MANUAL DE APREÇAMENTO CONTRATOS DE OPÇÕES

Neste Manual, são apresentadas as metodologias para os cálculos dos prêmios de referência das opções e dos insumos necessários, como volatilidades implícitas.

Os prêmios de referência para os contratos de opções são calculados a partir dos modelos da família Black & Scholes, considerando os valores dos insumos ao término da negociação. O insumo volatilidade implícita, que não é negociado ou observado diretamente no mercado, também deve ser calculado.

1 RENDA VARIÁVEL

1.1 Contratos de opções sobre ações, ETFs e índices

O prêmio de referência para os contratos de opções de compra e de venda é calculado pelas equações (1.1) e (1.2), respectivamente:

𝑃𝑅𝐶𝐴𝐿𝐿𝑛 = 𝑆×𝑒(−𝑞𝑛𝑇𝑛)×𝑁(𝑑1) − 𝐾×𝑒(−𝑟𝑛𝑇𝑛)×𝑁(𝑑2)	(1.1)
𝑃𝑅𝑃𝑈𝑇𝑛 = −𝑆×𝑒(−𝑞𝑛𝑇𝑛)×𝑁(−𝑑1) + 𝐾×𝑒(−𝑟𝑛𝑇𝑛)×𝑁(−𝑑2)	(1.2)

onde:

ln (𝑆) + (𝑟 − 𝑞 + 𝜎2) 𝑇

𝑑 = 𝐾 𝑛 𝑛 2 𝑛

1 𝜎√𝑇

𝑛

(1.3)

ln (𝑆) + (𝑟 − 𝑞 − 𝜎2) 𝑇

𝑑 = 𝐾 𝑛 𝑛 2 𝑛

2 𝜎√𝑇

𝑛

(1.4)

𝑆 = preço de fechamento do ativo-objeto da opção;

𝑞𝑛 = dividendo pago pelo ativo-objeto da opção. Trata-se de taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual, referente ao vencimento 𝑛. Para

as opções sobre ações, esse termo é nulo, pois as opções são protegidas contra o pagamento de dividendos;

𝑟𝑛 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual, correspondente ao vencimento 𝑛 e calculada pela equação (1.5);

𝑇𝑛 = prazo de vencimento, em anos do calendário, pertinente à praça em questão, ou seja:

𝑇𝑛

= 𝐷𝑈𝑛

252

sendo 𝐷𝑈𝑛 o número de dias de saque, entre a data de cálculo e a data de vencimento do vencimento interpolado 𝑖;

𝐾 = preço de exercício da opção; e

𝜎 = volatilidade para a opção, calculada conforme a seção 1.2.

Cálculo da taxa de juro exponencial

𝑟𝑛 = ln(1 + 𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 )

𝐷𝐼1

(1.5)

onde:

𝐷𝐼1

𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 = taxa prefixada para o vencimento 𝑛, calculada por meio da interpolação

exponencial dos preços de ajuste do contrato futuro de taxa média de DI de um dia (DI1) (veja o MANUAL DE APREÇAMENTO DA BM&FBOVESPA – CONTRATOS FUTUROS).

1.2 Cálculo da volatilidade para opções sobre ações, ETFs e índices

A volatilidade para as opções sobre ações, ETFs e índices será computada a partir de duas famílias de modelos, segundo a liquidez das séries de opções. Os procedimentos, resumidos a seguir, são aplicados por ativo-objeto.

Modelos de cálculo para opções líquidas

Esses modelos são aplicados na geração da superfície de volatilidade para as ações, os ETFs e os índices que possuem o mínimo de séries (veja a Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais) com liquidez.

A avaliação de liquidez das séries para utilização desses modelos é feita com frequência quinzenal. A relação dos ativos classificados como líquidos está na Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais. Tal classificação não estabelece quantidades ou spreads mínimos. Conforme será explicado na sequência, as quantidades e os spreads são considerados ao se ajustarem os modelos de superfície de volatilidade aos negócios e às ofertas observados.

A geração da superfície de volatilidade para todas as séries de opções de um ativo (ação, ETF ou índice) classificado como líquido é feita em duas etapas:

1. Séries com liquidez: os negócios e as ofertas verificados na janela de captura (veja a Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais) que antecede o encerramento da negociação de opções são usados no ajuste dos modelos de não arbitragem para as superfícies de volatilidade; e

2. Séries sem liquidez: a volatilidade é obtida a partir dos modelos ajustados na etapa anterior.

Tal abordagem assegura a geração de volatilidades e prêmios livres de arbitragem.

As etapas de cálculo anteriores são efetuadas para as opções de compra e de venda separadamente, ou seja, são produzidas superfícies de volatilidades distintas para opções de compra e de venda.

Modelo de cálculo para opções ilíquidas

Esse modelo é aplicado na geração das superfícies de volatilidade relativas aos ativos classificados como ilíquidos, ou seja, que não contêm o número mínimo de séries com liquidez.

São empregados os mesmos modelos utilizados pelas ações consideradas líquidas, mas o ajuste dos parâmetros do modelo é feito a partir de dados históricos das ações.

Tal abordagem assegura o desenvolvimento de superfícies de volatilidade com as mesmas características observadas nas séries que apresentam liquidez, como sorriso de volatilidade e estrutura a termo para a volatilidade, além de garantir a geração de volatilidades e prêmios livres de arbitragem.

1.2.1 Modelo de cálculo ilíquido

Para as ações, os ETFs e os índices classificados como ilíquidos (ativos não listados na Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais), a superfície de volatilidade é calculada seguindo-se os passos abaixo, que são aplicados para as opções de compra e para as opções de venda.

Passo 1: Captura de dados de fechamento: preço de fechamento dos ativos e curva da taxa de juro livre de risco (veja o MANUAL DE APREÇAMENTO DA BM&FBOVESPA – CONTRATOS FUTUROS SOBRE ATIVOS FINANCEIROS)

Os preços de fechamento atualizam o histórico de preços usado no cálculo dos retornos logarítmicos.

Passo 2: Cálculo dos momentos amostrais de ordem superior: assimetria e curtose (item 1.2.1.2)

Os momentos amostrais de ordem superior são calculados para o histórico de três anos dos retornos logarítmicos dos preços de fechamento.

Passo 3: Cálculo da estrutura a termo de volatilidade (item 1.2.1.3)

As volatilidades para os prazos correspondentes aos vencimentos das opções são calculadas a partir do modelo GARCH (1,1). A volatilidade instantânea do

modelo GARCH (1,1) é atualizada diariamente e os coeficientes 𝜔, 𝛼, 𝛽 e a

volatilidade de longo prazo são atualizados semanalmente. Passo 4: Cálculo dos prêmios das opções

Os prêmios são calculados pelo modelo de Xxxxxxx & Su, empregando a volatilidade da estrutura a termo de volatilidade e os momentos amostrais (item 1.2.1.1).

Passo 5: Cálculo das volatilidades implícitas das opções

As volatilidades implícitas de todas as séries de opções são calculadas a partir dos prêmios de Corrado & Su (cujo cálculo foi realizado no passo anterior), mediante a inversão da equação de Black & Scholes (subseção 1.2.3).

1.2.1.1 Modelo de Corrado & Su Opções de compra

O modelo de Xxxxxxx & Su calcula os prêmios de opções. O valor de uma opção de compra europeia é dado por:

𝐶𝐶𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑇, 𝜎, 𝜅3, 𝜅4) = 𝐶𝐵𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑞, 𝑇, 𝜎) + 𝜅3𝑄3 + (𝜅4 − 3)𝑄4

onde:

𝑄3

= 1

6(1 + 𝑤)

𝑆𝜎√𝑇(2𝜎√𝑇 − 𝑑)𝑛(𝑑)

𝑄4

= 1

24(1 + 𝑤)

𝑆𝜎√𝑇(𝑑2 − 3𝑑𝜎√𝑇 + 3𝜎2𝑇 − 1)𝑛(𝑑)

com:

ln (𝑆) + (𝑟 − 𝑞 + 𝜎2) 𝑇 − ln(1 + 𝑤)

𝑑 = 𝐾 2

𝜎√𝑇

𝑤 = 𝜅3 𝜎3𝑇3/2 + 𝜅4 𝜎4𝑇2

6 24

𝐶𝐵𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑞, 𝑇, 𝜎) = prêmio de uma opção de compra pelo modelo de Black & Scholes;

𝑆 = preço do ativo-objeto (preço de fechamento);

𝐾 = preço de exercício da opção;

𝑟 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual;

𝑞 = taxa de dividendos, ou seja, taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual;

𝑇 = prazo de vencimento, em anos do calendário, pertinente à praça em questão;

𝜎 = volatilidade do modelo, obtido da estrutura a termo de volatilidade (item 1.2.1.3); e

𝜅3 e 𝜅4 = assimetria e curtose do ativo-objeto (item 1.2.1.2).

