas da distribuidora precisam entender a variabilidade que os montantes e variáveis associadas, como o custo de penalidade, podem assumir. Ferramentas computacionais são cruciais para permitir que enriqueçam seus conhecimentos sobre os aspectos mais importantes de seus estudos. Em relação a análises com MUST, a ferramenta deve possuir dois objetivos, dentre outros:
Para ambos os objetivos, a ferramenta requer uma fase de fluxo de potência probabilístico (FPP), a qual servirá para mapear as incertezas das injeções de potência nodais e contingências na variabilidade da importação nos pontos de conexão. Xxxxxxxxx, em 1974 [4], foi a primeira a propor a metodologia de FPP. Desde então, pesquisadores têm crescente interesse no tema, devido ao aumento da incerteza nas injeções nodais (e.g., geração renovável e carros elétricos).
Para cumprir corretamente o objetivo (i), a ferramenta deve lidar ade- quadamente com probabilidades de eventos em geral situados nas “caudas” (i.e., extremidades) das distribuições. Os trabalhos de FPP são tipicamente divididos em dois grupos: métodos analíticos e de simulação. O primeiro visa principalmente os momentos estatísticos, perdendo precisão nas áreas de cau- das. O segundo, como a simulação Monte Carlo (SMC), permite avaliar índices associados com qualquer região da distribuição, com precisão preestabelecida. Outra vantagem é não requerer simplificações, como no caso dos algoritmos de fluxo de potência linearizados. Por outro lado, dependendo da raridade dos eventos em análise (não conhecida a priori), o elevado esforço computacional pode tornar sua adoção não realizável.
Técnicas de redução de variância (TRV), com particular atenção à amostragem por importância (importance sampling - IS) com minimização da distância de Kullback-Leibler ou entropia cruzada (cross-entropy - CE) [5, 6], foram criadas para diminuição do custo computacional. O método CE,
combinado com SMC, tem sido aplicado com sucesso em diversas áreas de SEE, como confiabilidade e FPP, produzindo resultados precisos em tempo de simulação reduzido.
A contratação ótima do MUST, como pretendida no objetivo (ii), é viável, quando associada ao método de FPP. Assim, resulta em um problema de otimização estocástica ligado a cenários de importação criados pela fase de FPP. É possível minimizar métricas como os valores esperado e condicional em risco (conditional value at risk - CVaR) dos custos de contrato. O método CE também pode ser aplicado na resolução de problemas de otimização como este.
Ser capaz de estimar riscos e determinar os valores ótimos de contrato é de interesse estratégico aos analistas das distribuidoras. Contudo, é possível ir além: elaborar uma metodologia extensível de contratação, que combine a avaliação ótima do MUST com outros aspectos de interesse da distribuidora, como por exemplo a identificação de reforços de suas redes de subtransmis- são. Esse problema de otimização conjunta da contratação e investimento é de difícil solução, porém possível com o método CE. Observe que reforços bem posicionados pela distribuidora podem reduzir os valores dos contratos nos di- ferentes pontos de conexão da empresa, aumentando sua eficiência operacional e econômica.
Contribuições
Esse trabalho propõe aplicar o método da entropia cruzada em ferramen- tas computacionais práticas, que sirvam aos engenheiros de distribuidoras para tomarem melhores decisões em relação ao MUST. As principais contribuições são:
(a) um método flexível, confiável e de custo computacional reduzido, para avaliar risco de penalidade (probabilidade e custo esperado) em contratos de MUST. Subprodutos relvantes permitem aos engenheiros entenderem variáveis vitais associadas às penalidades, aumentando suas capacidades de criar planos de mitigação de risco.
(b) uma metodologia de contratação ótima extensível, que combina o MUST com outros aspectos críticos, como o planejamento de expansão/reforço de rede. Nesse caso, a rede mais robusta permite contratos mais eficientes, com custos esperados de penalidades menores.
Ambas as metodologias permitem implementação computacional com
software comercial para fluxo de potência, tornando-as relevantes para ava-
liação de casos reais e de grande porte. Também é avaliada a inserção de estação de geração eólica, devido a relevância atual dessa fonte em discussões de operação e planejamento do sistema elétrico.
Desenvolvimento histórico
1.3.1
Montante de uso do sistema de transmissão
Após a reestruturação ocorrida no setor elétrico brasileiro, a operação, expansão e manutenção do sistema de transmissão se tornou crítica por razões técnicas e econômicas [7]. Os custos de transmissão são repartidos entre todos os agentes, dentre eles as distribuidoras. Anualmente, essas empresas precisam determinar valores para o montante de uso, para cada ponto de conexão com a rede básica, para os próximos quatro anos. Todos os contratos são validados pelo ONS, sob regulamentação da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) [1].
Tomar decisões conscientes em relação ao MUST é fator chave para a produtividade da empresa. Assim, diversos trabalhos foram publicados para acelerar o conhecimento na área, apesar de ser um tópico relativamente recente.
A contratação ótima é endereçada em um número relativamente limitado de trabalhos publicados na literatura técnica-científica. Em [8, 9], é proposto um procedimento de otimização estocástica analítica. Em [10,11], a otimização também é estocástica e realizada após uma fase de FPP com equivalentes estáticos flexíveis representando a rede externa [12]. Modelos de programação linear inteira mista [13] e por enxame de partículas [14] também foram utilizados.
Apesar de crucial, a contratação ótima não é o único tema abordado. O trabalho [15] propõe uma ferramenta de predição por redes neurais para definir a importação em cada ponto de conexão, para a semana seguinte. De acordo com [16], melhorias no processo de monitoração do montante de uso
são vitais, de forma a garantir a eficiência da operação da rede de transmissão. O despacho ótimo de pequenas centrais hidroelétricas para reduzir o custo de suprimento, dentre eles do montante de uso, é o objetivo em [17]. Um modelo de planejamento de expansão da distribuição é apresentado em [18], utilizando técnicas de programação não linear inteira mista.
Melhores análises e decisões sobre o MUST passam por aumentar o en- tendimento sobre a variabilidade que pode ocorrer na importação de potência. Na presente Tese essa tarefa é realizada através de técnicas de FPP.
1.3.2
Fluxo de potência probabilístico
Fluxo de potência probabilístico é uma técnica que permite o mapea- mento das incertezas existentes nas variáveis de entrada do algoritmo de fluxo de potência (e.g., injeções nodais) para informações ou incertezas nas variáveis de saída (e.g., fluxo nos ramos). Sua concepção se deu nos anos 1970 [4, 19] e, desde então, tem provocado interesse crescente. Uma extensa revisão bibli- ográfica já foi realizada: [20] endereça trabalhos até 1988 e [21] faz o mesmo para os anos entre 1988 to 2008. Referência [22] revisa algoritmos de fluxo de potência aplicados a sistemas de distribuição. Para métodos que envolvem correlação das variáveis de entrada, ver [23].
Operações de convolução de distribuições de probabilidade1 formaram a base da primeira técnica de resolução de FPP [24]. Devido ao esforço computacional requerido, algumas simplificações foram estabelecidas:
– fluxo nos ramos são linearmente relacionados às injeções nodais líquidas, e todas as magnitudes de tensão são iguais;
– fluxos de potência ativa e reativa são independentes;
– balanço de potência é restrito a apenas uma barra e perdas são descon- sideradas;
– rede elétrica é considerada imutável.
Para as operações de convolução, transformadas de Laplace [25] e rápida de Fourier [26] foram testadas. A referência [27] propõe linearizar as distribui- ções por partes, as quais são adequadamente combinadas de forma a se obter as curvas finais (i.e., densidades de probabilidades) associadas às variáveis de saída de interesse.
1Por simplificação, nesse trabalho o termo distribuição de probabilidade é utilizado sem distinção entre variáveis contínuas (quando representa a função densidade de probabilidade) e discretas (quando representa a função massa de probabilidade).
Até então, as incertezas eram restritas às injeções nodais. Em [29], a configuração da rede também se torna uma variável aleatória. Elementos de transmissão são sujeitos a falhas e saídas programadas. O trabalho propõe obter as distribuições de interesse a partir de uma soma ponderada de dis- tribuições condicionadas às diferentes topologias da rede. Tais topologias se referem aos casos de contingências de equipamentos de transmissão.
Referência [30] sugere a combinação de SMC com equações de fluxo multilineares. O algoritmo usa um critério baseado na demanda de potência ativa total para determinar os pontos de linearização.
Outros métodos analíticos ou por aproximações merecem destaque, de- vido ao elevado número de trabalhos e aplicações: combinação de cumulantes e expansão de Gram-Charlier [31], point estimate method [32, 33], amostragem por hipercubo latino [34, 35], unscented transform [36, 37] e expressões analíti- cas para distribuições conjuntas [40]. Vale a pena ressaltar que, por insegurança das aproximações introduzidas, os resultados obtidos por tais métodos (em ge- ral “riscos” avaliados nas caudas das distribuições de saída) terão sempre que ser certificados pelos resultados obtidos por SMC, de modo que as decisões baseadas nestes índices de risco sejam confiáveis.
As aplicações de FPP são diversas: planejamento [41, 42], análise do im- pacto de energia renováveis [43–46], estabilidade de tensão [47], gerenciamento de emissões de carbono [48], controle de reativo em redes de distribuição [49], previsão de eventos de falha em cascata [50], análise de cenários com carros elétricos [51] e identificação de mapeamento entre os fluxos inter-regionais eas incertezas em injeções de potências sem ter acesso a informações sobre toda a rede [52].
Mais recentemente, o trabalho [53] propôs um algoritmo FPP, via CE e SMC. O objetivo é reduzir o esforço computacional e manter a flexibilidade e precisão em estimar índices de risco em caudas de distribuições - exatamente onde métodos analíticos perdem acurácia. O método CE é também aplicado com sucesso a outros campos de SEE.
1.3.3
Aplicações da entropia cruzada em sistemas elétricos
O método da entropia cruzada é um algoritmo adaptativo, inicialmente concebido para estimativa de probabilidade de eventos raros, em sistemas complexos [54]. O objetivo era minimizar a variância de estimadores direta- mente [55], encontrando uma distribuição adequada e de fácil amostragem, que gerasse variância reduzida [56]. Assim, simulações amostrariam o evento de in- teresse com maior frequência, aumentando a velocidade de convergência [54]. Após, foi percebido que a minimização da distância de Kullback-Leibler (entropia cruzada) [57] poderia aumentar significativamente a capacidade de resolução de problemas difíceis de estimação de probabilidade [58] e otimização combinatória ou contínua [59]. Desde então, uma diversidade de publicações abordam a teoria e as aplicações do método CE. Referências [5, 6] descrevem
os algoritmos com detalhes.
A primeira aparição do método CE aplicado a sistemas de potência foi na resolução de problemas de unit commitment [60]. A identificação de eventos raros que possam prejudicar a integridade do sistema elétrico [61] e a medição do CVaR de um projeto de expensão da transmissão [62] também se beneficiaram do método.
Trabalho [63] propõe uma metodologia baseada em CE e SMC não se- quencial para avaliação de índices de confiabilidade em tempo reduzido, quando comparado com métodos analíticos [64] e SMC convencional. Referências [65] e [66] apresentam versões simplificada e sequencial, respectivamente. A esti- mativa de índice de confiabilidade composta, via CE, é abordada em [67–72]. Existem diversas outras aplicações de CE em SEE, como: planejamento [73,74], identificação de saída de linha [75], avaliação de reserva girante [76–78], fluxo de potência ótimo e com restrição de segurança [79, 80], gerenciamento de sistema de energia residencial [81], fluxo de potência probabilístico [53], despacho ótimo com economia de emissões [82] e avaliação de reserva operativa em sistemas eólicos híbridos com armazenamento de energia na presença de
Estrutura da proposta
Esse trabalho propõe a aplicação do método da entropia cruzada em metodologias de estimativa de risco e contratação ótima de MUST. Elas devem ser a base de ferramentas computacionais práticas, que sirvam aos engenheiros de distribuidoras a realizarem análises mais detalhadas e tomarem melhores decisões.
Capítulo 2 apresenta o conceito do MUST e sua formulação matemática. O montante de uso verificado é uma variável aleatória e FPP é a técnica adequada para avaliar sua variabilidade. Esse capítulo também descreve os aspectos relevantes ao FPP e discute a motivação para adoção de simulação, em detrimento de métodos analíticos.
Capítulo 3 apresenta o método CE para estimativa de eventos raros e descreve a metodologia criada para avaliação de risco de penalidade de MUST. São apresentados resultados obtidos com sistemas acadêmico e real de grande porte.
Capítulo 4 discute a adaptação do CE para otimização, começando por um modelo simples de contratação ótima estocástica, baseado em cenários de importação pré-simulados. Também apresenta uma metodologia de contrata- ção ótima extensível. Como exemplo, combina-se a determinação do MUST com a expansão/reforço da rede. Resultados obtidos com sistemas acadêmico e real de grande porte, mostram que a metodologia permite a redução de custos de contrato.
Capítulo 5 engloba as principais conclusões e aponta os trabalhos futu-
ros.
2
Montante de Uso do Sistema de Transmissão
Introdução
O processo para determinar o valor futuro de contrato para o montante de uso do sistema de transmissão (MUST) lida com elevado grau de incerteza. Demanda de consumidores, geração e saída de elementos de transmissão são variáveis aleatórias, que influenciam diretamente a importação de potência em cada ponto de conexão. Fatores externos ao escopo das distribuidoras também podem ser significativos, como por exemplo a configuração de despacho e contingências em ramos próximos aos pontos de conexão.
O fluxo de potência probabilístico (FPP) é uma técnica que mapeia a incerteza das entradas do algoritmo (e.g., injeções nodais) na variabilidade das variáveis de saída, como a importação de potência. Existem diversos métodos para resolução de problemas de FPP, tipicamente divididos em dois grupos: analíticos e de simulação. O primeiro visa construir as distribuições de probabilidade das saídas, estimando os momentos estatísticos. Simplificações, como fluxo linear, são normalmente requeridas. Por outro lado, os métodos de simulação são bem mais flexíveis, permitindo o uso das equações não lineares (AC) de fluxo de potência.
Esse capítulo discute os conceitos e a formulação matemática do MUST na Seção 2.2. Inclui também como e quando as penalidades são aplicadas às distribuidoras. A Seção 2.3 apresenta as vantagens principais das técnicas de FPP e, consequentemente, a preferência pela SMC na continuidade desse trabalho.
Montante de uso do sistema de transmissão
Companhias regionais de distribuição usualmente importam a energia elé- trica necessária ao atendimento de seus clientes. A potência elétrica contratada normalmente flui pelo sistema de transmissão, que possui custos operacionais. No Brasil, como parte do financiamento da transmissão, as distribuidoras e o ONS estabelecem contratos de transferência de potência (o MUST), anual-
mente. O processo se faz para cada ponto de conexão e regime tarifário (ponta e fora de ponta), para os próximos quatro anos [1]. Um intervalo de tempo na semana útil é considerado regime de ponta, como por exemplo das 16h às 19h. O ONS avalia o acordo contratual monitorando a máxima transferência mensal, entre todas medições de 15 minutos.
c
F
j,t,m
= Mj,t × Tj,t, (2-1)
onde j e t são o ponto de conexão e o regime tarifário, respectivamente; Mj,t
e Tj,t são o valor de contrato de MUST e sua tarifa TUST, respectivamente; e
c
F
j,t,m
é o custo fixo do ponto j, regime t, no mês m.
