1. Contratos com informação completa

2. Contratos na presença de incerteza

3. Contratos com informação assimétrica

3.1. Modelo principal-agente

3.2. Risco moral

3.3. Seleção adversa

3.4. Sinalização

Para o estudo da economia dos contratos, é por vezes conveniente pensarmos numa economia como sendo constituída por:

um conjunto de agentes económicos, que têm as suas preferências, os seus recursos iniciais, as suas possibilidades de produção e as suas estruturas de informação,

juntamente com um conjunto de possibilidades contratuais entre esses mesmos agentes.

Os recursos iniciais de cada agente económico são o conjunto de bens de que o agente dispõe inicialmente, isto é, antes de tomar as suas decisões de troca e de produção e antes de realizar contratos com os restantes agentes.

Notação:

ei – recursos iniciais do agente i;

eT – total dos recursos iniciais de uma economia.

Perante diferentes alternativas, os agentes económicos naturalmente preferem umas a outras.

Vamos assumir que as preferências dos agentes económicos podem ser descritas por funções de utilidade.

Isto é, que existe uma função Ui tal que o agente i prefere a alternativa x à alternativa y se e só se Ui(x)>Ui(y).

Considere dois agentes económicos, i e j, com preferências descritas por Xx e Uj e recursos iniciais ei e ej.

Uma alocação dos recursos da economia é uma repartição do total dos recursos iniciais pelos agentes.

Uma alocação, x=(xi,xj), diz-se factível se e só se xi+xj≤ei+ej. Pode chamar-se troca líquida ao vetor z=(zi,zj)=(xi-ei,xj-ej).

Uma melhoria no sentido de Pareto é uma alteração que é desejada por pelo menos um dos agentes económicos e que não é indesejada por nenhum deles.

Uma situação diz-se ótima no sentido de Pareto se e só se não forem possíveis melhorias no sentido de Pareto.

Xxxxxxxx Xxxxxx (1848-1923)

Uma alocação factível, x, diz-se Pareto-ótima ou eficiente se e só se não existir uma outra alocação factível, y, que não seja pior para nenhum dos agentes e que seja melhor para pelo menos um dos agentes (ou seja, se y não for melhor do que x no sentido de Pareto).

Ao efetuarem trocas, os agentes procuram que a alocação resultante seja eficiente. Enquanto não o for, existirão trocas com as quais todos concordam e que proporcionam melhorias no sentido de Pareto.

O conceito de Pareto-ótimo não incorpora qualquer tipo de preocupação relativamente à distribuição dos recursos pelos diferentes agentes económicos.

Todos os recursos para um único agente e nada para os outros é uma situação ótima no sentido de Pareto.

Qualquer repartição de um bolo de chocolate (homogéneo) entre um grupo de crianças (não saciáveis) é Pareto-ótima.

Chamamos utilidade de reserva à utilidade mínima que um agente aceita como resultado de um contrato.

Para aceitarem uma troca que lhes seja proposta, os agentes deverão exigir obter um nível de utilidade não inferior ao que conseguiriam atingir apenas com os seus recursos iniciais.

A utilidade de reserva do agente i é, portanto, Ui(ei).

Dizemos que a alocação x é individualmente racional para o agente i

se e só se Ui(xi)≥Ui(ei).

Os agentes pretendem celebrar um contrato que seja:

▪ eficiente, ou seja, que conduza a uma situação ótima no sentido de Pareto (caso contrário, haveria um outro contrato melhor para todos os agentes);

▪ individualmente racional para todos os agentes (caso contrário, haveria algum agente que recusaria o contrato).

Existem, normalmente, muitos contratos que cumprem estes dois requisitos.

A caixa de Edgeworth é um diagrama que permite visualizar as diferentes possibilidades de troca (numa economia com dois agentes e dois bens), juntamente com os níveis de utilidade que proporcionam aos agentes.

Combina os mapas de curvas de indiferença dos dois agentes numa representação única e limitada à região economicamente relevante.

Xxxxxxx Xxxxxx Xxxxxxxxx (1845-1926)

Para construir a caixa de Edgeworth, devemos começar por desenhar um rectângulo com dimensões dadas pelo total dos recursos iniciais da economia. Nesse rectângulo, sobrepomos os mapas de indiferença dos dois agentes.

