A´lvaro Luiz Mafra Florencio

Universidade Federal de Alfenas-UNIFAL

A´lvaro Xxxx Xxxxx Xxxxxxxxx

PRECIFICAC¸ A˜O DE CONTRATOS DE RESSEGURO NA˜O PROPORCIONAIS DE EXCESSO DE DANOS

Varginha/MG 2019

A´lvaro Xxxx Xxxxx Xxxxxxxxx

PRECIFICAC¸ A˜O DE CONTRATOS DE RESSEGURO NA˜O PROPORCIONAIS DE EXCESSO DE DANOS

Trabalho apresentado ao curso de Ciˆencias Atuariais, como requisito parcial para a ob- ten¸c˜ao do T´ıtulo de bacharel pelo Instituto de Ciˆencias Sociais Aplicadas (ICSA) da Uni- versidade Federal de Alfenas.

Varginha/MG 2019

RESUMO

O resseguro ´e um mecanismo fundamental na garantia do compromisso fixado entre seguradora e segurado. Suas especificidades n˜ao s˜ao amplamente difundidas no Brasil por conta do monop´olio setorial que chegou ao fim em 2007. O objetivo deste trabalho ´e demonstrar mecanismos de precifica¸c˜ao de contratos n˜ao proporcionais de resseguros. Para tanto, o m´etodo utilizado foi a revis˜ao de publica¸c˜oes acerca dessa tem´atica, buscando exemplificar alguns mecanismos de precifica¸c˜ao de contratos n˜ao proporcionais. Al´em disso, foi poss´ıvel concluir que a precifica¸c˜ao via curva de exposi¸c˜ao ser´a a ferramenta ideal para precificar resseguros n˜ao proporcionais quando n˜ao se possui dados de sinistralidades passadas. Enquanto que, quando se possui base de dados ´e poss´ıvel precificar por interm´edio dos m´etodos Burning Cost.

Palavras-chave: Resseguro, curva de exposi¸c˜ao, precifica¸c˜ao, dinˆamica contratual .

ABSTRACT

Reinsurance is a key mechanism in ensuring the commitment between the insurer and the insured. Its specificities are not widespread in Brazil due to the sectoral monopoly that ended in 2007. The objective of this paper is to demonstrate pricing mechanisms for non-proportional reinsurance contracts. There- fore, the method used was the review of publications on this theme, seeking to exemplify some pricing mechanisms of non-proportional contracts. In addition, it was possible to conclude that exposure curve pricing will be the ideal tool for pricing non-proportional reinsurance when past loss data is not available. Whereas when you have a database you can price using the textit Burning Cost methods.

Key Words: Reinsurance, exposure curve, pricing, contract dynamics.

Sum´ario

1 Introdu¸c˜ao 3

2 O Resseguro 3

2.1 Os contratos proporcionais 3

2.2 Os contratos n˜ao proporcionais 6

3 M´etodos de precifica¸c˜ao dos contratos excesso de danos por risco 8

3.1 M´etodo determin´ıstico 8

3.2 M´etodos estoc´asticos 11

3.3 MBBEFD-Parametriza¸c˜ao da Curva de Exposic˜ao 15

3.4 Processo de precifica¸c˜ao no resseguro 24

4 Considera¸c˜oes Finais 30

1 Introdu¸c˜ao

Construir um patrimˆonio, adquirir o carro proprio e zelar pela integridade pes- soal ou familiar s˜ao exemplos de ambi¸c˜oes que circundam o ideal de diversos indiv´ıduos. No entanto, a dificuldade em cumprir esses objetivos ´e sentida pela ampla maioria dos cidad˜aos brasileiros, mas, mais do que possuir essas conquistas, ´e igualmente preocu- pante mantˆe-las, protegˆe-las, garantir que elas perpetuem cada qual pelo seu tempo usual de dura¸c˜ao. Enfim, essas preocupa¸c˜oes s˜ao, abstratamente, alguns dos componentes do mercado de seguros. Portanto, garantir que o portador da ap´olice tenha seu patrimˆonio segurado garantido ´e o pilar da dinˆamica securit´aria.

No Brasil o resseguro era monopolizado pela empresa IRB Resseguros S.A at´e o ano de 2007, quando teve seu fim concretizado pela Lei Complementar 126/07. Desde ent˜ao, o IRB continua como a principal resseguradora local, mas no entanto, n˜ao como a u´nica. Partindo dese ponto, outras resseguradoras adentraram no mercado, tornando-o competitivo. Embora n˜ao tenha sido comprovada neste trabalho, a ausˆencia de materiais sobre resseguro em linguagem vern´acula pode sofrer influˆencia desta recente abertura de mercado.

Para fins de compreens˜ao deste trabalho, resseguro pode ser considerado como uma ferramenta que comp˜oe os mecanismos de liquida¸c˜ao do risco e garantia da solvˆencia. Embora esta n˜ao seja a definic¸˜ao formal de resseguro, para fins pr´aticos pode ser assim interpretada. Na primeira se¸c˜ao deste trabalho, ser´a esclarecido o que ´e o resseguro, sua utilidade e algumas poss´ıveis disposi¸c˜oes presentes nos seus contratos, sendo eles propor- cionais ou n˜ao. Enquanto, na segunda se¸c˜ao ser˜ao abordados os m´etodos de cota¸c˜ao de prˆemios de resseguro: partindo dos m´etodos determin´ısticos, passando pelos estoc´asticos; e, por fim, abordando uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao demasiadamente utilizada neste cen´ario de precifica¸c˜ao de contratos, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao MBBEFD.

Este trabalho foi escrito com base em revis˜ao liter´aria de materiais majoritaria- mente internacionais que visam esclarecer as minu´cias dos contratos de resseguro . Seu objetivo ´e demonstrar alguns mecanismos para precifica¸c˜ao de contratos de resseguros n˜ao proporcionais de excesso de danos, subdividindo eles em m´etodos determin´ısticos e estoc´asticos. De modo que o pimeiro ser´a realizado por interm´edio dos m´etodos Burning

Cost, enquanto o segundo podera´ ser feito tanto pelo m´etodo que utiliza as fu¸c˜oes de

distribui¸c˜ao, quanto pelo que utiliza as curvas de exposi¸c˜ao.

2 O Resseguro

2.1 Os contratos proporcionais

Os contratos de resseguro podem se distinguir por diversos crit´erios, e dentre esses, existem os proporcionais e os n˜ao proporcionais. Essas distin¸c˜oes s˜ao observadas tanto pela cedente (seguradora) quanto pela cession´aria (resseguradora), conforme os riscos que se quer subscrever. Como existe uma gama de modalidades contratuais, para se ter uma

pol´ıtica ressecurit´aria bem ajustada, pode haver a combina¸c˜ao de dois, ou mais, tipos de contratos de resseguro (PARODI, 2014).

A nota¸c˜ao Xk representa o valor de uma determinada perda individual dado um risco k (k = 1, ..., n), de modo que, considerando a teoria do risco, existir´a somente uma perda para cada risco correspondente. Sendo assim, considerando essa propriedade, a equa¸cao 2.1 mostra como uma perda individual pode ser demonstrada, se considerado os contratos de resseguro proporcional

Xk = Xret + Xced. (2.1)

k k

A variavel Xret da equa¸c˜ao 2.1 representa a parte que a seguradora ret´em e Xced

k k

´e a parcela cedida a` resseguradora. Portanto, Xret e Xced s˜ao fun¸c˜oes de Xk, sendo assim,

k k

k

k

Xret = αXk, e Xced = (1 −α)Xk, em que α ´e a taxa de rateio do valor dos danos causados

pela materializa¸c˜ao individual do risco assumido Xk.

A esperan¸ca da perda individual retida ser´a igual a

k

E[Xret] = αE[Xk], (2.2)

e sua variˆancia

k

V ar[Xret] = α2V ar[Xk]. (2.3)

A equa¸c˜ao 2.1 se refere a` proporcionalidade de riscos individuais. No caso de perdas agregadas, elas seriam como

Σ

N

S = Xk = X1 + ... + XN . (2.4)

k=1

Ao observar as variaveis que compoem a equa¸c˜ao 2.4, pode-se dizer que N ´e a variavel aleat´oria nu´mero de sinistros da carteira, Xk ´e a k-´esima indeniza¸c˜ao paga pela seguradora mediante o risco k de ocorrˆencia (HINOJOSA; MILANE´S, 2010).

Xxxx fosse necess´ario que esse contrato atuasse por diversos anos, considerando o mesmo N e a perda igualmente distribuida. A esperan¸ca da perda agregada poderia ser obtida relacionando o nu´mero esperado de perdas em um dado ano ou per´ıodo e a quantidade esperada de uma dada perda. De modo que

E(S) = E(N )E(X). (2.5)

Conforme Parodi (2014)a variˆancia dessa perda agregada, durante o decorrer dos anos, pode ser expressada como

V ar(S) = V ar(X)E(N ) + E(X)2V ar(N ). (2.6)

Observando o que foi exposado nesta subse¸c˜ao, ´e poss´ıvel associar as fun¸c˜oes 2.4 e

k

2.1 com as propriedade relacionadas `a parcela de risco cedido Xced = (1 − α)Xk e retido

k

Xret = αXk, rela¸c˜oes essas que podem ser demonstradas como

Σ

N

S = Xk

k=1

N

= Σ(Xret + Xced)

k k

Σ

k=1 N

(2.7)

= [αXk + (1 − α)Xk]

k=1

N N

= α Σ Xk + (1 − α) Σ Xk.

k=1

k=1

Resseguro cota-parte - Quote Share

O resseguro de cota-parte ´e a modalidade mais simples de se compreender quando se pensa em contratos de resseguro. No caso, a seguradora cede uma propor¸c˜ao fixa de todos seus riscos e prˆemios subscritos para uma determinada resseguradora. O cota-parte

´e mais usual em seguradoras que est˜ao em desenvolvimento, pois essas podem avaliar os riscos assumidos de maneira equivocada, possuindo assim, elevado risco de subscri¸c˜ao. No entanto, esta modalidade contratual ´e pouco usual no mercado por conta das suas

limita¸c˜oes t´ecnicas (HINOJOSA; MILANE´S, 2010).