Sempre que a medição de importação é maior do que o valor contratado,
o custo variável contabiliza a diferença de potência por
c
MI
j,t,m
= max{0, P max − Mj,t} × Tj,t, (2-2)
j,m,t
onde P
max
j,m,t
é a máxima injeção de potência observada no mês m, no ponto j e
j,t,m
regime t; cMI é o custo de máxima importação.
O MUST possui papel relevante no planejamento da expansão da trans- missão. Análise de investimentos, para atendimento a demanda total e garantir a confiabilidade do sistema, usam o MUST como dado de entrada [85]. Por essa razão, existem incentivos econômicos para a distribuidora determinar valores de MUST o mais aderente possível à real necessidade futura. Uma avalia- ção inadequada pode incorrer em ineficiência operativa e penalidades para a distribuidora. A ANEEL pode aplicar multas por duas causas: sub e sobrecon- tratação.
x,x
x,x
x,x
cPS = max{0, 0.9Mj,t − P max} × 12Tj,t, (2-3)
c
PS
j,t
é o custo de penalidade anual por sobrecontratação; P max
é a máxima
c
PU
j,m,t
= max{0, P max − 1.1Mj,t} × 3Tj,t, (2-4)
j,m,t
onde c
PU
j,m,t
regime t.
é o custo de penalidade de ultrapassagem para mês m, ponto j e
j,t
Dessa forma, o custo total cT do contrato de MUST, para ponto de
conexão j e regime tarifário t, é
c
T
j,t
PS
= c +
j,t
m∈ΩM
F
c
j,t,m
MI
+ c
j,t,m
PU
+ c
j,m,t
. (2-5)
onde ΩM é o conjunto dos meses.
Como simples exemplo, considere um ponto de conexão com contrato de 100 MW e tarifa de R$ 1.000. Caso o valor medido seja repetido por todo o ano, a Fig. 2.1 ilustra o custo total. É perceptível como o custo cresce rápido à medida que o valor mensurado se afasta das margens aceitáveis.
limites de penalidade contrato
Custo total (×106 R$)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Montante verificado (MW)
Figura 2.1: Exemplo de custo total de contrato de MUST.
Contudo, o valor medido não é determinístico. Ele é uma função de variá- veis aleatórias, e a técnica de FPP pode avaliar as incertezas correspondentes.
2.3
Fluxo de potência probabilístico
Fluxo de potência (FP) é um algoritmo obrigatório em estudos de planejamento e operação de SEE. Ele é necessário para avaliação do estado do sistema e monitorar sua segurança. O algoritmo requer a especificação das injeções de potência nodais e da configuração da rede. Um único estado (magnitude e ângulos de tensão) é calculado, e, portanto, valores únicos para as variáveis de saída. Contudo, sabe-se que a capacidade de geração e os níveis de carga são variáveis intrinsecamente aleatórias. Para ser possível utilizar FP, os analistas escolhem valores para entrada, como médias ou casos extremos. No entanto, esse procedimento não garante o exame adequado da segurança do sistema [24]. A técnica de FPP visa estender a capacidade do algoritmo de FP, para revelar a zona de operação viável, de acordo com a estatística conhecida dos dados de entrada.
A formulação matemática padrão para o FP é [26]
Y = gY (X)
Z = gZ(X),
onde Y é o vetor de injeção de potência (ativa e reativa) nodal, sendo o dado de entrada do algoritmo; X é o vetor de estado do sistema (magnitudes e ângulos de tensão); Z é o vetor de saída, como fluxo nos ramos e perdas; as funções gY e gZ são as equações não lineares de fluxo de potência.
Sabe-se, porém, que o vetor Y não é determinístico, mas regido por distribuições de probabilidade. E as funções gY e gZ também são variáveis aleatórias, considerando possível a saída de elemento ou variação nos parâ- metros [29]. Assim, com FPP, estados e saídas não são mais variáveis únicas, porém distribuições de probabilidade.
Existem duas dificuldades comuns às técnicas de FPP: equações de fluxo não lineares e a escala do sistema (redes de grande porte e elevado número de variáveis aleatórias). As metodologias de solução de FPP levam em consideração o esforço computacional e a precisão. Elas são dividias em dois grupos: analíticas e de simulação.
– equações lineares de fluxo;
– variáveis independentes ou linearmente correlacionadas;
– dados de entrada com distribuição normal ou discreta;
– rede elétrica imutável.
Esses métodos visam primariamente estimar os momentos estatísticos e distribuições de probabilidade de variáveis de saída. Eles operam em tempo computacional reduzido, em relação aos de simulação. Contudo, metodologias analíticas requerem precaução, devido ao necessário processo de sintonia de parâmetros e as simplificações utilizadas.
Métodos numéricos ou de simulação podem ser reduzidos ao Monte Carlo (SMC), uma ferramenta poderosa para estudos de processos estocásticos. Em relação às análises de FPP, eles permitem a adoção das equações originais não lineares de FP. Ainda, admitem procedimentos operativos (e.g., corte de carga e regras de despacho de geração). A representação do sistema se torna mais realista. Dois modos de utilização de SMC são adequadas ao FPP:
i Estimação de índice de risco (e.g., probabilidade e custo), utilizando um critério de convergência;
ii Estimação da distribuição de probabilidade, através de um número fixo de amostras.
O primeiro modo visa estimar algum índice, como a probabilidade de sobrecarga em ramo ou sub/sobretensão em subestação. Para garantir a qualidade dos resultados, é utilizado um critério de parada por convergência amostral. A segunda forma pretende gerar as distribuições de probabilidade das variáveis. Tipicamente, as caudas das distribuições são as regiões nas quais se obtém menor precisão, por se tratar de eventos mais raros.
Os métodos propostos nesse trabalho adotam a SMC por sua simplicidade e flexibilidade. Permite, por exemplo, a utilização de software comercial de FP nas ferramentas, o que é relevante para lidar com casos reais e de grande porte.
Exemplo ilustrativo
Considere o sistema elétrico de três barras, ilustrado na Fig. 2.2. O gera- dor não possui limite e as cargas nas barras 2 e 3 são regidas pelas distribuições de probabilidade normal N(100; 52) e N(50; 2,52), respectivamente. O obje- tivo é estimar o valor esperado (VE) da potência aparente no ramo 2 − 3 e a
2 3
probabilidade dela estar acima do limite Slim
−
= 32 MVA.
Figura 2.2: Sistema elétrico simples.
Probabilidade e valores esperados são amplamente estimados por SMC, como médias sob N valores de entrada amostrados (nesse caso, os patamares de carga nas barras 2 e 3, (Y2,Y3)) de uma função de teste H(·), i.e.,
N
Eˆu = 1 H(Y2,Y3). (2-7)
N i=1
Nesse exemplo, as funções de teste para probabilidade (HP ) e valor esperado (HV E) são
HP (n
) = 1 se S2−3((Y2, Y3)n) > Slim
2−3 ,
0 caso contrário
(2-8)
onde
HV E(n) = S2−3((Y2, Y3)n).
A incerteza da estimativa é dada pela variância do estimador
V Eˆu [H] = Vˆu(H)/N. (2-9)
Vˆu(H) é a variância da função de teste. Esse incerteza é usualmente
representada pelo coeficiente de variação [5]
β = rV Eˆu [H] /Eˆ [H] (2-10)
Como primeiro exemplo, utiliza-se uma SMC convencional, com número fixo de amostras. Diferentes amostragens são consideradas, e a Fig. 2.3 e a Tabela 2.1 ilustram o desempenho. É interessante observar que o parâmetro VE converge rapidamente (βV E = 0.13% com 5.000 amostras), enquanto a probabilidade alvo ainda está longe de convergida, mesmo considerando
1.000.000 amostras (βP = 11.7%). Esse exemplo demonstra como a SMC convencional com número fixo de amostras pode ter dificuldades na estimação de probabilidades raras.
Tabela 2.1: Desempenho de SMC para Estimativa de Valor Esperado e Proba- bilidade.
Amostras VE (MVA) βV E (%) P (×10−4) βP (%)
5.000 23,6918 0,1298 2,0000 100,0000
10.000 23,6697 0,0913 1,0000 100,0000
100.000 23,6874 0,0291 0,7000 37,7953
1.000.000 23,6884 0,0092 0,7300 11,7037
300
200
100
800
600
400
200
0
15 20
25 30
0
15 20
25 30
3000
2000
1000
Potência aparente (MVA)
2.3(a):
1.5 × 104
1.0 × 104
5.0 × 103
Potência aparente (MVA)
2.3(b):
0
15 20 25 30
0
15 20
25 30 35
Potência aparente (MVA)
2.3(c):
Potência aparente (MVA)
2.3(d):
−
Figura 2.3: Histogramas de potência aparente S2 3, considerando os seguintes números de amostras: (a) 5.000; (b) 10.000; (c) 100.000; (d) 1.000.000.
Se a tolerância β ≤ 1 % é especificada para a probabilidade, a SMC irá requerer 143.721.395 amostras e aproximadamente 4,6 horas, conforme Tabela
2.2. Com a Fig. 2.4 é fácil perceber que o evento estimado é raro.
Tabela 2.2: Desempenho de SMC para Estimativa de Probabilidade.
Amostras | Tempo (s) | P (×10−5) | βP (%) |
143.721.395 | 16.401 | 6,9579 | 1,0000 |
É possível concluir que a SMC convencional pode não ser prática para estimativa de índices de eventos raros. A raridade, contudo, não é conhecida antes da simulação. Na Seção 3.2.3, o método CE é aplicado ao mesmo problema, reduzindo significativamente o tempo requerido.
5 × 105
4 × 105
3 × 105
2 × 105
1 × 105
0
15 20 25 30 35
Potência aparente (MVA)
−
Figura 2.4: Histograma de potência aparente S2 3. Linha vermelha representa a capacidade do ramo.
2.3.2
Caracterização da incerteza de entrada
A técnica de FPP requer o conhecimento das incertezas nos dados de entrada: demanda, geração e configuração de rede [86]. Nem todos os elementos precisam envolver representação estatística, apenas aqueles de interesse no presente estudo. Além disso, devido à flexibilidade da SMC, não existem premissas necessárias às distribuições de probabilidade.
Todos os estudos de planejamento, incluem algum grau de entendimento do comportamento futuro da carga e da geração [87]. É uma tendência produzir cenários e não somente valores ou curvas de previsão [88, 89]. A referência [90] propõe uma metodologia de construção de cenários horários de demanda/geração, subdivida em duas partes. Primeiro, um modelo de séries temporais não Gaussiano simula cenários de sinais elétricos mensais. Depois, um modelo quantílico autorregressivo transforma a saída da etapa anterior em cenários de injeção horária de potência, baseado em dados históricos. O resultado é uma família de cenários horários para cada injeção ativa nodal, dentro do intervalo de tempo de interesse (e.g., um ano).
A caracterização da carga depende ainda da especificação da parcela reativa, a qual pode seguir distribuições próprias [26, 53]. Alternativamente, o valor de potência reativa pode ser amostrado de acordo com a ativa, através de uma razão Q/P estimada.
As incertezas associadas à rede elétrica são baseadas em ciclos opera- tivos de elementos reparáveis. Eles são modelados por processos de Markov utilizando as taxas de falha (λ) e reparo (µ) dos equipamentos [86]. As taxas são estimadas com base no histórico operacional [91] e permitem calcular a disponibilidade (A) e indisponibilidade (U ) com as equações
µ
A = λ + µ
, U =
λ
λ + µ
. (2-11)
Comentários finais
O MUST verificado é uma variável aleatória, cujas características devem ser avaliadas para que a tomada de decisão, nos contextos onde é pertinente, seja melhor embasada. Penalidades podem ocorrer quando os valores de contrato não são aderentes à realidade da importação de potência ativa em determinados pontos de conexão da distribuidora, impactando a produtividade da companhia.
A técnica de FPP torna possível o entendimento da variabilidade nessa importação, por mapear as incertezas nas injeções nodais (carga e geração) e topologia em incertezas nos fluxos de potência ativa nas fronteiras. Dessa forma, serve de base para a análise de risco (probabilidade) de penalidades e avaliação de custos esperados de multas, como apresentada no Capítulo 3, ou na contratação ótima do montante de uso, como discutida no Capítulo 4.
A SMC é o método adotado para FPP, nesse trabalho, por sua simpli- cidade, robustez e flexibilidade. Devido a exigência computacional da SMC convencional, no Capítulo 3 será apresentado o método da entropia cruzada para estimativas de riscos, permitindo a criação de uma metodologia robusta e de esforço computacional reduzido.
3
Estimativa de Risco de Contrato com Entropia Cruzada
Introdução
A técnica de FPP permite entender o grau de incerteza em variáveis críticas, como a importação de potência em cada ponto de conexão. A SMC é uma ferramenta flexível adotada em FPP para estimar distribuições de probabilidade e índices de risco. Contudo, processos de decisão sob incerteza em companhias elétricas consideram índices específicos (médias e probabilidades geralmente avaliadas nas extremidades das funções densidades), ao invés de funções completas de distribuição de probabilidade das variáveis de interesse. O exemplo da Seção 2.3.1 mostrou como a SMC pode calcular o valor esperado, com poucas amostras. Porém, existe um esforço computacional elevado, para estimar eventos raros, com precisão preestabelecida. É fundamental notar que não se conhece a raridade do evento a priori.
O método CE é uma técnica de amostragem por importância (IS) para redução de variância. Ele envolve um procedimento iterativo, em que cada iteração possui duas fases: (i) gerar uma amostra de dados aleatória, de acordo com um mecanismo especificado; (ii) atualizar os parâmetros do mecanismo, baseado nos dados, a fim de produzir amostras “melhores” na próxima iteração [6]. A ideia geral é produzir distribuições adequadas para amostragem mais frequente da região de interesse. Para isso, se minimiza a distância de Kullback- Leibler (entropia cruzada) entre a distribuição de IS e a ótima medida de variância zero [58].
Eventos de penalidade no MUST são severos à produtividade das distri- buidoras. Dessa forma, os analistas precisam ser capazes de avaliar seus riscos (probabilidade e custos esperados). A SMC é flexível o suficiente para permitir modelos sofisticados. Porém, o tempo requerido em simulação pode não ser viável para ferramentas práticas. Assim, combinar SMC com o método CE resulta em um algoritmo igualmente flexível e preciso, permitindo avaliações em tempo reduzido. Além disso, as distribuições “distorcidas”, utilizadas para IS, são subprodutos relevantes. Elas permitem aos engenheiros das distribuido- ras identificar e entender as variáveis cruciais para ocorrência de penalidades,
possibilitando a elaboração de planos de mitigação de riscos.
Nesse capítulo, a Seção 3.2 apresenta o método CE para estimativa de evento de risco. O exemplo da Seção 2.3.1 é continuado na Seção 3.2.3, com aplicação de CE para avaliação da probabilidade de sobrecarga. A metodologia proposta para estimar riscos em contratos de MUST é apresentada na Seção
3.3. Resultados de simulações com sistemas acadêmico e real de grande porte são apresentados na Seção 3.4, considerando também influência de geração eólica no risco de penalidade.