Na horizontal medem-se as quantidades do bem 1 e na vertical as quantidades do bem 2. Para cada agente, considera-se uma origem diferente. A origem do agente 1 é o canto inferior esquerdo e a origem do agente 2 é o canto superior direito.

xj1 agente j

xi2 xj2

agente i

xi1

As alocações individualmente racionais (assinaladas a verde na figura) são aquelas que ambos os agentes preferem à alocação dos recursos iniciais (situação de autarcia).

xj1 agente j

xi2 xj2

agente i

xi1

A taxa marginal de substituição (TMS) entre os bens 1 e 2 indica a quantidade do bem 2 de que um agente está disposto a abdicar para receber uma unidade do bem 1 (ou, equivalentemente, a quantidade do bem 2 que exige receber em troca de uma unidade do bem 1).

Analiticamente, a TMS calcula-se como o rácio entre as utilidades marginais dos dois bens.

Graficamente, a TMS corresponde ao declive da curva de indiferença.

Se a TMS do agente i for superior à do agente j, ambos beneficiariam de uma troca em que o agente i recebe uma unidade do bem 1 e entrega uma quantidade do bem 2 compreendida entre as duas TMS.

Pode verificar-se (tanto analiticamente como graficamente) que as alocações eficientes são aquelas que satisfazem a igualdade entre as taxas marginais de substituição dos dois agentes:

Graficamente, a igualdade entre as taxas marginais de substituição corresponde à igualdade entre os declives das curvas de indiferença, ou seja, à tangência entre as curvas de indiferença dos dois agentes.

agente

xi xj

2 2

agente i xi

A curva de contrato é composta pelo conjunto das alocações que são eficientes e individualmente racionais.

xj1 agente j

xi2 xj2

agente i

xi1

Pode demonstrar-se que as alocações eficientes são aquelas que maximizam uma média pesada das utilidades obtidas pelos agentes.

Isto significa que podemos determinar analiticamente o conjunto das alocações eficientes, resolvendo o problema:

para todos os valores de μ entre 0 e 1.

O contrato que é escolhido (de entre aqueles que compõem a curva de contrato) depende do poder negocial dos agentes.

Se um dos agentes puder escolher o contrato, podendo o outro apenas aceitar ou rejeitar o contrato (não havendo possibilidade de renegociação), então o primeiro detém todo o poder negocial e deverá conseguir apropriar-se totalmente dos ganhos da troca.

Esse agente (i) deverá propor o contrato que é a solução do seguinte problema:

Uma solução para o caso em que os agentes têm poderes negociais idênticos foi proposta por Xxxx Xxxx (1950).

A solução de negociação de Xxxx obtém-se resolvendo o seguinte problema de maximização:

Xxxx Xxxx (1928-)

Se existirem muitos agentes de cada um dos dois tipos, então o conceito de solução adequado é o equilíbrio competitivo.

Um equilíbrio competitivo é uma situação na qual:

▪ cada agente, tomando os preços como um dado, escolhe o cabaz de bens que maximiza a sua utilidade;

▪ a oferta de cada bem é igual à procura.

⎧ x* ∈argmax{U (x )}

⎪ i * * i i

(p*, x*, x* ) é um equilíbrio competitivo ⇔

p ⋅xi ≤ p ⋅ei

⎨

⎪ x* ∈argmax{U

(x )}

⎪

i i j

j j

p*⋅xj ≤ p*⋅ej

⎪ x* + x* ≤ e + e .

⎪⎩ i j i j

Sabe-se que um equilíbrio competitivo é eficiente (primeiro teorema do bem-estar).

Pode determinar-se resolvendo o seguinte sistema:

⎪

⎪ px +x =pe +e

TMSj (xj )=p

⎪ pxj1+xj 2 =pej1+ej 2

⎨

i1 i 2

⎪

⎩

Pela Lei de Walras, as três últimas equações implicam que:

xi2 + x j2 =ei2 +ej2.

Xxxx Xxxxxx (1834-1910)

⎪ xi1+xj1=ei1+ej1.

⎪

⎧ TMSi (xi )=p

1. Contratos com informação completa

2. Contratos na presença de incerteza

3. Contratos com informação assimétrica

3.1. Risco moral

3.2. Seleção adversa

3.3. Sinalização

4. O problema do “hold-up“

5. A tragédia dos comuns

Um estado da natureza é uma descrição completa de todas as variáveis envolventes que influenciam a economia, isto é, que determinam a disponibilidade de bens, a utilidade associada ao seu consumo e as possibilidades de produção de bens.