Opções de venda

O preço para opções de venda de acordo com o modelo de Xxxxxxx & Xx é determinado por meio da paridade put-call:

𝑃𝐶𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑞, 𝑇, 𝜎, 𝜅3, 𝜅4) = 𝐶𝐶𝑆 − 𝑆 exp(−𝑞𝑇) + 𝐾 exp(−𝑟𝑇)

com 𝐶𝐶𝑆 ≡ 𝐶𝐶𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑞, 𝑇, 𝜎, 𝜅3, 𝜅4), que é o preço da opção de compra no modelo de Corrado & Su para os mesmos preços de exercício e vencimento.

1.2.1.2 Cálculo dos momentos de ordem superior

Os momentos de ordem superior são calculados a partir das seguintes equações:

𝜅 = ∑𝑡−𝑁 1 (𝑟(𝑗)−𝑚)3

e 𝜅

= ∑𝑡−𝑁 1 (𝑟(𝑗)−𝑚)4

3 𝑗=𝑡 𝑁

𝑠3

4 𝑗=𝑡 𝑁

𝑠4

onde:

𝑟(𝑗) = ln(𝑆𝑗/𝑆𝑗−1) = retornos logarítmicos;

𝑚 e 𝑠 = média e desvio padrão dos retornos; e

𝑁 = tamanho do histórico usado nos cálculos (nesse caso, 𝑁 = 3 anos de retornos diários).

1.2.1.3 Cálculo da estrutura a termo de volatilidade

O parâmetro de volatilidade 𝜎 no modelo de Corrado & Su é função do prazo para o vencimento da opção, 𝜎 ≡ 𝜎(𝑇), que é a estrutura a termo de volatilidade:

𝑉(𝑇) = 𝑉

𝜎(𝑇) = √252 𝑉(𝑇)

+ 1 − exp(−𝑎𝑇 ⋅ 252) (𝜎̂2(𝑡 + 1) − 𝑉 )

𝐿 𝑎𝑇 ⋅ 252 𝐿

com:

𝑎 = ln 1

𝛼 + 𝛽

𝑉𝐿

= 𝜔

1 − 𝛼 − 𝛽

onde:

𝑇 = prazo referente ao vencimento da opção, em dias úteis;

𝛼, 𝛽 e 𝜔 = coeficientes do modelo GARCH(1,1);

𝜎̂2(𝑡 + 1) = variância instantânea, calculada segundo a fórmula da volatilidade autoregressiva do modelo GARCH(1,1).

𝜎̂2(𝑡 + 1) = 𝜔 + 𝛼𝑟2(𝑡) + 𝛽𝜎̂2(𝑡)

com:

𝑟(𝑡) = último instante da série de retornos (calculado com o fechamento do dia);

𝜎̂2(𝑡) = estimador de variância autoregressivo obtido da aplicação da fórmula acima a série de retornos e considerando a variância amostral como a na origem 𝜎̂2(𝑡 − 𝑁 − 1), para uma série de retornos de

comprimento 𝑁.

1.2.2 Modelo de cálculo líquido

Para as ações, os ETFs e os índices classificados como líquidos, constantes da Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais, a superfície de volatilidade é calculada consoante os passos estabelecidos a seguir, que são aplicados para as opções de compra e para as opções de venda separadamente.

Passo 1: Captura de dados intradiários de negociação e cálculo do preço médio e de sua incerteza para cada série (item 1.2.2.6.1)

São capturados na janela de captura (veja a Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais) que antecede o encerramento do pregão, para cada série:

‒ os negócios (quantidade e preço) realizados; e

‒ as ofertas de compra e venda (quantidade e preço). São consideradas as ofertas disponíveis no primeiro nível do livro de ofertas que oferecem bid e ask simultâneos. Cada alteração de preço ou de quantidade resulta em novo registro.

Passo 2: Cálculo da volatilidade implícita concernente aos preços médios das séries e a suas incertezas (item 1.2.2.6.2)

São calculadas para cada série:

‒ a volatilidade implícita dos preços médios das séries; e

‒ as incertezas de cada volatilidade implícita, com base nos limites superior e inferior definidos pela incerteza em relação ao preço médio do ativo- objeto e das séries.

Passo 3: Ajuste de modelo de não arbitragem

De posse dos preços médios dos ativos-objetos, das séries e das volatilidades implícitas, os modelos de não arbitragem para as séries de opções são ajustados (item 1.2.2.1). No entanto, antes de definir o modelo de não arbitragem, é necessário classificar os vencimentos. Os vencimentos com o número de séries observadas superiores a quantidade mínima (veja a Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais) são classificados como vencimentos líquidos; os demais vencimentos que não atenderem a esse critério são denominados ilíquidos. Dada a classificação dos vencimentos, o ajuste dos modelos pode ser realizado de duas formas:

‒ diretamente nos vencimentos líquidos; ou

‒ diretamente no agrupamento dos vencimentos líquidos e ilíquidos.

Ajuste nos vencimentos líquidos

Os vencimentos líquidos podem ser ajustados por meio de dois modelos:

‒ Modelo de volatilidade implícita SABR: o ajuste considera as volatilidades implícitas médias e suas incertezas; e

‒ Modelo de prêmio de opções de Xxxxxxx & Su: o ajuste considera os prêmios médios e suas incertezas.

Os modelos são aplicados às ações e estão disponíveis na Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais. Eventualmente, os modelos podem ser alterados, o que ocorre quando um modelo alternativo exibe ajuste melhor do que o modelo padrão definido para a ação.

Avaliação da qualidade do ajuste dos modelos líquidos

A qualidade de ajuste do modelo é avaliada com base na distribuição de resíduos do modelo, tanto com relação aos prêmios observados, quanto em relação as volatilidades implícitas observadas. Os erros de ajuste dos modelos devem ser cobertos pelas incertezas associadas as séries. Eventualmente, para alguns movimentos de mercado, as curvas observadas podem dificultar a convergência do ajuste, que dessa forma gera resultados onde a incerteza dos dados observados é superior ao resíduo, este resultado é classificado como uma violação. Quando algumas séries apresentam violações, modelos alternativos devem ser experimentados com o objetivo de reduzir estas violações observadas.

Ajuste no agrupamento de vencimentos líquidos e ilíquidos

Os agrupamentos de vencimentos podem ser ajustados por intermédio de dois modelos: VLFit e VLGARCH, que consideram os prêmios médios e suas incertezas, detalhados nos itens 1.2.2.6 e 1.2.2.7.

Os modelos são aplicados às ações e estão disponíveis na Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais. Eventualmente, os modelos podem ser alterados, o que ocorre quando um modelo alternativo revela ajuste melhor do que o modelo padrão determinado para a ação.

Passo 4: Cálculo das volatilidades implícitas das opções

As volatilidades implícitas de todas as séries de opções de cada ação, ETF e índice classificado como líquido e calculado no passo anterior pelos modelos Corrado & Su, VLFit e VLGARCH são obtidas pela inversão da equação de Black & Scholes. As demais volatilidades implícitas são estimadas pelo modelo SABR (subseção 1.2.3).

1.2.2.1 Ajuste dos modelos de não arbitragem

Os modelos de não arbitragem são ajustados mediante a minimização da função objetivo:

𝑁

𝑓 − 𝑦

𝑓𝑜𝑏𝑗 = ∑ ( 𝑖 𝑖)

𝑖=1

𝜎𝑦𝑖

onde:

𝑁 = quantidade de séries com informações na captura de dados;

𝑓𝑖 = função do modelo adotado no ajuste;

𝑦𝑖 = média dos dados capturados − prêmios ou volatilidades implícitas; e

𝜎𝑦𝑖 = incerteza referente a 𝑦𝑖.

Nas seções 1.2.2.2 a 1.2.2.5, são mostradas as funções dos modelos 𝑓𝑖

utilizados nos ajustes. O otimizador utilizado é uma implementação do Globally- Convergent Method of Moving Asymptodes (MMA) (descrito em Xxxxxxx Xxxxxxxx, "A class of globally convergent optimization methods based on conservative convex separable approximations," XXXX X. Optim. 12 (2), p. 555- 573 (2002)).

Na seção 1.2.2.6 são apresentadas as expressões para o calculo das médias e incertezas dos prêmios e das volatilidades implícitas.