Método da entropia cruzada para estimativa de evento de risco
O método da entropia cruzada é uma técnica de redução de variância por amostragem por importância. As principais características da IS são descritos na Seção 3.2.1 e a estimativa de probabilidade de evento raros, com CE, na Seção 3.2.2. A apresentação é baseada em [6, 58].
Amostragem por importância
Seja l o desempenho esperado de um sistema estocástico, dado por
l = Ef H(X) = Ef ϕ(S(X; γ), (3-1)
onde S é a função de desempenho amostral; ϕ é uma função real; e o subscrito f denota que o valor esperado é dado em relação à distribuição de probabilidade f . Para estimativa de eventos raros, é usual adotar ϕ como a função indicadora, tal qual
ϕ(S(X; γ)) = I{S(X)≥γ}, (3-2)
para estimar P[S(X) ≥ γ].
Seja g uma outra distribuição de probabilidade. Assuma que g domina
Hf . Ou seja, supp(g) 𝑚 supp(Hf ). Utilizando g,
f (X)
l = EgH(X)
g(X)
, (3-3)
onde o subscrito g significa que o valor esperado é em relação à g, a distribuição de amostragem por importância.
Um estimador não tendencioso de l é
N
i
i
ˆl = 1 H(X )W (X ), (3-4)
N i=1
onde ˆl é chamado de estimador de IS ou verossimilhança; W = f/g é a função de verossimilhança; e X1, · · · , XN é uma amostra aleatória de g.
A escolha da distribuição para IS g é crucial para a variância do estimador ˆl. Assim, para variância mínima, considere
g
min V{H(X)W (X)}. (3-5)
g∗(x) = |H(x)|f (x) . (3-6)
∫ |H(x)|f (x)dx
Se H(x) ≥ 0 (verdadeiro para a função indicadora), então
g∗(x) = H(x)f (x)
l
e a variância de ˆl é zero. A eq. (3-7), contudo, não é útil para determinar g∗, pois depende da quantidade não conhecida l; o alvo real do procedimento de estimação.
Uma abordagem prática é considerar que f pertence a alguma família paramétrica F = {f ( · ; v)}, v ∈ V. Seja f ( · ; u) a distribuição para o vetor X na eq. (3-1), onde u ∈ V é o parâmetro nominal ou original. Assim, a escolha de g = f ( · ; v), se resume a definir v ∈ V, chamado parâmetro de referência.
Nesse caso, o estimador de verossimilhança é
N
1
ˆl = H(Xi)W (Xi; u, v), (3-8)
N i=1
onde X1, · · · , XN é uma amostra aleatória de f ( · ; v); e a função de verossi- milhança agora é
f ( · ; v)
W ( · ; u, v) = f ( · ; u) . (3-9)
Encontrar a distribuição de IS, que minimize a variância, é equivalente a descobrir o parâmetro de referência ótimo, por
mvin VvH(X)W (X; u, v). (3-10)
O problema estabelecido na eq. (3-10) pode ser resolvido por sua contra- parte estocástica [6, 54, 92]. Contudo, essa é uma abordagem difícil e a falta de convexidade pode levar a solução para ótimos locais [58]. Referência [59] propôs minimizar a distancia de Kullback-Leibler (entropia cruzada), ao invés da variância do estimador. Essa estratégia leva a cálculos explícitos para os novos parâmetros, ao contrário de minimizações numéricas [93].
Estimativa de probabilidade de evento raro
A entropia cruzada de Kullback-Leibler [57] é definida como a distância entre duas distribuições de probabilidade g e f , i.e.,
D(g, f ) = ∫ g(x) ln g(x)! dx
f (x)
= ∫ g(x) ln g(x) dx − ∫ g(x) ln f (x) dx.
A eq. (3-11) não caracteriza uma distância no sentido explícito do termo, pois não necessariamente D(f, g) = D(g, f ). Se g = f , então D(f, g) = 0. A definição na eq. (3-11) pode ser facilmente transformada para distribuições discretas [58].
A ideia principal é minimizar a distância entre a distribuição de referência
f ( · ; v) até a ótima para IS g∗. Agora, o problema é de otimização paramétrica,
mvin D(g∗, f ( · ; v)). (3-12) A eq. (3-12) pode ser resumida em definir o parâmetro de referência v,
que minimize o segundo termo do lado direto da eq. (3-11). Assim, o problema se resume à maximização
mvax ∫ g∗(x) ln f (x; v) dx. (3-13) Substituindo g∗ de (3-7) em (3-13),
v
l
max ∫ H(x)f (x; u) ln f (x; v) dx, (3-14)
que é equivalente à
mvax EuH(X) ln f (X; v) . (3-15)
Utilizando amostragem por importância novamente, com mudança de medida f ( · ; w), para qualquer parâmetro de referência w, a eq. (3-15) é substituída por
mvax EwH(X)W (X; u, w) ln f (X; v) . (3-16)
O problema da eq. (3-16) pode ser resolvido com sua contraparte esto- cástica
N
H
i
i
i
max 1 (X )W (X ; u, w) ln f (X ; v) , (3-17)
v N i=1
onde X1, · · · , XN é uma amostra aleatória de f ( · ; w). Em aplicações típicas, a solução é obtida [6] resolvendo
N
i
i
i
1 H(X )W (X ; u, w)∇ ln f (X ; v) = 0, (3-18)
N i=1
onde o gradiente é tomado em relação ao parâmetro v.
No contexto de estimativa de probabilidade de evento raro, o objetivo é computar l = Pu[S(X) ≥ γ], onde X ∼ f ( · ; u) e γ é um nível fixo. Nesse caso, H(X) = I{S(X)≥γ}. Se o evento é raro, a maioria dos indicadores H(Xi) são zero. Um procedimento CE, com duas fases, é empregado para mitigar essa questão. A ideia geral é escolher uma distribuição para amostragem (parâmetro v0) e valor de nível, que reduza a raridade. Assim, o parâmetro de referência v e o nível γ são atualizados adaptativamente, a fim de encontrar o parâmetro de referência ótimo para CE v∗. Adotando um parâmetro de raridade ρ não demasiadamente pequeno, as duas fases são:
1. Atualização de γt: para vt−1 fixo, seja γt o (1 −ρ)-quantil de S(X) sob
vt−1. O estimador para γt é
γˆt = S[(1−ρ)N[. (3-19)
2. Atualização de vt: para vt−1 e γt fixos, derive vt da solução de
mvax Evt−1 I{S(X)≥γˆt}W (X; u,vt−1) ln f (X; v) . (3-20)
A solução ótima para eq. (3-20) pode ser obtida analiticamente, em particular quando f pertence a família exponencial natural ou é distribuição discreta de suporte finito. Algoritmo 3.1 resume o método: a fase CE é do Passo 1 até o Passo 4, e o Passo 5 é Monte Carlo com distribuição IS.
Algoritmo 3.1 (Algoritmo CE Principal Para Estimativa de Evento Raro [6].)
Descrição: Calcula o parâmetro de referência ótimo para CE v, para ser utilizado em distribuição de probabilidade IS f ( · ; v).
Passo 1 Defina vˆ0 = u. Configure o contador de iterações t = 1.
Passo 2 Gere uma amostra X1, · · · , XN da distribuição f ( · ; vt−1). Calcule a função de desempenho S(X), ordene de forma crescente e seu (1 − ρ)-quantil. Se γˆt ≤ γ, então γˆt = γ.
Passo 3 Use a mesma amostra, para calcular vt pela eq. (3-20).
Passo 4 Se γˆt ≤ γ, faça t = t + 1 e reitere do Passo 2. Caso contrário,
prossiga para o Passo 5.
Passo 5 Estime a probabilidade l, utilizando o estimador com verossimi- lhança, amostrando de f ( · ; vT ); onde T é a iteração final até o Passo 4.
Conforme discutido, a eq. (3-20) pode ser resolvida analiticamente. Aqui, os casos especiais de distribuição de Bernoulli, normal e discreta de suporte finito são apresentados [6].
– Bernoulli: Seja X ∼ Ber(u). A probabilidade na iteração t é calculada por
v
i=1 .
= ΣN
H(Xx)W (Xi; u, vt−1)Xi
(3-21)
i=1
i
i
t−1
t ΣN
H(X )W (X ; u, v )
– Normal: Seja X ∼ N(µ; σ2). A média e o desvio padrão na iteração t
são atualizados por
µ
i=1 ,
ˆ = ΣN
H(Xx)W (Xi; u, vt−1)Xi
(3-22)
i=1
i
i
t−1
t ΣN
H(X )W (X ; u, v )
σ
i=1 .
ˆ = ΣN
H(Xx)W (Xi; u, vt−1)(Xi − µt)2
(3-23)
i=1
i
i
t−1
t ΣN
H(X )W (X ; u, v )
– Discreta com suporte finito: Seja X uma variável discreta com suporte finito, assumindo valores de {a1, · · · , am}. Seja uj = P[X =
aj], ∀j = 1, · · · , m, e defina u = (u1, · · · , um). Cada impulso de probabilidade j é atualizado na iteração t por
i=1 i j .
i=1
i
i
t−1
ˆ = ΣN
H(Xi)W (Xi; u, vt−1)I{X =a }
(3-24)
v
j,t
ΣN H(X )W (X ; u, v )
3.2.2.1
Parâmetro de suavização
Ao invés de atualizar vt como proposto em eq. (3-20), um parâmetro de suavização α pode ser utilizado para prevenir a ocorrência de 0s ou 1s no vetor de parâmetros. Uma vez com valor zero ou um, o método não mais consegue atualizá-los.
O procedimento de atualização como α é
vˆt = αwˆ t + (1 − α)vˆt−1, (3-25) onde wˆ t é atualizado conforme eq. (3-20).
Exemplo ilustrativo
Considere novamente o exemplo da Seção 2.3.1. Agora, o método CE é aplicado para estimar P[S2−3 ≥ 32 MVA].
O processo CE levou 0,8 segundos e quatro iterações para convergir. A Tabela 3.1 apresenta a evolução dos parâmetros de referência e nível, por iteração. Para esse exemplo, ρ = 0,1, NCE = 1.000 e α = 0,99.
Tabela 3.1: Evolução da Fase CE.
Iteração | γt | µ2 | σ2 | µ3 | σ3 |
0 | - | 100,0 | 5,0 | 50,0 | 2,5 |
1 | 26,5 | 108,1 | 2,8 | 48,3 | 2,2 |
2 | 29,3 | 112,1 | 2,1 | 46,7 | 2,1 |
3 | 31,1 | 115,6 | 2,1 | 45,7 | 1,9 |
4 | 32,0 | 118,0 | 2,1 | 45,3 | 1,8 |
A Tabela 3.2 mostra o desempenho de SMC e SMC-CE. Note que o último supera o primeiro com ganho de tempo (speed-up) de 410 vezes. A Fig.
3.1 ilustra os histogramas obtidos com CE (esq.) e com SMC convencional
(dir.). Claramente, o histograma com SMC-CE revela amostragem com maior frequência na região em avaliação. Em estimativa de risco, não existe interesse em saber ou visualizar as consequências dos mapeamentos de distribuições “distorcidas”. Esse exemplo é meramente didático para ilustrar os conceitos básicos do método CE.
Tabela 3.2: Desempenho de SMC e SMC-CE Estimativa de Probabilidade.
Amostras Tempo (s) P (×10−5) βP (%)
SMC 143.721.395 16.401 6,9579 1,0000
SMC-CE 101.476 40 6,8431 1,0000
5 × 105
3000
4 × 105
2000
3 × 105
2 × 105
1000
1 × 105
0
28 30 32 34 36
Potência aparente (MVA)
0
15 20 25 30 35
Potência aparente (MVA)
−
Figura 3.1: Histogramas de potência aparente S2 3: SMC-CE (esq.) e SMC (dir.).
Metodologia proposta
Nessa seção, é proposto um método flexível e confiável para avaliação de risco (probabilidade e custo esperado) de penalidade, para um dado con- trato de MUST. Para simplificar, a apresentação foca somente na penalidade por subcontratação (ultrapassagem). Pequenas alterações são necessárias para adaptar o procedimento para estimativa de riscos de sobrecontratação. Como o Operador Nacional do Sistema afere a ultrapassagem mensalmente, a meto- dologia avaliará a probabilidade e o custo por mês.
Conforme discutido, o MUST verificado é uma variável aleatória, que depende, dentre outros fatores, da demanda, geração e topologia. O método proposto utiliza a abordagem de fluxo de potência probabilístico descrita em [53], para converter a incerteza na injeção nodal (demanda e geração) e na topologia em risco no MUST. Além disso, os subprodutos da fase CE se tornam fatores relevantes no novo método. Parte da metodologia e resultados desse capítulo são apresentados em [94].
Incertezas de demanda e geração
Esse trabalho adota a metodologia proposta em [90], que gera cenários horários para demanda e geração, para o intervalo de tempo de interesse (e.g., um ano). Duas distribuições uniformes discretas (não correlacionadas) são criadas para cada mês m ∈ ΩM avaliado:
H
– índice de hora no mês m: {fm( · ; uH)};
ω
– índice de cenário: {fm( · ; uω)}.
onde uH representa o vetor de probabilidade de cada índice de hora; uω é o vetor de probabilidade de cada índice de cenário.
A amostragem de cada índice de hora e cenário facilmente se relaciona a um conjunto de valores de demanda e geração (vetor aleatório Y(h, ω)).
3.3.1.1
Razão de potência reativa/ativa
Do histórico horário de cada subestação (potência ativa e reativa), é possível calcular a razão média Q/P , para cada dia de semana e hora, totalizando 7 × 24 valores por nó. Assim, para um dado valor de potência ativa (considerando que se sabe o dia e a hora da semana) é possível estimar o valor correspondente de potência reativa através da razão média observada Q/P .
Contingências na rede elétrica
B
As entradas para caracterização da incerteza nos elementos de rede são a disponibilidade (A) e a indisponibilidade (U ), calculadas pelas taxa de falha (λ) e reparo (µ) dos equipamentos pela eq. (2-11). A rede, para cada mês m, pode ser representada por um vetor aleatório de variáveis binárias B, cujos elementos são: disponível (i.e., 1) ou indisponível (i.e., 0). Logo, por mês, existe um conjunto de distribuições de Bernoulli para caracterizar as contingências na rede {fm( · ; uB)}, onde uB é o vetor de disponibilidade dos ramos.
Importante notar que somente a saída de alguns equipamentos de trans- missão impacta o montante verificado. Assim, é recomendado selecionar os ramos mais importantes para formação de uma lista de contingências.
3.3.3
Formulação matemática
Para cada mês m, é possível amostrar um cenário ω e um índice de hora h para completar o vetor aleatório de injeções nodais Y(h, ω). Além disso, deve- se amostrar também o estado dos ramos relacionados para formar B. Assim, a expressão matemática de FPP na eq. (2-6) é reformulada por
Y(h, ω) = gY (X, B)
Z = gZ(X, B).
(3-26)
Uma combinação (usualmente soma) de fluxos ativos em ramos (elemen- tos de Z) determinam o MUST, para o ponto de conexão j. A função de desempenho Sj traduz essa combinação. Logo, para um dado cenário ω, índice de hora h e vetor de estado de ramos B, o valor do montante de uso (após o fluxo de potência) é Sj(Y(h, ω), B).