A incerteza é tipicamente descrita pelo conjunto de possíveis estados da natureza e por uma distribuição de probabilidade associada a esse conjunto.

A probabilidade de ocorrência do estado s é tipicamente denotada por q(s).

Na presença de incerteza, é conveniente aplicar o conceito de bens contingentes (que foi introduzido por Xxxxxxx Xxxxx).

Isso consiste em distinguir os bens não apenas pelas suas características físicas, mas também pelo estado da natureza em que são disponibilizados.

Por exemplo, um gelado se estiver sol e um gelado se estiver a chover são tratados como sendo dois bens totalmente diferentes.

Xxxxxxx Xxxxx (1921-)

Também é útil o conceito de lotaria. Uma lotaria proporciona um ganho incerto, isto é, um ganho que depende do estado da natureza.

Por exemplo, a lotaria descrita por x=(10, 60%; 5, 40%) proporciona um ganho de 10 unidades com probabilidade de 60% e um ganho de 5 unidades com probabilidade de 40%.

Na presença de incerteza, coloca-se frequentemente aos agentes económicos o problema de escolher entre lotarias.

Considera-se, frequentemente, que as preferências dos agentes entre lotarias podem ser descritas por uma função utilidade esperada.

Isto é, considera-se que existe uma função ui tal que o agente i

prefere a lotaria x à lotaria y se e só se:

∑ qsui (xs ) > ∑ qsui (ys ),

s s

em que xs e ys são os ganhos correspondentes aos diferentes estados da natureza, e qs são as probabilidades de ocorrência de cada um desses mesmos estados.

Xxxx xxx Xxxxxxx e Xxxxx Xxxxxxxxxxx demostraram que preferências que satisfaçam os seguintes 4 axiomas podem ser descritas por uma função de utilidade esperada.

Xxxx xxx Xxxxxxx (1903-1957)

Os indivíduos são, tipicamente, avessos ao risco. Preferem um ganho certo a um ganho incerto com o mesmo valor esperado.

Por outro lado, assume-se (frequentemente) que as grandes empresas são neutras face ao risco. Isto é, que procuram maximizar o seu ganho esperado.

Em determinadas situações, o comportamento dos agentes evidencia gosto pelo risco. Isto é, uma preferência por ganhos incertos relativamente a um ganho certo com o mesmo valor esperado.

A atitude face ao risco está associada à forma da função utilidade ui: uma função côncava significa que o agente tem aversão ao risco; uma função linear significa que o agente é neutro face ao risco; e uma função convexa significa que o agente tem gosto pelo risco.

u u u

x x

aversão ao risco neutralidade face ao risco

gosto pelo risco

As medidas de aversão ao risco baseiam-se na relação entre as magnitudes da segunda derivada e da primeira derivada da função utilidade. Foram introduzidas por Xxxxxxx Xxxxx e Xxxx Xxxxx.

u'(x)

Coeficiente de aversão ao risco relativa:

RRA = − x u''(x) .

u'(x)

Valores positivos destes coeficientes estão associados a aversão ao

risco e valores negativos estão associados a gosto pelo risco.

Coeficiente de aversão ao risco absoluta:

ARA =

−u''(x) .

Vamos considerar a situação mais simples de troca num contexto de incerteza: uma economia com um único bem e dois estados da natureza (dois bens contingentes, H e L).

Se o contrato for eficiente, serão iguais as taxas marginais de substituição dos dois agentes. Isto é:

UiH (xiH , xiL )

UiL (xiH , xiL )

= U jH (x jH , x jL )⇔

U jL (x jH , x jL )

⇔ qH ui '(xiH )

qLui '(xiL )

= qH u j '(x jL )⇔

qLu j '(x jL )

⇔ ui '(xiH )

ui '(xiL )

= u j '(x jL ) .

u j '(x jL )

Se o agente i tiver aversão ao risco e o agente j for neutro face ao risco, então a condição anterior fica dada por:

ui '(xiH )

=1 ⇔ x = x .

ui '(xiL )

iH iL

O que significa que o agente i vai ficar totalmente segurado, enquanto o agente j irá suportar todo o risco.

Não é surpreendente que seja esta a alocação eficiente.