Para exemplificar essas defini¸c˜oes, suponha que a seguradora esteja cobrindo uma propriedade de valor muito elevado e que ocorra um evento de baixa probabilidade de ocorrˆencia, no qual toda propriedade ser´a destru´ıda. Tal evento acarretaria numa perda individual (Xk) exorbitante para a seguradora, mesmo que ela tenha cedido uma parcela a` resseguradora. Sendo assim, os contratos de resseguro cota-parte n˜ao observam o peso dos riscos que est˜ao subscritos, considerando somente uma propor¸c˜ao para rateio. Enfim,

´e valido denotar que a indeniza¸c˜ao agregada retida pela seguradora ´e dada por

N

(S)ret = Σ(Xk)ret

α α

Σ

k=1 N

= αXk

k=1

Σ

N

(2.8)

= α Xk

k=1

= αS.

Resseguro excedente de responsabilidade - Surplus Share

O resseguro excedente de responsabilidade observa o peso do risco subscrito, em vez de denotar uma igual proporc˜ao fixa para todos os riscos, como no cota-parte (DE-

ELSTRA; XXXXXXX, 2014). Tal tipo de resseguro ´e um sistema mais complexo do que o cota-parte, e portanto, possui gastos administrativos superiores.

Nessa modalidade, a resseguradora n˜ao participa de todos os riscos, pois, caso ele seja de peso pequeno n˜ao h´a necessidade de cess˜ao. Por outro lado, se o peso do risco for grande e extrapole o limite de reten¸c˜ao (limite t´ecnico) da seguradora, ela ir´a ceder

mu´ltiplos (pleno) da sua quantia subscrita a` resseguradora, enquanto a resseguradora

poder´a limitar sua aceita¸c˜ao de responsabilidades atrav´es do chamado excedente, que ´e o somat´orio de alguns plenos (HINOJOSA; MILANE´S, 2010).

Neste tipo de resseguro, os prˆemios e benef´ıcios s˜ao pagos em conformidade com os excedentes distribu´ıdos (MAPFRE, 2011). Contudo, vale observar que caso o risco subscrito seja grande, a parcela que ser´a cedida tamb´em ir´a ser. No entanto, o oposto tamb´em ocorre, caso o risco seja pequeno a parcela cedida ser´a pequena ou igual a zero. Entretanto, a desvantagem do contrato excedente de responsabilidade ´e a dificuldade administrativa e de aplica¸c˜ao (HINOJOSA; MILANE´S, 2010).

2.2 Os contratos n˜ao proporcionais

O resseguro n˜ao proporcional ´e estabelecido sobre os sinistros ocorridos e n˜ao sobre a importˆancia segurada. Nesta dinamica contratual o evento que causou o sinistro deve ser devidamente observado, para que sua cobertura seja subscrita de maneira coerente. Alem disso, o ressegurador ir´a indenizar a seguradora caso o valor do sinistro ocorrido ultrapasse o dedut´ıvel, d, e seja limitado pelo limite m´aximo coberto pela resseguradora (BUGMANN, 1997).

Os contratos n˜ao proporcionais atuam protegendo carteiras homogˆeneas, sejam elas de ve´ıculos, propriedades, entre outros. Caso um evento catastr´ofico ocorra, diversas ap´olices poder˜ao ser acionadas, independente desses eventos serem naturais, como fu- rac˜oes, terremotos ou tempestades, ou n˜ao naturais, como algum ato terrorista. Em vista disso, os eventos que causar˜ao os sinistros s˜ao respons´aveis pela escolha da modalidade contratual n˜ao proporcional que ser´a aderida (XXXXXXX, 1997).

Resseguro excesso de danos por risco - XL per risk

Conforme Parodi (2014), resseguro excesso de dano por risco (excess of loss ou XL) ´e um dos tratados n˜ao proporcionais que atua cobrindo a seguradora prim´aria caso o sinistro ocorrido acarrete perdas que superem o dedut´ıvel, d. Portanto, a parcela cedida fica sob responsabilidade da resseguradora ser´a igual a

(X)ced = 0, X ≤ d;

= X − d, d < X < d + L;

= L, X > d + L.

O XL utiliza faixas de reten¸c˜ao para fracionar as parcelas de riscos que os distintos agentes securit´arios ser˜ao responsaveis. Essas faixas podem ser vistas pela nota¸c˜ao L xs d

(L em excesso de d), ou simplesmente pelo intervalo [d, d + L]. Caso o valor do sinistro ultrapasse L dever´a ser utilizada a reintegra¸c˜ao para pulverizar o risco subscrito. Contudo, na pr´atica, o XL pode ser dividido em diversas faixas, como por exemplo, um tratado de 100 xs 40 pode ser dividido em duas faixas: 50 xs 40 e 50 xs 90 (DEELSTRA; PLANTIN,

2014).

Para ilustrar a reintegra¸c˜ao, assuma uma faixa inicial R$3000, 00 xs R$2000, 00 (a resseguradora ´e respons´avel pelos R$3000, 00 enquanto a seguradora ret´em R$2000, 00). Sendo assim, pode-se dizer que essa faixa sofreu uma reintegra¸c˜ao, seria dizer que at´e R$6000, 00 seria pago pela resseguradora (R$3000, 00 × 2). Caso sofra mais uma rein- tegra¸c˜ao essa reten¸c˜ao se tornaria R$9000, 00 (R$3000, 00 × 3). Por fim, se ocorrer p

reintegrac¸˜oes a nota¸c˜ao seria R$3000, 00 × p. Essa reintegra¸c˜ao m´axima pode ser chamada

de responsabilidade m´axima anual (DEELSTRA; PLANTIN, 2014).

Os procedimentos de reintegra¸c˜ao s˜ao utilizados pelas seguradoras geralmente quando possuem contratos fixados com indu´strias, pois elas tˆem maior capacidade fi- nanceira para arcar com poss´ıveis prˆemios de reintegra¸c˜ao. Estes prˆemios de reintegra¸c˜ao usualmente s˜ao autom´aticos e em sua maioria n˜ao necessitam de aprova¸c˜ao. Por fim, deve se deixar claro que reintegra¸c˜oes gratuitas tamb´em existem, no entanto s˜ao mais comuns em faixas menores (DEELSTRA; PLANTIN, 2014, PARODI, 2014).

O mercado ressegurador deve se atentar para a infla¸c˜ao, pois o contrato ´e firmado em condi¸c˜oes nominais, mas com o decorrer dos anos esse valor fica em desconformi- dade com o valor real. Portanto, a resseguradora deve reajustar os valores presentes nas faixas fazendo-os garantir a solvˆencia e suas obrigac˜oes cont´abeis (MAPFRE, 2011). A cl´ausula de estabiliza¸c˜ao ou clausula-´ındice, caso n˜ao sejam utilizadas de maneira ´otima, podem ocasionar reintegra¸c˜oes indevidas ou que diversas faixas sejam utilizadas equivo- cadamente. Para que essa situa¸c˜ao adversa n˜ao ocorra, no momento da reclama¸c˜ao, a cl´ausula-´ındice dever´a ser calculada pela resseguradora, transformando, por exemplo, a faixa R$4000, 00 xs R$2000, 00 em R$4800, 00 xs R$2400, 00, dado uma cl´ausula ´ındice de 1, 2 (MAPFRE, 2011, PARODI, 2014).

Excesso de danos cat´astrofe - Cat XL

O resseguro Cat XL atua com n´ıvel de reten¸c˜ao muito superior aos demais tipos contratuais pois seu evento gerador ´e um evento catastr´ofico. Tal evento pode acionar diversar ap´olices ao mesmo tempo. Al´em disso, esse tipo contratual ´e geralmente aplicado para danos em propriedades (PARODI, 2014).

Este tipo contratual, al´em de observar o evento gerador, tamb´em observa o mo- mento em que ocorreu o sinitro proveniente desse evento catastr´ofico. Ele o faz por meio de uma cl´ausula, a qual estabelece que para validar o aviso de sinistro, este dever´a ser feito pela resseguradora em tempo h´abil que geralmente ´e um multiplo de 24 horas. Por exemplo, a resseguradora ir´a cobrir os sinistros proveninetes de um furac˜ao desde que a seguradora os informe em at´e 8 dias apos o evento em quest˜ao (PARODI, 2014).

Resseguro Stop-Loss

O stop-loss anual, ou resseguro stop-loss ´e outro produto atuarial de car´ater res- segurador, que visa limitar as perdas anuais da cedente desconsiderando a natureza dos eventos ou as causas que ocasionaram os sinistros utilizando uma taxa de perda. Este pro- duto atuarial n˜ao ser´a mais evidenciado durante o trabalho pois, como ser´a demonstrado na se¸c˜ao seguinte, ele nao pode ser precificado via o artif´ıcio da curva de exposi¸c˜ao, por conta da sua n˜ao observa¸cao da natureza do evento que ocasionou o sinistro (DEELSTRA; PLANTIN, 2014).

3 M´etodos de precifica¸c˜ao dos contratos excesso de danos por risco

O escopo desta se¸c˜ao ´e demonstrar metodologias utilizadas para calcular o valor esperado dos prˆemios de uma faixa de resseguro, conforme o tipo de contrato de resseguro em questao. Neste trabalho ser´a apresentado somente metodologias para os resseguros n˜ao proporcionais de excesso de danos por risco (XL per Risk ), de modo que ele ser´a cotado de duas maneira distintas. A primeira utilizar´a um m´etodo determin´ıstico, enquanto que a segunda seguir´a por um m´etodo estoc´astico, o qual utilizara´ as fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao e os m´etodos por exposi¸c˜ao como mecan´ısmos de c´alculo (MAPFREE, 2011).

3.1 M´etodo determin´ıstico

Os modelos determin´ısticos s˜ao compostos por vari´aveis n˜ao aleat´orias, portanto, valores observ´aveis. Esses modelos tˆem seus resultados como ferramentas anal´ıticas, ex- ceto quando seus resultados s˜ao complexos e tem-se a necessidade de realizar simula¸c˜oes como mecanismos capazes de reduzir essa complexidade. Sendo assim, em se tratanto de resseguro, os c´alculos de cota¸c˜ao determin´ısticos ser˜ao relizados com o artif´ıcio das t´ecnicas de Burning Cost, que ser˜ao demonstradas adiante (PARODI, 2014).