Abordagem FPP-CE
Conforme discutido previamente, o FPP é uma técnica que mapeia as incertezas presentes nas variáveis de entrada em incertezas nas variáveis de saída via fluxo de potência. As entradas são:
– Cenários de potência ativa de demanda e geração, decompostos em duas diferentes distribuições uniformes discretas (não correlacionadas) de suporte finito, para cada mês avaliado:
H
– índice de hora {fm( · ; uH)};
ω
– índice de cenário {fm( · ; uω)}.
Assim, a amostragem de ambas as distribuições gera o par (h, ω), que permite o algoritmo capturar o valor de demanda e geração, para cada nó registrado.
B
– Um conjunto de distribuições de Bernoulli, que caracterizam a disponi- bilidade dos ramos da lista de contingências {fm( · ; uB)}.
A metodologia proposta é uma combinação de duas fases, ocorridas por mês: (i) método CE, e (ii) SMC com estimador por verossimilhança.
3.3.4.1
Fase de entropia cruzada
O método CE é um estágio de pré-simulação que irá tomar as distribui- ções originais como informação inicial para encontrar aquelas mais adequadas à SMC. Tal método requer a especificação de número de amostas NCE (e.g.,
5.000 amostras), parâmetro de raridade ρ (tipicamente entre 0.01 e 0.1) e pa-
râmetro de suavização α [6, 53].
Essa fase fornece distribuições “distorcidas” de índice de horas
{fH( · ; vH)}, índice de cenários {fω( · ; vω)} e disponibilidade de ramos
{fB( · ; vB)}. Realizar amostragem destas distribuições leva a ocorrência mais frequente de eventos de ultrapassagem - reduzindo a raridade, então reduzindo o tempo computacional.
3.3.4.2
Fase de simulação Monte Carlo
Probabilidades e custos são amplamente estimados por Monte Carlo, como média de uma função de teste H, em N amostras de informações de entrada (neste caso (Y, B)), i.e.,:
N
Eˆu = 1 H(Y, B) (3-27)
N i=1
As funções de teste de probabilidade (HP ) e custo (HC) são similares. Quando avaliando índices para um dado ponto de conexão, o MUST é calculado como Sj(Y, B), e a penalidade é devida quando está acima de 110% do valor de contrato. A região de penalidade é chamada de alvo, e o valor alvo é γ = 1.1Mj (onde Mj é o valor de contrato para j). As funções de teste são
P
H (n) = 1 se S(Y, B) > γ
0 caso contrário
e,
(3-28)
C
H (n) = {S(Y, B) − γ} × 3Tj,t se S(Y, B) > γ
0 caso contrário.
(3-29)
A incerteza da estimação é representada pelo coeficiente de variação β
(ver eq. (2-10)). Um valor preestabelecido de β (e.g., 1%) é utilizado como
critério de parada para a SMC, garantido a precisão dos resultados. Além disso, é especificado um valor máximo de amostras NMAX.
Note que na metodologia proposta, a SMC utiliza distribuições “distor- cidas” {f ( · ; v)}, não as originais {f ( · ; u)}. Assim, para remover qualquer tendência, o estimador por verossimilhança é definido por
N
Eˆv [H] = 1 H(Y , B )W (Y ,B ; u, v) , (3-30)
N
i i i i
i=1
onde a expressão W(Xx, Bi; u, v) é a função de verossimilhança calculada por
W(Y , B ; u, v) = f (Xx, Bi; u) , (3-31)
i i f (Y , B ; v)
i i
considerando distribuições originais e “distorcidas” como sendo da mesma família.
3.3.4.3
Algoritmo
Nessa subseção, é apresentado o algoritmo para estimativa de índices de probabilidade e custo para ocorrência de ultrapassagem, para ponto de conexão j e regime tarifário t, em um conjunto Ωm de meses. Esse procedimento deve ser repetido para cada mês m ∈ Ωm.
Algoritmo 3.2 (Algoritmo CE para Avaliação de Risco de Ultrapas- sagem.)
Descrição:
1. Calcula o parâmetro de referência ótimo para CE v = {vH, vω, vB};
2. Estima probabilidade e custo por um estimador de verossimilhança.
Passo 1 Defina vˆ0 = {uh,uω,uB}, onde u representa o vetor de parâmetro nominal. Faça k = 1 (contador de iterações).
Passo 2 Gere NCE amostras de Y e B da família de distribuições, usando vˆk−1. Somente casos com fluxo de potência convergente são consi- derados amostras de sucesso (casos não convergentes ou divergentes são descartados).
Passo 3 Avalie Sj(Y, B) e organize em ordem crescente. Avalie
Sj (1 − ρ) × NCE . Se γˆk > γ, então γˆk = γ;
γˆk =
Passo 4 Use a mesma NCE amostras para resolver o problema de otimização estocástica e definir o parâmetro atualizado vˆk.
Passo 5 Se γˆk < γ, retorne ao Passo 2; caso contrário, passe ao Passo 6.
Passo 6 Avalie a probabilidade Pˆ e o custo Cˆ através de SMC com estimador de verossimilhança, iniciando em L = 0 e calculado iterativamente (i.e., L = L + 1) os estimadores não tendenciosos
1 ˆ
L
P = H
W(Y , B , u, vˆ
) (3-32)
L i=1
P,{S(Yi,Bi>γ}
i i K
1 ˆ =
L
H W(Y , B , u, vˆ
) (3-33)
C
L i=1
C,{S(Yi,Bi>γ}
i i K
onde K é a iteração final da pré-simulação.
Passo 7 Calcule o coeficiente de variação na iteração L. Caso esteja abaixo do valor pré-especificado ou o número máximo de iterações tenha sido atingido, pare o algoritmo. Caso contrário, volte ao Passo 6. Na metodologia proposta, o coeficiente de variação é monitorado somente para o estimador da probabilidade.
Resultados de simulação
Nesta seção, os resultados de simulação são apresentados e discutidos, através de comparativos entre a SMC-CE proposta e SMC convencional para ilustrar as vantagens daquela em tempo computacional e subprodutos. Para tanto, são utilizados três sistemas: (i) RTS Convencional [97], (ii) RTS com inserção de uma usina eólica, aqui chamado de RTS Eólico, e (iii) um sistema de distribuição brasileiro real. Detalhes da adaptação da usina eólica ao sistema RTS são apresentados no Apêndice A.
Todas as simulações são realizadas em Julia Language [95], com software comercial para algoritmo de fluxo de potência [96]. A tolerância para o algoritmo de fluxo de potência é 0,001 pu, e o número máximo de iterações é 35. Todos os casos não convergentes ou divergentes são descartados, e representam menos do que 1%.
Para ambos SMC e SMC-CE, a simulação é parada quando o coeficiente de variação para o estimador da probabilidade é menor do que 1%.
3.4.1
Sistemas RTS e RTS Eólico
Nessa seção, o sistema IEEE RTS [97, 106] é utilizado. A área de 138 kV (azul) na Fig. 3.2 é considerada a distribuidora. A barra de referência (SW) é alterada da 13 para a 18, a fim de mantê-la mais distante dos pontos de conexão. Todos os ramos internos são considerados para a lista de contingências, com taxas de reparo conforme [97] e taxas de falha dez vezes maiores que em [97]. Isso é feito para aumentar o estresse elétrico da rede. O sistema RTS Eólico é apresentado no Apêndice A e, em resumo, considera a inserção de uma usina de 20 aerogeradores de 3,3 MW (totalizando 66 MW de pico) na barra 5, central ao sistema da distribuidora.
Figura 3.2: IEEE RTS: área azul representa a distribuidora.
Para efeito ilustrativo, apresentam-se apenas os resultados para fronteira caracterizada pela barra 10, com contrato de 220 MW. Apenas o risco do regime de ponta (considerado no intervalo de 18h às 21h, de dias da semana) é avaliado.
3.4.1.1
Configuração de simulação
Para todos os meses, os parâmetros da fase de CE são: αh = 0,5, αω = 0,6, αB = 0,9, ρ = 0,05, NCE = 10.000, sendo permitidas até três iterações. O parâmetro de suavização (α) normalmente é utilizado com valores perto de 1 [6]. Porém, para as atualizações dos parâmetros de referência de índice de hora e cenários, empiricamente se percebeu que valores menores garantem maior estabilidade para o algoritmo.
3.4.1.2
Resultados
A Tabela 3.3 mostra as probabilidades de ultrapassagem, para todos os doze meses para o sistema RTS convencional. A comparação entre tempo computacional de SMC convencional e o proposto SMC-CE revela speed-ups de 2 até 18 vezes, com mesma precisão. Considerando a fase CE, que demandou no total 277 segundos, o speed-up da simulação completa é de 7,34; redução de 8,5 para 1,2 horas.
A redução do esforço computacional com SMC é devido ao aumento de amostragem da região de ultrapassagem. A Fig. 3.3 ilustra os cenários amostrados com a SMC convencional e SMC-CE. As linhas finas representam os cenários, mês a mês, por seus valores máximo, mínimo e quantis de 5%, 50% e 95%. Note que, com a SMC-CE, as amostras resultam em maior montante de uso. A tendência introduzida pela fase CE, e vista na Fig. 3.3, é removida dos estimadores de probabilidade e custo utilizando a função de verossimilhança de eq. (3-30).
SMC
SMC-CE
Figura 3.3: Resultados comparativos para SMC (esq.) e SMC-CE (dir.) para sistema RTS.
Capítulo 3. Estimativa de Risco de Contrato com Entropia Cruzada
47
Mês | Amostras | SMC Tempo (s) Prob. Est. | β (%) | Amostras | SMC-CE Tempo (s) Prob. Est. | β (%) | Speed-up | ||
1 | 70.000 | 71 | 0,1266 | 0,995 | 32.000 | 27 | 0,1258 | 0,995 | 2,60 |
2 | 385.000 | 320 | 0,0255 | 0,998 | 118.000 | 100 | 0,0257 | 0,998 | 3,21 |
3 | 10.495.000 | 9.602 | 0,0010 | 0,999 | 663.000 | 538 | 0,0010 | 0,999 | 17,85 |
4 | 15.26.000 | 1.238 | 0,0065 | 0,999 | 593.000 | 470 | 0,0064 | 0,998 | 2,63 |
5 | 216.000 | 173 | 0,0446 | 0,998 | 72.000 | 53 | 0,0444 | 0,999 | 3,24 |
6 | 127.000 | 118 | 0,0734 | 0,999 | 66.000 | 53 | 0,0727 | 0,998 | 2,24 |
7 | 433.000 | 352 | 0,0227 | 0,999 | 52.000 | 42 | 0,0226 | 0,997 | 8,32 |
8 | 2.490.000 | 2.017 | 0,0040 | 0,999 | 700.000 | 532 | 0,0039 | 0,999 | 3,79 |
9 | 17.644.000 | 16.302 | 0,0006 | 0,999 | 2.554.000 | 1966 | 0,0006 | 0,999 | 8,29 |
10 | 322.000 | 289 | 0,0303 | 0,999 | 60.000 | 45 | 0,0298 | 0,993 | 6,47 |
11 | 45.000 | 41 | 0,1841 | 0,994 | 18.000 | 14 | 0,1860 | 0,981 | 3,04 |
12 | 19.000 | 17 | 0,3499 | 0,991 | 8.000 | 6 | 0,3434 | 0,993 | 2,89 |
Os benefícios do método SMC-CE não se resumem ao tempo computaci- onal. A Fig. 3.4 ilustra um mapa de calor para a variação média da probabili- dade de ocorrência de cada hora e dia da semana (considerando o ano inteiro). Por exemplo, Quinta/18h tem sua probabilidade de ocorrência aumentada em 193%, em média, após a fase CE. As regiões mais escuras (maior variação) estão na Quinta, às 18h e 19h. Segundas e terças-feiras aparecem como os dias menos críticos para ocorrência de ultrapassagem.
A Fig. 3.5 mostra a variação média da “distorção” da disponibilidade das linhas de transmissão mais e menos “distorcidas”. Xxxxxxx apresentou variação significativa. Importante ressaltar que o estudo considera apenas a ocorrência de um evento (penalidade por ultrapassagem) em um ponto de co- nexão (fronteira 10) e regime tarifário (ponta). Nesse contexto, contingências influenciam menos do que as injeções de potência. Porém, como será apre- sentado em exemplos seguintes, condições de rede influenciam diretamente a importação do montante de uso.
Resultados para RTS Eólico Avalia-se a mesma configuração de simulação, agora com a existência de uma usina eólica no sistema elétrico. Esse tipo de geração, de característica intermitente, possui papel cada vez mais importante na matriz energética mundial, inclusive no Brasil [108]. Assim, é pertinente avaliar impactos ocasionados pela sua inserção na região elétrica da distribui- dora, em especial os efeitos na importação de potência ativa nos pontos de conexão. Para esse estudo, um parque formado por 20 aerogeradores de 3,3 MW (totalizando 66 MW de pico) é adicionado na barra 5 do sistema RTS (central à rede elétrica da distribuidora). Os detalhes da elaboração desse sis- tema elétrico estão no Apêndice A.
A Tabela 3.4 ilustra as probabilidades de ultrapassagem, para todos os doze meses para o sistema RTS Eólico. A comparação entre tempo computa- cional de SMC convencional e o proposto SMC-CE mostra novamente redução de tempo, com manutenção de precisão. Percebe-se, como esperado pelo au- mento de capacidade de geração interna, que a ocorrência de penalidade fica menos provável, com redução entre 2% (março) e 42% (outubro).
3.4.2
Sistema de Distribuição Real
Nesta seção, é utilizado um caso real de distribuidora brasileira para a avaliação da metodologia proposta. Cenários de demanda e geração são construídos conforme [90], utilizando dados reais. Os ramos considerados para a lista de contingências são os mais críticos, baseado na experiência dos engenheiros da distribuidora.
Por simplicidade, serão mostrados apenas os resultados para um ponto de conexão e intervalo de doze meses. O caso selecionado tem as seguintes características:
– Sistema completo: 6.540 barras, 9.529 ramos.
– Distribuidora: 158 barras; 193 ramos.
– Lista de contingência: 20 ramos, com disponibilidade 0,99.
– Número de cenários de demanda e geração: 200.
– Regime tarifário: segunda-feira à sexta-feira, exceto de 18 às 21h.
– Número total de horas consideradas no regime tarifário: 5.520. Elas são distribuídas em doze (uma por mês) distribuições discretas uniformes, com aproximadamente 460 índices cada.
– Contrato de MUST: 110 MW, com tarifa de R$ 3.789.
