Interpolação do smile de volatilidade Cláusulas Exemplificativas

Interpolação do smile de volatilidade. Os modelos de interpolação usados para obter a volatilidade de cada strike autorizado a negociação são o spline cúbico monótono e o exponencial descritos na sequência. Para os strikes nos quais a volatilidade interpolada gerar um delta inferior a 1% será utilizada a mesma volatilidade do delta 1% e para os strikes com delta superior a 99% será usada a volatilidade do delta 99%. A fórmula da interpolação exponencial é 𝜎 𝐾𝑖−𝐾𝑎 𝜎𝑖 = 𝜎𝑎 𝑝 𝐾𝑝−𝐾𝑎 ⋅ ( ) 𝜎𝑎 e o modelo de interpolação spline cúbico é 𝜎𝑖 = 𝜎𝑎 ⋅ ℎ00(𝐾∗) + (𝐾𝑝 − 𝐾𝑎) ⋅ 𝑚𝑎 ⋅ ℎ10(𝐾∗) + 𝜎𝑝 ⋅ ℎ01(𝐾∗) 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 +(𝐾𝑝 − 𝐾𝑎) ⋅ 𝑚𝑝 ⋅ ℎ11(𝐾∗) onde 𝜎𝑖 é a volatilidade da série de opção 𝑖 e 𝐾𝑖 o preço de exercício da série. 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎 são vértices da curva de smile de volatilidade em strike e representam os strikes posterior e anterior ao preço de exercício 𝐾𝑖. 𝜎𝑝 e 𝜎𝑎 são as volatilidades referentes aos vértices 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎 e • 𝐾∗ = 𝐾𝑖−𝐾𝑎 ; 𝑖 𝐾𝑝−𝐾𝑎 • ℎ00(𝑥) = (1 + 2𝑥)(1 − 𝑥)2; • ℎ10(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥)2; • ℎ01(𝑥) = (3 − 2𝑥)𝑥2; • ℎ11(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑥2. Para a definição das tangentes 𝑚𝑎 e 𝑚𝑝 são aplicados os passos na sequência denotando o número de pontos com informação 𝑖 = 0, . . . , x. 1. Calcula-se ∆ = 𝜎𝑖+1−𝜎𝑖 para 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 − 1. 𝑖 𝐾𝑖+1−𝐾𝑖 2. Define-se 𝑚1 = ∆1 , 𝑚𝑛 = ∆𝑛−1 e 𝑚𝑖 = ∆𝑖−1+∆𝑖 se o sinal de ∆ 𝑖−1 𝑒 ∆𝑖 for o mesmo e se ambos forem não nulos e 𝑚𝑖 = 0 se o sinal for diferente ou algum for nulo para 𝑖 = 0, . . . , x − 1. 3. Aplicar esse passo para 𝑚𝑖 ≠ 0. Definir 𝛼𝑖 = 𝑚𝑖 ∆𝑖 e 𝛽𝑖 = 𝑚𝑖+1 ∆𝑖 e avaliar a comportamento monotônico: Se alguma das condições a seguir não for satisfeita a. 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 − 2 ≤ 0; b. 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 − 2 > 0 𝑒 2𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 − 3 ≤ 0; c. 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 − 2 > 0 𝑒 𝛼𝑖 + 2𝛽𝑖 − 3 ≤ 0; − 1 (2𝛼𝑖+𝛽𝑖−3)2 ≥ 0 (𝛼𝑖+𝛽𝑖−2) então redefinir 𝑚𝑖 = 𝛼𝑖∆𝑖 √𝝰𝑖2+β𝑖2 e 𝑚 𝑖+1 = 𝛽𝑖∆𝑖

Interpolação do smile de volatilidade. Para encontrar as volatilidades para cada série de opção é necessário converter os smiles de volatilidade em delta para smiles de volatilidade em strike e interpolar esta curva no preço de exercício de cada série de opção. A fórmula utilizada para interpolar o smile de volatilidade em strike é 𝜎 𝐾𝑖−𝐾𝑎 𝜎𝑖 = 𝜎𝑎 ⋅ ( 𝑝)𝐾𝑝−𝐾𝑎 𝜎𝑎 Onde 𝜎𝑖 é a volatilidade da série de opção 𝑖 e 𝐾𝑖 o preço de exercício da série. 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎 são vértices da curva de smile de volatilidade em strike e representam os strikes anterior e posterior ao preço de exercício 𝐾𝑖. 𝜎𝑝 e 𝜎𝑎 são as volatilidades referentes aos vértices 𝐾𝑝 e 𝐾𝑎.

Interpolação do smile de volatilidade. Os modelos de interpolação usados para obter a volatilidade de cada strike autorizado a negociação são o spline cúbico monótono e o exponencial descritos na sequência. Para os strikes nos quais a volatilidade interpolada gerar um delta inferior a 1% será utilizada a mesma volatilidade do delta 1% e para os strikes com delta superior a 99% será usada a volatilidade do delta 99%. A fórmula da interpolação exponencial é ൰ ௄೔ି௄ೌ ߪ௜ൌߪ௔ڄ൬ ௣ ௄೛ି௄ೌ ߪ௔ e o modelo de interpolação spline cúbico é ߪ௜ൌߪ௔ڄ݄଴଴ሺܭכሻ൅൫ܭ௣െܭ௔൯ڄ݉௔ڄ݄ଵ଴ሺܭכሻ൅ߪ௣ڄ݄଴ଵሺܭכሻ ௜ ௜ ௜ ௜ ൅ሺܭ௣െܭ௔ሻڄ݉௣ڄ݄ଵଵሺܭכሻ x onde ߪ௜é a volatilidade da série de opção ݅e ܭ௜o preço de exercício da série. ܭ௣ e ܭ௔ são vértices da curva de smile de volatilidade em strike e representam os strikes posterior e anterior ao preço de exercício ܭ௜. ߪ௣e