Burning Cost

Os m´etodos de c´alculo de cotac˜ao Burning Cost (BC), apesar de suas limita¸c˜oes t´ecnicas, s˜ao os mecanismos de precificac˜ao mais utilizados quando se tem dados hist´oricos. Exemplos dessas informa¸c˜oes podem ser os sinistros que ocorreram e foram ou n˜ao recla- mados, as varia¸c˜oes dos perfis de risco, a exposi¸c˜ao ao risco de seus segurados, as provis˜oes para grandes riscos (Large Losses), entre outros fatores. Por conseguinte, caso a ressegu- radora tenha observado essas informa¸c˜oes, ela corrige esses dados coletados por algum

´ındice inflacion´ario. Sendo assim, pode-se considerar este m´etodo de cota¸c˜ao como uma estimativa das perdas para uma dada ap´olice ou carteira, com o intuito de compara¸c˜ao entre os prˆemios e sinistros (PARODI, 2014).

Segundo Xxxxxx (2014), a an´alise de Burning Cost ´e o m´aximo que se pode fazer

quando se considera o risco e sua volatilidade, sem que seja necess´ario utilizar m´etodos es- toc´asticos. Sendo assim, Xxxxxx (2014) exp˜oe que ao obter os resultados provenientes dessa an´alise, pode-se utiliza-los como uma etapa intermedi´aria entre as estat´ısticas descritivas iniciais dos dados e os resultados de frequˆencia/severidade modelados.

Os m´etodos de cota¸c˜ao de Burning Cost s˜ao plurais, por tanto, existem mais de uma forma de realizar suas proje¸c˜oes. O presente trabalho ir´a demonstra-las superficial- mete, com exce¸c˜ao do Burning Cost Puro Triangulado, o qual ser´a exemplificado adiante para sintetizar algumas defini¸c˜oes pr´e-estabelecidas.

O c´alculo do Burning Cost Puro (BCP) ´e o prˆemio recebido pela seguradora no ramo que se quer aplicar a cobertura de resseguro comparados com o valor dos sinistros cobertos pelo ressegurador, desde que esses dados de resseguro sejam an´alogos aos quais se quer estimar. Para realizar seu c´alculo anual, deve-se dividir a soma dos sinistros individuais anuais por faixa de risco (X) pelo prˆemio agregado (P ) de todos os anos em quest˜ao (MAPFREE, 2011).

Σ

BCP =   i=1

(3.1)

Σk Xi

k

i=1

Pi

Outro m´etodo ´e o de Burning Cost Indexado (BCI) que observa as mesmas vari´aveis do BCP (os sinistros individuais e o desenvolvimento dos prˆemios nos anos de interesse) acrecidas por um ´ındice inflacion´ario. Isto ´e, como as variaveis do c´alculo do BCP considera dados de anos anteriores para projeta-los para uma data futura, o BCI ´e a corre¸cao dessa estima¸c˜ao por interm´edio de um ´ındice de ajuste (MAPFREE, 2011).

O Burning Cost Puro Triangulado ´e muito utilizado no c´alculo de provis˜oes de si- nistros ocorridos mas n˜ao avisados (Incurred But Not Reported-IBNR), pois podem ocorrer sinistros que ir˜ao demorar mais de dez anos (Long Tail ) para serem liquidados, como os casos judicias, por exemplo. Fato esse que pode gerar dificuldade para calcular o valor do sinistro. Sendo assim, o procedimento para calcular as faixas de resseguro ir´a depender das informa¸c˜oes disponibilizadas pela cedente, para que a cession´aria possa calcular os sinistros individuais dentro das faixas; soma-los, observando o ano de subscri¸c˜ao e de de- senvolvimento e, por fim, utilizar o m´etodo “Chain Ladder ”para estimar os u´ltimos valores dos anos que est˜ao sendo estimados. Al´em disso, ´e poss´ıvel efetuar o mesmo procedimento considerando uma taxa de juros que ir´a manter a capacidade financeira durante os anos projetados, cohecida como Burning Cost Indexado Triangulado (MAPFREE, 2011).

Aplica¸c˜ao pr´atica - Burning Cost

Os exemplos adiante ilustram as propriedades explicitadas a pouco acerca do me- canismo de precifica¸c˜ao de contratos de resseguros excesso de danos: Burning Cost. O pre- sente trabalho o tratar´a como o m´etodo Chain Ladder, tamb´em conhecido como Triˆangulo de Run-off.

A Tabela 1 trata dos valores de sinistros acumulados durante os anos de desen- volvimento, de modo que, por exemplo o valor 10400 ´e o valor acumulado dos sinistros ocorrido em 2011 e 2012; 21700 ´e o valor acumulado de 2011 at´e 2013.

Tabela 1: Somat´orios acumulados do sinistros

Soma Acumulada	Ano 0	Ano 1	Ano 2	Ano 3	Ano 4	Ano 5 Ano 6
Soma de 2011:2012	10400	28000	31300	33400	35200	36000
Soma de 2011:2013	21700	60600	66100	70600	74100
Soma de 2011:2014	38400	109500	120200	128300
Soma de 2011:2015	60100	174000	190900
Soma de 2011:2016	86400	236000
Soma de 2011:2017	110100

Fonte: (SAMPAIO, 2018).

Com base nos valores dos sinistros acumulados, ser˜ao calculados os fatores de desenvolvimento presentes da Tabela 2, os quais s˜ao taxas obtidas a partir da divis˜ao dos valores acumulados de 2011 a 2016 no ano 1 pelo valor acumulado no mesmo per´ıodo, por´em no ano de desenvolvimento inicial, ano 0 236000/86400 = 2, 7314. Seguindo essa mesma linha, obtem-se o fator de desenvolvimento relativo ao desenvolvimento do ano 2 em fun¸cao do ano 1 como 190900/174000 = 1, 0971 e conforme esse procedimento, ser´a preenchido os dados da Tabela 2 relativos `a coluna “de ano a ano”.

×

×

× ×

O c´alculo para preenchimento da coluna “Acumulada”´e obtido pelo produto ‘de baixo para cima da coluna “de ano a ano”: 1, 07332 = 1, 0495 1, 0227 1, 00. Sendo a assim, o u´ltimo valor ser´a relativo ao produt´orio de toda a coluna “de ano a ano”. Por outro lado, a coluna “% Desenvolvimento”´e obtida pela express˜ao: 100 (1/Acumuladoano: i, i+1). No ano 2 em fun¸c˜ao do ano 1, tem-se que 100 (1/3, 4328) = 29, 13% e assim sucessiva- mente.

      Tabela 2: Desenvolvimento anual de sinistros    

Ano de ano a ano Acumulada % Desenvolvimento

0 a 1	2,7314	3,4328	29,13%
1 a 2	1,0971	1,25679	79,56%
2 a 3	1,0637	1,1455	87,29%
3 a 4	1,0495	1,0733	93,16%
4 a 5	1,0227	1,0227	97,78%
5 a 6	1,00	1,00	100%

Fonte: (SAMPAIO, 2018).

A Tabela 3 foi preenchida pelas informa¸c˜oes encontradas nas Tabelas 1 e 2. O objetivo desse preenchimento ´e projetar o quanto de sinistros ser˜ao pagos no ano n dado

seu ano de origem. Tal situa¸c˜ao pode ser interpretada como: suponha o ano 2016 como o ano de subscri¸c˜ao do contrato, dado que ocorreu um sinistro neste ano que ainda nao foi liquidado pela resseguradora. Com o advento deste mecanismo, ´e poss´ıvel estim´a-lo com base nas experiˆencias passadas e, deste modo, o ressegurador saber´a em m´edia o quanto de indeniza¸c˜ao dever´a garantir nesta opera¸c˜ao para cada faixa de resseguro adotada.

O c´alculo de estima¸c˜ao se d´a pelo produto do u´ltimo valor de cada ano de de-

×

×

senvolvimento com o fator de desenvolvimento respectivo a este mesmo periodo. Como exemplo, para encontra o valor que dever´a ser liquidado no ano de 2018 dado que o sinis- tro ocorreu no ano de 2017, dever´a efetuar o produto de 23700 2, 7314 = 64736; para o ano de 2019, dado que o sinistro ocorreu em 2017, ser´a de 64736 1, 0971 = 71024 e assim sucessivamente, at´e que se estime para todo o per´ıodo proposto. No entanto, uma advertˆencia deve ser levada em conta, em rela¸c˜ao a este mecanismo, pois, como existe a proje¸c˜ao de valores que foram projetados a efic´acia desse procedimento vai se reduzindo conforme o passar dos anos de proje¸c˜ao.

Tabela 3: Valores acumulados

Per´ıode de Subscri¸c˜ao		Desenvolvimento do Aviso em Anos
de Contrato	0	1 2 3 4 5	6

2011	4900	12200	13400	14500	15200	15500	15500
2012	5500	15800	17900	18900	20000	20500	20500
2013	11300	32600	34800	37200	38900	39784	39784

2014 16700 48900 54100 57700 60560 61937 61937

2015 21700 64500 70700 75464 79205 81006 81006

2016 26300 62000 68022 72606 76205 77937 77937

2017 23700 64736 71024 75810 79568 81376 81376

Fonte: (SAMPAIO, 2018).

3.2 M´etodos estoc´asticos

Um processo estoc´astico pode ser compreendido basicamente como o estudo de vetores aleat´orios que possuem estrutura de dependˆencia gerenciada por um conjunto de indexa¸c˜ao. Com base nisso, esta sec˜aoir´a considerar as vari´aveis aleat´orias que ir˜ao compor a base de c´alculo do prˆemio de resseguro. Sendo assim, ser˜ao abordadas duas frentes tem´aticas: a primeira visando estudar algumas fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao, enquanto a segunda ir´a adotar o m´etodo por exposi¸c˜ao.

M´etodo das fun¸co˜es de distribui¸c˜ao

O m´etodo de precifica¸c˜ao de resseguro por meio do ajuste de uma fun¸c˜ao de dis- tribui¸c˜ao de probabilidade ´e uma estimac¸˜ao. Sendo assim, ´e necess´ario que existam dados sobre sinistros anteriores para serem u´teis na estima¸c˜ao do prˆemio de resseguro da faixa.