Capítulo 3. Estimativa de Risco de Contrato com Entropia Cruzada
50
Mês | Amostras | SMC Tempo (s) Prob. Est. | β (%) | Amostras | SMC-CE Tempo (s) Prob. Est. | β (%) | Speed-up | ||
1 | 113.000 | 111 | 0,0821 | 0,996 | 51.000 | 40 | 0,0817 | 0,999 | 2,80 |
2 | 538.000 | 424 | 0,0183 | 0,999 | 115.000 | 89 | 0,0184 | 0,997 | 4,75 |
3 | 10.753.000 | 9.377 | 0,0009 | 0,999 | 292.000 | 226 | 0,0009 | 0,999 | 41,41 |
4 | 1.954.000 | 1.812 | 0,0051 | 0,999 | 703.000 | 551 | 0,0051 | 0,998 | 3,29 |
5 | 325.000 | 297 | 0,0300 | 0,999 | 108.000 | 88 | 0,0299 | 0,999 | 3,37 |
6 | 158.000 | 142 | 0,0600 | 0,998 | 105.000 | 83 | 0,0595 | 0,994 | 1,71 |
7 | 523.000 | 481 | 0,0189 | 0,999 | 63.000 | 49 | 0,0187 | 0,990 | 9,74 |
8 | 3.123.000 | 3.180 | 0,0032 | 0,999 | 1.328.000 | 1.117 | 0,0032 | 0,999 | 2,85 |
9 | 18.675.000 | 25.872 | 0,0005 | 0,999 | 1.059.000 | 1.016 | 0,0005 | 0,999 | 25,45 |
10 | 561.000 | 844 | 0,0176 | 0,999 | 95.000 | 90 | 0,0177 | 0,994 | 9,40 |
11 | 59.000 | 96 | 0,1457 | 0,999 | 24.000 | 24 | 0,1429 | 0,980 | 4,02 |
12 | 23.000 | 34 | 0,3072 | 0,992 | 10.000 | 9 | 0,3027 | 0,985 | 3,62 |
Capítulo 3. Estimativa de Risco de Contrato com Entropia Cruzada 51
Caso os cenários de injeção e contingências sejam considerados apenas na região elétrica de escopo da distribuidora, equivalentes estáticos e flexíveis da área externa podem reduzir significativamente o tempo de simulação [12]. Nessa parte do trabalho, contudo, utiliza-se a representação elétrica completa do sistema para o fluxo de potência. Mais detalhes sobre equivalentes são apresentados no Capítulo 4 e no Apêndice B.
3.4.2.1
Configuração de simulação
Para todos os meses, os parâmetros da fase de CE são: αh = 0,3, αω = 0,2,
αB = 0,99, ρ = 0,05, NCE = 5.000, sendo permitas até três iterações.
3.4.2.2
Resultados
A Tabela 3.5 mostra as probabilidades e custos estimados de ultrapas- sagem, para todos os doze meses. A comparação entre tempo computacional de SMC convencional e o proposto SMC-CE revela speed-ups de 10 até 276 vezes. Considerando a fase CE, que levou 2,4 horas, o speed-up total é de 26,6; redução de 259,32 para 9,75 horas.
A Fig. 3.6 ilustra os cenários amostrados com a SMC convencional e SMC-CE. As linhas finas representam os cenários, mês a mês, por seus valores máximo, mínimo e quantis de 5%, 50% e 95%. É fácil perceber que, com a SMC- CE, as amostras resultam em maior montante de uso, e inclusive a mediana dos cenários está acima do limite em alguns meses.
A Fig. 3.7 ilustra o mapa de calor para a variação média da probabilidade de ocorrência de cada hora e dia da semana (considerando o ano inteiro). O instante mais crítico, Quarta/13h, tem sua probabilidade de ocorrência aumentada em 105%, em média, após a fase CE. As regiões mais escuras (maior variação) são de 13h às 15h e 17h. Estratégias operacionais, como garantir despacho de novas unidades de geração em tais horas, podem ser benéficas para redução de ocorrência de ultrapassagem. Quarta-feira aparece como o dia mais crítico, segunda-feira como o menos.
A Tabela 3.6 mostra a variação média da disponibilidade das linhas de transmissão mais e menos “distorcidas”. O ramo 20 da lista possui disponibili- dade mais distorcida (reduzida em 56%, em média). Essa linha é mais crítica em Junho, quando a probabilidade de estar disponível reduz de 0,99 para 0,008. Ela está eletricamente próxima ao ponto de conexão, e pode ser vista como uma possível candidata para reforço, a fim de reduzir o risco de penalidade nessa
Capítulo 3. Estimativa de Risco de Contrato com Entropia Cruzada
52
Tabela 3.5: Resultados Comparativos para Estimativa de Probabilidade e Custo de Ultrapassagem em Sistema Real.
Mês | Amostras | Tempo (s) | SMC Prob. Est. | β (%) | Custo Est. (R$) | Amostras | Tempo | (s) | SMC-CE Prob. Est. | β (%) | Custo Est. | (R$) | |
1 | 952.000 | 77.758 | 0,01049 | 1,0000 | 2.823 | 67.000 | 3.661 | 0,01047 | 0,9976 | 2.954 | 21,2 | ||
2 | 876.000 | 59.838 | 0,01140 | 1,0000 | 3.222 | 76.000 | 3.930 | 0,01094 | 0,9995 | 3.230 | 15,2 | ||
3 | 842.000 | 58.530 | 0,01185 | 1,0000 | 3.389 | 115.000 | 5.742 | 0,01185 | 0,9996 | 3.487 | 10,2 | ||
4 | 935.000 | 64.681 | 0,01068 | 1,0000 | 2.714 | 64.000 | 3.223 | 0,01014 | 0,9966 | 2.704 | 20,1 | ||
5 | 1.427.000 | 96.156 | 0,00703 | 1,0000 | 1.273 | 8.000 | 415 | 0,00737 | 0,9970 | 1.442 | 231,7 | ||
6 | 1.647.000 | 109.377 | 0,00609 | 1,0000 | 878 | 8.000 | 430 | 0,00625 | 0,9664 | 980 | 254,1 | ||
7 | 1.499.000 | 100.574 | 0,00669 | 1,0000 | 1.247 | 7.000 | 365 | 0,00681 | 0,9804 | 1.358 | 275,7 | ||
8 | 1.401.000 | 94.359 | 0,00715 | 1,0000 | 1.501 | 8.000 | 418 | 0,00747 | 0,9647 | 1.609 | 225,6 | ||
9 | 1.062.000 | 73.671 | 0,00942 | 1,0000 | 2.190 | 41.000 | 2.066 | 0,00950 | 0,9848 | 2.260 | 35,7 | ||
10 | 994.000 | 67.314 | 0,01005 | 1,0000 | 2.349 | 5.000 | 253 | 0,00957 | 0,9108 | 2.439 | 266,2 | ||
11 | 959.000 | 65.850 | 0,01042 | 1,0000 | 2.682 | 61.000 | 3.047 | 0,01036 | 0,9969 | 2.802 | 21,6 | ||
12 | 970.000 | 65.455 | 0,01030 | 1,0000 | 2.682 | 59.000 | 2.911 | 0„01011 | 0,9899 | 2.781 | 22,5 | ||
Figura 3.6: Resultados comparativos para SMC (esq.) e SMC-CE (dir.) para Sistema Real.
fronteira específica. Contingências em outras linhas tiveram pequeno impacto na importação de potência.
Tabela 3.6: Os Três Ramos Mais e Menos “Distorcidos” em Sistema Real.
Ramo | Mais Variação Média (%) | Ramo | Menos Variação Média | (%) |
20 | -55.9649 | 7 | 0.0138 | |
17 | 1.0100 | 4 | -0.0184 | |
1 | 1.0100 | 13 | -0.0222 | |
Comentários finais
No Brasil, as companhias de distribuição precisam especificar o MUST anualmente. Como esse montante é na realidade uma variável aleatória, existem riscos associados de ocorrência de penalidade de sub/sobrecontratação. Ser capaz de estimar tais riscos é fator chave, pois eles impactam diretamente o fluxo de caixa da empresa.
Nesse capítulo, uma abordagem baseada em FPP é apresentada com aplicação de SMC e CE. O propósito é estimar riscos de violação em contratos de MUST, do ponto de vista de uma distribuidora. A metodologia considera incerteza na demanda, geração e topologia internas.
Resultados para sistemas acadêmico e de distribuição real mostram que o método proposto é consideravelmente mais rápido que SMC convencional, com precisão similar. Além disso, o SMC-CE também fornece subprodutos relevantes: os dias/horas da semana e equipamentos de transmissão mais críticos para ocorrência de penalidade. Assim, é possível aos engenheiros adotarem contratos mais aderentes a suas realidades e criarem planos de mitigação de riscos. Foi também discutida a possibilidade de inserção de uma estação de geração eólica ao sistema IEEE RTS, o que reduz os riscos de penalidades.
4
Otimização de Contrato com Entropia Cruzada
Introdução
A contratação do MUST é um processo de decisão sob incerteza com impactos em diferentes níveis. Localmente, afeta o fluxo de caixa da distri- buidora, e um valor inadequado pode resultar em penalidades por ineficiência. Além disso, o MUST possui papel relevante no planejamento da operação e ex- pansão da transmissão [85]. Por essa razão, existem incentivos econômicos para a distribuidora chegar a valores de montante de uso o mais aderente possível à máxima demanda futura.
Os valores de contrato devem ser coerentes com as projeções futuras e com o perfil de aversão ao risco da companhia. Esse objetivo pode ser atingindo através de uma formulação de otimização estocástica, utilizando a técnica de FPP para criar cenários de importação, em cada ponto de conexão.
Os contratos de MUST possuem grande relevância na definição das estratégias operacionais e financeiras da distribuidora. Além disso, impactam (e são impactados) por diferentes fatores. Por exemplo, planos de expansão ou reforço da rede elétrica influenciam a importação de potência. Assim, permitir o diálogo da contratação de mínimo custo com outros aspectos operacionais relevantes pode aumentar a produtividade da empresa. Realizar essa proposta é viável utilizando a flexibilidade do método CE para otimização. Simulações com IEEE RTS [97] e de uma distribuidora real mostram que é possível reduzir os custos totais de contrato, com uma combinação ótima de reforços na rede interna da companhia.
Nesse capítulo, a Seção 4.2 apresenta o método CE para otimização. Seção 4.3 discute um modelo simples de contratação ótima estocástica para o MUST. Um modelo mais sofisticado de contratação extensível é apresentada na Seção 4.4. Novamente, são considerados sistemas acadêmico e real. A utilização de equivalentes estáticos flexíveis para representação da região externa à distribuidora é discutida durante a apresentação de resultados e mais detalhes da elaboração dos sistemas reduzidos estão no Apêndice B. Comentários finais estão na Seção 4.5.
4.2
Entropia cruzada para otimização
O método da entropia cruzada para otimização é uma adaptação do algoritmo de estimativa de eventos raros. A ideia principal é combinar ambos no problema estocástico associado (associated stochastic problem - ASP) [98]. O CE para otimização é um tipo de método de busca estocástica, como recozimento simulado e algoritmos genéticos [99], e garante um processo de busca global [59].
Trata-se de um método rápido para encontrar a solução ótima de proble- mas de otimização combinatória e contínua não convexa, com domínio de res- trição convexa [59]. O método CE é aplicado para resolução de otimização con- tínua multi-extrema, incluindo problemas com restrições não lineares [59, 98] e também multi-objetivos [100–104]. Para problemas discretos, [99] provou que quando o parâmetro de suavização (α) é constante e suficientemente pequeno, a solução ótima é encontrada eventualmente com probabilidade 1. O trade-off é a convergência mais lenta, quando se utiliza valores pequenos de α [99].
Essa seção fornece os elementos principais do CE para otimização na
Seção 4.2.1. Referências [6, 59] endereçam maiores detalhes. Essa apresentação é baseada principalmente em [6]. Um exemplo ilustrativo é discutido na Seção 4.2.2.
O algoritmo de entropia cruzada para otimização
Seja S(x) uma função de desempenho de todos os estados x ∈ X .
Suponha o objetivo de encontrar seu máximo γ∗, então
γ∗ = max S(x). (4-1)
x∈X
O problema determinístico na eq. (4-1) é associado ao de estimação
l(γ) = Pu[S(X) ≥ γ] = EuI{S(X≥γ)}, (4-2)
chamado problema estocástico associado (associated stochastic problem - ASP). O nível γ é um parâmetro conhecido ou não e X ∼ {f ( · ; u)}, u ∈ V. Para algum γ perto de γ∗, o evento é raro e a estimação é não trivial. O método CE é usado para realizar mudanças adaptativas na distribuição de probabilidade, criando sequências de (γt; {f ( · ; vt)}) que estão na direção do nível ótimo γ∗. O procedimento geral é:
1. Atualização de γt: para vt−1 fixo, seja γt o (1 −ρ)-quantil de S(X) sob
vt−1. O estimador para γt é
γˆt = S[(1−ρ)N[. (4-3)
2. Atualização de vt: para vt−1 e γt fixos, derive vt da solução de
mvax Evt−1 I{S(X)≥γˆt} ln f (X; v) . (4-4)
Note que eq. (4-4) não contém a função de verossimilhança (W ), que aparece na eq. (3-20). O motivo é que em estimativa de evento raro, o parâmetro u é nominal na modelagem das incertezas do problema. Para o ASP, referência u é uma escolha arbitrária.
Para procedimentos de otimização, o parâmetro de suavização α possui papel fundamental: (i) suaviza valores de vˆt; (ii) reduz a probabilidade de que algum componente de vˆt seja zero ou um nas primeiras iterações. Referência
[99] discute que adotar valores pequenos de α para problemas discretos leva a
trade-off entre convergências rápida e para o ótimo.
Algoritmo 4.1 (Algoritmo Principal CE para Otimização [6].)
Descrição: Calcula o parâmetro de referência ótimo para CE v e o nível ótimo
γ∗, que resolvem o problema γ∗ = maxx∈X S(x), x ∼ {f ( · ; v)}.
Passo 1 Escolha algum u e defina
t = 1.
vˆ0 = u. Faça o contador de iterações
Passo 2 Gera uma amostra X1, · · · , XN da distribuição f ( · ; vt−1). Calcule a função de desempenho S(X), organize em ordem crescente e calcule o (1 − ρ)-quantil.
Passo 3 Usa a mesma amostra para calcular vˆt da eq. (4-4), e aplique o processo de suavização.
Passo 4 Verifique algum critério de parada. Por exemplo, se para algum
t ≥ d,
γˆt = γˆt−1 = · · · = γˆt−d,
então pare; caso contrário, faça t = t + 1 e reitere desde o Passo 2.
4.2.2
Exemplo ilustrativo
Considere um processo de contratação de MUST para um dado ponto de conexão. Existem quatro cenários estimados para o montante de uso verificado. Eles e suas probabilidades associadas estão na Tabela 4.1. Nesse exemplo, é considerado somente a penalidade por ultrapassagem. A tarifa é T = 100 R$/MW. O objetivo é encontrar o valor de contrato (M ), que minimize o custo esperado
min
M
4
×
ps cs
s=1
s.t. cs = M × T + max{0, Ps − M} × T + max{0, Ps − 1.1M} × 3T.
Tabela 4.1: Cenários para MUST Verificado.
s | 1 | 2 | 3 | 4 |
MUST (Ps) | 100 | 110 | 120 | 130 |
Probabilidade (ps) | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 |
Uma discretização simples de possíveis valores de contrato, entre 90 MW e 140 MW, permite encontrar os valores ótimos M = 110 MW e c∗ = 11770.0 R$. A Fig. 4.1 ilustra os valores esperados para cada contrato no intervalo.
contrato ótimo
Custo esperado (R$)
14000
13000
12000
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140
Contrato (MW)
Figura 4.1: Valor esperado para diferentes contratos.
Apesar de ser um problema simples e didático, o método CE também é aplicado. Inicialmente, é considerada uma distribuição uniforme discreta
para os valores de contrato, no mesmo intervalo: 90 MW até 140 MW, e passos de discretização de 1 MW. Assim, cada impulso possui probabilidade de ocorrência de 0,01961. Os parâmetros são NCE = 2.000, ρ = 0,01 e α = 0,7. A Tabela 4.2 apresenta o processo de evolução da otimização, por iteração. Ela mostra o mínimo estimado e o valor de probabilidade para contrato de 110 MW, que sabidamente é o ótimo. O algoritmo converge rapidamente para o mínimo, e para quando a probabilidade de ocorrência de um valor de contrato atingir, ao menos, 0,999. A convergência leva 0,045 s e seis iterações. As Figs. 4.2 e 4.3 mostram os valores amostrados de contrato e
da função de desempenho, por iteração, respectivamente.
