FORMULAÇÃO GERAL Cláusulas Exemplificativas

FORMULAÇÃO GERAL. Em um problema binível, o objetivo é minimizar a função denominada do primeiro nível e que um subconjunto das variáveis do problema seja minimizador global de um problema de programação não linear denominado do segundo nível. Encontram-se na literatura especializada formulações diferentes para problema de programação binível. Em Bard (1998), o PPB é definido como em (1). min F (x, y) (1a) x∈X s.a g (x, y) ≤ 0 (1b) min y∈Y s.a f (x, y) (1c) h (x, y) ≤ 0 (1d) x, y ≥ 0 (1e) O problema do primeiro nível (1a)–(1b) é também denominado de problema do nível su- perior ou do líder, e o problema do segundo nível (1c)–(1e) é chamado de problema do nível inferior ou do seguidor. Observe que a função objetivo do nível superior é minimizada apenas com relação as variáveis do líder (x) e no segundo nível apenas pelas variáveis do seguidor (y). Xxxxxxx x Xxxxxxx (1994) definem o PPB (contínuo) como (2) – (3). min F (x, y) (2a) x,y s.a g (x, y) ≤ 0 (2b) onde y, para cada valor de x, é a solução do chamado problema de nível inferior: f (x, y) (3a) s.a h (x, y) ≤ 0 (3b) com x ∈ ℜnx, y ∈ ℜny, F, f :∈ ℜnx+ny → ℜ, g :∈ ℜnx+ny → ℜnu e h :∈ ℜnx+ny → ℜnl . As variáveis x são chamadas de variáveis do nível superior e y variáveis do nível inferior, g(x, y) ≤ 0 restrições do nível superior, h(x, y) ≤ 0 restrições do nível inferior e F(x, y) função objetivo do nível superior e f (x, y) função objetivo do nível inferior. O problema relaxado de (2) – (3) pode ser escrito como (4), min F (x, y) (4a) x,y s.a g (x, y) ≤ 0 (4b) h (x, y) ≤ 0 (4c) e o seu valor ótimo (solução ótima) é um limite inferior para o valor ótimo do PPB original. A seguir, algumas definições importantes do PPB. O conjunto viável do problema relaxado (ou região de restrição), é mostrado por (5). Ω = {(x, y) : g (x, y) ≤ 0, h (x, y) ≤ 0}. (5) Para cada valor de x, o conjunto viável do nível inferior é dado por (6). Ω(x)= {y : h (x, y) ≤ 0}. (6) Para cada valor de x, o conjunto reação do nível inferior (região viável do seguidor) é apresentada pela equação (7). M(x)= {y : y ∈ argmin { f (x, y) : y ∈ Ω(x)}}. (7) Para cada valor de x e qualquer valor de y em M(x), o valor ótimo do nível inferior é dado por (8). υ(x)= f (x, y). (8) A região induzida (indutível) é mostrada por (9). ℜ = {(x, y) : (x, y) ∈ Ω, y ∈ M(x)}. (9) A região induzida é o conjunto viável do PPB. É geralmente não-convexa e, na presença de restrições do nível superior, pode ser vazia. Um PPB pode não ter solução, se para um valor fixo de x o agente do ní...