Conforme publicac¸˜ao da Funda¸c˜ao Mapfree (2011), para realizar a estima¸c˜ao do prˆemio de risco de uma faixa, pode utilizar a express˜ao a seguir

Preˆmio = (V alor Estimado de Sinistro) × (Quantidade de Sinistro Estimado) (3.2)

As vari´aveis da equa¸c˜ao s˜ao estoc´asticas, al´em disso, as distribui¸c˜oes dos termos da equa¸c˜ao se diferem. Deste modo, a vari´avel “Valor Estimado de Sinistro”diz respeito sobre a avalia¸c˜ao do sinistro esperado acima da prioridade, d, e ser´a modelada por um modelo de severidade. Sendo assim, ela pode ser demonstrada pelas distribui¸c˜oes de caldas pesadas, como a Pareto, as distribui¸c˜oes de valores extremos, a distribui¸c˜ao Log Normal, entre outras. No caso do segundo termo da equa¸c˜ao (“Quantidade de Sinistro Estimado”),

´e observado a frequˆencia esperada dos sinistros, considerando que a prioridade, d, tenha sido extrapolada por alguma ocorrˆencia de sinistro. A utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao Poisson (comum em riscos coletivos) ´e mais usual. No entanto, outras distribui¸c˜oes de frequˆencia podem ser utilizadas, como por exemplo a Binomial (comum em riscos individuais) e a Binomial Negativa, comum em risco coletivo(MAPFREE, 2011).

Parodi (2014) demonstra que para calcular a frequˆencia esperada dos sinistros, deve-se usar como artif´ıcio a Provis˜ao de Sinistros Ocorridos mas n˜ao Avisado (PEONA

ou XXXX). E´

xxxxxx´ario utilizar esse m´etodo, porque ´e preciso saber a contagem final de

reclama¸c˜oes de sinistros ocorridos para cada ano. No entanto, a informa¸c˜ao mais comum de se ter ´e o nu´mero de reclama¸c˜oes relatadas durante um ano em particular. Para encontrar a contagem de reclamac¸˜oes relatadas e a contagem final de reclama¸c˜oes, ´e preciso calcular a provis˜ao IBNR que ir´a estimar o resultado desejado.

Conforme a equa¸c˜ao 3.2, para estimar o valor do “Prˆemio de Risco”de resseguro, ´e necess´ario realizar o produto do “Valor Estimado do Sinistro” e “Quantidade de Sinistro Estimado”. No entando, para realizar essa opera¸c˜ao, ´e necess´ario utilizar algum algoritmo ou simula¸c˜oe (a simula¸c˜ao de Monte Carlo pode ser uma op¸c˜ao). Por conseguinte, o resultado desse produto ser´a o “Prˆemio de Risco”de resseguro estimado (MAPFREE, 2011).

As fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao do m´etodo por exposi¸c˜ao

O m´etodo por exposi¸c˜ao ´e utilizado quando a base de dados referente a danos pas- sados ´e insuficiente para uma poss´ıvel estima¸c˜ao. Sendo assim, com o advento dessa ferra- menta, observa-se somente a exposic˜ao ao risco que determinado bem segurado est´a inse- rido (XXXXXXXXX, 1997). Al´em disso, esse m´etodo tamb´em pode ser utilizado quando a subscri¸c˜ao apresentada anteriormente sofre demasiada transforma¸c˜ao. Contudo, deve-se observar que seu escopo ´e para os contratos de resseguro n˜ao proporcionais de excesso de danos (PARODI, 2014).

O m´etodo de classifica¸c˜ao por exposi¸c˜ao ´e calculado com base nos perfis de risco e na distribui¸c˜ao do valor (grau) do dano da carteira ressegurada. Baseado nesses perfis, pode-se sumarizar aqueles com caracter´ısticas semelhantes (seja Soma Segurada, Dano M´aximo Poss´ıvel ou Dano M´aximo Estimado) em faixas. Contudo, ap´os essa sumariza¸c˜ao, a tarefa de modelar esses riscos homogˆeneos se torna fact´ıvel somente com o interm´edio de

uma fun¸cao de distribui¸c˜ao de dano (XXXXXXXXX, 1997). Conforme algumas literaturas, o perfil de risco demonstra quais as linhas de neg´ocios est˜ao sendo resseguradas, o valor (grau) dos riscos individuais (Vi), os prˆemios puro por faixa (Ph) e o nu´mero de risco em

risco

cada faixa (Nh

). Sendo assim, haver´a uma curva de exposic˜ao para cada perfil de risco

homogˆeneo (XXXXXXx, 2019).

Considere a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F (Xr) definida no intervalo [0, 1], onde Xr ´e o grau de dano individual, Xr = X/M , sendo X, vari´avel aleat´oria normalizada que representa o valor individual do sinistro antes do resseguro, e M o Dano M´aximo Poss´ıvel ou cobertura m´axima. Al´em disso, segundo Xxxxxxxxx (1997), Xr pode ser considerado como o “dano normalizado”. Al´em disso, a fun¸c˜ao de valor esperado limitado da fun¸c˜ao acumulado F (Xr) pode ser representada por

L(d) = E[min(Xr, d)]. (3.3)

× − × −

×

×

Baseado na fun¸c˜ao 3.3 e nas propriedades anteriormente demonstradas, M L(d) = M E[min(Xr, d)] = E[Xret] ´e o valor esperado das perdas retido pela seguradora. En- quanto, M (L(1) L(d)) = M (E[Xr] E[min(d, Xr)]) = E[Xced] ser´a o valor esperado dos danos agregados cedidos `a resseguradora. Deste modo, o percentual do premio puro de risco retido pela seguradora ´e dado pela fun¸c˜ao do valor esperado limitado relativo G(d) = L(d)/L(1) (XXXXXXXXX, 1997).

L(d)

G(d) =

L(1)

∫

d      

(1 − F (y))dy

∫

= 0

1

−

(1 F (y))dy

0

(3.4)

∫

1 d

=

E[x]

0

(1 − F (y)) dy.

− ≥ ≥

Com base nisso, 1 F (Xr) 0 e Fr(Xr) = f (Xr) 0. Deste modo, G(d) ´e uma fun¸c˜ao cˆoncava e crescente no intervalo [0, 1], de modo que por defini¸c˜ao G(0) = 0 e G(1) = 1 (XXXXXXXXX, 1997).

−

Parodi (2014) define curva de exposi¸c˜ao como o percentual de risco retido pelo ressegurador ap´os estabelecido um determinado dedut´ıvel, d, (para ele a curva ´e uma fun¸c˜ao do dedut´ıvel G(d)). Sendo assim, a curva de exposi¸c˜ao demonstra que estabelecido um dedut´ıvel d como um percentual (d%) ou da Soma Segurada ou do Dano M´aximo Poss´ıvel, a indeniza¸c˜ao que a seguradora dever´a arcar ser´a reduzida em (1 G(d)) do “Prˆemio de Risco”de resseguro.

Xxxxxxxxx (1997) introduziu uma fam´ılia de fun¸c˜oes anal´ıticas capazes de auxiliar na modelagem de curvas de exposic˜ao e modelos de dano. As propriedades e conclus˜oes demonstradas pelo autor s˜ao reconhecidas como a base te´orica mais difundida quando se trata de precifica¸c˜ao e subscri¸c˜ao de contratos de resseguro n˜ao proporcionais (HREVUSˇ,

2019). Com base em Bernegger (1997), sabe-se que existem uma quatia finita de cur- vas de exposi¸cao `a disposi¸c˜ao dos subscritores, sendo elas capazes de serem utilizadas tanto em formato de gr´aficos quanto de tabelas. Para cada faixa de risco homogˆeneo ser´a considerada uma curva de exposi¸c˜ao diferente.

Caso se tenha em posse a curva de exposi¸c˜ao G(x), Xxxxxxxxx (1997) afirma que

´e poss´ıvel encontrar sua fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada F (x) derivando essa curva de exposi¸cao no ponto d

Gr(d) = 1 − F (d). (3.5)

E(Xr)

Caso assuma que Xr = 0; F (0) = 0 e a derivada a fun¸c˜ao da Curva de Exposi¸c˜ao ser´a igual a Gr(0) = 1/E[Xr]. Portanto, conforme Xxxxxxxxx (1997)



F (Xr) =

Gr(Xr) 1 − Gr(0)

se 0 ≤ Xr < 1

(3.6)

1 se Xr = 1.

Deste modo, Xxxxxxxxx (1997) diz que F (Xr) e G(Xr) s˜ao representa¸c˜oes de fun¸c˜oes de distribui¸cao de danos.

Caso a curva de exposi¸c˜ao tenha forte concavidade e um pequeno dedut´ıvel d fi- xado, o risco cedido (Xced) ao ressegurador ser´a fortemente reduzido e a probabilidade de perda total, M , ser´a insignificante. No entanto, caso a curva de exposi¸c˜ao n˜ao possua concavidade, ela sera´ a bissetriz do primeiro quadrante. Ent˜ao todas as poss´ıveis perdas seriam perdas totais, de modo que um d% causaria uma redu¸c˜ao nos danos de exatamente d%, mostrando baixa eficiˆencia do modelo adotado. E, por fim, uma situa¸c˜ao que n˜ao ´e t˜ao extrema quanto a anterior: uma curva de exposi¸c˜ao pr´oxima da bissetriz do primeiro qua- drante, com baixa concavidade, tem seu dedut´ıvel d% com menor efetividade e, portanto, possui significativa probabilidade de uma perda total ocorrer (PARODI, 2014).