Tabela 4.2: Evolução da Otimização por CE.
Iteração | γt | Min | P110 | ||||||||||||||
0 | - | - | 0,0196 | ||||||||||||||
1 | 11770,0 | 11770,0 | 0,7059 | ||||||||||||||
2 | 11770,0 | 11770,0 | 0,9117 | ||||||||||||||
3 | 11770,0 | 11770,0 | 0,9735 | ||||||||||||||
4 | 11770,0 | 11770,0 | 0,9921 | ||||||||||||||
5 | 11770,0 | 11770,0 | 0,9976 | ||||||||||||||
6 | 11770,0 | 11770,0 | 0,9992 | ||||||||||||||
1250
40
1000
30
750
20
500
10 250
0
90 95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
0
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140
1500
1000
500
Contrato amostrado (MW)
4.2(a): t = 1
1500
1000
500
Contrato amostrado (MW)
4.2(b): t = 2
0
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140
Contrato amostrado (MW)
4.2(c): t = 3
0
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140
Contrato amostrado (MW)
4.2(d): t = 4
Figura 4.2: Evolução dos valores de contrato amostrados, por iteração.
1500
1000
500
2000
1500
1000
500
0
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140
Contrato amostrado (MW)
4.3(a): t = 5
0
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140
Contrato amostrado (MW)
4.3(b): t = 6
Figura 4.2: Evolução dos valores de contrato amostrados, por iteração. (conti- nuação)
1250
60
1000
750
40
500
20
250
0
11500
12000
12500
13000
13500
14000 14500
15000
15500
0
11500
12000 12500 13000 13500 14000 14500 15000 15500
1500
1000
500
Custo esperado (R$)
4.3(c): t = 1
1500
1000
500
Custo esperado (R$)
4.3(d): t = 2
0
11500
12000 12500 13000 13500 14000 14500 15000 15500
Custo esperado (R$)
4.3(e): t = 3
0
11500
12000 12500 13000 13500 14000 14500 15000 15500
Custo esperado (R$)
4.3(f): t = 4
2000
1500
1000
500
2000
1500
1000
500
0
11500
12000 12500 13000 13500 14000 14500 15000 15500
Custo esperado (R$)
4.3(g): t = 5
0
11500
12000 12500 13000 13500 14000 14500 15000 15500
Custo esperado (R$)
4.3(h): t = 6
Figura 4.3: Evolução da função de desempenho, por iteração.
Modelo simplificado de otimização estocástica
Nessa seção, é apresentado um processo de contratação ótima similar a [11,85]. Primeiro, uma fase de FPP gera cenários de importação de cada ponto de conexão. Depois, o método CE resolve um problema de otimização linear, que minimiza uma combinação convexa dos valores esperado e condicional em risco (conditional value at risk - CVaR) [105] do custo. Contudo, esse modelo
é utilizado apenas como passo de validação da aplicação do método CE, e também para introduzir a metodologia de contratação extensível da Seção 4.4. Todas as incertezas nodais e de rede seguem a abordagem discutida nas Seções 3.3.1 e 3.3.2. Além disso, a fase de FPP é similar ao descrito em 3.3.4:
1. Gere amostras de injeção nodal e de rede;
2. Calcule o fluxo de potência e verifique a convergência;
3. Caso convergido, capture e salve os valores de importação em cada ponto de conexão; Caso contrário, descarte o caso.
Esses passos são repetidos por um número fixo de cenários. O resultado é um conjunto de valores de importação, para cada ponto de conexão e regime tarifário.
4.3.1
Modelo de otimização estocástica
Esse problema de otimização estocástica minimiza uma combinação convexa do valor esperado e do CVaR do custo total anual, por ponto de conexão e regime tarifário. Ele considera o conjunto de cenários s ∈ ΩS de importação, gerado pela fase de FPP. O perfil de aversão a risco é configurado pelos seguintes parâmetros:
– λ ∈ [0,1]: define o peso do CVaR na função objetivo;
– q ∈ [0,1]: CVaRq define os q% piores casos de custo total.
Assim, para todos os pontos de conexão j ∈ ΩJ e regimes tarifários
t ∈ ΩT , o modelo de otimização é
min λCVaRq[cT (s)] + (1 − λ)E[cT (s)] (4-5)
Mj,t
sujeito a
x,x
x,x
cT (s) = cPS(s) + cF
+ cMI
(s) + cPU
(s), ∀s ∈ ΩS (4-6)
x,x
x,x
m∈ΩM
j,m,t
j,m,t
j,m,t
c
F
j,m,t
c
MI
j,m,t
c
PU
j,m,t
= Mj,t × Tj,t, ∀s ∈ ΩS, m ∈ ΩM (4-7)
(s) = max(0, Pj,m,t(s) − Mj,t) × Tj,t, ∀s ∈ ΩS, m ∈ ΩM (4-8)
(s) = max(0, Pj,m,t(s) − 1.1Mj,t) × 3Tj,t, ∀s ∈ ΩS, m ∈ ΩX (0-0)
x,x
x,x
cPS(s) = max(0, 0.9Mj,t − P max(s)) × 12Tj,t, ∀s ∈ ΩS. (4-10)
A eq. (4-5) representa a combinação convexa entre o CVaR e o valor esperado do custo total de contrato, calculado pela eq. (4-6). As eqs. (4-7), (4-8) e (4-9) representam, respectivamente, os custos fixo mensal, de máxima importação e penalidade de ultrapassagem, como apresentado nas eqs. (2-1), (2-2) e (2-4). A eq. (4-10) define a penalidade de sobrecontratação, apurada anualmente, conforme eq. (2-3).
Ao aplicar o método CE para resolução desse problema, é necessário escolher distribuições de probabilidade que irão reger as variáveis de decisão (os valores de contrato). Assim, para cada contrato Mj,t é adotada inicialmente uma distribuição uniforme discreta, no intervalo [R1, R2] e passo ∆. A função de desempenho é
Sj,t(Mj,t) = λCVaRq[cT (s)] + (1 − λ)E[cT (s)], (4-11)
x,x x,x
calculada para todos os cenários s ∈ ΩS.
Algoritmo 4.2 (Algoritmo CE para Contratação Ótima Estocástica.)
Descrição: Calcula o contrato ótimo para eq. (4-5).
Passo 1 Defina uj,t = U(R1,R2; ∆) e faça {vˆ0} = {u}j,t. Faça o contador de iterações k = 1.
Passo 2 Gere uma amostra de valores de contrato {X1, · · · , XX }x,x da distribuição f ( · ; vt−1). Xxxxxxx as funções de desempenho Sj,t, organize em valores decrescentes e calcule seus (1 − ρ)-quantis.
Passo 3 Use a mesma amostra para calcular {vˆk} da eq. (4-4), e aplique o processo de suavização.
Passo 4 Caso, para algum k ≥ d, para todos {j, t}:
{γˆk}j,t = {γˆk−1}j,t = · · · = {γˆk−d}j,t,
então, pare; caso contrário, faça k = k + 1 e reitere desde o Passo 2.
Resultados de simulação
4.3.2.1
Sistemas RTS e RTS Eólico
Inicia-se a apresentação com o sistema IEEE RTS [97, 106] convencional e, em seguida, ilustram-se os impactos no contrato ótimo devido a existência de uma usina eólica, como descrito na Seção 3.4 e no Apêndice A.
Os pontos de conexão e suas tarifas são:
– CON. 3: ramo 24 − 3;
– fora de ponta: R$ 12.948;
– ponta: R$ 13.344.
– CON. 9: xxxxx 11 − 9 e 12 − 9;
– fora de ponta: R$ 8.940;
– ponta: R$ 9.396.
– CON. 10: xxxxx 11 − 10 e 12 − 10.
– fora de ponta: R$ 15.768;
– ponta: R$ 15.549.
O regime de ponta é considerado no intervalo de 18h às 21h, de dias da semana. Para simplificação, finais de semana não são considerados para o regime de fora de ponta.
Configuração de simulação Novamente, todas as simulações são realizadas em Julia Language [95], com software comercial para o algoritmo de fluxo de potência [96]. A fase de FPP gera 10.000 cenários. A tolerância do fluxo de potência é 0,001 pu, e o número máximo de iterações é 35. Todos os casos são de fluxo convergente.
Os parâmetros para o CE são: α = 0,1, ρ = 0,01, NCE = 1.000, e são permitidas até 50 iterações. O algoritmo é considerado convergido quando todos {γˆk}j,t possuem pequenas variações (menor do que 0,001%) por cinco iterações.
Para todos os pontos de conexão, os parâmetros de aversão ao risco são λ = 0,5 e q = 0,95. O intervalo de busca para o contrato é de 10 MW até 500 MW, com passo de 0,1 MW. Isso significa 4.901 impulsos, com probabilidade 0,0002.
Programação linear (PL), com solver Cbc1, e um processo discreto [10] também são utilizados para validar o método CE.
Resultados A Tabela 4.3 exibe os resultados de contratação ótima, por ponto de conexão e regime tarifário, para todos os métodos de otimização. Todos fornecem resultados similares. Os processos totais decorreram em: 7,5550s para o CE; 0,7480s para a Discreta; e 36,6020s para a PL.
Tabela 4.3: Resultados de Contratação Ótima com RTS.
CE | Discreta | PL | |||
Fora de | M (MW) | 119,5 | 119,5 | 118,2392 | |
CON. 3 | ponta Ponta | Obj (×107 R$) M (MW) Obj (×107 R$) | 2,2630 | 2,2631 | 2,2708 |
132,6 | 132,6 | 132,7884 | |||
2,4102 | 2,4102 | 2,4149 | |||
Fora de | M (MW) | 110,3 | 110,4 | 108,7939 | |
CON. 9 | ponta Ponta | Obj (×107 R$) M (MW) Obj (×107 R$) | 1,5193 | 1,5193 | 1,5262 |
131,8 | 131,8 | 130,4288 | |||
1,7483 | 1,7483 | 1,7558 | |||
Fora de | M (MW) | 156,5 | 156,5 | 156,45130 | |
CON. 10 | ponta Ponta | Obj (×107 R$) M (MW) Obj (×107 R$) | 3,7535 | 3,7535 | 3,7762 |
184,9 | 185,4 | 187,0721 | |||
4,0051 | 4,0048 | 4,0207 | |||
Como exemplo, a Fig. 4.4 mostra os valores de cenários para a CON. 3, fora de ponta, e a curva da função de desempenho, obtida pelo método de discretização.
1Cbc (Coin-or branch and cut) é um solver de código aberto desenvolvido para solução de problemas de otimização inteira mista [107] e disponível para utilização em Julia Language.
E também para CON. 3 fora de ponta, as Figs. 4.5 e 4.6 mostram a evolu- ção dos valores de contrato amostrados e função de desempenho, por iteração do método CE. O algoritmo requisitou oito iterações para convergência.
É possível concluir que o método CE é adequado à resolução do problema. Contudo, esse modelo simples não explora todo seu potencial. Ademais, um algoritmo mais simples (discreta) ou um mais consolidado (PL) produzem resultados bons, em tempo aceitável. Na Seção 4.4, um método de contratação extensível é apresentado. Para esse caso, ambas as técnicas discretização e PL não serão viáveis.
4.5(a): t = 1 4.5(b): t = 2 4.5(c): t = 3
4.5(d): t = 4 4.5(e): t = 5 4.5(f): t = 6
4.5(g): t = 7 4.5(h): t = 8
Figura 4.5: Evolução dos valores amostrados de contrato, por iteração.
4.6(a): t = 1 4.6(b): t = 2 4.6(c): t = 3
4.6(d): t = 4 4.6(e): t = 5 4.6(f): t = 6
4.6(g): t = 5 4.6(h): t = 6
Figura 4.6: Evolução da função de desempenho, por iteração.
Sistema RTS Eólico A Tabela 4.4 apresenta os resultados de contratação ótima com o sistema RTS Eólico, e como os valores encontrados se comparação com o convencional. Percebe-se que, novamente, o algoritmo CE garante resultados confiáveis e, como esperado, os valores de contrato são ligeiramente reduzidos ao se considerar a usina eólica.
Tabela 4.4: Resultados de Contratação Ótima com RTS Eólico.
RTS CE | CE | RTS Eólico Discreta | PL | |||
Fora de | M (MW) | 119,5 | 115,6 | 115,7 | 115,7064 | |
CON. 3 | ponta Ponta | Obj (×107 R$) M (MW) Obj (×107 R$) | 2,2630 | 2,2284 | 2,2284 | 2,2360 |
132,6 | 130,7 | 130,7 | 128,9450 | |||
2,4102 | 2,3620 | 2,3620 | 2,3680 | |||
Fora de | M (MW) | 110,3 | 107,3 | 107,5 | 105,7733 | |
CON. 9 | ponta Ponta | Obj (×107 R$) M (MW) Obj (×107 R$) | 1,5193 | 1,4932 | 1,4932 | 1,5024 |
131,8 | 128,9 | 128,8 | 129,5723 | |||
1,7483 | 1,7222 | 1,7221 | 1,7310 | |||
Fora de | M (MW) | 156,5 | 147,8 | 147,7 | 151,4730 | |
CON. 10 | ponta Ponta | Obj (×107 R$) M (MW) Obj (×107 R$) | 3,7535 | 3,5924 | 3,5924 | 3,6207 |
184,9 | 176,8 | 176,7 | 176,4692 | |||
4,0051 | 3,8498 | 3,8497 | 3,8614 | |||
4.3.2.2
Sistema de Distribuição Real
O mesmo sistema de distribuição real apresentado na Seção 3.4 é no- vamente utilizado, agora para avaliar a proposta de método de contratação simples. No Brasil, o sistema de distribuição é normalmente uma pequena parte do Sistema Interligado Nacional (SIN). A distribuidora usualmente pos- sui informações apenas sobre as variáveis aleatórias de sua região de escopo, mantendo constantes os parâmetros que lhe são externos. Nesse contexto, a adoção de equivalentes é uma estratégia importante para redução do tempo de computação de fluxo de potência, devido ao elevado número de estados (con- dições operativas) avaliados. Detalhes da construção do sistema equivalente estão apresentados no Apêndice B. Em resumo, há redução de 6.540 barras e 9.545 ramos para 812 barras e 2.518 ramos. Na etapa pré-contração (oti- mização via CE), baseada em FPP, para 10.000 cenários de 12 meses e dois regimes tarifários, o sistema completo demandou 270 minutos e o equivalente 43 minutos. Redução de 86%. Em ambos, o número de casos descartados por não convergência de fluxo é de aproximadamente 1%.
As tarifas utilizadas nesse estudo estão apresentadas na Tabela 4.5.
Tabela 4.5: Tarifas de Fronteiras de Sistemas Real.