1.2.2.2 Modelo SABR

O SABR é um modelo de volatilidade implícita:

𝜎𝐵𝑆

(𝐹, 𝐾, 𝑇) = 𝐴1

. ( 𝑧

𝑥(𝑧)

) . [1 + 𝐴2

. 𝑇]

onde:

𝐴1

= 𝛼

(1 − 𝛽)2 𝐹 2

(1 − 𝛽)4

𝐹 4

(𝐹𝐾)(1−𝛽)/2 {1 +

24 [ln (𝐾)] +

1920 [ln (𝐾)] }

(1 − 𝛽)2

𝛼2

1 𝜌𝛽𝜈𝛼

2 − 3𝜌2 2

𝐴2 =

24 (𝐹𝐾)1−𝛽 + 4 (𝐹𝐾)(1−𝛽)/2 +

24 𝜈

𝑧 = 𝜈 (𝐹𝐾)(1−𝛽)/2 ln(𝐹/𝐾)

𝛼

𝑥(𝑧) = ln {√1 − 𝜌𝑧 + 𝑧2 + 𝑧 − 𝜌}

1 − 𝜌

com:

𝑆 e 𝐹 = 𝑆𝑒𝑟𝑇 = preço do ativo-objeto e seu valor futuro. O valor do ativo-objeto é calculado consoante o item 1.2.2.6;

𝐾 = preço de exercício;

𝑇 = prazo anualizado para o vencimento da opção;

𝑟 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual; e

𝛼, 𝛽, 𝜌 e 𝜈 = parâmetros ajustados com os dados capturados referentes aos vencimentos líquidos. Tais dados são calculados no item 1.2.2.6.

1.2.2.3 Modelo de Corrado & Su

O modelo de Xxxxxxx & Xx (item 1.2.1.1) é dado por:

𝐶𝐶𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑇, 𝜎, 𝜅3, 𝜅4)

onde:

𝑆 = preço do ativo-objeto, calculado conforme o item 1.2.2.6;

𝐾 = preço de exercício;

𝑇 = prazo anualizado para o vencimento da opção;

𝑟 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual; e

𝜎, 𝜅3 e 𝜅4 = parâmetros ajustados com os dados capturados relativos aos vencimentos líquidos. Tais dados são calculados segundo o item 1.2.2.6.

1.2.2.4 Modelo VLGARCH

O modelo de Xxxxxxx & Xx (item 1.2.1.1) é dado por:

𝐶𝐶𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑇, 𝜎, 𝜅3, 𝜅4)

onde:

𝑆 = preço do ativo-objeto, calculado nos termos do item 1.2.2.6;

𝐾 = preço de exercício;

𝑇 = prazo anualizado para o vencimento da opção;

𝑟 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual;

𝜎̂2(𝑡 + 1), 𝑎, 𝜅3 e 𝜅4 = parâmetros ajustados com os dados capturados atinentes aos vencimentos líquidos. Tais dados são calculados consoante o item 1.2.2.6;

𝜎 ≡ 𝜎(𝑇; 𝑎, 𝜎̂2(𝑡 + 1), 𝑉𝐿) = dado pela estrutura de volatilidade a termo (item 1.2.1.3); e

𝑉𝐿 = mesma volatilidade de longo prazo utilizada no modelo ilíquido (item 1.2.1.3) e calculada com os parâmetros GARCH da ação.

1.2.2.5 Modelo VLFit

O modelo de Xxxxxxx & Xx (item 1.2.1.1) é dado por:

𝐶𝐶𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑇, 𝜎, 𝜅3, 𝜅4)

𝑆 = preço do ativo-objeto, calculado segundo o item 1.2.2.6;

𝐾 = preço de exercício;

𝑇 = prazo anualizado para o vencimento da opção;

𝑟 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual;

𝜎 ≡ 𝜎(𝑇; 𝑎, 𝜎̂2(𝑡 + 1), 𝑉𝐿) = dado pela estrutura de volatilidade a termo (item 1.2.1.3); e

𝑉𝐿, 𝜎̂2(𝑡 + 1), 𝑎, 𝜅3 e 𝜅4 = parâmetros ajustados com os dados capturados

referentes aos vencimentos líquidos. Tais dados são calculados conforme o item 1.2.2.6.

1.2.2.6 Consolidação de dados intradiários de opções sobre ações

De acordo com o item 1.2.2.1, os modelos de não arbritagem são utilizados para ajuste (i) dos prêmios observados e (ii) das volatilidades implícitas nos prêmios observados, sendo o ajuste efetuado a partir dos valores médios e das incertezas associadas a cada série observada.

Os valores médios e as incertezas de cada série são calculados a partir das observações de:

• negócios de ações;

• negócios de opções;

• ofertas de compra e venda de opções;

As incertezas são calculadas a partir de negócios e ofertas verificados no período de captura. O período de captura é configurado para os dez últimos minutos que antecedem o leilão de encerramento no mercado a vista de ações.

Os cálculos dos valores médios e incertezas das opções e das volatilidades implícitas são demonstrados na sequência.

1.2.2.6.1. Valores médios e incertezas para as opções Cálculo do preço médio das opções

O preço médio das opções é calculado em três etapas, a seguir.

1. Cálculo do preço médio dos negócios das opções

∑𝑁 𝑄𝑖𝑃𝑖

𝑝𝑛 = 𝑖=1

∑

𝑁

𝑖=1

𝑄𝑖

onde:

𝑄𝑖 = quantidade de opções transacionadas no 𝑖-ésimo negócio durante o período de captura;

𝑃𝑖 = preço correspondente ao 𝑖-ésimo negócio de opções durante o período de captura; e

𝑁 = quantidade de negócios de opções realizados durante o período de captura.

2. Cálculo do preço médio das ofertas de opções (preço mid)

𝑝𝑚𝑖𝑑

= 𝑝𝑐 + 𝑝𝑣

onde:

𝑝𝑐 e 𝑝𝑣 = médias dos preços de ofertas de compra e venda, respectivamente.

∑𝑁 𝑄𝑋,𝑖𝑃𝑋,𝑖

𝑝𝑋 = 𝑖=1

∑

𝑁

𝑖=1

𝑄𝑋,𝑖

onde:

𝑝𝑋 = preço médio das ofertas de compra (𝑋 = 𝑐) ou de venda (𝑋 = 𝑣);

𝑄𝑋,𝑖 = quantidade de contratos ofertados (em 𝑋, compra ou venda) na 𝑖-ésima ordem verificada no topo do livro durante o período de captura;

𝑃𝑋,𝑖 = preço correspondente à 𝑖-ésima oferta (em 𝑋, compra ou venda) registrada durante o período de captura; e

𝑁 = quantidade de ofertas observadas durante o período de captura.

3. Composição das médias de ofertas com médias de negócios na média final dos preços de opções

𝑝𝑛 + 𝑝𝑚𝑖𝑑

𝑠2 𝑠2

𝑝𝑜𝑝𝑡 =

𝑛 𝑚𝑖𝑑

𝑠

𝑠2

1 1

𝑛 𝑚𝑖𝑑

onde:

𝑠𝑛 e 𝑠𝑚𝑖𝑑 = incertezas pertinentes ao preço médio dos negócios e ao preço médio das ofertas, respectivamente. O cálculo dessas variáveis é apresentado a seguir.

Cálculo da incerteza do preço das opções

A incerteza do preço médio das opções é calculada em três etapas, a seguir.

1. Cálculo da incerteza dos negócios

𝑖=1

𝑄

𝑖

𝜎𝑛√∑𝑁 2

𝑠𝑛 =

𝑁

∑

𝑖=1

𝑄𝑖

com:

∑𝑁 (𝑃𝑖 − 𝑃𝑛)2

𝑛

𝜎 = √ 𝑖=1

𝑁 − 1

onde:

𝑄𝑖 = quantidade de opções transacionadas no 𝑖-ésimo negócio durante o período de captura;

𝑃𝑖 = preço correspondente ao 𝑖-ésimo negócio de opções durante o período de captura; e

𝑁 = quantidade de negócios de opções realizados durante o período de captura.

Quando 𝑁 ≤ 1, assume-se 𝑠𝑛 = 0,005 (a incerteza no preço é de metade de um

centavo de reais). Esses parâmetros podem ser especificados por ação e se encontram na Tabela 2 do Anexo de Parâmetros Mensais.

Uma correção é aplicada à incerteza para evitar distorções quando há poucos negócios (tipicamente, menos de cinco) com grandes volumes durante a captura. A correção é realizada mediante a multiplicação do fator 𝑓𝑡 por 𝑠𝑛:

𝑠𝑛 ≡ 𝑓𝑡 𝑠𝑛

onde:

𝑓𝑡

= 𝑞(𝐼𝐶, 𝑁 − 1)

𝑞(𝐼𝐶, ∞)

com:

𝑞(𝐼𝐶, 𝜈) = função inversa da distribuição t-student com 𝜈 graus de liberdade e intervalo de confiança 𝐼𝐶. O parâmetro 𝐼𝐶 é definido na Tabela 2 do Anexo de Parâmetros Mensais.