Sobre a probabilidade de dano total e seu valor esperado, Parodi (2014) diz que

´e importante demonstrar suas rela¸c˜oes, pois os gr´aficos das curvas de exposi¸c˜ao est˜ao no intervalo [0, 1], no qual Xr = 1 ´e justamente M e, por defini¸c˜ao de probabilidade tem-se que:

≤ − − X

Pr(Xr = 1) = Pr(Xr 1) Pr(Xr < 1) = 1 lim

′—→1−

F (Xr). (3.7)

−

Xxxxxxxxx (1997) afirma que a probabilidade p de perda total ´e igual a 1 F (1—) e o valor do dano esperado ou a m´edia do dano esperado µ ´e igual a E[Xr]. Sendo assim, essas fun¸c˜oes s˜ao baseadas na fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada F (Xr), a qual pode ser derivada a partir da fun¸cao da curva de exposic˜ao, G(Xr), assumida no ponto Xr = 0 e tamb´em no ponto Xr = 1. Por conseguinte, tem-se

µ = E[Xr] = 1

Gr(0)

; (3.8)

enquanto a probabilidade de perda total

−

p = M = 1 F (1—) = Gr(1) . (3.9)

Gr(0)

Como G(Xr) ´e uma fun¸c˜ao cˆoncova e crescente em [0, 1], deve-se deixar claro a inequa¸cao de seus valores pontuais

Gr(0) ≥ 1 ≥ Gr(1) ≥ 0 (3.10)

∞

A curva de exposi¸c˜ao assumida, G(Xr), e sua respectiva fun¸c˜ao de distribui¸cao acumulada, F (Xr), foram apresentadas at´e o momento contidas no intervalo [0, 1]. No entanto, se o intervalo for diferente desse, ainda assim, pode-se expor propriedades acerca dessa fun¸c˜ao. Sendo assim, considerando o intervalo [0, ] a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acu- mulada F (Xr) ainda pode ser definida. Por´em, nao existir´a dano m´aximo (M ou p ). Al´em disso, a normaliza¸c˜ao das vari´aveis aleat´orias X e D podem tamb´em ser dadas respectiva- mente por Xr = X/X0 e d = D/X0, onde X0 ser´a o dano referencial. Ademais, a fun¸c˜ao

da curva de exposi¸c˜ao G(d) segue cˆoncava, crescente, com G(0) = 0 e lim G(d) = 1. Por

fim, o valor esperado respeita a igualdade µ = E[Xr] =

1

Gr(0)

d—→∞

(BERNEGGER, 1997).

3.3 MBBEFD-Parametriza¸c˜ao da Curva de Exposi¸c˜ao

Existem dispon´ıveis no mercado um nu´mero limitado de curvas de exposi¸c˜ao, e isso pode ser visto como uma situa¸c˜ao problem´atica. Al´em deste problema, elas podem ser demonstradas como fun¸c˜oes lineares e podem ter baixa altera¸c˜ao quando se muda o programa de resseguro. No entanto, parte desses problemas podem ser solucionados com a ades˜ao no modelo de uma nova fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao, a qual ir´a reestabelecer os valores presentes da tabela de exposi¸c˜ao, de modo que curvas que anteriormente eram influen- ciadas por parcelas de fun¸c˜oes lineares ser˜ao reajustadas tornando-se fun¸c˜oes cont´ınuas (HREVUSˇ, 2019).

Base te´orica da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao MBBEFD

A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao MBBEFD tem seu nome proveniente da abreviac˜ao das letras iniciais dos nomes dos f´ısicos Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, Xxxxx-Dirac, que buscavam discrever a dispers˜ao de mol´eculas de gases em um determinado experimento cient´ıfico. No entanto, outro f´ısico a inseriu no ramo da Estat´ıstica e Ciˆencias Atuarias: Xxxxxx Xxxxxxxxx (XXXXXXXXX, 1997). Ele a ajustou para ser utilizada como parte de um modelo probabil´ıstico que explicasse a distribui¸c˜ao de danos em propriedades segura- das (HREVUSˇ, 2019).

≥

≥

A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao MBBEFD pode ser vista como uma poss´ıvel parame- triza¸c˜ao da curva de exposi¸c˜ao, permitindo at´e, que por seu interm´edio outras curvas de exposi¸cao possam ser calculadas. Essa distribui¸c˜ao ´e modelada pelos parˆametros b (b 0) e g (g 1). No entanto, em um caso especial pode ser reajustada para que deixe de ser bi-param´etrica e se torne uni-param´etrica, c. Este parˆametro descreve os riscos assumidos, por meio da concavidade da curva reajustada (HREVUSˇ, 2019; PARODI, 2014).

Curva de exposi¸c˜ao MBBEFD

A equa¸c˜ao 3.7 representa a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada do grau de dano, e segundo Xxxxxxxxx (1997), ela pode ser reescrita conforme os parˆametros a e b.

F (Xr) =

1 −

(a + 1)bX′

a + bX′ se 0 ≤ Xr < 1

(3.11)

1 se Xr = 1.

A curva de exposi¸c˜ao denotada pela equa¸c˜ao 3.4 pode ser reformulada

Ga,b(Xr) =

ln(a + bX′ ) ln(a + 1)

−

. (3.12)

ln(a + b) − ln(a + 1)

−

{− ∞} { ∞}

Em que, o denominador e o termo ln(a + 1) presente no numerador assegura que as condi¸c˜oes de limite G(0) = 0 e G(1) = 1 sejam cumpridas. No entanto, para os casos em que a assuma os valores 1, 0, e b os valores 0, 1, devem ser tratados separada- mente (XXXXXXXXX, 1997).

Nova parametriza¸c˜ao

Os parametros (a e b) das fun¸c˜oes 3.11 e 3.12 s˜ao respons´aveis por tornar a fun¸c˜ao

3.12 real, crescente e concava no intervalo [0, 1]. Para tanto, Xxxxxxxxx (1997), preenche essa condi¸c˜ao utilizando como artif´ıcio a inversa da fun¸c˜ao de probabilidade total, descrita pela equa¸c˜ao 3.9, para que ela sirva como parˆametro da curva

a + b

g =

(a + 1)b

a = (g − 1)b. (3.13)

⇔

1 − gb

As vari´aveis g (g ≥ 1) e b (b > 0) garantem que

a + b

ϵ [0, 1]. E o suporte dos

(a + 1)b

parˆametros ´e Ωg,b = {(g, b) ∈2, b > 0, g ≥ 1} (DUTANG et al., 2017).

− → ∞

≥

≤ ≤ ≥

Como ´e evidente, a probabilidade de perda total p (equa¸c˜ao 3.9) est´a contida no intervalo 0 p 1. No entanto, ela ocorre somente por g 1. Outra condi¸c˜ao ´e em rela¸c˜ao a Ga,b(Xr), a qual ´e uma func˜ao real, mas somente se b 0. Por´em, caso b = 1 (o que tornaria a = 1), b = 0, g = 1 (portanto a = 0) e bg = 1 (isto ´e a ) devem ser tratados como casos especiais. Ao considerar os casos especiais b = 1, g = 1 e bg = 1 separadamente, toda fun¸c˜ao Ga,b(Xr), na qual G(0) = 0 e G(1) = 1, pertencer˜ao a` distribui¸c˜ao MBBEFD, de modo que, conforme Xxxxxxxxx (1997), ser˜ao representadas como

Xr g = 1 ou b = 0

ln(1 + (g — 1)Xr)





b = 1 e g > 1

Gb,g

(Xr) =

ln(g) 1 — bX′

 1 — b

X′

bg = 1 e g > 1

(3.14)





ln (g — 1)b + (1 — gb)b

1 — b

ln(gb)

b > 0, b 1, bg

1 e g > 1.

Derivadas

A derivada da curva de exposi¸c˜ao 3.14, conforme Xxxxxxxxx (1997)

1 g = 1 ou b = 0

g — 1



b = 1 e g > 1

G (X ) = ln(g)(1 + (g — 1)Xr)

(3.15)

r r ln(b)bX′

bg = 1 e g > 1

 b — 1

ln(b)(1 — gb)

ln(gb) ((g — 1)b1—X′ + (1 — gb))

b > 0, b /= 1, bg /= 1 e g > 1.

Sendo que no ponto Xr = 0

g — 1

Gr(0) =  ln(g)

1 g = 1 ou b = 0

b = 1 e g > 1

ln(b)

ln(g)g

(3.16)

=

 b — 1

bg = 1 e g > 1

g — 1

ln(b)(1 — gb)

ln(gb)(1 — b)

b > 0, b /= 1, bg

1 e g > 1,

e no ponto em que Xr = 1

g — 1

Gr(1) =  ln(g)g

1 g = 1 ou b = 0

b = 1 e g > 1

ln(b)b

ln(g)

(3.17)

 b — 1 g — 1

= bg = 1 e g > 1

ln(b)(1 — gb)

ln(gb)g(1 — b)

b > 0, b

1, bg

1 e g > 1

A probabilidade de perda total p, (3.9), ´e dada pelo quociente entre as express˜oes

3.17 e 3.16 (XXXXXXXXX, 1997).

Valor esperado

A perda esperada foi demonstrada pela fun¸c˜ao 3.8, e em conformidade com a distribui¸cao MBBEFD (fun¸c˜ao 3.14), pode ser exposta como

E[Xr] = µ = 1 =

r

ln(g)

g — 1





1 g = 1 ou b = 0

b — 1

g — 1

b = 1 e g > 1

(3.18)

G (0)

= bg = 1 e g > 1 ln(b) ln(g)g

ln(gb)(1 — b)

ln(b)(1 — gb)

b > 0, b

1, bg

1 e g > 1

Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao



Conforme a fun¸c˜ao 3.11 a fun¸c˜ao de distribu¸c˜ao acumulada pertencente a` curva de exposi¸c˜ao Gb,g(Xr) ´e dada por

1 Xr = 1



0 Xr < 1, (g = 1 ou b = 0)

r 1 — 1

Xr < 1, b = 1 e g > 1

F (X ) =

1 — bX′ Xr < 1, bg = 1 e g > 1



1 + (g — 1)Xr

(3.19)

—

1 1 — b

(g — 1)b1—X′ + (1 — gb)

Xr < 1, b > 0, b /= 1, bg /= 1 e g > 1.

Fun¸c˜ao desnsidade de probabilidade

≤ ≤

Como a probabilidade de perda total ´e finita no intervalo 0 p 1, a fun¸cao de densidade f (Xr) = Fr(Xr) ´e definida somente no intervalo [0, 1), sendo essa demonstrada a seguir

—



g — 1

(1 + (g 1)Xr)2

X′

0 g = 1 ou b = 0

b = 1 e g > 1

—

f (Xr) =

(3.20)

ln(b)b



bg = 1 e g > 1



ln(b)b1—X′ (b — 1)(g — 1)



((g — 1)b1—X′ + (1 — gb))2 b > 0, b /= 1, bg /= 1 e g > 1.