Fronteira | Regime | Tarifa (R$) | Fronteira | Regime | Tarifa (R$) | |
CON. | 1 | Fora de Ponta | 4.717 | CON. 7 | Fora de Ponta | 4.316 |
Ponta | 4.822 | Ponta | 4.448 | |||
CON. | 2 | Fora de Ponta | 4.728 | CON. 8 | Fora de Ponta | 3.789 |
Ponta | 4.867 | Ponta | 3.904 | |||
CON. | 3 | Fora de Ponta | 2.731 | CON. 9 | Fora de Ponta | 2.980 |
Ponta | 2.910 | Ponta | 3.132 | |||
CON. | 4 | Fora de Ponta | 4.117 | CON. 10 | Fora de Ponta | 7.991 |
Ponta | 4.205 | Ponta | 8.145 | |||
CON. | 5 | Fora de Ponta | 4.067 | CON. 11 | Fora de Ponta | 4.772 |
Ponta | 4.168 | Ponta | 4.894 | |||
CON. | 6 | Fora de Ponta Ponta | 5.256 5.183 | |||
A Tabela 4.6 apresenta os resultados de contratação com método CE e comparativo entre utilização de sistema completo ou equivalente. As diferenças nos valores de contratos ótimos estão entre 0 e 2,9 MW (CON. 9), mostrando a confiabilidade da utilização do sistema equivalente, confeccionado como pro- posto no Apêndice B. Os resultados são similares com os métodos de discretiza-
Tabela 4.6: Resultados de Contratação Ótima via CE com Sistema Real: Sistema Completo vs. Equivalente.
Fronteira | Regime | Completo M Obj (MW) (×106 R$) | Equivalente M Obj (MW) (×106 R$) | ||
CON. 1 | Fora Ponta Ponta | 43,6 | 2,70 | 43,6 | 2,70 |
43,3 | 2,68 | 43,2 | 2,68 | ||
CON. 2 | Fora Ponta Ponta | 71,8 | 4,51 | 72,2 | 4,50 |
69,2 | 4,42 | 70,5 | 4,44 | ||
CON. 3 | Fora Ponta Ponta | 0,0 | 0,00 | 0,2 | 0,01 |
0,1 | 0,00 | 0,0 | 0,00 | ||
CON. 4 | Fora Ponta Ponta | 42,6 | 2,34 | 42,7 | 2,34 |
40,0 | 2,23 | 40,0 | 2,23 | ||
CON. 5 | Fora Ponta Ponta | 165,0 | 9,02 | 165,2 | 9,03 |
169,3 | 9,42 | 170,0 | 9,46 | ||
CON. 6 | Fora Ponta Ponta | 47,9 | 3,28 | 47,9 | 3,28 |
51,4 | 3,36 | 51,4 | 3,36 | ||
CON. 7 | Fora Ponta Ponta | 125,7 | 6,96 | 125,5 | 6,92 |
122,4 | 6,87 | 124,7 | 6,98 | ||
CON. 8 | Fora Ponta Ponta | 95,0 | 5,00 | 94,7 | 4,99 |
96,9 | 5,24 | 96,9 | 5,24 | ||
CON. 9 | Fora Ponta Ponta | 91,1 | 3,99 | 88,2 | 3,84 |
85,9 | 3,92 | 87,2 | 3,94 | ||
CON. 10 | Fora Ponta Ponta | 18,4 | 1,99 | 18,6 | 1,98 |
18,0 | 1,92 | 19,7 | 2,06 | ||
Tabela 4.6: Continuação.
Fronteira | Regime | Completo M Obj (MW) (×106 R$) | Equivalente M Obj (MW) (×106 R$) | ||
CON. 11 | Fora Ponta Ponta | 35,0 | 2,44 | 34,9 | 2,44 |
37,2 | 2,60 | 36,1 | 2,57 | ||
Metodologia de contratação ótima extensível
O modelo apresentado na Seção 4.3 permite à distribuidora definir valores ótimos de contrato, para cada ponto de conexão e regime tarifário. O MUST possui impacto significativo nas finanças e no planejamento da companhia. Além disso, ele interinfluencia outros aspectos operacionais e de planejamento, como a confiabilidade no atendimento à demanda, expansão/reforço de rede ou implementação de novas unidades de geração. Por exemplo, novos circui- tos podem tornar a rede mais confiável, e contratos não precisariam cobrir importações maiores devido às contingências.
Essa seção desenvolve um modelo de contratação ótima extensível, que usa a determinação do MUST de forma combinada a outros investimentos. Como exemplo, é adotado o caso de planejamento de expansão da rede.
4.4.1
Modelo estocástico para contratação ótima e expansão de rede
Esse problema de otimização combina a contratação do MUST com o planejamento de expansão da rede. A rede interna e sua confiabilidade influenciam a importação de potência. O objetivo é minimizar o custo anual de contratos de MUST e implementação de novos circuitos (em investimentos anualizados).
Para o plano de expansão, o modelo considera um conjunto ΩB de circuitos candidatos. Cada ramo b ∈ ΩB possui custo de implementação de Cb (em base anual), e é considerado na função objetivo, caso o estado de execução STb = 1.
O modelo considera o custo global: todos os contratos de MUST mais a construção dos novos circuitos. Ele também possui uma abordagem baseada em cenários.
min
Mj,t,STb
sujeito a
j∈ΩJ ,t∈ΩT
CMUSTj,t + CBb (4-12)
b∈ΩB
CMUSTj,t = λCVaRq[cT (s)] + (1 − λ)E[cT (s)], ∀j ∈ ΩJ , t ∈ ΩT (4-13)
cT (s) = cPS(s) +
j,t
cF
+ cMI
j,t
(s) + cPU
(s), ∀s ∈ ΩS, j ∈ ΩJ , t ∈ ΩT
x,x
x,x
m∈ΩM
j,m,t
j,m,t
j,m,t
(4-14)
c
F
j,m,t
c
MI
j,m,t
c
PU
j,m,t
= Mj,t × Tj,t, ∀s ∈ ΩS, m ∈ ΩM , j ∈ ΩJ , t ∈ ΩT (4-15)
(s) = max(0, Pj,m,t(s) − Mj,t) × Tj,t, ∀s ∈ ΩS, m ∈ ΩM , j ∈ ΩJ , t ∈ ΩT
(4-16)
(s) = max(0, Pj,m,t(s) − 1.1Mj,t) × 3Tj,t, ∀s ∈ ΩS, m ∈ ΩM , j ∈ ΩJ , t ∈ ΩT
x,x
x,x
cPS(s) = max(0, 0.9Mj,t − P max(s)) × 12Tj,t, ∀s ∈ ΩS, j ∈ ΩJ , t ∈ ΩT (4-18)
CBb = STb × Cb, ∀b ∈ ΩB. (4-19)
A eq. (4-12) combina custo total de contrato MUST com custo de implementação dos ramos candidatos. As eqs. (4-13)-(4-18) estruturam os custos de contrato para cada ponto de conexão j ∈ ΩJ e regime tarifário t ∈ ΩT . A eq. (4-19) calcula o custo de implementação de cada ramo candidato b ∈ ΩB. O problema otimização apresentado é de difícil tratamento. Ele
possui variáveis inteiras (STb), e é não linear, devido às equações de fluxo de potência. Importante notar que uma nova configuração candidata de rede (variável de decisão) influi na importação e, portanto, no valor de contrato (também variável de decisão). O Algoritmo 4.3 estrutura o método CE para resolução desse modelo.
É relevante notar que o montante verificado é a máxima importação mensal. Para caracterizar esse valor de forma completamente fidedigna, faz- se necessária a simulação de todo um mês, para que se obtenha o instante de máxima importação. O custo computacional dessa estratégia é enorme. Não adotá-la, porém, pode acarretar na redução dos valores esperados dos montantes verificados (pela consideração de importações que poderiam não ser máximos mensais). O impacto maior dessa simplificação está na penalidade de sobrecontratação, calculada pela eq. (4-18). Esta preocupa menos os analistas da distribuidora que a ultrapassagem, por ser avaliada apenas uma vez ao ano e por requisitar somente ocorrência de pelo menos um ponto acima de 90% de contrato para que não seja aplicada. Dessa forma, sua desconsideração no problema exposto na eq. (4-12) tem pouco efeito prejudicial ao estudo feito. Nesse trabalho, porém, essa penalidade está mantida nas simulações apresentadas.
Algoritmo 4.3 (Algoritmo CE para Contratação Ótima e Expansão de Rede.)
Descrição: Calcula o contrato e o plano de expansão ótimos para eq. (4-12).
Passo 1 Defina uj,t = U(R1,R2; ∆) e ub = Ber(p) e faça {vˆ0} = {uj,t, ub}.
Faça o contator de interações k = 1.
Passo 2 Gere uma amostra de contratos {X1, · · · , XX }x,x e uma amostra de estado de ramos candidatos {B1, · · · , BN }b da distribuição f ( · ; vt−1).
Passo 3 Realize o FPP para s ∈ ΩS, para cada amostra i = 1, · · · , N .
Passo 4 Calcule a função de desempenho Sj,t,b, ordene em de forma decres- cente e calcule seu (1 − ρ)-quantil.
Passo 5 Use a mesma amostra para calcular {vˆk} de eq. (4-4), e aplique o processo de suavização.
Passo 6 Caso, para algum k ≥ d:
{γˆk}j,t = {γˆk−1}j,t = · · · = {γˆk−d}j,t,
então pare; caso contrário, faça k = k + 1 e reitere desde o Passo 2.
O Passo 6 do Algoritmo 4.3 pode também considerar a convergência do algoritmo somente quando todas as probabilidades que descrevem ub = Ber(p) estiverem próximas de 0 ou 1, por uma tolerância pré-definida.
4.4.2
Resultados
4.4.2.1
Sistemas RTS e RTS Eólico
Nessa seção, são discutidos os resultados obtidos com o sistema IEEE RTS [97, 106] para metodologia de contratação extensível. A configuração de simulação é similar a da Seção 4.3.2. Em complemento, adiciona-se como critério de convergência a exigência de que todas as variáveis de decisão regidas por distribuições de Bernoulli possuam probabilidade p < 0.01 ou p > 0.99. Três cenários são avaliados: (i) sem plano de expansão; (ii) expansão sem custos de implementação; e (iii) expansão com custos de implementação, conforme Tabela 4.7. São candidatos, os reforços para todos os circuitos internos existentes. As taxas de falha e reparo desses ramos são as mesmas do circuito a que reforçam.
Tabela 4.7: Custo de Investimento de Reforço (em Base Anual).
Seq. | De | Para | Custo (×106 R$) | Seq. | De | Para | Custo (×106 | R$) |
1 | 1 | 2 | 0,1500 | 7 | 4 | 9 | 1,3500 | |
2 | 1 | 3 | 2,7500 | 8 | 5 | 10 | 1,1500 | |
3 | 1 | 5 | 1,1000 | 9 | 6 | 10 | 0,8000 | |
4 | 2 | 4 | 1,6500 | 10 | 7 | 8 | 0,8000 | |
5 | 2 | 6 | 2,5000 | 11 | 8 | 9 | 2,1500 | |
6 | 3 | 9 | 1,5500 | 12 | 8 | 10 | 2,1500 | |
A Tabela 4.8 compila os resultados para os três cenários. A expansão sem custos reduz o custo global de contratos de MUST em aproximadamente R$ 8,01 × 106. No caso de expansão com custos, a despesa com MUST mais o investimento requerido é R$ 6,96 × 106 menor que não haver expansão.
Tabela 4.8: Resultados de Contratação Ótima para Cenários de Planejamento em Sistema RTS.
Sem Expansão | Com Expansão Sem Com Custos Custos | ||
CON. 3 Fora M (MW) de ponta Obj (×107 R$) M (MW) Ponta Obj (×107 R$) | 119,6 | 118,2 | 117,5 |
2,2630 | 2,2336 | 2,2149 | |
132,7 | 131,6 | 131,6 | |
2,4102 | 2,3820 | 2,3428 | |
CON. 9 Fora M (MW) de ponta Obj (×107 R$) M (MW) Ponta Obj (×107 R$) | 110,4 | 106,7 | 110,5 |
1,5193 | 1,5663 | 1,4425 | |
131,9 | 133,1 | 128,3 | |
1,7483 | 1,7638 | 1,6296 | |
CON. 10 Fora M (MW) de ponta Obj (×107 R$) M (MW) Ponta Obj (×107 R$) | 156,5 | 138,0 | 151,3 |
3,7534 | 3,3547 | 3,4825 | |
185,4 | 163,2 | 174,9 | |
4,0048 | 3,5972 | 3,7004 | |
Custo de Contrato | 1,5699 | 1,4898 | 1,4813 |
(×108 R$) | |||
Implementação | 0 | 0 | 1,9000 |
(×106 R$) | |||
TOTAL (×108 R$) | 1,5699 | 1,4898 | 1,5003 |
Iterações | 12 | 63 | 69 |
Estados Analisados | 29.556.000 | 153.761.025 | 168.438.925 |
Tempo (h) | 8.5 | 64.1 | 77.3 |
A Fig. 4.7 mostra o plano de reforço ótimo para cenários com e sem custos. Sem custos, quase todos os circuitos candidatos são executados. Ao considerar os custos, apenas dois ramos são selecionados: ambos conectados a barras de geração. É possível inferir que a razão é garantir que a injeção de tais barras consiga fluir para a rede, reduzindo a necessidade de importação de potência do sistema externo.
Figura 4.7: IEEE RTS com reforços: sem (esq.) e com (dir.) custos.
Sistema RTS Eólico Considerando a inserção da usina eólica, os valores de montante de uso contratados são ligeiramente menores, como apresenta a Tabela 4.9. Já os ramos selecionados são exatamente os mesmos do sistema RTS convencional, considerando ou não os custos de implementação.
Tabela 4.9: Resultados de Contratação Ótima para Cenários de Planejamento em Sistema RTS Eólico.
Sem Expansão | Com Expansão Sem Com Custos Custos | ||
CON. 3 Fora M (MW) de ponta Obj (×107 R$) M (MW) Ponta Obj (×107 R$) | 115,6 | 113,3 | 113,3 |
2,2284 | 2,2363 | 2,2454 | |
130,7 | 130,5 | 130,6 | |
2,3620 | 2,4262 | 2,4221 | |
CON. 9 Fora M (MW) de ponta Obj (×107 R$) M (MW) Ponta Obj (×107 R$) | 107,5 | 109,5 | 98,5 |
1,4931 | 1,6438 | 1,5786 | |
128,9 | 129,4 | 126,1 | |
1,7222 | 1,8608 | 1,7693 | |
CON. 10 Fora M (MW) de ponta Obj (×107 R$) M (MW) Ponta Obj (×107 R$) | 147,7 | 125,1 | 133,0 |
2,2284 | 3,3101 | 3,5265 | |
176,7 | 161,7 | 168,5 | |
2,3620 | 3,5054 | 3,7303 | |
TOTAL (×108 R$) | 1,5248 | 1,4983 | 1,5272 |
4.4.2.2
Sistema de Distribuição Real
Avalia-se novamente a metodologia proposta em um sistema de distri- buição real. A configuração de simulação permanece a mesma apresentada na Seção 4.3.2. Para esse estudo, apenas o equivalente estático é utilizado. Esse emprego é uma decisão do usuário, pois a metodologia permite a adoção do sistema completo. Porém, como apresentado na Seção 4.3.2, há redução de tempo dispendido em fluxo de potência, com resultados similares, ao se uti-
lizar equivalentes. Por simplificação, os circuitos candidatos no processo de expansão são reforços dos existentes na lista de contingências. É importante ressaltar que os circuitos candidatos podem ser conexões inteiramente novas entre subestações, a partir de uma lista de ramos avaliados pela distribuidora.