Quando 𝑁 ≤ 1 , usa-se:

𝑓𝑡

= 𝑞(𝐼𝐶, 1)

𝑞(𝐼𝐶, ∞)

2. Cálculo da incerteza do preço das ofertas

1 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 2

𝑐

𝑣

𝑠𝑚𝑖𝑑 = √4 (𝑠2 + 𝑠2) + ( 2 )

onde:

𝑠𝑚𝑖𝑑 = incerteza no preço mid (média das ofertas de compra e de venda);

𝑠𝑐, 𝑠𝑣 = incerteza das ofertas de compra e de venda; e

𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 = diferença entre a média dos preços ofertados de venda e de compra, ou seja:

𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 = 𝑝𝑣 − 𝑝𝑐

𝑖=1

𝜎𝑋√∑𝑁

𝑄

𝑋,𝑖

𝑠𝑋 =

𝑁

∑

𝑖=1

𝑄𝑋,𝑖

com:

∑𝑁 (𝑃 − 𝑝 )2

𝑋

𝜎 = √ 𝑖=1 𝑋,𝑖 𝑋

𝑁 − 1

onde:

𝑠𝑋 = incerteza dos preços médios das ofertas de compra (𝑋 = 𝑐) ou de venda (𝑋 = 𝑣);

𝑝𝑋 = preço médio das ofertas de compra (𝑋 = 𝑐) ou de venda (𝑋 = 𝑣);

𝑄𝑋,𝑖 = quantidade de contratos ofertados (em 𝑋, compra ou venda) na 𝑖-ésima ordem observada no livro durante o período de captura;

𝑃𝑋,𝑖 = preço correspondente à 𝑖-ésima oferta (em 𝑋, compra ou venda) verificada durante o período de captura;

𝑁 = quantidade de ofertas registradas durante o período de captura; e

3. Composição das incertezas de ofertas com as incertezas de negócios de opções

A incerteza final do preço das opções é dada por:

𝑠𝑜𝑝𝑡 =

𝑠

√ 1

𝑛

𝑠2

+ 1

𝑚𝑖𝑑

Ajuste da incerteza pelas quantidades de negócios e de ofertas

As quantidades de negócios e de ofertas estão diretamente ligadas às incertezas dos preços das opções, uma vez que os diferentes níveis dessas grandezas determinam a qualidade na formação dos preços. O objetivo aqui é redistribuir os pesos das séries em cada vencimento, separadamente, de acordo com o volume de negócios e de ofertas, bem como número de negócios e número de atualizações do primeiro nível do book de ofertas. Ou seja, dados os pesos (incertezas) obtidos por meio de oscilações de preços e spreads de ofertas, queremos incluir uma parcela de peso devido ao número de negócios e ao volume.

Por esse motivo, incluiu-se uma parcela de peso em 𝑠𝑜𝑝𝑡 (incerteza final do preço das opções):

𝑠𝑜𝑝𝑡

≡ √𝛼(𝑠𝑜𝑝𝑡

)2 + (1 − 𝛼)(𝑠 )2

𝑞

onde:

𝛼 = peso atribuído à parcela referente à incerteza final do preço das opções, limitada ao intervalo 0 ≤ 𝛼 ≤ 1. Esse parâmetro é definido na Tabela 2 do Anexo dos Parâmetros Mensais; e

𝑠𝑞 = incerteza associada à quantidade de negócios e de ofertas. Essa quantidade diz respeito ao vencimento da série em questão, de maneira que corrija a incerteza final pelo efeito das quantidades de negócios e de ofertas.

O cálculo de 𝑠𝑞 envolve as quantidades de negócios, as quantidades de ofertas e os números de contratos negociados e ofertados. Serão discriminados os passos e as fórmulas para se chegar a 𝑠𝑞. Para simplificar a nomenclatura, as quantidades de negócios e de ofertas são denominadas eventos, pois

representam os eventos observados. Os cálculos a seguir são efetuados por vencimento (smile). Logo, 𝑁 deve ser considerado o número de séries com

informação no vencimento e 𝑀, o número de negócios (ou ofertas) da 𝑖-ésima série.

1. Cálculo do número de negócios e de ofertas (eventos)

O número de eventos final para cada série 𝑖 em um vencimento é dado por:

𝑛𝑖 = 𝑓𝑛𝛼𝑛𝑛𝑛𝑒𝑔 + (1 − 𝛼𝑛)𝑛𝑜𝑓

𝑖 𝑖

onde:

𝛼𝑛 = 0 ≤ 𝛼𝑛 ≤ 1 = fator que define qual o peso a ser dado ao número de negócios

diante do número de eventos de ofertas (veja a Tabela 2 do Anexo de Parâmetros Mensais);

𝑀

𝑖

𝑛𝑛𝑒𝑔 = ∑ 𝑛𝑒𝑔𝑗

𝑗=1

com:

𝑛𝑒𝑔𝑗 = negócios observados no 𝑗-ésimo evento da série 𝑖;

𝑀

𝑖

𝑛𝑜𝑓 = ∑ 𝑜𝑓𝑗

𝑗=1

sendo:

𝑜𝑓𝑗 = ofertas observadas no 𝑗-ésimo evento da série 𝑖; e

𝑓𝑛 = fator de normalização entre ofertas e negócios (para o vencimento), ou seja:

∑𝑁

𝑛𝑜𝑓

𝑓𝑛 = 𝑖=1 𝑖

∑

𝑛

𝑁

𝑖=1

𝑛𝑒𝑔

𝑖

2. Cálculo do número de contratos de negócios e de ofertas

O número de contratos final para cada série 𝑖 de um vencimento é dado por:

𝑞𝑖 = 𝑓𝑞. 𝛼𝑞. 𝑞𝑛𝑒𝑔 + (1 − 𝛼𝑞). 𝑞𝑜𝑓

𝑖 𝑖

onde:

𝛼𝑞: 0 ≤ 𝛼𝑞 ≤ 1, fator que define qual o peso a ser dado ao número de contratos negociados diante do número de contratos ofertados (veja a Tabela 2 do Anexo de Parâmetros Mensais);

𝑀

𝑞𝑛𝑒𝑔 = ∑ 𝑞𝑛

𝑖 𝑗

𝑗=1

com:

𝑗

𝑞𝑛 = número de contratos negociados no 𝑗-ésimo evento da série 𝑖;

𝑀

𝑞𝑜𝑓 = ∑ 𝑞𝑜

𝑖 𝑗

𝑗=1

sendo:

𝑗

𝑞𝑜 = número de contratos ofertados no 𝑗-ésimo evento da série 𝑖; e

𝑓𝑞 = fator de normalização entre ofertas e negócios (por vencimento), ou seja:

∑𝑁

𝑞𝑜𝑓

𝑓𝑞 = 𝑖=1 𝑖

∑

𝑞

𝑁

𝑖=1

𝑛𝑒𝑔

𝑖

3. Normalização entre contratos e eventos

Para cada série 𝑖, o número de eventos e a quantidade de contratos são normalizados segundo a equação:

𝑖

𝑞𝑛𝑞 = 𝑓𝑛𝑞. 𝛼𝑛𝑞. 𝑛𝑖 + (1 − 𝛼𝑛𝑞). 𝑞𝑖

𝑖

gerando a quantidade final 𝑞𝑛𝑞 referente à série 𝑖, que integra as quantidades de eventos e os tamanhos dos eventos, onde:

𝑖

𝑞𝑛𝑞 = quantidade normalizada considerando o número de eventos e a quantidade de negócios;

𝛼𝑛𝑞 = 0 ≤ 𝛼𝑛𝑞 ≤ 1, fator que regula o número de eventos e a quantidade de contratos (veja a Tabela 2 do Anexo de Parâmetros Mensais);

𝑓𝑛𝑞 = fator de escala entre o número de eventos e a quantidade de contratos, ou seja:

∑𝑁 𝑞𝑖

𝑓𝑛𝑞 = 𝑖=1

∑

𝑁

𝑖=1

𝑛𝑖

4. Cálculo da incerteza associada à quantidade de negócios e de ofertas 𝑠𝑞

A incerteza associada à quantidade de negócios e de ofertas, correspondente à série 𝑖, é dada por:

𝑠 ≡ 𝑠𝑞 = 1

𝑤

𝑞 𝑖 𝑞

𝑖

onde:

∑𝑁 1

𝑞 𝑖=1 𝑠𝑜𝑝𝑡

𝑛𝑞

𝑤𝑖 = 𝑁

𝑖

𝑛𝑞

𝑞𝑖

∑𝑖=1 𝑞𝑖

com:

𝑖

𝑞

𝑠𝑜𝑝𝑡 = incerteza dos preços de opções pertinente à série 𝑖. É importante salientar que, segundo apresentado anteriormente, 𝑠𝑜𝑝𝑡 ≡ 𝑠𝑜𝑝𝑡 é a incerteza do preço das opções concernente à série 𝑖. Analogamente, 𝑠𝑞 ≡ 𝑠𝑞. Dessa forma, tem-se:

𝑠𝑜𝑝𝑡

≡ √𝛼(𝑠𝑜𝑝𝑡

)2 + (1 − 𝛼)(𝑠 )2

que é a incerteza final para o preço da opção. Essa incerteza é utilizada no cálculo da incerteza da volatilidade implícita da opção da série 𝑖, como será abordado a seguir.