Conforme observado, o valor µ ´e uma func¸˜ao com os parˆametros b e g sendo, portanto, µ = µ(b, g). Enfim, tendo em vista essa condi¸c˜ao, existe uma rela¸c˜ao entre o valor de µ e os valores extremos dos parˆametros g e b, segundo Xxxxxxxxx (1997), sendo

essa dada por

lim µg(b) = 1; lim

µg(b) = 1/g = p

b—→0 b—→∞

lim µb(g) = 1; lim µb(g) = 0.

g—→1 g—→∞

≤ ≤ ≤

Esta rela¸c˜ao indica que existem exatamente uma distribui¸c˜ao pertencente `a classe MBBEFD para cada dado par de fun¸c˜oes p e µ, de modo que esses parˆametros satisfa¸cam a condi¸c˜ao intervalar 0 p µ 1. Al´em disso, existem duas situa¸c˜oes antagˆonicas em rela¸c˜ao ao calculo de g e b, em que o primeiro ´e calculado de maneira direta: g = 1/p, enquanto que o segundo pode ser calculado com o aux´ılio da fun¸c˜ao 3.18 (XXXXXXXXX, 1997).

Distribui¸c˜oes ilimitadas

—∞ ∞ ∞

As fun¸c˜oes apresentadas trataram sobre a distribui¸c˜ao MBBEFD no intervalo [0, 1]. Contudo, pode ser definida tanto no intervalo [ , ] quanto em [0, ]. Al´em disso, pode ser utilizada para modelar distribui¸c˜oes de perda. Enfim, caso as perdas agregadas (X) e o dedut´ıvel (D) sejam normalizadas em rela¸c˜ao a uma perda de referˆencia X0, ent˜ao Xr = X/X0 e Dr = D/X0. Dessa maneira, as distribui¸c˜ao MBBEFD [0, 1] podem ser reformuladas como a seguir

Gb,g(Xr) =

 ln



(g — 1)b + (1 — gb)bX′

1 — b

1 — bx bg = 1 e g > 1

(g — 1)b 0 < b < 1, bg /= 1 e g > 1

 ln

1 — b

— ln(b)bX′ bg = 1 e g > 1

r r           ln(b)(1 — gb)     

G (X ) =

 ln

(g — 1)b 1 — b

((g — 1)b1—X′ + (1 — gb))

0 < b < 1, bg /= 1 e g > 1



— ln(b) bg = 1 e g > 1

r  ln(b)(1 — gb)  

G (0) =

 ln

(g — 1)b 1 — b

(1 — b)

0 < b < 1 e bg

1 e g > 1



— ln(b)b bg = 1 e g > 1

r  ln(b)(1 — gb)  

G (1) =

 ln

(g — 1)b 1 — b

g(1 — b)

0 < b < 1, bg /= 1 e g > 1

F (Xr) =

Gr(∞) = 0



—

1 bX′ bg = 1 e g > 1

—

     1 b   

1 — (g — 1)b1—X′ + (1 — gb) 0 < b < 1, bg /= 1 e g > 1

Al´em das maneiras mencionadas para calcular uma distribuic¸˜ao MBBEFD, ´e poss´ıvel

assumir que os dois primeiros momentos s˜ao conhecidos (por exemplo µ e σ2), mas desde que eles correspondam a`s condi¸c˜oes

µ2 ≤ E[Xr2] ≤ µ p ≤ E[Xr2].

Esses dois primeiros momentos da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao com probabilidade de perda total, p, s˜ao dados por

µ = E[Xr] = p +

1−

∫

xf (x)dx;

∫

0

µ2 + σ2 = E[Xr2] = p +

1−

≤

x2f (x)dx µ.

0

Obtendo b e g

Xxxxxxxxx (1997) prop˜oes a utiliza¸c˜ao do m´etodo dos momentos par a estima¸c˜ao dos parˆametros b e g, pois ´e um m´etodo n˜ao param´etrico. No entanto, ´e poss´ıvel realizar tal estima¸c˜ao tanto utilizando o m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca, quanto o dos m´ınimos quadrados (HREVUSˇ, 2019).

Conforme Xxxxxxxxx (1997) 0 ≤ p ≤ E[x] ≤ 1 Ent˜ao o primeiro momento de x ser´a:

E[x] = ln(gb)(1 — b)

ln(b)(1 — gb)

(3.21)

O parˆametro c ´e responsavel pela concavidade da curva de exposi¸c˜ao. Mas para obtˆe-lo existe a dependˆencia de g e b. Portanto, o que o f´ısico Xxxxxxxxx (1997) fez em seu artigo, foi facilitar o c´alculo da curva de exposi¸c˜ao Gb,g(x), pois, em vez de fazˆe-lo utilizando dois parˆametros (b e g), ser´a calculado utilizando somente um Gc(x) (BER- NEGGER, 1997; PARODI, 2014).

O par de parˆametros b e g s˜ao avaliados cada qual para uma curva de exposi¸c˜ao da Swiss Re Yi (i = 1, ..., 4) e ao tra¸car os pontos dessas fun¸c˜oes no plano cartesiano, descobre-se que eles est˜ao sobre uma curva. Feito isso, ela ´e remodelada como uma fun¸c˜ao

de um u´nico parˆametro c de curva. Ent˜ao com base em uma subclasse da distribuic¸˜ao MBBEFD pode se aproximar as curvas de exposi¸c˜ao sendo elas definidas da seguinte maneira

de modo que

Gc(x) = Gbcgc (x),

bc = b(c) = eα+cβ(1+c), (3.22)

gc = g(c) = ec(γ+cδ). (3.23)

Existem valores de c que quando observados possibilita a tomada de conslus˜oes mais simplificadas. Sendo assim, caso c = 1.5, 2.0, 3.0, 4.0 esses valores ser˜ao concidentes com as curvas de exposi¸cao da Swiss Re: X0, X0, X0, X0. As quais s˜ao utilizadas na pr´atica em conformidade com os riscos em quest˜ao. No entanto, existem valores de c que caso sejam alcan¸cados dever˜ao ser observados de maneira minuciosa, como ´e o caso de c = 0. Valor este, que ´e a bissectriz do primeiro quadrante, que ser´a respons´avel por afirmar que caso ocorra uma perda esta ir´a ser uma perta total (x = M ). Esta rela¸cao pode ser observada com aux´ılio da fun¸c˜ao 3.22 no ponto em que c = 0 g(c) ir´a ser igual a 1 (XXXXXXXXX, 1997; PARODI, 2014).

MBBEFD Package

A classe de func¸˜ao de distribui¸c˜ao MBBEFD ´e popularmente utilizada quando se deseja compreender e precificar risco que se tem interese de ressegurar ou segurar. Al´em de, poder ser utilizada para classificac¸˜ao de exposi¸c˜ao. Ademais, caso se queira inferir com base em riscos homogˆeneos esta classe de fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao tamb´em poder´a ser indicada (BERNEGGER, 1997). Sendo assim, essa fun¸c˜ao pode ser utilizadas desde para realiza¸cao de an´alises descritivas at´e m´etodos para estima¸c˜ao de parˆametros (b e g, por exemplo), ou ainda gera¸c˜ao de graficos de curvas de exposi¸c˜ao.

A seguir ser´a implementada a fun¸c˜ao MBBEFD na linguagem de programa¸c˜ao R. Fun¸c˜ao esta que trabalha como um m´etodo de ajuste (fitDR function). Para realizar esse ajuste o mbbefd package utiliza dois m´etodos: o de estima¸c˜ao m´aximo verossimilhan¸ca e o de estima¸cao via m´etodo de momentos. Onde no primeiro m´etodo consiste em maximizar a fun¸c˜ao densidade; e o segundo consiste em igualar a perda total e o primeiro momento da distribui¸cao (XXXXXXX et al., p.09, 2016).

Este exemplo ira´ ajustar duas distribui¸c˜oes misturadas (Beta Regular e MBBEFD) com um conjunto de dados simulados MBBEFD (XXXXXXX et al., p.09, 2016).

library(mbbefd)

x < — c(rbeta(50, 3, 1/2), rmbbefd(50, 1/2, 1/10))

O vetor x possui 100 valores aleat´orios simulados, enquanto a vari´avel f 1 ´e uma fun¸c˜ao que ajusta a fun¸c˜ao MBBEFD em rela¸c˜ao a esses valores simulados. Os parˆametros a e b da fun¸c˜ao MBBEFD ajustada, foram estimados pelo m´etodo de m´axima verossi- milhan¸ca. Al´em disso, observou-se os crit´eris de escolha de modelo de Akaike (AIC = 83, 3829) e Bayesiano (BIC = 88, 59324) para este modelo.

—

f1 < fitDR(x, “mbbefd”, method=“mle”) summary(f1)

## Fitting of the distribution “mbbefd”by maximum likelihood ## Parameters :

## estimate Std. Error ## a 0,035909278 NA ## b 0,009872438 NA

## Loglikelihood: -39,69145 AIC: 83,3829 BIC: 88,59324

A vari´avel b1 ´e uma fun¸c˜ao que desenha simula¸c˜oes, dado que o primeiro argu- mento ´e a vari´avel f 1 que ajustou a fun¸c˜ao MBBEFD em rela¸c˜ao aos dados simulados (x), enquanto o segundo argumento ´e o nu´mero de amostras que se quer gerar. Sendo assim, para uma amostra de tamanho 20 a um n´ıvel de significˆancia de 95% os valores dos parˆametros a e b estimados apresentam o seguinte comportamento estat´ıtico

—

b1 < bootDR(f1, niter=20) summary(b1)

## Parametric bootstrap medians and 95% percentile CI

##	Median	2, 5%	97, 5%
## a	0, 03603436	0, 012784198	0, 06813441
## b	0, 00930872	0, 002569712	0, 02273344

Conforme Duntang (2016), com o advento do mbbefd package ´e poss´ıvel comparar multiplos ajustes no mesmo gr´afico ou com as mesmas estat´ısticas. De modo que com essas curvas ajustadas (f 1, f 2 e f 3) aos dados simulados (x) foram realizados testes de adequa¸c˜ao para poder escolher o modelo que melhor se adequa aos dados em quest˜ao. Deste modo, ao observar o resultado dos testes, foi poss´ıvel concluir que a fun¸c˜ao que melhor se adequa aos dados foi a MBBEFD.