A Tabela 4.10 apresenta os valores de contrato, para todas as fronteiras e regimes tarifários. Em resumo, o sistema original (sem expansão da rede) possui custo de contrato total de R$ 8.50 × 107. Quando permitida a expansão, sem custos de implementação, o custo de contrato reduz para R$ 8.04 × 107. Ao se considerar os custos de implementação, o custo de contrato é de R$
8.39 × 107, mais R$ 5.76 × 105 com a expansão, totalizando R$ 8.45 × 107. Com a expansão, a rede se torna mais robusta com os circuitos instalados, possibilitando redução dos montantes contratados e portanto do custo total. A Tabela 4.11 apresenta os custos de implementação de cada ramo candidato e a decisão ótima. No cenário sem custos, são executados 10 circuitos; e com custos, 2 circuitos.
Tabela 4.10: Resultados de Contratação Ótima para Cenários de Planejamento em Sistema de Distribuição Real.
Sem Expansão | Com Expansão Sem Com Custos Custos | |||
Fora de ponta Ponta | CON. 1 M (MW) Obj (×106 R$) M (MW) Obj (×106 R$) | 43,9 | 43,1 | 49,8 |
2,70 | 2,70 | 2,85 | ||
41,8 | 44,4 | 43,3 | ||
2,67 | 2,75 | 2,67 | ||
Fora de ponta Ponta | CON. 2 M (MW) Obj (×106 R$) M (MW) Obj (×106 R$) | 72,3 | 70,5 | 72,9 |
4,51 | 4,34 | 4,66 | ||
70,7 | 71,3 | 73,1 | ||
4,39 | 4,28 | 4,49 | ||
Tabela 4.10: Continuação.
Sem Expansão | Com Expansão Sem Com Custos Custos | |||
Fora de ponta Ponta | CON. 3 M (MW) Obj (×106 R$) M (MW) Obj (×106 R$) | 2,9 | 2,3 | 2,2 |
0,18 | 0,14 | 0,14 | ||
0,4 | 1,1 | 0,7 | ||
0,03 | 0,07 | 0,05 | ||
Fora de ponta Ponta | CON. 4 M (MW) Obj (×106 R$) M (MW) Obj (×106 R$) | 41,7 | 40,3 | 43,5 |
2,33 | 2,21 | 2,30 | ||
37,1 | 37,6 | 40,7 | ||
2,29 | 2,10 | 2,19 | ||
Fora de ponta Ponta | CON. 5 M (MW) Obj (×106 R$) M (MW) Obj (×106 R$) | 168,5 | 163,3 | 182,4 |
9,05 | 8,34 | 9,64 | ||
176,9 | 166,2 | 184,4 | ||
9,33 | 8,62 | 10,03 | ||
Fora de ponta Ponta | CON. 6 M (MW) Obj (×106 R$) M (MW) Obj (×106 R$) | 47,8 | 47,3 | 48,1 |
3,30 | 3,22 | 3,23 | ||
51,2 | 52,0 | 54,3 | ||
3,36 | 3,37 | 3,43 | ||
Tabela 4.10: Continuação.
Sem Expansão | Com Expansão Sem Com Custos Custos | ||
CON. 7 Fora M (MW) de ponta Obj (×106 R$) M (MW) Ponta Obj (×106 R$) | 125,3 | 130,3 | 136,6 |
6,88 | 7,11 | 7,17 | |
123,1 | 126,7 | 121,6 | |
6,95 | 7,14 | 7,12 | |
CON. 8 Fora M (MW) de ponta Obj (×106 R$) M (MW) Ponta Obj (×106 R$) | 92,0 | 101,6 | 80,4 |
5,09 | 5,13 | 4,02 | |
97,3 | 107,3 | 84,8 | |
5,26 | 5,38 | 4,23 | |
CON. 9 Fora M (MW) de ponta Obj (×106 R$) M (MW) Ponta Obj (×106 R$) | 90,0 | 64,9 | 78,4 |
3,75 | 2,71 | 3,52 | |
89,0 | 60,9 | 79,8 | |
3,90 | 2,66 | 3,62 | |
CON. 10 Fora M (MW) de ponta Obj (×106 R$) M (MW) Ponta Obj (×106 R$) | 18,5 | 15,9 | 16,8 |
1,98 | 1,81 | 1,95 | |
19,1 | 17,0 | 18,7 | |
2,08 | 1,75 | 2,00 | |
Sem Expansão | Com Expansão Sem Com Custos Custos | ||
CON. 11 Fora M (MW) de ponta Obj (×106 R$) M (MW) Ponta Obj (×106 R$) | 34,9 | 33,5 | 31,7 |
2,47 | 2,16 | 2,22 | |
36,0 | 34,1 | 32,2 | |
2,51 | 2,40 | 2,35 | |
Custo de Contrato | 8,50 | 8,04 | 8,39 |
(×107 R$) | |||
Implementação | 0 | 0 | 5,76 |
(×105 R$) | |||
TOTAL (×107 R$) | 8,50 | 8,04 | 8,45 |
Iterações | 81 | 46 | 84 |
Estados Analisados | 41.632.000 | 55.516.477 | 44.914.479 |
Tempo (h) | 32 | 94 | 36 |
Tabela 4.11: Resultado de Decisão de Implementação de Ramos Candidatos para Sistema Real.
Seq. | Custo Sem Com (×105 R$) Custos Custos | Seq. Custo Sem Com (×105 R$) Custos Custos | |||||
1 | 14,560 | 1 | 0 | 9 | 82,600 | 1 | 0 |
2 | 0,400 | 1 | 0 | 10 | 112,480 | 0 | 0 |
3 | 0,400 | 1 | 0 | 11 | 25,720 | 1 | 0 |
4 | 8,276 | 0 | 0 | 12 | 8,828 | 0 | 0 |
5 | 9,048 | 0 | 0 | 13 | 12,960 | 1 | 0 |
6 | 1,544 | 0 | 0 | 14 | 4,600 | 1 | 0 |
7 | 1,120 | 1 | 1 | 15 | 32,320 | 1 | 0 |
8 | 30,280 | 1 | 0 | ||||
16 | 4,636 | 0 | 1 | ||||
4.5
Comentários finais
A contratação de MUST é crítica para todas as distribuidoras no Brasil. Trata-se de um processo de decisão sob incerteza, que influencia diretamente a produtividade da companhia. Nesse capítulo, foi apresentado um modelo de contratação ótima extensível. Para o caso discutido, o custo total de contratos de MUST é reduzido pela expansão ótima da rede elétrica interna. A consequência é um modelo, baseado em cenários, com variáveis inteiras e equações não lineares. E ainda, para ser adequado para ferramentas reais, a metodologia suporta adoção de software comercial para fluxo de potência.
O método CE é escolhido devido a sua flexibilidade e simplicidade. Sua adequação foi avaliada em um modelo simples de contratação, com desempenho similar ao uso de discretização ou PL. Foi um primeiro passo para a elaboração de uma metodologia mais sofisticada de contratação. Resultados obtidos com sistemas acadêmico e real de grande porte atestam que o modelo e o método escolhidos são adequados para contratação combinada entre MUST e expansão da rede interna, por reduzir o custo global de contratação, mesmo considerando custos de implementação de reforços. Para o caso de distribuidora real, a adoção de equivalentes estáticos flexíveis permitiu ganhos computacionais, com resultados similares ao sistema completo. Por admitir a utilização de software robusto para o fluxo de potência, o porte e as características da rede elétrica não inviabilizam a adoção da metodologia.
A utilização do planejamento da expansão é apenas um exemplo. Pode- ria ser considerada a combinação da contratação com a minimização de custos anuais de perdas ôhmicas ou implementação de novas unidades de geração. Existe uma clara influência entre todos esses aspectos. Por isso, um modelo global de otimização pode aumentar significativamente a eficiência da distri- buidora. Métodos como o CE e a capacidade computacional atuais permitem extrapolar os modelos e resolver problemas significativos.
5
Conclusões e Trabalhos Futuros
Conclusões
Esse trabalho discutiu a aplicação do método da entropia cruzada para estimação de risco e contratação ótima do montante de uso do sistema de transmissão (MUST). O MUST verificado é uma variável aleatória influenciada por diversos aspectos. Isso faz com que processos de tomada de decisão nesse contexto sejam sob incerteza.
A técnica de fluxo de potência probabilístico (FPP) é uma ferramenta importante para permitir o entendimento da variabilidade que a importação, em cada ponto de conexão, pode assumir. Dentre os métodos de FPP dispo- níveis, a simulação Monte Carlo (SMC) é a mais flexível e robusta. Ela faz ser possível a utilização de modelos sofisticados. Em contrate, a SMC pode consumir elevado tempo, requerendo adotar técnicas de redução de variância. O método da entropia cruzada (cross-entropy, CE) é um algoritmo numérico rápido. É um tipo de amostragem por importância, para redução de variância, aplicado em estimação de eventos e otimização. Diversos campos de sistemas de energia elétricas já se beneficiaram da eficácia do CE. Esse trabalho propôs utilizá-lo para avaliação de risco e contratação ótima de MUST. Para estimativa de eventos, ele produz índices confiáveis e subprodutos relevantes, que podem ser utilizados pelos engenheiros das distribuidoras para mitigação de riscos. No contexto de contratação ótima, ele permite estender o modelo de otimização e englobar outros aspectos relevantes ao planejamento, como
projetos de expansão da rede.
Resultados de simulações com sistemas acadêmico e real mostram que as metodologias propostas podem servir como base de ferramentas compu- tacionais práticas e confiáveis, que permitem a distribuidora impulsionar sua produtividade. Em análise de risco, há redução de tempo computacional con- siderável. Ao mesmo tempo, foi possível identificar as horas mais críticas para ocorrência de penalidades e os equipamentos (i.e., ramos em contingências) que mais impactam na variação do fluxo nas fronteiras. O modelo de contratação simples permitiu a avaliação do método CE para otimização estocástica e a
Capítulo 5. Conclusões e Trabalhos Futuros 82
utilização de equivalentes estáticos flexíveis. Assim, foi possível explorar uma proposta mais sofisticada de contratação ótima, englobando o MUST com a expansão da rede interna (poderiam ser outros critérios). Esse é um problema de difícil solução: exige avaliação de muitos cenários, é não linear e possui variáveis inteiras. A aplicação do método CE permitiu sua elaboração, cujos resultados mostram redução do custo total de contrato quando se possibilita o reforço dos circuitos internos da distribuidora.
Trabalhos Futuros
As metodologias apresentada nesse trabalho podem servir de base para ferramentas computacionais reais e práticas de uso dos analistas das distribui- doras. Tanto o modelo de estimativa de risco, quanto (principalmente) o de contratação ótima extensível podem ser aprimorados para que garantam maior valor agregado. Alguns itens de possível exploração futura são:
(a) considerar a confiabilidade e o custos de perdas no modelo de contratação ótima;
(b) considerar a expansão da capacidade de geração no modelo de contrata- ção ótima;
(c) desenvolver planos de mitigação de riscos, baseados nos subprodutos gerados pelo CE em estimação de evento.
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A
Inserção de Usina Eólica ao Sistema RTS
Há expectativa de que a geração eólica possua papel cada mais impor- tante na matriz energética mundial, inclusive no Brasil [108]. Assim, para ava- liar os impactos ocasionados pela existência de geração com fonte intermitente na região elétrica da distribuidora, uma usina eólica é inserida na barra 5 do sistema RTS, como na Figura A.1. Por simplificação, denomina-se o modificado de RTS Eólico. O parque é formado por 20 aerogeradores do modelo Vestas V155, de 3,3 MW [109], as curvas de ventos são obtidas no banco de dados da NREL [110] e os dados de confiabilidade do equipamentos são de [111]. A Tabela A.1 resume as especificações da usina.
Tabela A.1: Dados de Usina Eólica.
No. de Aerogeradores | 20 |
Área Varrida: A (m2) | 18.869 |
Velocidade de Início: vcut−in (m/s) | 3 |
Velocidade de Corte: vcut−out (m/s) | 18 |
Velocidade Nominal: vr (m/s) | 16 |
Potência Nominal: Pr (MW) | 3,3 |
Taxa de Falha: λ (falhas/ano) | 2,721 |
Taxa de Reparo: µ (reparo/ano) | 31,286 |
Os cenários horários de potência injetada pela usina são gerados a partir das curvas sintéticas de disponibilidade horária de cada aerogerador (criadas através de Monte Carlo cronológico, considerando as taxas de falha e reparo de [111]) e da potência entregue em função da velocidade do vento (v, em m/s) na hora, dada por [111]
P (v
0, se v < vcut−in
2
1 3ρAC v , se v ≤ v < vp cut−in r) =
Pr, se vr ≤ v < vcut−out
0, se vcut−out ≤ v
(A-1)
A Figura A.2 ilustra quantis de cenários de geração da usina eólica, em patamares horário, no horizonte de um ano.
Figura A.2: Cenários gerados para fazenda eólica.
Figura A.1: Sistema RTS com inserção de geração eólica na barra 5.
B
Equivalentes Estáticos Flexíveis
Os modelos equivalentes reduzidos para sistemas de potência são perti- nentes em estudos de planejamento, avaliação de segurança online e simulação em tempo real. Estudos de contratação de MUST possuem área de pertinência restrita (rede da distribuidora), porém esta é parte de um sistema elétrico in- terligado de grande porte. Além disso, mapear adequadamente as injeções de potência em cada ponto de conexão requer um número elevado de simulações de fluxo de potência. Sendo assim, os sistemas equivalentes são adequados para tornar viável o tempo computacional necessário ao estudo.
O problema é formulado a partir da definição de um subsistema de interesse (sistema interno) que é parte de uma rede de maior porte (sistema externo). Ambos são conectados através de barras de fronteira (ou pontos de conexão). O sistema interno deve ser sempre preservado em sua totalidade e um modelo equivalente reduzido, criado para representar o sistema externo. No escopo da contratação ótima ou análise de risco do MUST, o sistema interno corresponde justamente à região da distribuidora de energia elétrica.
Os modelos equivalentes, para que sejam utilizados nas metodologias propostas nessa Tese, devem respeitar alguns quesitos: (i) ser compatíveis com programas de fluxo de potência; (ii) ser numericamente bem condicionados; e (iii) preservar com precisão suficiente, a sensibilidade do sistema externo original às mudanças no sistema interno. Importante ressaltar, que no caso do item (iii), pretende-se que os fluxos de potência ativa que trafegam nos circuitos que determinam cada fronteira sejam similares no equivalente, em comparação ao completo. Essa distinção é pertinente, pois outros critérios, como perfil de tensão ou fluxos internos na rede podem levar a criação de equivalentes diferentes. E apesar de haver uma metodologia quantitativa, como será apresentado a seguir, a experiência dos engenheiros das distribuidoras garante refinamento qualitativo, por conhecerem os equipamentos que mais influenciam na importação nas fronteiras (que podem mantidos intactos na rede reduzida, por opção explícita do analista).
A redução de redes é tema que atrai pesquisadores desde a década 1970, tendo a avaliação de segurança estática online como motivação inicial [113–116]. Em [12] é apresentada a metodologia que serve de base para a