1.2.2.6.2. Valores médios e incertezas para as volatilidades implícitas Cálculo do valor médio da volatilidade implícita

O valor médio da volatilidade implícita é calculado a partir da fórmula:

𝑉 = 𝜎𝐵𝑆(𝑝𝑜𝑝𝑡, 𝑝𝑎, 𝐾, 𝑟, 𝑇)

onde:

𝑝𝑜𝑝𝑡 = média final do preço das opções;

𝑝𝑎 = média do preço do ativo-objeto;

𝐾 = preço de exercício;

𝑇 = prazo para o vencimento da opção;

𝑟 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual; e

𝜎𝐵𝑆(… ) = cálculo da volatilidade implícita (subseção 1.2.3)

Cálculo da incerteza da volatilidade implícita a partir da incerteza dos preços

A incerteza na volatilidade implícita da série 𝑖 é dada por:

𝑠𝑉

= |𝑉𝑢 − 𝑉𝑑|

onde:

𝑜𝑝𝑡

𝑉𝑢 = 𝜎𝐵𝑆(𝑝𝑜𝑝𝑡 + 𝑠′ , 𝑝𝑎, 𝐾, 𝑟, 𝑇)

𝑜𝑝𝑡

𝑉𝑑 = 𝜎𝐵𝑆(𝑝𝑜𝑝𝑡 − 𝑠′ , 𝑝𝑎, 𝐾, 𝑟, 𝑇)

com:

𝑝𝑜𝑝𝑡 = média final do preço das opções;

𝑜𝑝𝑡

𝑠′ = incerteza final do preço da opção, ou seja:

𝑠′ = √𝑠2 + (Δ ∙ 𝜎𝑎)2

𝑜𝑝𝑡 𝑜𝑝𝑡

sendo:

Δ = delta da opção (Δ𝐶𝐴𝐿𝐿 para opções de compra e Δ𝑃𝑈𝑇 para opções de venda), com:

Δ𝐶𝐴𝐿𝐿 = 𝑁(𝑑1) e Δ𝑃𝑈𝑇 = 𝑁(𝑑1) − 1

𝜎𝑎 = incerteza do preço da ação;

𝑝𝑎 = média do preço do ativo-objeto;

𝐾 = preço de exercício;

𝑇 = prazo para o vencimento da opção;

𝑟 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual; e

𝜎𝐵𝑆(… ) = cálculo da volatilidade implícita (subseção 1.2.3)

Cálculo do preço médio de ações

O preço médio das ações é dado por:

∑𝑁 𝑞𝑖𝑝𝑖

𝑝𝑎 = 𝑖=1

∑

𝑁

𝑖=1

𝑞𝑖

onde:

𝑞𝑖 = quantidade de ações transacionadas no 𝑖-ésimo negócio durante o período de captura;

𝑝𝑖 = preço correspondente ao 𝑖-ésimo negócio durante o período de captura; e

𝑁 = quantidade de negócios realizados durante o período de captura.

Cálculo da incerteza do preço das ações

A incerteza do preço das ações é dada por:

𝑖=1

𝑞

𝑖

𝜎𝑎√∑𝑁 2

𝑠𝑎 =

𝑁

∑

𝑖=1

𝑞𝑖

com:

∑𝑁 (𝑝𝑖 − 𝑝𝑎)2

𝑎

𝜎 = √ 𝑖=1

𝑁 − 1

1.2.2.7 Agrupamento das opções para ajuste dos modelos

Antes do ajuste, as séries passam por uma seleção, que considera os seguintes pontos:

• séries com valor absoluto do delta abaixo do delta máximo;

• séries com valor absoluto do delta acima do delta mínimo; e

• séries com incerteza menor do que a incerteza máxima.

Após a seleção, as séries são agrupadas para a realização do ajuste dos modelos de volatilidade. Há dois cenários para o ajuste dos modelos:

1. Ajuste do modelo por vencimento: as séries de opções, sobre o mesmo ativo- objeto e do mesmo tipo (compra ou venda), são agrupadas por vencimento. Os vencimentos que contêm quantidade mínima (definida na Tabela 2 do Anexo de Parâmetros Mensais) são ajustados pelo modelo de vencimento definido na Tabela 1 do Anexo de Parâmetros Mensais. Os modelos de

Corrado & Su e SABR são as alternativas para a realização do ajuste no vencimento; e

2. Ajuste do modelo por bloco de opções: as séries de opções, sobre o mesmo ativo-objeto e do mesmo tipo (compra e venda), são agrupadas em blocos, de modo que seja possível ajustar um modelo com as informações presentes em diferentes vencimentos. Os modelos VLGARCH e VLFit são as alternativas para a realização do ajuste por bloco. Na sequência, são demonstrados os passos para a construção dos blocos.

Passos para construção dos blocos de opções

A formação dos blocos é aplicada a opções sobre o mesmo ativo-objeto e do mesmo tipo (compra ou venda).

Passo 1: Contagem e identificação de vencimentos pivôs: os vencimentos pivôs respeitam a quantidade mínima de séries por vencimento. As demais séries que não pertencem aos pivôs são ilíquidas e os vencimentos compostos por essas séries são vencimentos ilíquidos. Destaca-se que tais séries e vencimentos são ilíquidos sobre um ativo que seja classificado como líquido.

Passo 2: Cada grupo de séries e vencimentos ilíquidos pode estar associado a até dois vencimentos pivôs. Há quatro cenários possíveis:

1. vencimentos ilíquidos do início da estrutura a termo associados a um pivô posterior;

2. vencimentos ilíquidos intermediários da estrutura a termo associados a um pivô anterior e a um posterior;

3. vencimentos ilíquidos do fim da estrutura a termo associados a um pivô anterior; e

4. ausência de vencimentos pivôs, o que implica a formação de bloco único.

Condições gerais necessárias

• Vencimentos ilíquidos só podem fazer parte de um único bloco.

• Vencimentos pivôs só podem fazer parte de dois blocos quando pertencerem à interface entre os blocos.

• O número mínimo de séries por bloco deve respeitar o número mínimo de séries necessárias para cada modelo de superfície.

Condição suficiente

• Dois pivôs garantem a quantidade mínima de séries necessárias para otimizar qualquer dos modelos adotados (VLGARCH ou VLFit).

1.2.3 Cálculo da volatilidade implícita no modelo de Black & Scholes

O cálculo da volatilidade implícita pela fórmula de Black & Scholes é conduzido por intermédio de processo iterativo que visa encontrar o valor de 𝜎, que é a raiz da equação:

𝐵𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑞, 𝑇, 𝜎) − prêmio = 0

onde:

𝐵𝑆 = modelo de Black & Scholes (seção 1.1); e

prêmio = prêmio de referência.

Os demais parâmetros, 𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑞, 𝑇, são os mesmos utilizados no cálculo do prêmio das opções.

A fim de simplificar a notação, considera-se que a função:

𝜎𝐵𝑆(prêmio; 𝑆, 𝐾, 𝑟, 𝑞, 𝑇)

representa a solução do processo iterativo que resolve a equação acima. Os métodos da biseção ou Newton-Raphson são indicados para a implementação do processo iterativo.