Suponha que os agentes têm aversão ao risco absoluta constante. Isso implica que as suas funções de utilidade são do tipo:

u (x ) = −e−ρi xi e u (x ) = −e−ρj xj .

i i j j

Sendo o contrato eficiente, as taxas marginais de substituição dos dois agentes terão de ser iguais:

ρ e−ρi xiH

ρ e−ρj xjH

−ρ − ρ

i = j ⇔ e−ρi (xiH −xiL ) = e

j (xjH

xjL ) ⇔ x

− x = j (x

− x ).

ρ e−ρi xiL

ρ e−ρj xjL

iH iL jH jL i

O agente mais avesso ao risco vai suportar uma menor quantidade de risco (terá uma menor diferença entre o ganho no estado bom e o ganho no estado mau).

Suponha agora que os agentes têm aversão ao risco relativa constante, isto é, que as suas funções de utilidade são da forma:

x 1−σi x

1−σ j

ui (xi

) = i

1−σi

e uj

(xj

) = j .

1−σj

Nesse caso, a condição de eficiência fica dada por:

σj

−σi

iH =

−σj

⇔ xiH

⎛

=⎜ jH

⎞σi

⎟ .

−σi

−σj

xiL

⎜ ⎟

⎝ jL ⎠

Novamente, o agente mais avesso ao risco vai suportar uma menor fracção do risco, isto é, vai ter um rácio menor entre o ganho no estado bom e o ganho no estado mau.

Uma aplicação natural é o caso em que uma seguradora (neutra face ao risco) oferece um contrato de seguro a um agente avesso ao risco.

O agente tem uma riqueza inicial eH, que pode ser reduzida para eL

em caso de acidente, que ocorre com probabilidade θ.

O contrato de seguro especifica o nível de cobertura, x, e o preço unitário da cobertura, p. O agente paga, portanto, p*x, recebendo, em caso de acidente, x.

A utilidade esperada do agente é dada por:

U( p, x) = (1−θ)u(eH − px)+θu(eL − px +x).

Se a seguradora especificar a cobertura e o preço (podendo o agente apenas aceitar ou rejeitar o contrato), deverá escolher um contrato eficiente.

Uma vez que a seguradora é neutra face ao risco, neste caso, os contratos eficientes são os contratos com cobertura total (x=eH-eL).

O preço a fixar deverá ser o máximo que o agente está disposto a aceitar. Isto é, tal que:

U( p, x) =UR ⇔ u

(1− p)eH + peL ⎤ = (1−θ)u(eH )+θu(eH ).

Se a seguradora puder apenas especificar o preço unitário (podendo o agente escolher a cobertura), não se irá estabelecer um contrato eficiente.

O agente só escolheria cobertura total se o preço fosse actuarialmente justo (p=θ), isto é, que proporcionasse à seguradora um lucro esperado nulo.

Para obter lucros, a seguradora fixará um preço superior, o que levará o agente a escolher uma cobertura parcial.

1. Contratos com informação completa

2. Contratos na presença de incerteza

3. Contratos com informação assimétrica

3.1. Risco moral

3.2. Seleção adversa

3.3. Sinalização

4. O problema do “hold-up“

5. A tragédia dos comuns

O modelo principal-agente é extremamente útil para compreender os efeitos das assimetrias de informação em contextos económicos.

Descreve uma situação muito habitual, na qual o principal contrata o agente para levar a cabo uma atividade que proporciona um benefício ao primeiro mas que implica um sacrifício para o segundo.

É o que acontece, tipicamente, no mercado de trabalho. Uma empresa contrata um trabalhador para este desempenhar tarefas que são do interesse da empresa mas que envolvem um esforço por parte do trabalhador.

Assumimos que o principal detém todo o poder negocial. Xxxxxxx e propõe o contrato, enquanto o agente apenas o aceita ou rejeita (não havendo possibilidade de renegociação).

Se aceitar o contrato, o agente deverá escolher um nível de esforço.

A relação entre o principal e o agente proporcionará um ganho monetário, que depende do nível de esforço do agente e do estado da natureza.

É mais fácil vender gelados se estiver calor. Se estiver a chover, por mais que se esforce, o agente não conseguirá vender muitos gelados.

Existe incerteza relativamente ao ganho monetário que resulta da relação entre o principal e o agente.

Supomos que há um conjunto finito de resultados possíveis:

{x1, x2, ..., xn}.