—

—

f2 < fitDR(x, “oibeta”, method=“mle”) f3 < fitDR(x, “oiunif”, method=“mle”) gofstat(list(f1, f2, f3))

## Goodness-of-fit statistics

## 1-mle-mbbefd	2-mle-oibeta	3-mle-oiunif
## Kolmogorov-Smirnov statistic 0, 1400000	0, 1400000	0, 2154661
## Cramer-von Mises statistic 0, 2715687	0, 1414871	1, 7800000
## Xxxxxxxx-Xxxxxxx xtatistic Inf	Inf	Inf
##
## Goodness-of-fit criteria
## 1-mle-mbbefd	2-mle-oibeta	3-mle-oiunif
## Aikake’s Information Criterion 83, 38290	NaN	82, 99270
## Bayesian Information Criterion 88, 59324	NaN	85, 59787

Com atif´ıcio dos comandos a seguir foi gerado o gr´afico das trˆes fun¸c˜oes de ajuste sobrepostas, ficando, assim, evidente na analise explorat´oria que a curva que mais se adequa aos dados simulados ´e a fun¸c˜ao de densidade MBBEFD. Os graficos s˜ao respec- tivamente a fun¸c˜ao de densidade das fun¸c˜oes MBBEFD, one-infleted Beta e one-infleted Uniforme sobrepostos em rela¸c˜aos aos dados simulados e o histograma das mesmas, tam- bem em rela¸c˜ao aos dados simulados.

par(mfrow=c(1, 2))

cdfcomp(list(f1, f2, f3), leg=c(“mbbefd”, “oibeta”, “oiunif”))

denscomp(list(f1, f2, f3), leg=c(“mbbefd”, “oibeta”, “oiunif”), ylim=c(0,4), xleg=“topleft”)

Figura 1: Gr´afico da fun¸cao de densidade emp´ırica e te´orica sobreposto aos dados simu- lados e Histograma dos dados simulados sobreposto pela fun¸c˜ao de densidade te´orica das trˆes distribui¸c˜oes

Fonte: (XXXXXXX et al., 2016).

Por fim, para gerar o gr´afico sobreposto das diferentes vari´aveis de ajuste, e assim comparar qual a curva de exposi¸c˜ao que se ajusta mais aos dados simulados, deve-se uti-

xxxxx o comando “eccomp()”. Observando a Figura 2, pode-se observar que a distribui¸c˜ao uniforme quando ajustada aos dados x simulados est´a basicamente sobreposta como a bissetriz do primeiro quadrande, mostrando que n˜ao ´e uma curva bem ajustada, pois com sua utliza¸c˜ao, dado que ocorresse algum sinistro ele teria demasiada probabilidade de ser total, acarretando problemas na gest˜ao dos riscos.

eccomp(list(f1, f2, f3), leg=c(“mbbefd”, “oibeta”, “oiunif”), do.points=FALSE)

Figura 2: Curva de exposi¸c˜ao te´orica e emp´ırica com as distribui¸c˜oes one-infleted beta, one-infleted uniforme e mbbefd

Fonte: (XXXXXXX et al., 2016).

3.4 Processo de precifica¸c˜ao no resseguro

Desenvolvendo uma curva de exposi¸c˜ao

∈

Caso seja necess´ario desenvolver uma curva de exposi¸c˜ao diferente das existentes no mercado, deve-se possuir alguns pr´e requisitos. Como, a necessidade de grande quantia de dados de reclama¸c˜ao de sinistro de uma carteira e o Dano M´aximo Poss´ıvel (M ) de cada ativo desta. Dado que essas informa¸c˜oes estejam em posse, Parodi (2014) divide o valor de cada reclama¸c˜ao individual de sinistro (x) pelo seu referido Dano M´aximo Poss´ıvel (x/M ), gerando a taxa de perda relativa (x/M [0, 1]). Com base nessa taxa, uma curva de severidade emp´ırica ser´a calculada. Sendo esta ajustada a uma outra curva de severidade por interm´edio do m´etodo de estima¸c˜ao de m´axima verossimilhan¸ca. Com o intuito de melhorar os valores dos parˆametros b e g pr´e-determinados por Xxxxxxxxx (1997).

Processo de classifica¸c˜ao de exposi¸c˜ao

Para precificr os contratato de excesso de danos, deve-se antes classific´a-los con- forme seu portif´olio de riscos homogˆeneos. Em seguida, estabelecer a Curva de Exposi¸c˜ao G(d) para cada uma dessas faixas homogˆeneas; e determinar o Dano M´aximo Poss´ıvel (M ) dos bens segurados. Sendo assim, Xxxxxx (2014) afirma que observando um portif´olio homogˆeneo de propriedades pode-se obter o valor esperado da perda (E[SD,L]) para esta faixa L xs D conforme a fun¸cao 3.24. Nela E[S] representa a perda esperada agregada

que esta´ sendo multiplicada pela diferen¸ca entre a Curva de Exposi¸c˜ao no ponto d + l

(limite m´aximo da faixa retido pela resseguradora) e d (valor m´ınimo da faixa retido pela resseguradora)

E[SD,L] = [G(d + l) — G(d)]E[S]. (3.24)

—

Assumindo que a curva de exposi¸c˜ao seja conhecida, ´e trivial calcular a diferen¸ca G(d + l) G(d). No entando, a perda esperada agregada E[S] da fun¸c˜ao 3.24 deve ser observado com mais cautela. E´ v´alido ressaltar que como est´a sendo utilizada a curva de exposi¸cao, pressup˜oe que n˜ao existem abundˆancia de dados de sinistralidades passadas em rela¸c˜ao ao risco subscrito. Deste modo, calcular a perda esperada agregada E[S] dever´a ser feita utilizando outros artif´ıcios. Sendo assim, Parodi (2014) prop˜oe como solu¸c˜ao o uso da fun¸c˜ao de esperan¸ca da taxa de perda E[LR] (onde “LR”´e Loss Ratio-Taxa de Perda)

E[LR] =

E[S]

P

. (3.25)

Ao utilizar manobras alg´ebricas, tem-se

E[S] = E[LR]P. (3.26)

Voltando na equa¸c˜ao 3.24 e substituindo-a pela 3.25, obtem-se

E[SD,L] = [G(d + l) — G(d)](E[LR]P ). (3.27)

Caso exista a necessidade de generalizar a func¸˜ao 3.27 para um portif´olio com K

propriedades, deve-se

ΣE[S ] = E[X ]X,X

X

X,X

x

X

xx0 X

= [Gk(dk + lk) — G(dk)](E[Sk])

Σ

k=1 K

= [Gk(dk + lk) — G(dk)](E[LRk]Pk).

k=1

(3.28)

Para Parodi (2014) a taxa de perda esperada E[LR] ser´a diferente para proprieda- des com diferentes Dano M´aximo Poss´ıvel M ou Soma Segurada - SS. Ent˜ao, considerando

a taxa de perda esperada E[LR] uniforme para um portif´olio homogˆeneo de k propriedades e independente, pode-se assumir uma mesma curva de exposi¸c˜ao para a faixa (D xs L)

Σ

K

E[SD,L] = E[LRk] [Gk(dk + lk) — G(dk)] (Pk). (3.29)

k=1

A Tabela 4 representa os dados disponibilizados pelas seguradoras em resposta `a solicita¸cao da resseguradora. Nela os dados est˜ao agregados conforme suas especificidades, formando faixas de cobertura com as propriedades homogˆeneas. As faixas, representadas na tabela, est˜ao fixadas em rela¸c˜ao ao limite inferior (d) e superior (d + l) da Soma Segurada, de modo que, em cada faixa foi demonstrada seu Prˆemio Total, sua Taxa de Perda Original - LR relacionada com a experiˆencia da cedente, e, por fim, a quantidade de unidades de risco que est˜ao em cada faixa (PARODI, 2014).

Tabela 4: Exemplo de Perfil de risco

Soma Segurada	Soma Segurada	Pˆemio LR* Nu´mero
Lim. Inferior	Lim. Superior	Total		de Riscos
0	500000	166891508	45%	528008
500001	1000000	30758545	45%	30864
1000001	1500000	11412224	45%	6325
1500001	2000000	6632123	45%	2939
2000001	2500000	3814369	45%	1329
2500001	3000000	4115279	45%	1188
3000001	3500000	2742529	45%	789
3500001	4000000	2007070	45%	484
4000001	4500000	2038237	45%	485
4500001	5000000	1090990	45%	279
5000001	6000000	2432686	45%	554
6000001	7000000	2368648	45%	463

Fonte: (HREVUSˇ, 2019).

Utilizar o perfil de risco (Tabela 4) proporciona ganhos operacionais `a ressegu-

radora. Ao utiliz´a-lo, a resseguradora n˜ao ira´ efetuar corre¸c˜oes inflacion´arias; e poder´a

trabalhar com dados determin´ısticos, tornando-os distribui¸c˜oes de frequˆencia e severidade estoc´asticos. No entanto, por outro lado, ao utilizar estes perfis, surge a necessidade de confiar nos dados enviados pela seguradora (LR, por exemplo), e a possibilidade de n˜ao se conseguir estabelecer curvas de exposic˜ao (G(d)) para per´ıodos desejados. Por fim, ou- tras duas limita¸coes destes perfis seriam a impossibilidade de utiliza-los na modelagem de cat´astrofes naturais (Cat XL) e interrup¸c˜oes de linhas de neg´ocios das seguradoras (PARODI, 2014).

Partindo do princ´ıpio de que a resseguradora possui acesso ao perfil de risco (Tabela 4). A produ¸c˜ao da classifica¸cao de exposi¸c˜ao pode ser realizada seguindo alguns passos (HREVUSˇ, 2019):

1) Calcular o valor m´edio do risco assumido por faixa

Σrisco

Nf

V

f

k

V = i

i=1

k risco

—1

. (3.30)

N

2) Normalizar a m´edia c´alculada para cada faixa

f

mf = min M ; 1 . (3.31)

V

3) Escolher a curva de exposi¸c˜ao mais apropriada para os riscos homogˆeneos de cada faixa.

4) Observando a curva escolhida calcul´a-la para o valor m´edio normalizado de cada faixa G(mf ).