2 MOEDAS

2.1 Contratos de opções sobre taxa de câmbio reais por dólar comercial

O prêmio de referência para os contratos de opções de compra e de venda é calculado pelas equações (2.1) e (2.2), respectivamente:

𝑃𝑅𝐶𝐴𝐿𝐿𝑛 = 𝑆×𝑒(−𝑞𝑛𝑇𝑛)×𝑁(𝑑1) − 𝐾×𝑒(−𝑟𝑛𝑇𝑛)×𝑁(𝑑2)	(2.1)
𝑃𝑅𝑃𝑈𝑇𝑛 = −𝑆×𝑒(−𝑞𝑛𝑇𝑛)×𝑁(−𝑑1) + 𝐾×𝑒(−𝑟𝑛𝑇𝑛)×𝑁(−𝑑2)	(2.2)

onde:

ln (𝑆) + (𝑟 − 𝑞 + 𝜎2) 𝑇

𝑑 = 𝐾 𝑛 𝑛 2 𝑛

1 𝜎√𝑇

𝑛

(2.3)

ln (𝑆) + (𝑟 − 𝑞 − 𝜎2) 𝑇

𝑑 = 𝐾 𝑛 𝑛 2 𝑛

2 𝜎√𝑇

𝑛

(2.4)

𝑆 = preço de fechamento do ativo-objeto da opção, dólar cupom limpo (veja o

MANUAL DE APREÇAMENTO DA BM&FBOVESPA – CONTRATOS FUTUROS, seção 2.1);

𝑟𝑛 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual, correspondente ao vencimento 𝑛 e calculada pela equação (2.5);

𝑞𝑛 = taxa de juro estrangeira em regime exponencial referente a moeda que é ativo-objeto da opção. Trata-se de taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual, referente ao vencimento 𝑛 e calculada pela equação (2.6);

𝑇𝑛 = prazo de vencimento, em anos do calendário, pertinente à praça em questão, ou seja:

𝑇𝑛

= 𝐷𝑈𝑛

252

sendo 𝐷𝑈𝑛 o número de dias de saque, entre a data de cálculo e a data de vencimento do vencimento interpolado 𝑛;

𝐾 = preço de exercício da opção; e

𝜎 = volatilidade para a opção, calculada conforme a seção 2.2.

Cálculo da taxa de juro exponencial

𝑟𝑛 = ln(1 + 𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 )

𝐷𝐼1

(2.5)

onde:

𝐷𝐼1

𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 = taxa prefixada para o vencimento 𝑛, calculada por meio da interpolação

exponencial dos preços de ajuste do contrato futuro de taxa média de DI de um dia (DI1) (veja o MANUAL DE APREÇAMENTO DA BM&FBOVESPA – CONTRATOS FUTUROS).

Cálculo da taxa de juro estrangeira exponencial

𝑞 = 252 ln (1 + 𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 ⋅ 𝐷𝐶𝑛)

𝑛 𝐷𝑈𝑛 𝐷𝐷𝐼 360

(2.6)

onde:

𝐷𝐷𝐼

𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 = taxa prefixada para o vencimento 𝑛, cupom cambial limpo calculada

por meio da interpolação exponencial dos preços de ajuste do contrato futuro cupom cambial (veja o MANUAL DE APREÇAMENTO DA BM&FBOVESPA – CONTRATOS FUTUROS, seções 1.2 e 1.3).

𝐷𝑈𝑛 o número de dias de saque, entre a data de cálculo e a data de vencimento do vencimento interpolado 𝑛;

𝐷𝐶𝑛 o número de dias corridos, entre a data de cálculo e a data de vencimento do vencimento interpolado 𝑛;

Prêmio de referência no último dia de negociação

O prêmio de referência para os contratos de opções de compra e de venda é calculado pelas equações (2.9) e (2.8), respectivamente:

𝑃𝑅𝐶𝐴𝐿𝐿𝑛 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜[𝑆 − 𝐾; 0]	(2.7)
𝑃𝑅𝑃𝑈𝑇𝑛 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜[𝐾 − 𝑆; 0]	(2.8)

onde:

𝑆 = taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos da América, de acordo

com a PTAX800, cotação de venda, divulgada pelo Banco Central do Brasil na data correspondente ao último dia de negociação, ou no dia útil anterior ao vencimento da opção, caso essa data não corresponda a um dia de negociação;

𝐾 = preço de exercício da opção; e

Prêmio de referência na data de vencimento

O prêmio de referência para os contratos de opções de compra e de venda é calculado pelas equações (2.9) e (2.8), respectivamente, considerando a taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos da América do dia útil anterior (de acordo com a PTAX800, cotação de venda, divulgada pelo Banco Central do Brasil na data correspondente ao dia útil anterior à data de vencimento.

2.2 Cálculo da volatilidade para opções sobre taxa de câmbio reais por dólar comercial

A volatilidade para as opções sobre taxa de câmbio reais por dólar comercial será computada a partir da parametrização SVI (de Stochastic Volatility Inspired).

A formulação para a parametrização SVI é dada por:

𝑣𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎2 = 𝑎 + 𝑏 {𝜌(𝑥 − 𝑚) + √(𝑥 − 𝑚)2 + 𝜎2}

𝐵𝑆

(2.9)

onde 𝜎𝐵𝑆 é a volatilidade implícita utilizada nas equações (2.1) e (2.2), 𝑥 = ln(𝐾/𝐹𝑛), com 𝐾 sendo o preço de exercício e 𝐹𝑛, o futuro do ativo subjacente referente ao vencimento 𝑛 . Para o dólar comercial o futuro pode ser calculado como:

𝐹 = 𝑆 exp[(𝑟𝑛 − 𝑞𝑛)𝑇𝑛]

Os parâmetros da equação (2.9) são estimados mediante a minimização da função objetivo com os dados obtidos na coleta (para detalhes sobre a coleta ver seção 4):

𝑁

𝑓𝑜𝑏𝑗 = ∑(𝑓𝑖 − 𝑦𝑖)2

𝑖=1

onde:

𝑁 = quantidade de volatilidades obtidas na coleta;

𝑓𝑖 = função do modelo adotado no ajuste, formulação da parametrização SVI;

𝑦𝑖 = volatilidades implícitas obtidas na coleta;

2.3 Ajuste da volatilidade para opções sobre dólar comercial

Nas opções sobre dólar, a taxa de cambio de liquidação é determinada no dia útil anterior à data de vencimento (PTAX de 𝑡 − 1), fazendo com que exista um dia sem volatilidade, quando se considera a data de vencimento do contrato.

Uma vez que a expressão para o cálculo do prêmio de referência utilizada pela Bolsa considera a data de liquidação também como um dia útil, faz-se necessário ajustar a superfície de volatilidade.

Considerando que as informações encaminhadas pelas corretoras para a B3, utilizadas como insumo para a publicação da superfície de referência, não consideram o último dia de volatilidade, o ajuste efetuado na volatilidade é dado pela expressão:

𝜎2 = 𝜎2 . 𝐷𝑈𝑗

𝐵𝑜𝑙𝑠𝑎,𝑖,𝑗

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎,𝑖,𝑗

𝐷𝑈𝑗 + 1

onde os índices 𝑖 e 𝑗 referem-se, respectivamente, a cada Delta e a cada vencimento das superfícies do informante (𝜎𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑎) e da publicada pela B3 (𝜎𝐵𝑜𝑙𝑠𝑎) .

3 JUROS

3.1 Contratos de opções sobre IDI

O prêmio de referência para os contratos de opções de compra e de venda é calculado pelas equações (3.1) e (3.2), respectivamente:

𝑃𝑅𝐶𝐴𝐿𝐿𝑛 = 𝑒(−𝑟𝑛𝑇𝑛)×[𝑆×𝑁(𝑑1) − 𝐾×𝑁(𝑑2)]	(3.1)
𝑃𝑅𝑃𝑈𝑇𝑛 = 𝑒(−𝑟𝑛𝑇𝑛)×[−𝑆×𝑁(−𝑑1) + 𝐾×𝑁(−𝑑2)]	(3.2)

onde:

ln (𝑆) + 𝜎2) 𝑇

𝐾 ( 2 𝑛

𝑑1 = 𝜎√𝑇

𝑛

(3.3)

ln (𝑆) − 𝜎2) 𝑇

𝐾 ( 2 𝑛

𝑑2 = 𝜎√𝑇

𝑛

(3.4)

𝑟𝑛 = taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual, correspondente ao vencimento 𝑛 e calculada pela equação (3.5);

𝑇𝑛 = prazo de vencimento, em anos do calendário, pertinente à praça em questão, ou seja:

𝑇𝑛

= 𝐷𝑈𝑛

252

sendo 𝐷𝑈𝑛 o número de dias de saque, entre a data de cálculo e a data de vencimento do vencimento interpolado 𝑛;

𝑆 = preço de fechamento do ativo-objeto da opção, para esta opção o preço de fechamento é o valor do IDI à termo calculado a partir da taxa pré-fixada referente ao vencimento 𝑛 (referente ao vencimento da opção) da estrutura a termo de taxas de juro obtida dos contratos futuros de taxa média de DI de um dia (DI1).

𝑆 = 𝐼𝐷𝐼0×(1 + 𝑟𝑛)𝑇𝑛

𝐾 = preço de exercício da opção; e

𝜎 = volatilidade para a opção, calculada conforme a seção 3.2.

Cálculo da taxa de juro exponencial

𝑟𝑛 = ln(1 + 𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 )

𝐷𝐼1

(3.5)

onde:

𝐷𝐼1

𝑇𝑃𝑟𝑒𝑛 = taxa prefixada para o vencimento 𝑛, calculada por meio da interpolação

exponencial dos preços de ajuste do contrato futuro de taxa média de DI de um dia (DI1) (veja o MANUAL DE APREÇAMENTO DA BM&FBOVESPA – CONTRATOS FUTUROS).