Se o nível de esforço for igual a e, a probabilidade de o resultado ser

xi é dada por pi(e).

Assume-se que o ganho não revela o esforço, ou seja, que pi(e)>0, quaisquer que sejam os valores de i e e.

A estrutura temporal da interação num contexto de informação simétrica é a seguinte:

1. O principal desenha e propõe o contrato, que estabelece um nível de esforço, e, e pagamentos ao agente correspondentes a cada um dos resultados possíveis, {w1, w2, ..., wn}.

2. O agente aceita (ou rejeita) o contrato.

3. O agente fornece o nível de esforço contratualizado, e.

4. A natureza determina, de acordo com as probabilidades pi(e), o resultado, xi.

5. O agente recebe wi e o principal fica com xi–wi.

O contrato que o principal propõe deverá ser aquele que maximiza a sua utilidade entre aqueles que proporcionam ao agente a sua utilidade de reserva:

⎧ ⎫

max⎨∑ pi (e) B(xi − wi )⎬

w1,..., wn, e⎩ i ⎭

s.a. ∑ pi (e)u(wi ) − v(e) ≥ U0.

O lagrangiano deste problema é:

⎡ ⎤

L =∑ pi (e) B(xi − wi )+ λ ⎢∑ pi (e)u(wi )− v(e) −U0 ⎥.

i ⎣ i ⎦

A solução do problema satisfaz as condições de primeira ordem:

⇔λ = B'(xi − wi ).

u'(wi )

O que implica que, quaisquer que sejam i e j:

B'(x − w )

u'(wi )

B'(x − w )

j j

u' wj

( )

⇔

u'(w )

u'(wi ) B'(xi − wi )

B'(x − w )

j j

dL dwi

= 0⇔ pi

(e)B'(xi

− wi

)(−1) + λ pi

(e)u' (wi

)= 0⇔

No caso em que o principal é neutro face ao risco:

u'(w )

j =1 ⇔

u'(w )= u'(w )⇔ w = w .

u'(wi )

i j i j

Isto significa que o agente não suporta qualquer risco. Recebe um pagamento fixo, independente do resultado do seu esforço. Todo o risco é suportado pelo principal.

Podemos determinar o valor do pagamento usando a restrição de participação. O pagamento mínimo (w) que o agente aceita é:

u(w)−v(e) =U0

⇔ w = u−1[U

−v(e)].

Como vimos, no caso geral, para todo o x:

− B'(x − w)+ λu'(w)= 0.

− B''(x − w)⎛1− dw ⎞ +

⎜

⎝

dx ⎟

⎠

u''(w)dw = 0⇔

⇔− B''(x − w)⎛1− dw ⎞ +u''(w) dw = 0⇔

B'(x − w) ⎜

⎝

dx ⎟ u'(w) dx

⎠

⇔ρ ⎛1− dw ⎞ −ρ dw = 0⇔ dw =

P ⎜

⎝

dx ⎟

⎠

ρP

ρ + ρ

Diferenciando em ordem a x (e tendo em conta que w é função de x):

Concluímos que uma variação do resultado deve ser repartida pelo principal e pelo agente de acordo com os respetivos coeficientes de aversão ao risco absoluta.

No caso em que os agentes têm ARA constante, esses coeficientes são constantes, e por isso o contrato ótimo é linear.

O agente recebe um pagamento fixo mais uma percentagem do resultado.

⎧ u(w) = −e−ρAw

⎨

⇒w(x) = w0

+ ρP x.

⎩B(x − w) = −e−ρP (x−w )

ρP + ρA

O valor de w0 deve ser o mínimo suficiente para que o agente aceite o contrato (restrição de participação satisfeita em igualdade).

Para determinar o nível ótimo de esforço no caso discreto (em que o esforço pode ter um número finito de valores), devemos resolver o problema para cada nível de esforço e depois ver qual dos níveis de esforço é que conduz a uma maior utilidade para o principal.

No caso em que o nível de esforço pode variar entre um contínuo de valores, devemos usar a condição de primeira ordem. Assumindo que o principal é neutro face ao risco, o problema fica dado por:

⎧ n −1 ⎫

max⎨∑

pi (e)xi −u

[U0

+ v(e)]⎬.

w1 ,...,wn ,e

⎩ i=1 ⎭

O ótimo é tal que: [verifique também a condição de segunda ordem]

∑ pi

'(e) xi

= v'(e) ,

u'(w)

onde

w = u−1[U

−v(e)].