5) Estimar o valor esperado da perda agregada por faixa. Pois, como o perfil de risco geralmente fornece somente o prˆemio agregado por faixa. Seu valor m´edio por faixa ser´a calculado pela fun¸c˜ao 3.32. Onde qf representa a taxa de perda agregada estimada

^

por faixa. Portanto qf = LR

E^[^Zf ] = Pf q^f . (3.32)

6) Xxxxxxx a perda cedida ao ressegurdor por faixa

^E[Z

f resse

] = [1 — G(mf )]E^[Zf ]. (3.33)

7) Considere somente uma faixa com reten¸c˜ao R e capacidade ilimitada. Ent˜ao, o valor m´edio da perda total na faixa cedido ao ressegurador ser´a expresso conforme a fun¸c˜ao 3.34

^ Σ ^E[Z ] = E[Zresse

F

f resse

]. (3.34)

f =1

^

×

A Tabela 5 ´e uma aplica¸c˜ao num´erica dos procedimento estabelecidos anterior- mente em rela¸c˜ao ao perfil de risco exemplificado pela Tabela 4. E´, portanto, a classifica¸c˜ao de exposi¸c˜ao. A qual teve sua formula¸c˜ao explicitada pelos 7 passos anteriores. Nela foi adotada uma taxa estimada de perda agregada por faixa de 45% (qf = LR = 45%) e uma curva de exposi¸c˜ao que fosse ajust´avel ao portf´olio adotado. Como resultado foi observado para todas as faixas agregadas o valor de prˆemio de aproximadamente 236 milh˜oes de Euros (P = 236 106), enquanto que a estimativa de perda agregada foi igual a aproximadamente 106 milh˜oes de Euros. A m´edia da perda cedida a` resseguradora foi pr´oxima de 2, 9 milh˜oes de Euros, valor este que representa algo pr´oximo de 1, 23% do prˆemio agregado (HREVUSˇ, 2019).

^E(Z )

Tabela 5: Exemplo de Classifica¸c˜ao por exposi¸c˜ao

Faixa (f )

Risco V dividido em faixas

E^(Z) mf

G(mf )

k resse

1 0 500000 75101179				1.00	1.00 0
2 500001 1000000 13841345				1.00	1.00 0
3	1000001	1500000	5135501	0.80	0.95	231553
4	1500001	2000000	2984455	0.57	0.89	336341
5	2000001	2500000	1716466	0.44	0.84	281016
6	2500001	3000000	1851875	0.36	0.80	375824
7	3000001	3500000	1234138	0.31	0.77	286311
8	3500001	4000000	903181	0.27	0.74	233651
9	4000001	4500000	917207	0.24	0.72	258066
10	4500001	5000000	490946	0.21	0.69	150688
11	5000001	6000000	1094709	0.18	0.66	368139
12	6000001	7000000	1065892	0.15	0.63	395192
Soma	-	-	106336894	-	-	2916780

Fonte: (HREVUSˇ, 2019).

Com base nas informa¸c˜oes presentes na Tabela 5 pode-se realizar o c´alculo aproxi- mado da fun¸c˜ao (3.24), e assim ter em posse a perda esperada da carteira homogˆenea de k propriedades (aqui no exemplo k ´e o Nu´mero de Riscos) (PARODI, 2014). Deste modo, cada termo do somat´orio da fun¸c˜ao 3.29 representa a perda esperada da faixa (d xs l) e o somat´orio dessas perdas esperadas, E[Sd,l], levar´a `a perda esperada total da carteira homogeneizada, E[SD,L].

Fontes de incerteza

Deve-se tomar os devidos cuidados com algumas fontes de incerteza provenientes da utiliza¸c˜ao do perfil de risco (Tabela 4) que ´e fornecido pela seguradora. Como exemplo dessas incertezas, existe a possibilidade de flutua¸c˜ao da Taxa de Perda - LR em rela¸c˜ao a`s oscila¸c˜oes do exerc´ıcio anterior da seguradora, sofrendo distor¸c˜oes pela ocorrˆencia de poss´ıveis perdas vultosas. Al´em dessa, existe a possibilidade de oscila¸c˜ao do valor da pro- priedade segurada no tempo, que dever´a ser mantida utilizando corre¸c˜oes inflacion´arias. No entanto, como o perfil de risco (Tabela 4) utiliza os valores de forma agregada (Perda M´axima Poss´ıvel ou Soma Segurada), estes dever˜ao ser corrigidos para que o n´ıvel de risco seja mantido (PARODI, 2014).

Calculando uma distribui¸c˜ao de perda agregada

Utilizando os dados de uma tabela de classifica¸c˜ao de exposi¸c˜ao (Tabela 5), ´e poss´ıvel calcular a perda esperada para cada faixa (E[Sd,l]), a volatilidade em torno deste ponto esperado e a distribui¸c˜ao de perda agregada. Isto ´e, a probabilidade de que a perda

total ser´a menor do que uma determinada quantia. A partir disto, tendo em posse a distribui¸cao de perda agregada pode-se calcular o ponto estimado e sua volatilidade como

sendo subprodutos da nova distribuic¸˜ao encontrada (PARODI, 2014).

Para obtens˜ao da distribui¸c˜ao de perda agregada, Parodi (2014) utiliza algumas fun¸coes demonstradas neste trabalho associadas `as informa¸c˜oe da classifica¸c˜ao de ex- posi¸c˜ao (5). Sendo assim, o m´etodo utilizado por Xxxxxx (2014) considera a curva de exposi¸c˜ao adotada anteriormente como modelo de severidade e, baseado nela, calcula-se o dano individual esperado para cada faixa (E[Xfr ]). Com advento da fun¸c˜ao 3.26 pode-se encontrar o valor da perda esperada de cada faixa no modelo coletivo E[Sf ] e, portanto, calcular para cada faixa f o nu´mero esperado de reclama¸c˜oes de sinistro

E[N ] =

E[S]

E[Xr]

. (3.35)

A equa¸cao 3.35 n˜ao ´e o modelo de frequˆencia de sinistros, mas por seu interm´edio

´e poss´ıvel alcan¸ca-lo. Desde que se assuma alguma distribui¸c˜ao de probabilidade para os dados de frenquˆencia. Sendo assim, assuma que N seguir´a uma distribui¸c˜ao de Poisson de parˆametro λf , e com valor esperado igual ao seu parˆametro E[Nf ] = λf (PARODI, 2014).

Baseado na classifica¸c˜ao por exposi¸c˜ao, Parodi (2014) prop˜oe uma outra possibili- dade para calcular um modelo de severidade para cada faixa f . E com base nisso, produzir um modelo de perda agregada que explique todas as faixas da carteira. Sendo assim, para cada faixa f , ´e denotada igualdade entre a soma segurada e o Dano M´aximo Poss´ıvel (SSf = Mf ). Deste modo, com base na curva de exposic˜ao adotada na classifica¸c˜ao por exposi¸c˜ao, e na equac¸˜ao 3.6 ser´a poss´ıvel alcan¸car a curva de severidade de dano relativo FX′ (x)r, e o valor absoluto da Curva de Severidade FX(x) = FX′ (x/Mf ). Enfim, esta u´ltima fun¸c˜ao ser´a o modelo de severidade FX(x) para as perdas na faixa f , e com base nela, pode-se assumir que E[Xf ] ser´a a estimativa da quantidade de perdas individuais da faixa f (PARODI, 2014).

Conforme Parodi (2014), para obter o modelo de perda agregada para todas as

k faixas assumidas, deve-se partir dos modelos de frequˆencia e severidade. No entanto,

f

´e necess´ario utilizar o m´etodo de Monte Carlo para simular uma amostra aleat´oria com o nu´mero de perdas para todas as k faixas f (Nk), de modo que essas perdas sejam baseadas nas curvas de exposi¸c˜ao observadas para cada faixa de riscos homogˆeneos:

Xk , Xk

, ...Xk k . Por fim, o resultado final dessa simula¸c˜ao ser´a a soma de todas as

f,1 f,2

f,Nf

perdas individuais das k faixas f (D, D + L) alcan¸cando, assim, um modelo de perda

agregado.

N

k

F f

b,j

Sk = Σ Σ Xk

(3.36)

f =1 j=1

f

O referido processo de simula¸cao explicado anteriormente ´e equivalente a` simular cada faixa de risco k separadamente (Sk) e ent˜ao somar seus resultados por interm´edio de um mecˆanismo de simula¸c˜ao Sk (XXXXXX, P., 2014).

Caso se queira a perda total por cada faixa individual (d, d + l), deve-se proceder o c´alculo da seguinte forma

N

k

F f

f

b,j

Sk = Σ Σ min max(Xk — D, 0)L . (3.37)

f =1 j=1

4 Considera¸co˜es Finais

A abordagem inicial deste trabalho atuou na demonstra¸c˜ao did´atica das varia¸c˜oes existentes no que tange a tipologia dos contratos de resseguro, e em quais condi¸c˜oes esses poderiam ser utilizados. Ap´os isso, foi demonstrada que para contratratos proporcionais, ou n˜ao, existem distintas maneiras de se precificar. E, ainda sobre os contratos n˜ao pro- porcionais, foi explicitado que existe uma rela¸c˜ao entre sua precifica¸c˜ao e a condi¸cao de seus dados serem determin´ısticos (burning cost ) ou estoc´asticos (curvas de exposi¸cao).

O trabalho foi capaz de inserir uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de utiliza¸c˜ao demasia- damente europeia que visa modelar a sinistralidade (distribui¸c˜ao MBBEFD). Enquanto, por outro lado, para modelar a frequˆencia de sinistros foi utilizada a fun¸c˜ao de distri- bui¸c˜ao Poisson. Com o advento dessas distribui¸c˜oes, pode-se influenciar na produ¸c˜ao da classifica¸c˜ao da exposi¸cao; no calculo das curvas de exposi¸c˜ao e, consequentemente, na precifica¸cao dos contratos de resseguro.

Dado o exposto, a u´ltima conclus˜ao acerca deste trabalho gira em torno da sua relevancia no cenario nacional. Pois, materiais acadˆemicos sobre a dinˆamica ressecurit´aria que abranjam mecˆanismos de calculo de prˆemio, como as curvas de exposic˜ao e os m´etodos de burning cost, que busquem exemplifica-los, n˜ao s˜ao facilmente encontratos. Portanto, a abordagem adotada neste trabalho ´e relevante para as ciˆencias atuariais no advento de novas abordagens.

Referˆencias

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