3.2 Cálculo da volatilidade para opções sobre IDI

A volatilidade para as opções sobre IDI será computada a partir da parametrização SABR.

A fórmula usada para a parametrização SABR é a seguinte:

𝜎 (𝑆, 𝐾) = 𝛼 𝑧

𝐵𝑆

1−𝛽

(1 − 𝛽)2

𝑆 2

(1 − 𝛽)4

𝑆 4

𝑥(𝑧)

(𝑆𝐾)

2 (1 +

24 𝑙𝑛 (𝐾) +

1920 𝑙𝑛 (𝐾) )

(1 − 𝛽)2

𝛼2

1 𝜌𝛽𝜐𝛼

2 − 3𝜌2 2 ( )

× (1 + ( 24

(𝑆𝐾)1−𝛽 + 4

(𝑆𝐾)

1−𝛽 +

24 𝜐 )

𝑇 )

Onde:

𝜎𝐵𝑆 = Volatilidade implícita ao modelo de Black-Scholes;

𝐾 = Preço de exercício;

𝑆 = preço de fechamento do ativo-objeto da opção;

𝑧 =

𝑢 (𝑆𝐾)

1−𝛽

𝑆

2 𝑙𝑛 ( );

𝛼 𝐾

(√1−2𝜌𝑧+𝑧2)+𝑧−𝜌

𝑥(𝑧) = 𝑙𝑛 ( );

1−𝜌

Os parâmetros da equação de parametrização SABR são estimados mediante a minimização da função objetivo com os dados obtidos na coleta (para detalhes sobre a coleta ver seção 4):

𝑁

𝑓𝑜𝑏𝑗 = ∑(𝑓𝑖 − 𝑦𝑖)2

𝑖=1

onde:

𝑁 = quantidade de volatilidades obtidas na coleta;

𝑓𝑖 = função do modelo adotado no ajuste, formulação da parametrização SABR;

𝑦𝑖 = volatilidades implícitas obtidas na coleta;

3.3 Contratos de opções sobre Futuro de D1I

O prêmio de referência para os contratos de opções de compra e de venda é calculado pelas equações (3.6) e (3.7), respectivamente:

𝑃𝑅𝐶𝐴𝐿𝐿𝑛 = 𝛿×[𝑆′×𝑁(𝑑1) − 𝐾′×𝑁(𝑑2)]	(3.6)
𝑃𝑅𝑃𝑈𝑇𝑛 = 𝛿×[−𝑆′×𝑁(−𝑑1) + 𝐾′×𝑁(−𝑑2)]	(3.7)

onde:

ln (𝑆′) + (𝜎2) 𝑇𝐷𝐶

𝑑 = 𝐾′ 2 𝐶,𝑛

𝜎√𝑇𝐷𝐶

𝐶,𝑛

(3.8)

ln (𝑆′) − (𝜎2) 𝑇𝐷𝐶

𝑑 = 𝐾′ 2 𝐶,𝑛

𝜎√𝑇𝐷𝐶

𝐶,𝑛

(3.9)

𝐾′ = ((1 + 𝐾)𝑇𝐷𝑈−𝑇𝐷𝑈 − 1) × 1

𝐿,𝑛

𝐶,𝑛

𝑇𝐷𝐶 − 𝑇𝐷𝐶

′ 𝑃𝑈𝐶

𝐿,𝑛 𝐶,𝑛

𝑆 = (𝑃𝑈𝐿 − 1) × 𝑇𝐷𝐶 − 𝑇𝐷𝐶

𝐿,𝑛 𝐶,𝑛

𝐿 𝐿,𝑛 𝐶,𝑛

𝑇𝐷𝐶 − 𝑇𝐷𝐶

𝛿 = 𝑃𝑈 ×

1 + 𝐾′(𝑇𝐷𝐶 − 𝑇𝐷𝐶)

𝐿,𝑛 𝐶,𝑛

𝑃𝑈𝐿 = preço de ajuste do contrato futuro de taxa média de DI de um dia (DI1) com vencimento do ativo objeto da opção;

𝑃𝑈𝐶 = preço de ajuste do contrato futuro de taxa média de DI de um dia (DI1) com vencimento da opção;

𝐾 = preço de exercício da opção, taxa de juro exponencial, em regime contínuo e base anual;

𝑇𝐷𝐶, 𝑇𝐷𝐶 = prazos referentes ao 𝑃𝑈𝐿 e 𝑃𝑈𝐶, respectivamente, em anos e dias

𝐿,𝑛 𝐶,𝑛

corridos;

𝑇𝐷𝑈, 𝑇𝐷𝑈 = prazos referentes ao 𝑃𝑈𝐿 e 𝑃𝑈𝐶, respectivamente, em anos do

𝐿,𝑛 𝐶,𝑛

calendário, pertinente à praça em questão, ou seja:

𝑇𝐷𝑈 = 𝐷𝑈𝐿,𝑛 e 𝑇𝐷𝑈 = 𝐷𝑈𝐶,𝑛

𝐿,𝑛

252

𝐶,𝑛

252

sendo 𝐷𝑈𝐿,𝑛 e 𝐷𝑈𝐶,𝑛 o número de dias de saque, entre a data de cálculo e a data de vencimento 𝑛;

𝜎 = volatilidade para a opção, calculada conforme a seção 3.4.

3.4 Cálculo da volatilidade para opções sobre Futuro de DI1

A volatilidade para as opções sobre DIT1 à DIT4 serão computadas a partir da parametrização SABR.

A fórmula usada para a parametrização SABR é a seguinte:

𝜎 (𝑆, 𝐾) = 𝛼 𝑧

𝐵𝑆

1−𝛽

(1 − 𝛽)2

𝑆 2

(1 − 𝛽)4

𝑆 4

𝑥(𝑧)

(𝑆𝐾)

2 (1 +

24 𝑙𝑛 (𝐾) +

1920 𝑙𝑛 (𝐾) )

(1 − 𝛽)2

𝛼2

1 𝜌𝛽𝜐𝛼

2 − 3𝜌2 2 ( )

× (1 + ( 24

(𝑆𝐾)1−𝛽 + 4

(𝑆𝐾)

1−𝛽 +

24 𝜐 )

𝑇 )

Onde:

𝜎𝐵𝑆 = Volatilidade implícita ao modelo de Black-Scholes;

𝐾 = Preço de exercício;

𝑆 = preço de fechamento do ativo-objeto da opção;

𝑧 =

𝑢 (𝑆𝐾)

1−𝛽

𝑆

2 𝑙𝑛 ( );

𝛼 𝐾

(√1−2𝜌𝑧+𝑧2)+𝑧−𝜌

𝑥(𝑧) = 𝑙𝑛 ( );

1−𝜌

Os parâmetros da equação de parametrização SABR são estimados mediante a minimização da função objetivo com os dados obtidos na coleta (para detalhes sobre a coleta ver seção 4):

𝑁

𝑓𝑜𝑏𝑗 = ∑(𝑓𝑖 − 𝑦𝑖)2

𝑖=1

onde:

𝑁 = quantidade de volatilidades obtidas na coleta;

𝑓𝑖 = função do modelo adotado no ajuste, formulação da parametrização SABR;

𝑦𝑖 = volatilidades implícitas obtidas na coleta;

4 CRITÉRIOS PARA COLETA DE DADOS DE VOLATILIDADE IMPLÍCITA PARA OPÇÕES DE MOEDAS E JUROS

As opções sobre dólar comercial, IDI e DIT1 a DIT4 utilizam-se de coletas de superfícies de volatilidades implícitas enviadas pelas corretoras que fazem parte do pool de informantes (corretoras com maior atuação no mercado em avaliação).

De forma a garantir a qualidade das informações utilizadas na construção da superfície de volatilidade, o processo de geração da mesma considera os critérios abaixo como filtro para utilização dos dados encaminhados pelos informantes:

1. Critérios de não arbitragem: visam assegurar que os dados utilizados são livres de arbitragem, ou seja, as informações que não atendem ao presente critério não são consideradas na construção da superfície de referência. Esse critério é também utilizado na validação final da superfície de volatilidade de referência publicada pela B3;

2. Critérios estatísticos: considerando que o conjunto de informantes representa a atividade de negociação e que as informações enviadas representam os dados Mid (sem spreads de compra e venda), esse critério visa excluir da amostra aquelas informações atípicas, para um dado nível de significância.

Uma vez que os dados dos informantes são avaliados e filtrados, é aplicado um ajuste a cada smile, segundo uma parametrização que atenda aos critérios de não arbitragem mencionados acima.