1. Contratos com informação completa

2. Contratos na presença de incerteza

3. Contratos com informação assimétrica

3.1. Risco moral

3.2. Seleção adversa

3.3. Sinalização

4. O problema do “hold-up“

5. A tragédia dos comuns

Estamos na presença de risco moral quando, após a celebração de um contrato, o agente leva a cabo atividades (ou recebe informação) que o principal não consegue observar.

Na realidade, muitas vezes o que é essencial não é a observação em si, mas a possibilidade de utilizar essa observação como prova num tribunal (aquilo a que chamamos verificação).

No modelo principal-agente, a forma mais natural de introduzir risco moral é considerar que o principal não consegue verificar o nível de esforço do agente.

Na presença de risco moral, a estrutura temporal da interação entre o principal e o agente passa a ser a seguinte:

1. O principal desenha e propõe o contrato, que estabelece os pagamentos ao agente correspondentes a cada um dos resultados possíveis, {w1, w2, ..., wn}.

2. O agente aceita (ou rejeita) o contrato.

3. O agente fornece (de forma não verificável por parte do principal) o nível de esforço que pretender, e.

4. A natureza determina, de acordo com as probabilidades pi(e), o resultado, xi.

5. O agente recebe wi e o principal fica com xi–wi.

A existência de risco moral pode alterar totalmente o resultado da interação entre o principal e o agente.

Por exemplo, vimos que (com informação simétrica) um principal neutro face ao risco propôe ao agente um pagamento que é independente do resultado. Mas, se o esforço não for verificável, um contrato deste tipo não fornece ao agente qualquer incentivo para se esforçar. Com este contrato, o agente irá fazer o mínimo esforço possível (isto é, aquele que lhe proporcione a menor desutilidade).

Para levar o agente a esforçar-se, o principal terá de propôr um contrato que premeie o agente de acordo com o resultado obtido.

Sabemos que esse contrato não será eficiente. As assimetrias de informação originam um “trade-off” entre incentivos e eficiência.

É conveniente considerar que o principal sugere ao agente um determinado nível de esforço, mas que o agente só segue essa sugestão se não lhe compensar agir de forma diferente.

Um contrato que dê ao agente incentivos para que ele efetue o nível de esforço sugerido diz-se compatível com os incentivos.

Formalmente, a restrição de compatibilidade de incentivos é:

⎧ n ( ) ⎫

e ∈argmax⎨∑ pi (e)u wi −v(e)⎬.

⎩ i=1 ⎭

Significa que o esforço sugerido, e, maximiza a utilidade do agente. Não há razão para o agente não seguir a sugestão do principal.

O problema do principal fica, assim, com uma restrição adicional. Passa a ser maximizar a sua utilidade, sujeito à restrição de compatibilidade de incentivos e à restrição de participação:

⎧

max⎨∑

pi (e)B(xi

⎫

)

x xx x

x0 ,...,xx ,x ⎩ i ⎭

s.a.

e ∈arg max⎧ p (e) u(w )− v(e) ;

⎨∑

⎫

i i ⎬

⎩ i ⎭

∑ pi (e) u(wi )− v(e)

≥ U0 .

Na prática, o problema é tratado de forma diferente conforme o esforço seja uma variável com um conjunto finito de valores possíveis ou uma variável com um contínuo de valores possíveis.

No caso em que existem apenas dois níveis de esforço possíveis, alto (eH) e baixo (eL), a restrição de compatibilidade de incentivos de um contrato em que seja sugerido um nível elevado de esforço (eH) fica dada por:

∑ pi (eH )u(wi )−v(eH ) ≥ ∑

i i

pi (eL )u(wi )−v(eL ).

Também pode ser escrita da seguinte forma:

∑ pi (eH )u(wi )−∑

i i

pi (eL )u(wi )≥ v(eH ) −v(eL ).

Vimos que para que o agente escolha o nível alto de esforço (eH), é necessário que o aumento da utilidade esperada do seu ganho compense o aumento da desutilidade do esforço. Como o esforço alto torna mais prováveis os resultados bons, o principal pode induzir um esforço alto premiando o agente pelos bons resultados.

