Interpolação do smile de volatilidade. Para encontrar as volatilidades para cada série de opção é necessário converter os smiles de volatilidade em delta para smiles de volatilidade em strike e interpolar esta curva no preço de exercício de cada série de opção. A fórmula utilizada para interpolar o smile de volatilidade em strike é 𝜎 𝐾𝑖−𝐾𝑎 𝜎𝑖 = 𝜎𝑎 ⋅ ( 𝑝)𝐾𝑝−𝐾𝑎 𝜎𝑎 Onde 𝜎𝑖 é a volatilidade da série de opção 𝑖 e 𝐾𝑖 o preço de exercício da série. 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎 são vértices da curva de smile de volatilidade em strike e representam os strikes anterior e posterior ao preço de exercício 𝐾𝑖. 𝜎𝑝 e 𝜎𝑎 são as volatilidades referentes aos vértices 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎.
Interpolação do smile de volatilidade. Os modelos de interpolação usados para obter a volatilidade de cada strike autorizado a negociação são o spline cúbico monótono e o exponencial descritos na sequência. Para os strikes nos quais a volatilidade interpolada gerar um delta inferior a 1% será utilizada a mesma volatilidade do delta 1% e para os strikes com delta superior a 99% será usada a volatilidade do delta 99%. A fórmula da interpolação exponencial é 𝜎 𝐾𝑖−𝐾𝑎 𝜎𝑖 = 𝜎𝑎 𝑝 𝐾𝑝−𝐾𝑎 ⋅ ( ) 𝜎𝑎 e o modelo de interpolação spline cúbico é 𝜎𝑖 = 𝜎𝑎 ⋅ ℎ00(𝐾∗) + (𝐾𝑝 − 𝐾𝑎) ⋅ 𝑚𝑎 ⋅ ℎ10(𝐾∗) + 𝜎𝑝 ⋅ ℎ01(𝐾∗) 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 +(𝐾𝑝 − 𝐾𝑎) ⋅ 𝑚𝑝 ⋅ ℎ11(𝐾∗) onde 𝜎𝑖 é a volatilidade da série de opção 𝑖 e 𝐾𝑖 o preço de exercício da série. 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎 são vértices da curva de smile de volatilidade em strike e representam os strikes posterior e anterior ao preço de exercício 𝐾𝑖. 𝜎𝑝 e 𝜎𝑎 são as volatilidades referentes aos vértices 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎 e • 𝐾∗ = 𝐾𝑖−𝐾𝑎 ; 𝑖 𝐾𝑝−𝐾𝑎 • ℎ00(𝑥) = (1 + 2𝑥)(1 − 𝑥)2; • ℎ10(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥)2; • ℎ01(𝑥) = (3 − 2𝑥)𝑥2; • ℎ11(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑥2. Para a definição das tangentes 𝑚𝑎 e 𝑚𝑝 são aplicados os passos na sequência denotando o número de pontos com informação 𝑖 = 0, . . . , x.