4.1 Critérios de não arbitragem para superfície de volatilidade implícita

Os principais critérios de não arbitragem [1] avaliados para os dados de volatilidade implícita são os seguintes, para uma opção de compra:

I) O preço de uma opção de compra é decrescente com o preço de exercício:

𝜕𝐶 < 0

𝜕𝐾

II) O preço de uma opção de compra é crescente com prazo de vencimento:

𝜕𝐶 > 0

𝜕𝑇

III) A convexidade do prêmio de opções de compra em função do preço de exercício deve ser positiva, o que impede a compra de butterflies a custo zero ou até mesmo com fluxo de caixa positivo:

𝜕2𝐶

𝜕𝐾2 ≥ 0

IV) Por fim, em caso de necessidade de extrapolação, temos as seguintes condições para 𝐾 → 0 e 𝐾 → ∞, onde 𝑋0 é valor do ativo subjacente à opção em 𝑡0:

lim 𝐶 = 𝑋

𝐾→0

lim 𝐶 = 0

𝐾→∞

Para aplicar os critérios de I a III, são determinados os preços de exercício relativos a cada vértice da superfície de cada informante.

4.2 Critérios estatísticos relativos aos dados de informantes

Em cada dia de negociação é realizado um levantamento de dados de superfície de volatilidade implícita, fornecidos por diferentes informantes. Dado que estas informações são relativas ao prêmio de opções negociadas em um mesmo mercado, espera-se que não haja grande dispersão entre eles. Desta forma,

avaliamos a inserção de cada dado informado (𝜎𝑖) em relação a um intervalo de

confiança (I.C.) determinado pela média aritmética (𝜎̅) obtida:

𝜎̅ − 𝑡(𝐼. 𝐶. , 𝑁 − 1) 𝑠

√𝑁

< 𝜎𝑖

< 𝜎̅ + 𝑡(𝐼. 𝐶. , 𝑁 − 1) 𝑠

√𝑁

onde 𝑠 é o desvio-padrão da amostra de informantes e 𝑡 determina o fator multiplicativo levando em conta o tamanho da amostra por meio da distribuição

𝑡-student.

4.3 Critérios estatísticos relativos à parametrização adotada

À amostra final de dados dos informantes, ou seja, aqueles que passaram pelos critérios de não arbitragem detalhados na seção 4.1 e pelos critérios estatísticos apresentados na seção 4.2, é aplicado um ajuste por meio de uma parametrização que atenda, por construção, aos critérios de não arbitragem.

Como critério final, os smiles resultantes destas parametrizações devem estar contidos no intervalo de confiança determinado pela própria amostra utilizada no ajuste. Ou seja, cada ponto do smile resultante deve estar contido no intervalo de confiança a seguir:

𝜎̅ − 𝑡(𝐼. 𝐶. , 𝑁 − 1) 𝑠 < 𝜎𝑓𝑖𝑡 < 𝜎̅ + 𝑡(𝐼. 𝐶. , 𝑁 − 1) 𝑠

√𝑁 𝑖

√𝑁

Desta forma, se os dados da amostra final apresentarem um comportamento tal que as parametrizações não sejam capazes de descrever, mas que fique evidente que se trata de um comportamento geral dos participantes, a B3 poderá, a seu critério, não adotar estas parametrizações para os smiles da superfície a ser publicada, podendo adotar a média interpolada ou outro critério que se adeque ao comportamento do mercado.

4.4 Critérios estatísticos relativos às estratégias negociadas para opções de IDI

Devido às características do mercado de opções sobre IDI, especialmente ao fato da liquidez estar concentrada nas estratégias (por exemplo, call spread, put spread e butterfly), a apuração das volatilidades destas opções pode produzir divergências entre os preços das estratégias calculados com base nos dados coletados e os preços negociados.

Com o objetivo de reduzir estas divergências é realizada uma análise estatística das estratégias marcadas com as volatilidades obtidas nas coletas. Diariamente é realizada uma coleta das operações negociadas com as opções de IDI, tanto estratégias quanto opções individuais. Estas operações são apreçadas com cada uma das superfícies de volatilidades coletadas. Para cada operação (estratégia ou opção individual) forma-se uma amostra com os preços calculados e calcula-se um intervalo de confiança para os preços das operações, com base em uma estatística t. Ou seja, o preço de cada operação deve estar contido no intervalo de confiança a seguir:

𝑃̅ − 𝑡(𝐼. 𝐶. , 𝑁 − 1) 𝑠𝑃 < 𝑃 < 𝑃̅ + 𝑡(𝐼. 𝐶. , 𝑁 − 1) 𝑠𝑃

√𝑁 𝑖

√𝑁

Onde 𝑃̅ é a média dos preços das operações 𝑃𝑖, 𝑁 é a quantidade de operações,

𝑠𝑃 o desvio padrão amostral dos preços das operações e 𝐼. 𝐶. é o intervalo de confiança adotado, 99%.

Adicionalmente, apesar da coleta diária realizada junto aos informantes de estratégias, o estoque de estratégias também é avaliado de forma objetivando a qualidade de formação de preços para as estratégias que eventualmente estão em aberto.

As operações são avaliadas por vencimento e se os preços calculados com a volatilidade de um informante ficam fora do intervalo definido, então o informante é desconsiderado no ajuste do modelo para o vencimento em questão.

Para cada série, assim como para cada estratégia, obtém-se o valor do prêmio calculado com a média das volatilidades informadas. As volatilidades informadas são utilizadas no ajuste do modelo, dessa forma, o modelo é avaliado contra esta média com o objetivo de avaliar possível viés introduzido no ajuste do modelo.

Ainda é realizada uma segunda avaliação com um 𝐼. 𝐶. de 95% na amostra

original com o objetivo de avaliar a estabilidade da média. Pois caso a média seja muito alterada com a exclusão de informantes na avaliação do primeiro

intervalo e o intervalo de confiança não reduza significativamente, apura-se a exclusão de informantes fora do segundo intervalo.

5 UTILITÁRIOS PARA CÁLCULOS COM OPÇÕES DE JUROS E MOEDAS

5.1 Interpolação do smile de volatilidade

Para encontrar as volatilidades para cada série de opção é necessário converter os smiles de volatilidade em delta para smiles de volatilidade em strike e interpolar esta curva no preço de exercício de cada série de opção.

A fórmula utilizada para interpolar o smile de volatilidade em strike é

𝜎 𝐾𝑖−𝐾𝑎

𝜎𝑖

= 𝜎𝑎

⋅ ( 𝑝)𝐾𝑝−𝐾𝑎

𝜎𝑎

Onde 𝜎𝑖 é a volatilidade da série de opção 𝑖 e 𝐾𝑖 o preço de exercício da série.

𝐾𝑝 e 𝐾𝑎 são vértices da curva de smile de volatilidade em strike e representam os strikes anterior e posterior ao preço de exercício 𝐾𝑖. 𝜎𝑝 e 𝜎𝑎 são as volatilidades referentes aos vértices 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎.

5.2 Conversão do Delta em Strike

Para uma opção de compra temos Δ𝐹 = 𝑁(𝑑1) e assim a fórmula do strike a partir do delta é

𝜎2

𝐾 = exp [ 2 𝑇 − 𝑁

−1(

Δ𝐹

)𝜎√𝑇] ⋅ 𝐴

Onde 𝑁−1 é a inversa da função normal cumulativa e 𝐴 é função de 𝑆0, 𝑟1 e 𝑟2 e é definido de acordo com o ativo objeto da opção, da seguinte forma:

• Opções sobre dólar à vista: 𝐴 é o preço de ajuste do futuro de dólar com o mesmo vencimento da opção;

• Opções sobre índice IBOVESPA: 𝐴 é o preço de ajuste do futuro de índice com o mesmo vencimento da opção;

• Opções sobre IDI: 𝐴 é o valor do indicador econômico IDI-09 à vista

composto pela taxa de juros pré-fixados da curva de contratos de DI1 pelo prazo até o vencimento da opção;

• Opções sobre FRA de DI1 (X00, X00, X00, X00): 𝐴 é o valor da taxa de

juros forward do FRA que é ativo objeto da opção;

Registro de alterações

Versão	Item modificado	Modificação	Motivo	Data
1	NA	NA	NA	14/12/2016
2	Inclusão nas seções (itens 1.2 e 1.2.2).	Diferenciar a janela de captura de dados para as opções	Complementação do Manual	01/09/2017
3	Inclusão das seções 2 a 5	Inclusão	Complementação do Manual	23/10/2017
4	Alteração na seção 3.3	Alteração	Correção de fórmula	06/08/2018

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MANUAL DE APREÇAMENTO CONTRATOS DE OPÇÕES

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