O principal pode concluir que é mais vantajoso sugerir esforço baixo (eL), pelo facto de o aumento esperado do ganho não compensar o custo de compensar o agente pela desutilidade do esforço e pelo risco associado aos incentivos. Nesse caso, não existe um problema genuíno de risco moral.

O pagamento fixo (ótimo no caso em que o principal é neutro face ao risco) leva o agente a escolher o nível de esforço baixo. Não são necessários quaisquer incentivos.

O lagrangiano associado ao problema de um principal neutro face ao risco que pretende induzir um nível alto de esforço é dado por:

L = ∑ p (e )(x − w )+λ ⎡∑ p (e

)u (w

)−v(e ) −U ⎤ +

i H i i

⎢ i H i

+ μ⎡∑ p (e )u(w )−v(e ) −∑ p (e )u (w )−v(e )⎤

⎢

⎣ i

i H

i L

⎥.

⎦

As condições de maximização (uma para cada wi) são:

p (e

u'(w )

i H

)

= λ p (e )

+ μ

[p (e )

− p (e )]

i L

Somando todas as condições:

λ = ∑ pi (eH )

u'(w ).

⎣ i

H 0 ⎥

⎦

Também podemos escrever a condição de maximização como:

1 = λ+

⎡ − pi (eL ) ⎤

u'(wi )

μ⎢1

⎣

⎥.

)

pi (eH ⎦

Concluímos que o pagamento ao agente, wi, associado a um dado resultado, xi, é tanto maior quanto maior for o quociente entre as probabilidades desse resultado no caso em que o esforço é alto e no caso em que o esforço é baixo.

Ou seja, o agente é premiado não pelo facto de o resultado ser bom, mas pelo facto de o resultado sinalizar que o esforço foi alto.

Quando o nível de esforço pode variar num intervalo, [eiL,eiH], o método de resolução mais simples (que nem sempre é aplicável) é a chamada abordagem de primeira ordem.

Recorde que a restrição de compatibilidade de incentivos é:

⎨∑

e arg max⎧ p (e) u w − v(e)⎫

i i ⎬.

⎩ i ⎭

A condição de primeira ordem do problema de maximização (escolha do esforço que maximiza a utilidade do agente) é:

∑ pi ' (e) u(wi ) = v'(e)

Substituindo a expressão geral da restrição de compatibilidade de incentivos por esta condição de primeira ordem, o problema do principal fica dado por:

⎧

max⎨∑

pi (e)B(xi

⎫

)

− wi ⎬

w1 ,...,wn ,e ⎩ i ⎭

s.a.

∑ pi '(e)u(wi )− v'(e)

= 0;

∑ pi (e)u(wi )− v(e)

≥ U0 .

É um problema com n+1 variáveis e 2 restrições.

Neste caso, o lagrangiano fica dado por:

L = ∑ p (e)B(x − w )+λ ⎡∑ p (e)u (w )−v(e) −U ⎤ +

i i i ⎢ i i 0 ⎥

i ⎣ i ⎦

+ μ⎡∑ p '(e)u(w )− ⎤

⎢ i i

⎣ i

v'(e)⎥.

⎦

As condições de maximização (uma para cada wi) são:

pi (e) +λpi (e)u'(wi )+ μpi '(e)u'(wi )= 0 ⇔

⇔ λ + μ

pi '(e)

pi (e)

= 1 .

u'(wi )

A condição anterior (uma para cada wi) implica que, desde que μ>0, isto é, desde que exista um problema genuíno de risco moral, a alocação do risco não vai ser eficiente.

O pagamento associado ao resultado xi vai ser uma função crescente da taxa de variação da probabilidade de ocorrência desse resultado relativamente ao nível de esforço (pi’(e)/pi(e)).

O facto de o agente suportar risco obriga o principal a oferecer um maior pagamento esperado para compensar esse risco. Por outro lado, é o facto de o pagamento depender do resultado que fornece ao agente os incentivos para que forneça o nível de esforço pretendido.

A estrutura temporal da interação é a seguinte:

P desenha o contrato

A aceita (ou rejeita) o contrato

A fornece esforço

determina o estado da natureza

Resultados e ganhos

CAIXA DE EDGEWORTH

ei1+ej1 ei2+ej2

xj1

ej1

agente j

xi2 xj2

ei2 ej2

agente i

xi1

ei1

ei1+ej1

ei2+ej2

Document Metadata

Table of Contents

1. Contratos com informação completa

Document Metadata